6.3.1 平面向量基本定理 学案（含答案）

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第六讲 平面向量基本定理
【学习目标】
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
【知识总结】
知识点一　平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.21·cn·jy·com
(2)基底
把不共线向量e1，e2叫做表示 ( http: / / www.21cnjy.com )这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．www.21-cn-jy.com
知识点二　直线的向量参数方程式
(1)直线的向量参数方程式
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，
对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足 ( http: / / www.21cnjy.com )向量等式＝(1－t)＋t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式＝(1－t)＋t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．2·1·c·n·j·y
(2)线段中点的向量表达式
在向量等式＝(1－t)＋t中，若t＝，则点P是AB的中点，且＝(＋)，这是线段AB的中点的向量表达式．21·世纪*教育网
【题型讲解】
类型一　对基底概念的理解
例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
答案　B
解析　由平面向量基本定理可知，①④正确；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；【来源：21·世纪·教育·网】
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.
反思与感悟　考查两个向量是否能构 ( http: / / www.21cnjy.com )成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．21cnjy.com
跟踪训练1　若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案　D
解析　选项A中，两个向量为相反向 ( http: / / www.21cnjy.com )量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合．21世纪教育网版权所有
类型二　平面向量基本定理的应用
例2　如图所示，在 ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.www-2-1-cnjy-com
解　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
引申探究
若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解　取CF的中点G，连接EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴＝＝b，
∴＝＋＝a＋b.
又∵＝＝，
∴＝＝＝a＋b.
又∵＝＝＋＝＋＝＋，
∴＝＝b＋
＝a＋b.
反思与感悟　将不共线的向量作为基底表示其他 ( http: / / www.21cnjy.com )向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2　如图所示，在△AOB中 ( http: / / www.21cnjy.com )，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.21教育网
解　＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，则
＝＋m＝＋m(－)＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)
＝b＋n＝(1－n)b＋na.
∵a，b不共线，
∴即
∴＝a＋b.
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