6.1.1 平面向量的概念 学案（含答案）

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第一讲 平面向量的概念
【学习目标】
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．21教育网
知识点一　向量的概念及表示
(1)向量：具有大小和方向的量称为向量．只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量．
(2)有向线段：从点A位移到点B，用 ( http: / / www.21cnjy.com )线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．点A叫做有向线段的始点，点B叫做有向线段的终点．有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度．21cnjy.com
(3)以A为始点，以B为终边的有向线段记作，的长度记作||，如果有向量线段表示一个向量，通常我们就说向量.21·cn·jy·com
知识点二　相等向量
(1)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．
(2)如果＝a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a＝b.www.21-cn-jy.com
知识点三　向量共线或平行
(1)通过有向线段的直线，叫做向量的基线(如图)．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于b，记作a∥b.2·1·c·n·j·y
(2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行．www-2-1-cnjy-com
知识点四　位置向量
任给一定点O和向量a(如图)，过点O作 ( http: / / www.21cnjy.com )有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量．2-1-c-n-j-y
类型一　向量的概念
例1　下列说法正确的是(　　)
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量都是相等的
D．任意两个单位向量都相等
答案　A
解析　两个有共同起点，且长度 ( http: / / www.21cnjy.com )相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量模都是0，但方向不确定；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确．故选A.【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
跟踪训练1　下列说法正确的有________．(填序号)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量．
答案　③
解析　①错误．|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系；
②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上；21世纪教育网版权所有
③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
类型二　共线向量与相等向量
例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，且EF＝BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
反思与感悟　(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．21*cnjy*com
跟踪训练2　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
解　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个．【出处：21教育名师】
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个．【版权所有：21教育】
类型三　向量的表示及应用
例3　一辆汽车从A点出发向 ( http: / / www.21cnjy.com )西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．21教育名师原创作品
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解　(1)向量，，如图所示．
(2)由题意易知，与方向相反，故与共线．
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
反思与感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．21·世纪*教育网
跟踪训练3　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略)．
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