2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数复习课件(共101张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数复习课件(共101张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
(共101张PPT)
第1章 三角函数复习课
北师大（2019）必修2
基础知识梳理与理解
学以致用
题型分类 深度剖析
内容索引
基础知识梳理与理解
1.周期变化与函数周期性
1.周期现象
(1)以相同间隔重复出现的变化叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔相同间隔，重复出现，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象.
2.周期函数
一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D、都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)、那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期
3.最小正周期
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
4.函数周期性的常用结论
对y=f(x)定义域内任一自变量x
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0)；
(2)若 ( + )=1/ ( ) 则T=2a(a>0)；
(3)若 ( + )= 1/ ( ) ,则T=2a(a>0).
5.函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a，x=b(a(2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a(3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b.0)(a2.任意角、弧度制及任意角的三角函数
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、
和 .
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是
S＝ .
(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
1.角的概念
一条射线
图形
正角
负角
零角
{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}
原点
x轴的非负半轴
(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
2.弧度制
正数
负数
0
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ rad,1°＝ rad，1 rad＝ .
π
(3)扇形的弧长公式：l＝ ，扇形的面积公式：S＝ ＝ .
|α|·r
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0).
三个三角函数的初步性质如下表：
3.任意角的三角函数
y
x
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sin α ___ ＋ ＋ － －
cos α ___ ＋ － － ＋
tan α _________________ ＋ － ＋ －
R
R
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(3)不相等的角终边一定不相同.( )
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
(5)若α∈(0， )，则tan α>α>sin α.( )
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
×
√
×
√
√
√
辨析
3.诱导公式
1.各角的终边与角α的终边的关系
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α
图示
与角α终边的关系
相同
关于原点对称
关于x轴对称
角 π－α －α ＋α
图示
与角α终边的关系 _________________
关于y轴对称
关于直线y＝x对称
2.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
tan α
tan α
－tan α
－tan α
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
4.三角函数的图像与性质
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，( ，1)，(π，0)， ，(2π，0).
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，( ，0)，
，( ，0)，(2π，1).
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(π，－1)
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图像
定义域 ____ ____ ______________________
值域
R
R
{x|x∈R且x≠ ＋kπ，
k∈Z}
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性 在_________________ _______上是增加的； 在_________________ ______上是减少的 在______________ ______上是增加的； 在______________ ______上是减少的 在____________
___________上是增加的
最值 当_______________ 时，ymax＝1； 当_______________ 时，ymin＝－1 当x＝ 时，ymax＝1； 当x＝___________ 时，ymin＝－1
(k∈Z)
(k∈Z)
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)
＋kπ)(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇偶性
对称中心 _____________ _______________ _______________
对称轴方程 ________________ _____________
周期
奇函数
偶函数
奇函数
(kπ，0)(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
2π
2π
π
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ ＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( )
(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin |x|是偶函数.( )
(6)若sin x> ，则x> .( )
×
√
×
×
√
×
5.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝___ f＝ ＝___
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x _____ _____ _____ _____ _____
ωx＋φ ____ ____ ____ ____ ____
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
0
π
2π
3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图像的步骤如下：
ω
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移 个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
√
(2)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像.( )
(3)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ .( )
×
×
×
(5)把y＝sin x的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图像对应的函数解析式为y＝sin x.( )
(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为 .( )
×
√
6.三角形的简单应用
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
题型分类 深度剖析
1.周期变化与函数周期性
1.(求值.周期未知)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+5)=f(x)，且当x∈(0，2)时， 2，则f(2021)=_.
解析由f(x+5)=f(x)知函数f(x)的一个周期为5、则f(2021)=f(5×404+1)=f(1)=2021.
2.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[-4，0]时f(x)=x+1，则f(25)=_.
【解析】由于函数f(x)是R上周期为8的偶函数，且当x∈[-4，0]时，f(x)=x+1，
因此，f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.
3.(配合奇偶性解不等式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式xf(x)>0在[-1，3]上的解集为()
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1)
解析：若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
:f(-x)=-x-1,f(x)是偶函数，:f(-x)=-x-1=f(x),即当x∈[-2，0]时，f(x)=-x-1，
若x∈[2.4]，则x-4∈[-2，0]
2.任意角、弧度制及任意角的三角函数
题型一 角及其表示
例1 (1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
答案
解析
当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，
α为第三象限角.
所以α为第一或第三象限角.故选A.
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α
用集合可表示为______________________.
答案
解析
题型二 弧度制
例2 (1)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是______.
答案
解析
设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，
(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
解答
当r＝5时，S的最大值为25.
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
题型三 三角函数的概念
命题点1 三角函数定义的应用
答案
解析
(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为
答案
解析
由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足
3.诱导公式
A.{1，－1,2，－2} B.{－1,1}
C.{2，－2} D.{1，－1,0,2，－2}
答案
解析
∴A的值构成的集合是{2，－2}.
