6.2.2 向量的减法运算 学案（含答案）

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第三讲 向量的减法运算
【学习目标】
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减运算．
【知识总结】
知识点一　向量的减法
(1)已知向量a，b(如图)，作＝a，作＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.21教育网
(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．21·cn·jy·com
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．www.21-cn-jy.com
知识点二　相反向量
(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点三　|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，
则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，
则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a， ( http: / / www.21cnjy.com )b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【题型讲解】
类型一　向量减法的几何作图
例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.【来源：21·世纪·教育·网】
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.www-2-1-cnjy-com
引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？
解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.
反思与感悟　在求作两个向量的差向量时，当两 ( http: / / www.21cnjy.com )个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
类型二　向量减法法则的应用
例2　化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容：两 ( http: / / www.21cnjy.com )向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．21cnjy.com
跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解　(1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
类型三　向量减法几何意义的应用
例3　已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解　∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
反思与感悟　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
(2)在公式||a|－|b||≤ ( http: / / www.21cnjy.com )|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.2·1·c·n·j·y
(3)在公式||a|－|b||≤|a－b| ( http: / / www.21cnjy.com )≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.21·世纪*教育网
跟踪训练3　在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，若|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是(　　)2-1-c-n-j-y
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案　B
解析　∵＝a＋b，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
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