中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 向量的加法
一、单选题
1．（2020·全国高一）下列说法中正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若满足且与同向，则
D．对于任意向量，必有
2．（2020·山东泰安市·新泰市第一中学高一期中）已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）21世纪教育网版权所有
A．2 B． C．3 D．
3．（2020·山东滨州市·高一期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）在中，为中点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·衡水市第十四中学）如图，中，与交于，设，，，则为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高一月考）在平行四边形中，设，，，，则（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
7．（2020·镇原中学高一期末）已知为等边三角形，，设，满足，，若，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
8．（2020·威远中学校高一月考（理））点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
9．（2020·盐城市大丰区新丰中学高一期末）在中，已知边上的中线长为2，，则（ ）www-2-1-cnjy-com
A．12 B．-12 C．3 D．-3
10．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高一月考）若是边长为的等边三角形，向量，，，有下列命题：2-1-c-n-j-y
①；②与垂直；③；④.
其中正确命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2020·河北南宫中学高一开学考试）已知中，，E为BD中点，若，则的值为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．6 C．8 D．10
12．（2020·四川绵阳市·高一期中）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
13．（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考（文））如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C．1 D．
14．（2020·浙江杭州市·高一期末）在梯形中，已知,,点在线段上，且,则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
15．（2020·四川遂宁市·高一期末）在△ABC中，点D在边BC上，若，则
A．+ B．+ C．+ D．+
16．（2020·全国高一课时练习）点为所在平面内一点，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
17．（2020·山东省博兴第一中学高一开学考试）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
18．（2020·全国高一课时练习）设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
A．9 B．8 C． D．7
19．（2020·全国高一课时练习）向量﹒化简后等于（ ）
A． B．0 C． D．
20．（2020·湖南岳阳市·岳阳一中高一开学考试）如图,在梯形中, , 为线段上一点,且，为的中点, 若（， ）,则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2020·全国高一课时练习）分别为的边的中点，且，，给出下列结论:
①；②；
③；④.
其中所有正确结论的序号为__________.
22．（2020·全国高一课时练习）已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
三、解答题
23．（2020·全国高一专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
24．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高一月考）已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若是上一点，且，，，求的值.
25．（2020·全国高一课时练习）已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：
（1）；
（2）.
26．（2020·首都师范大学附属中学高一期中）已知向量，，，求作和.
( http: / / www.21cnjy.com / )
27．（2020·全国高一课时练习）在梯形ABCD中，，分别是的中点，且.设，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式:.21cnjy.com
28．（2020·全国高一课时练习）已知为两个不共线的向量，若四边形满足，
（1）将用表示；
（2）证明四边形为梯形.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 向量的加法
一、单选题
1．（2020·全国高一）下列说法中正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若满足且与同向，则
D．对于任意向量，必有
【答案】D
【分析】
根据平行向量的定义即可判断A选项，根据相 ( http: / / www.21cnjy.com )等向量和单位向量的定义即可判断选项B，由于向量不能比较大小即可判断C选项，根据平面向量的平行四边形法则和三角形法则，即可判断D选项，从而得出答案.
【详解】
解：对于A，平行向量也叫共线向量，故A不正确；
对于B，单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确；
对于C，因为向量有方向，所以向量不能比较大小，故C不正确；
对于D，若与共线同向，则，
若与共线反向，则，
若与不共线，则根据向量的加法的平行四边形法则和三角形法则中，
得出在三角形中两边之和大于第三边，则，
综上可知，对于任意向量，必有，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查判断与向量相关的命题的真假，考查平行向量的定义、相等向量和单位向量的定义、以及平面向量的线性运算的应用，属于基础题．www.21-cn-jy.com
2．（2020·山东泰安市·新泰市第一中学高一期中）已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.
【详解】
.故选B.
【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3．（2020·山东滨州市·高一期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点的个数.
【详解】
分以下两种情况讨论：
①若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个；
②若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个.
综上所述，满足题中条件的点的个数为.
故选：D.
【点睛】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）在中，为中点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.
