6.4.2 平面向量在物理中的应用 学案（含答案）

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第十二讲 平面向量在物理中的应用
【学习目标】
1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.
2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.
3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．
【知识总结】
知识点一　向量的线性运算在物理中的应用
(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上．
(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．
知识点二　向量的数量积在物理中的应用
物理上力的做功就是力在物体前进方向 ( http: / / www.21cnjy.com )上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．21世纪教育网版权所有
知识点三　向量方法解决物理问题的步骤
用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
【题型讲解】
类型一　向量的线性运算在物理中的应用
例1　(1)在重300 N的物体上系两根绳子 ( http: / / www.21cnjy.com )，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．21教育网
解　如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，
∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
答　与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距 ( http: / / www.21cnjy.com )离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
解　建立如图所示的平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，21·cn·jy·com
设帆船行驶的速度为v，
则v＝v1＋v2.
由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，www.21-cn-jy.com
则帆船的行驶速度为
v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，
所以α＝30°，
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.
反思与感悟　利用向量法解 ( http: / / www.21cnjy.com )决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度．【来源：21·世纪·教育·网】
解　设a，b分别表示水流 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度．
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan ∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行．
类型二　向量的数量积在物理中的应用
例2　已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
∴合力F对质点所做的功为－102.
反思与感悟　物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
跟踪训练2　一个物体受到同一平面内的三个力 ( http: / / www.21cnjy.com )F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．21cnjy.com
解　以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，
F3＝(－3,3)，
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．
又因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．
即合力F所做的功为24 J.
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