沪科版九年级数学下24.4直线与圆的关系（第4课时切线长定理）课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第24章 圆
沪科版九年级数学下
第4课时 切 线 长 定 理
1、切线有哪些性质
A
l
o
根据切线的性质 , 遇到切点 , 连接半径 , 这是在圆中添加辅助线的常用方法之一
方法技巧
复习回顾
根据切线性质,我们经常做的辅助线是什么
(1)过圆心
(2)过切点
(3)垂直于切线
任意两个作为条件就能推第三个结论
A
l
o
复习回顾
2、圆的切线的判定方法有哪几种
(1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径,也就是“作垂直,证半径”。
(2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线，也就是“连半径,证垂直”。
（1）利用定义(当直线和圆有唯一公共点时)
（2）用圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆的半径
（3）切线的判定定理：
过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线
切线的判定方法常用辅助线
问题1：经过⊙O内一点Ｐ能作圆的切线吗？
问题2：过圆上一点呢？如何作？能作几条？
新知探究
？
讨论：
经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
l
o
l
o
P
P
不能做出切线
能做出切线，且只有1条
O
。
A
P
思考：假设切线PA已作出，A为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样的圆上
问题3、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？
新知探究
？
讨论：
经过圆外一点P已知⊙O的切线的方法
新知探究
？
讨论：
O
·
P
A
B
O
思考：由作图可知经过圆外一点P已知⊙O的切线可以作出几条切线？
能做出2条切线，
作法：
（1）、连结OP
（2）、以OP为直径作圆与已知⊙O交于A、B两点
（3）、作直线PA、PB
则直线PA、PB为所求切线
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
·
O
P
A
B
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
圆的切线长定义
新知解析
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。
A
P
O
。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明：
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论
？
讨论：
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
A
P
O
。
B
几何语言:
反思：
切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法
新知解析
切线长定理
A
P
O
。
B
M
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB
证明：
∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
新知再探
？
讨论：
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
CA=CB
证明：
∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB （SAS）
∴AC=BC
C
？
讨论：
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
新知再探
？
讨论：
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据.
例1、如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与过圆上E点的圆的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
C
· O
P
B
D
A
E
例题精讲
(1)解：连结OA、OE、OB
∵PA、PB分别切圆O于A、B
∴PA = PB=7cm
∵DA、DC分别切圆O于A、E
∴DA = DE
同理可得：CE = CB
∴△PCD的周长=PD+PC+DC
=PD+PC+DE+EC
=PD+DA+PC+CB
=PA+PB=14
例1、如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与过圆上E点的圆的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
C
· O
P
B
D
A
E
例题精讲
(2)解：连结OA、OE、OB
∵PA、PB分别切圆O于A、B
∴∠P+∠AOB=180°
∴OA⊥PA，OB ⊥PB
∴∠AOB=134°
∵DA、DE分别切圆O于A、E
∴∠ODA=∠ODE,DA=DE
△AOD≌ △EOD(SAS)
∴∠DOA=∠DOE
同理可得：∠EOCA=∠BOC
∵∠AOB= ∠AOE+ ∠EOB= 2(∠AOD+ ∠EOC)
∴ ∠COD= ∠AOD+ ∠EOC=134°÷2=67°
②
∠DOE=________
若∠P= α , 则
P
B
.
D
C
E
O
A
.
.
①
若PA=a，则△PDE
的周长为_______
拓展：
如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A，B，在AB 上任取一点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E
2a
1、如图, 直角梯形ABCD中 , ∠A=90° , AD//BC, E为AB的中点, 以AB为直径的圆与边CD相切于点F.试猜想CE , DE的位置关系以及CD 与 AD , BC的数量关系,说明理由.
A
B
C
D
E
F
解： CE⊥DE , CD=AD+BC. 连结EF
∵ ∠A= 90° ,
∴ AD与⊙E相切.
∵ CD与⊙E相切.
∴ ∠ FDE= ∠ADC,
AD=DF
1
2
同理得:∠ ECF= ∠BCD,
CF=BC
1
2
∵ AD//BC
∴∠ADC+∠BCD=180°.
∴ ∠EDF+ ∠ECF=90°.
∴ ∠DEC=90°.
∴ CE⊥DE
∴ CD=DF+CF=AD+BC.
∴ CE⊥DE ,CD=AD+BC
能力提升
变式(一) ：
如图, 直角梯形ABCD中 , ∠A=900 , AD//BC, E为AB上一点,且DE平分∠ADC, CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系 线段CD与AD, BC之间又有怎样的关系 说明理由.
A
B
C
D
E
F
解： (1)以AB为直径的圆与CD相切.
∵ DE平分∠ADC, CE平分∠BCD,且∠A= ∠B= 90° ,
过点E 作 EF⊥CD 于 F.
∴ 以AB为直径的圆与边CD相切.
∴AE=EF=BE= AB.
1
2
(2) CD=AD+BC.
∴CD=DF+CF=AD+BC.
∴ AD=DF
∴ AD与⊙E相切.
∵ ∠A= 90° ,
∵ CD与⊙E相切.
同理: BC=CF
能力提升
变式(二):
如图, 直角梯形ABCD中 , ∠A=900 , AD//BC, 且CD=AD+BC, 以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系,说明理由.
A
B
C
D
F
E
M
解： 以AB为直径的圆与CD相切.
取AB的中点E, 则点E即为以AB为直径的圆的圆心,过点E作 EF⊥CD 于 F,连接DE并延长交CB的延长线于点M
能力提升
易得：△AED≌ △EOD(ASA)
∴AD=MB
∵CD=AD+BC
∠ADE= ∠BME
∵CD=MB+BC=CM
∴∠CDE= ∠CMD
∴∠CDE= ∠ADE
∴△AED≌ △FDE(AAS)
∴∠DAE= ∠DFE=90°
AE=AF
∴以AB为直径的圆与CD相切.
如图，⊙O的直径AB=12 cm，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C. 设AD=x，BC=y，求y与x的函数关系式.
x
y
y-x
F
拓展提升1
解：过 D点作DF⊥BC，垂足为F ,
易得FC=y-x，DC=x+y，DF=12
由勾股定理得：
122 +（y-x）2 =（y+x）2
4xy=144
y=
(浙江省竞赛题）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B、C两点的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，求PA的长.
拓展提升2
60°
30°
a
2a
1.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
小 结：
A
P
O
。
B
E
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
。
P
B
A
O
（3）连结圆心和圆外一点
（2）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
常作辅助线方法
我们学过的切线，常有 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个