【详解】
， ，
，
，，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
5．（2020·衡水市第十四中学）如图，中，与交于，设，，，则为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长交于点，由于与交于，可知：点是的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
延长交于点；
( http: / / www.21cnjy.com / )
与交于，
点是的重心，
，，
又
，则为；
故答案选A
【点睛】
本题考查三角形重心的性质和向量平行四边形法则，属于基础题．
6．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高一月考）在平行四边形中，设，，，，则（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由向量加法有,再根据,结合条件可得答案.
【详解】
在平行四边形中,
故选：A.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查向量的加法法则和平面向量的基本定理，属于中档题.
7．（2020·镇原中学高一期末）已知为等边三角形，，设，满足，，若，则（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
运用向量的加法和减法运算表示向量，，再根据向量的数量积运算，建立关于的方程，可得选项.
【详解】
∵，，
∴
，∴.
故选：A.
8．（2020·威远中学校高一月考（理））点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】
点是所在平面上一点，满足，
则，可得，即，
等式两边平方并化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
9．（2020·盐城市大丰区新丰中学高一期末）在中，已知边上的中线长为2，，则（ ）21cnjy.com
A．12 B．-12 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】
根据和得到和
，相减得到答案.
【详解】
即
相减得到
故选：
【点睛】
本题考查了向量的应用，表示和是解题的关键.
10．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高一月考）若是边长为的等边三角形，向量，，，有下列命题：www-2-1-cnjy-com
①；②与垂直；③；④.
其中正确命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
根据向量模长可判断命题①的正误；计算与的数量积，可判断命题②的正误；利用平面向量加法法则可判断命题③④的正误.2-1-c-n-j-y
【详解】
，命题①正确；
，命题②正确；
，命题③正确；
，命题④错误.
因此，正确命题的个数为.
故选：D.
【点睛】
本题考查与平面向量相关命题真假的判断，涉及平面向量加法法则、垂直向量的表示以及向量模的概念，考查推理能力，属于中等题.21*cnjy*com
11．（2020·河北南宫中学高一开学考试）已知中，，E为BD中点，若，则的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
将中的向量，都转化为以为基底的向量表示，由此列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.
【详解】
由得，即，即，故，解得，故.
故选：C.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本小题主要考查平面向量的基本定理，考查方程的思想，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
12．（2020·四川绵阳市·高一期中）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值.
【详解】
为的中点，且为的中点，所以，，
，，.
因此，，故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
13．（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考（文））如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【分析】
根据图像，将表示成的线性和形式，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
根据图像可知，所以，故选A.
【点睛】
本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
14．（2020·浙江杭州市·高一期末）在梯形中，已知,,点在线段上，且,则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量加法的三角形法则求解.
【详解】
因为，
，
所以，
所以.
故选C.
【点睛】
本题考查向量加法的三角形法则.
15．（2020·四川遂宁市·高一期末）在△ABC中，点D在边BC上，若，则
A．+ B．+ C．+ D．+
【答案】C
【分析】
根据向量减法和用表示，再根据向量加法用表示.
【详解】
如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为，
所以，
故选C.
【点睛】
本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.
16．（2020·全国高一课时练习）点为所在平面内一点，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
由得OA和BC垂直，由得到OA是∠BAC的角平分线，综合即可判断△ABC的形状.
【详解】
,
所以.
AO在∠BAC的角平分线上，
所以AO既在BC边的高上，也是∠BAC的平分线，
所以△ABC是等腰三角形.
故选B
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则和减法法则的几何应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．（2020·山东省博兴第一中学高一开学考试）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由平面向量基本定理和向量运算求解即可
【详解】
根据题意得：，又，，所以.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.
18．（2020·全国高一课时练习）设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ）
A．9 B．8 C． D．7
【答案】A
【分析】
延长OC到D，使得OD=2OC, 以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,证明，即得的面积是面积的，所以的面积为9.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
延长OC到D，使得OD=2OC,
因为，
所以，
以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,
因为,
所以,
因为OC:AE=1:2,
所以OH:HE=1:2,
所以,
所以,
所以的面积是面积的，
所以的面积为9.