答案
解析
－1
4.三角函数的图像与性质
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f(x)＝－2tan(2x＋ )的定义域是___________________.
答案
解析
答案
解析
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域.
题型二 三角函数的单调性
答案
解析
故选B.
答案
解析
函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
(1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
题型三 三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
答案
解析
①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图像知y＝|cos x|的最小正周期为π；
(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋ )的最小正周期T满足1答案
解析
2或3
又k∈Z，∴k＝2或3.
A.是奇函数且图像关于点( ，0)对称
B.是偶函数且图像关于点(π，0)对称
C.是奇函数且图像关于直线x＝ 对称
D.是偶函数且图像关于直线x＝π对称
命题点2 对称性
答案
解析
命题点3 对称性的应用
答案
解析
A.1 B.2 C.4 D.8
答案
解析
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N＋，∴ωmin＝2.
(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.
(2)求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义.
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
5.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
解答
根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝ .
数据补全如下表：
(2) 将y＝f(x)图像上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像.若y＝g(x)图像的一个对称中心为 ，求θ的最小值.
解答
因为函数y＝sin x图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0， ，π， ，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像.
(2)图像变换：由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
题型二 由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|< ，ω>0)的图像的一部分如图所示.
(1)求f(x)的表达式；
解答
观察图像可知A＝2且点(0,1)在图像上，
又∵ 是函数的一个零点且是图像递增穿过x轴形成的零点，
(2)试写出f(x)的对称轴方程.
解答
求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的最高点)为ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的最低点)为ωx＋φ＝ ；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
6.三角形的简单应用
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
命题点1 三角函数模型的应用
例1 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
答案
解析
A.5 B.6 C.8 D.10
由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
命题点2 函数零点(方程根)问题
答案
解析
(－2，－1)
故m的取值范围是(－2，－1).
学以致用
1．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析 因P点坐标为(－，－)，∴P在第三象限．
答案 C
2． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解 (1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
5.函数f(x)＝2sin xcos x是( )．
A．最小正周期为2 π的奇函数
B．最小正周期为2 π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．
答案 C
13.
第1章 三角函数复习课
北师大（2019）必修2
基础知识梳理与理解
学以致用
题型分类 深度剖析
内容索引
基础知识梳理与理解
1.周期变化与函数周期性
1.周期现象
(1)以相同间隔重复出现的变化叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔相同间隔，重复出现，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象.
2.周期函数
一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D、都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)、那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期
3.最小正周期
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
4.函数周期性的常用结论
对y=f(x)定义域内任一自变量x
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0)；
(2)若 ( + )=1/ ( ) 则T=2a(a>0)；
(3)若 ( + )= 1/ ( ) ,则T=2a(a>0).
5.函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a，x=b(a
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、
和 .
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是
S＝ .
(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
1.角的概念
一条射线
图形
正角
负角
零角
{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}
原点
x轴的非负半轴
(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
2.弧度制
正数
负数
0
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ rad,1°＝ rad，1 rad＝ .
π
(3)扇形的弧长公式：l＝ ，扇形的面积公式：S＝ ＝ .
|α|·r
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0).
三个三角函数的初步性质如下表：
3.任意角的三角函数
y
x
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sin α ___ ＋ ＋ － －
cos α ___ ＋ － － ＋
tan α _________________ ＋ － ＋ －
R
R
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(3)不相等的角终边一定不相同.( )
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
(5)若α∈(0， )，则tan α>α>sin α.( )
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
×
√
×
√
√
√
辨析
3.诱导公式
1.各角的终边与角α的终边的关系
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α
图示
与角α终边的关系
相同
关于原点对称
关于x轴对称
角 π－α －α ＋α
图示
与角α终边的关系 _________________
关于y轴对称
关于直线y＝x对称
2.六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
tan α
tan α
－tan α
－tan α
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
4.三角函数的图像与性质
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，( ，1)，(π，0)， ，(2π，0).
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，( ，0)，
，( ，0)，(2π，1).
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(π，－1)
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图像
定义域 ____ ____ ______________________
值域
R
R
{x|x∈R且x≠ ＋kπ，
k∈Z}
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性 在_________________ _______上是增加的； 在_________________ ______上是减少的 在______________ ______上是增加的； 在______________ ______上是减少的 在____________
___________上是增加的
最值 当_______________ 时，ymax＝1； 当_______________ 时，ymin＝－1 当x＝ 时，ymax＝1； 当x＝___________ 时，ymin＝－1
(k∈Z)
(k∈Z)
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)
＋kπ)(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇偶性
对称中心 _____________ _______________ _______________
对称轴方程 ________________ _____________
周期
奇函数
偶函数
奇函数
(kπ，0)(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
2π
2π
π
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ ＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( )
(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin |x|是偶函数.( )
(6)若sin x> ，则x> .( )
×
√
×
×
√
×
5.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝___ f＝ ＝___
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x _____ _____ _____ _____ _____
ωx＋φ ____ ____ ____ ____ ____
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
0
π
2π
3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图像的步骤如下：
ω
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移 个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
√
(2)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像.( )
(3)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ .( )
×
×
×
(5)把y＝sin x的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图像对应的函数解析式为y＝sin x.( )
(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为 .( )
×
√
6.三角形的简单应用
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
题型分类 深度剖析
1.周期变化与函数周期性
1.(求值.周期未知)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+5)=f(x)，且当x∈(0，2)时， 2，则f(2021)=_.
