沪科版九年级数学下24.6正多边形与圆(第1课时圆与正多边形) 课件(共26张PPT)

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沪科版九年级数学下册
第24章 圆
24.6 正多边形与圆
第1课时 圆与正多边形的关系
知识回顾
三条边相等，
三个角也相等（60度）。
正三角形
正方形
四条边都相等，
四个角也相等（90度）。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形定义
新知探究
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
正多边形命名
正多边形：
多姿多彩的正多边形:生活中的正多边形图案
几种常见的正多边形
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
四个内角不相等
四条边不相等
A
B
C
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连接这些点,得到正多边形吗
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
——多边形是正多边形
讨论
把一个圆分成n等份(n≥3),顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正n边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
怎样由圆得到多边形呢？
讨论
如图：将圆五等分，顺次连接等分点得圆内接正五边形ABCDE
A
B
C
D
E
如何证明这两个结论呢？
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形,
⊙O是五边形ABCD的外接圆.
我们以圆内接正五边形为例证明.
∵ AB= BC = CD =DE =EA
∴ BCE= CDA = 3AB
·
A
B
C
D
E
O
怎样由圆得到多边形呢？
讨论
如图：将圆五等分，分别过A、B、C、D、E作圆的切线，相邻切线交于P、Q、R、S、T，所得五边形为圆的外切正五边形ABCDE
A
B
C
D
E
把一个圆分成n等份(n≥3),过等分点做圆的切线，以切线交点为顶点的多边形得圆的外切正n边形．
P
Q
T
S
R
如何证明这两个结论呢？
P
Q
T
S
R
·
A
B
C
D
E
O
证明：连结OA,OB,OC
∴ ∠OAB= ∠ OBA= ∠ OBC= ∠ OCB
∵TP,PQ,QR分别是圆的切线
∴ ∠OAP= ∠ OBP= ∠ OBQ= ∠ OCQ
∴ ∠PAB= ∠ PBA= ∠ QBC= ∠ QCB
∵ A B= B C
∴ AB=BC
△ ∴ PAB≌△QBC
∴ ∠P= ∠ Q,PQ=2PA
同理∴ ∠P= ∠ Q = ∠S =∠R=∠T,
PQ==QS=SR=RT=TP=2PA
∵五边形PTRSQ的各边都与⊙O相切
∴ 五边形PTRSQ是⊙O的外切正五边形,
正多边形与圆的关系定理1
* 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
把一个圆分成n等份(n≥3),
* 过等分点做圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
A
B
C
D
E
例、求证：正五边形的对角线相等。
证明： 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形。
求证：DB=CE
新知应用
问题一：画一个半径为2 cm的正六边形
新知再探
正多边形画法
等分圆周方法画正多边形
用量角器画一个60°圆心角，它对着一段弧，在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，再顺次连接各分点，即可得出正六边形．
因为圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作出相等的圆心角就可以等分圆．
·
O
60°
A
B
C
D
E
F
方法1：
·
O
A
B
C
F
D
E
方法3：
作法：
1、在⊙O上任取一点A，以A点为圆心，OA为半径在⊙O上截取A B= B C=C D=D E=E F
2、顺次连AB,BC,CD,CE,EF,FA
六边形ABCDEF为正六边形
你能证明吗？
因为正六边形的边长等于半径，所以半径与边组成的三角形是等边三角形，在圆上依次截取等于半径的弦，就把圆六等分了，再顺次连接各分点，即可得出正六边形．
O
·
60°
A
B
C
D
E
F
方法2：
用量角器依次作出6个60°的圆心角，得到圆的6个等分点，再顺次连接各分点，即可得出正六边形．
问题二：怎样利用圆画一个正三角形呢？
O
·
A
B
C
D
E
F
圆心角60°
把圆六等分，隔一个取点顺次连接！
仔细考虑如何利用画正六边形的方法得到正三角形
问题三：怎样利用圆画一个正十二边形呢？
仔细考虑如何利用画正六边形的方法得到正十二边形
把圆六等分，取其中一段弧平分，以此平分点再把圆六等分，顺次连接各点
O
·
A
B
C
D
E
F
作出正六边形后，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……
用圆规和直尺作两条互相垂直的直径，就可以把圆4等分，从而作出正方形．
用尺规作图法画正四边形
·
O
A
C
B
D
新知应用
你能尺规作出正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
讨论
据此你还能作出哪些正多边形？
画正多边形的方法
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
①用量角器作出相等的n个圆心角，得到圆的n个等分点
②用量角器画图一个圆心角，在圆上依次截取与这个圆 心角所对的弧相等的弧
归纳
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正十二边形、正三角形……．
能力拓展
正五边形的画法
·
O
72°
用量角器作出相等的5个圆心角，每个角72°，得到圆的5个等分点
A
B
C
D
E
F
8
8
5.9
9.5
正五边形的近似画法
我国民间相传有正五边形的近似画法
画法口诀：
九五顶五九,八五两边分
5
5
画法口诀意义：
(以边长10的正五边形为例)
1、画线段CD,使得CD=10
2、作线段CD的中垂线AG,垂足为G，并截取GA=15.4，
G
3、在AG上GF=9.5，并过F作BE⊥AG,并使得FB=FE=8
4、顺次连接AB,BC,CD,DE,EA
（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形（ ）
（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形（ ）
（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形（ ）
（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形（ ）
1、判断：
课堂练习
（5）一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ）
×
2、求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多边形是正六边形。
A
B
C
D
E
F
课堂练习
K
I
J
H
G
L
已知：正六边形ABCDEF,G、H、I、J、K、L为各边的中点
求证：六边形GHIJKL为正六边形
提示：
证△LAG≌△GBH≌△HCI≌△IDJ≌ △JEK≌△KFL
课堂小结
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
1. 把一个圆分成n（n≥3）等份
（1）依次连接各分点所得到的多边形式这个圆的内接正n边形。
2. 等分圆的方法画正n边形。