故选A
【点睛】
本题主要考查平面向量的几何运算和数乘向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．（2020·全国高一课时练习）向量﹒化简后等于（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的线性运算，化简即可求解.
【详解】
, 故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量的加法运算，注意首尾相接的向量相加等于第一个向量的始点指向最后一个向量的终点，属于中档题.
20．（2020·湖南岳阳市·岳阳一中高一开学考试）如图,在梯形中, , 为线段上一点,且，为的中点, 若（， ）,则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用向量的线性运算，化简求得，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得：
又因为，所以，
所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.21教育网
二、填空题
21．（2020·全国高一课时练习）分别为的边的中点，且，，给出下列结论:
①；②；
③；④.
其中所有正确结论的序号为__________.
【答案】①②③
【分析】
根据向量加法的几何意义以及共线向量定理，即可分别判断各个结论是否正确。
【详解】
如图，，①正确；
，②正确；
，③正确；
④，④不正确.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查向量加法的几何意义以及向量共线定理应用。
22．（2020·全国高一课时练习）已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
【答案】①
【分析】
直接利用平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义逐一判断即可.
【详解】
化简，①合题意；
由正六边形的性质，结合图可得向量、、与向量方向不同，
根据向量相等的定义可得向量、、与向量不相等，
②③④不合题意；
因为＋+ ，⑤不合题意；
－，⑥不合题意；
，⑦不合题意，故答案为①.
【点睛】
本题主要考查平面向量加法与减法的运算 ( http: / / www.21cnjy.com )法则以及相等向量的定义，属于基础题. 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等.
三、解答题
23．（2020·全国高一专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
【答案】①；② ；③
【分析】
根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.
【详解】
①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.
24．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高一月考）已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若是上一点，且，，，求的值.
【答案】（1）；（2）3
【分析】
（1）首先根据正弦定理得到，再由辅助角公式得到，即可求出的值.
（2）首先根据题意得到是中点，即，再平方即可得到，再利用余弦定理即可求出的值.
【详解】
（1）在中由正弦定理，
∴，
∵，得：，即
∵，∴，∴.
（2）∵，∴是中点，.
则，
∴代入得：，
即，∴或（舍）.
在中，
∴
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理，同时考查了向量的线性运算，属于中档题.
25．（2020·全国高一课时练习）已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）作出图形，求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明；
（2）求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明.
【详解】
如下图，由于为等腰直角三角形，可知.
由是斜边的中点，得.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在中，，于是，由，得；
（2）在中，，，
从而由，得.
【点睛】
本题考查有关向量模的等式的证 ( http: / / www.21cnjy.com )明，一般要利用向量加法和减法法则将向量表示出来，结合图形中边长的等量关系来得出证明，考查数形结合思想的应用，属于中等题.【版权所有：21教育】
26．（2020·首都师范大学附属中学高一期中）已知向量，，，求作和.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】详见解析
【分析】
根据向量加减法的三角形法则作图即可.
【详解】
由向量加法的三角形法则作图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由向量三角形加减法则作图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题.
27．（2020·全国高一课时练习）在梯形ABCD中，，分别是的中点，且.设，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式:.【出处：21教育名师】
【答案】,,
【解析】
【分析】
根据向量共线定理即可求出，由向量加法、减法的几何意义以及运算律即可求出
【详解】
如图，∵，且，
∴.
又∵，
∴.
∵
∴
.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查向量共线定理以及向量加法、减法的几何意义的应用。
28．（2020·全国高一课时练习）已知为两个不共线的向量，若四边形满足，
（1）将用表示；
（2）证明四边形为梯形.
【答案】（1）（2）详见解析
【分析】
（1）根据向量加法的几何意义（向量 ( http: / / www.21cnjy.com )求和的多边形法则）即可表示出；（2）根据梯形的定义，只需证明有一组对边平行且不相等，由向量共线定理证出两向量共线且不相等即可得证。
【详解】
（1）
（2）因为，即，
所以与同方向，且的长度为的长度的2倍，
所以在四边形中，，且，
所以四边形是梯形.
【点睛】
本题主要考查向量加法的几何意义以及向量共线定理的应用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