解析由f(x+5)=f(x)知函数f(x)的一个周期为5、则f(2021)=f(5×404+1)=f(1)=2021.
2.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[-4，0]时f(x)=x+1，则f(25)=_.
【解析】由于函数f(x)是R上周期为8的偶函数，且当x∈[-4，0]时，f(x)=x+1，
因此，f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.
3.(配合奇偶性解不等式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式xf(x)>0在[-1，3]上的解集为()
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1)
解析：若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
:f(-x)=-x-1,f(x)是偶函数，:f(-x)=-x-1=f(x),即当x∈[-2，0]时，f(x)=-x-1，
若x∈[2.4]，则x-4∈[-2，0]
2.任意角、弧度制及任意角的三角函数
题型一 角及其表示
例1 (1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
答案
解析
当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，
α为第三象限角.
所以α为第一或第三象限角.故选A.
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α
用集合可表示为______________________.
答案
解析
题型二 弧度制
例2 (1)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是______.
答案
解析
设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，
(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
解答
当r＝5时，S的最大值为25.
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
题型三 三角函数的概念
命题点1 三角函数定义的应用
答案
解析
(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为
答案
解析
由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足
3.诱导公式
A.{1，－1,2，－2} B.{－1,1}
C.{2，－2} D.{1，－1,0,2，－2}
答案
解析
∴A的值构成的集合是{2，－2}.
答案
解析
－1
4.三角函数的图像与性质
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f(x)＝－2tan(2x＋ )的定义域是___________________.
答案
解析
答案
解析
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域.
题型二 三角函数的单调性
答案
解析
故选B.
答案
解析
函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
(1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
题型三 三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
答案
解析
①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图像知y＝|cos x|的最小正周期为π；
(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋ )的最小正周期T满足1
解析
2或3
又k∈Z，∴k＝2或3.
A.是奇函数且图像关于点( ，0)对称
B.是偶函数且图像关于点(π，0)对称
C.是奇函数且图像关于直线x＝ 对称
D.是偶函数且图像关于直线x＝π对称
命题点2 对称性
答案
解析
命题点3 对称性的应用
答案
解析
A.1 B.2 C.4 D.8
答案
解析
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N＋，∴ωmin＝2.
(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.
(2)求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义.
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
5.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
解答
根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝ .
数据补全如下表：
(2) 将y＝f(x)图像上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像.若y＝g(x)图像的一个对称中心为 ，求θ的最小值.
解答
因为函数y＝sin x图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0， ，π， ，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像.
(2)图像变换：由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
题型二 由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|< ，ω>0)的图像的一部分如图所示.
(1)求f(x)的表达式；
解答
观察图像可知A＝2且点(0,1)在图像上，
又∵ 是函数的一个零点且是图像递增穿过x轴形成的零点，
(2)试写出f(x)的对称轴方程.
解答
求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的最高点)为ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的最低点)为ωx＋φ＝ ；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
6.三角形的简单应用
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
命题点1 三角函数模型的应用
例1 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
答案
解析
A.5 B.6 C.8 D.10
由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
命题点2 函数零点(方程根)问题
答案
解析
(－2，－1)
故m的取值范围是(－2，－1).
学以致用
1．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析 因P点坐标为(－，－)，∴P在第三象限．
答案 C
2． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解 (1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
5.函数f(x)＝2sin xcos x是( )．
A．最小正周期为2 π的奇函数
B．最小正周期为2 π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．
答案 C
13.
同课章节目录
- 第一章 三角函数
- 1 周期变化
- 2 任意角
- 3 弧度制
- 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
- 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
- 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象
- 7 正切函数
- 8 三角函数的简单应用
- 第二章 平面向量及其应用
- 1 从位移、速度、力到向量
- 2 从位移的合成到向量的加减法
- 3 从速度的倍数到向量的数乘
- 4 平面向量基本定理及坐标表示
- 5 从力的做功到向量的数量积
- 6 平面向量的应用
- 第三章 数学建模活动（二）
- 1 建筑物高度的测量
- 2 测量和自选建模作业的汇报交流
- 第四章 三角恒等变换
- 1 同角三角函数的基本关系
- 2 两角和与差的三角函数公式
- 3 二倍角的三角函数公式
- 第五章 复数
- 1 复数的概念及其几何意义
- 2 复数的四则运算
- 3 复数的三角表示
- 第六章 立体几何初步
- 1 基本立体图形
- 2 直观图
- 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 4 平行关系
- 5 垂直关系
- 6 简单几何体的再认识