6.4.1 平面几何中的向量方法 学案（含答案）

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第十一讲 平面几何中的向量方法
【学习目标】
1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.
2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.
3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
【知识总结】
知识点一　向量在平面几何中的应用
(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0) a＝λb x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.21世纪教育网版权所有
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式：cos θ＝＝ .
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.
知识点二　直线的方向向量和法向量
　如果知道直线的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．这时向量(a1，a2)称为这条直线的方向向量．21教育网
如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
即直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)；直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．21cnjy.com
【题型讲解】
类型一　用平面向量解决平面几何问题
例1　已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.21·cn·jy·com
证明　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)∵＝(－1,2)，＝(－2，－1)，
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2,1)，∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4.
由得∴点P的坐标为.
∴||＝ ＝2＝||，
即AP＝AB.
反思与感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.2·1·c·n·j·y
证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°【来源：21·世纪·教育·网】
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴⊥，即DP⊥EF.
方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
设正方形ABCD的边长为1，
AP＝λ(0<λ<)，
则D(0,1)，P，E，F.
∴＝，＝.
∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，
∴⊥，即DP⊥EF.
类型二　向量在解析几何中的应用
例2　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
解　(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
又∵＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥，∴·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
反思与感悟　利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
跟踪训练2　在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．
解　＝(3,4)，＝(－8,6)，
∠A的平分线的一个方向向量为
a＝＋＝＋
＝.
设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
∵∠A的平分线过点A，∴∥a，
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
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