2022版新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册(共50张PPT)

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第二章 平面解析几何
2.1 坐标法
课标解读 课标要求 素养要求
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式. 2.进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标法”解决有关问题. 直观想象——能用两点间的距离公式及坐标法解决几何问题.
要点一 平面直角坐标系中的基本公式
1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式
如果点对应的①___________为（即的坐标为，记作，其中为的横坐标，为的纵坐标），且，则向量②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式 .
有序实数
1. 点之间的距离是多少？
提示.
2.平面直角坐标系内两点之间的中点坐标公式
若是线段的中点，则③____________，从而可以得到平面直角坐标标系内的中点坐标公式.
2. 已知，则线段的中点坐标是什么？
提示.
要点二 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为④___________，然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
代数问题
3. 对于一个平面图形,建立平面直角坐标系的原则是什么？
[答案] 提示 ①要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；
②若图形中有互相垂直的两条直线，则考虑将其作为坐标轴；
③考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴.
坐标法解决问题的基本步骤如下：
第一步，根据题中条件，建立恰当的坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步，进行有关代数运算；
第三步，把代数结果转化成几何关系.
探究点一 两点间距离公式的应用
例 已知的三个顶点分别为，，.求证：是等边三角形.
[答案] 证明 由两点间的距离公式得，
，
.
，故是等边三角形.
解题感悟
（1）判断平面多边形的形状或判断点之间的关系时，若已知点的坐标，一般转化为两点间的距离求解.
（2）根据边长判断三角形形状的结论主要有：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.
1. 已知，试判断的形状.
[答案] ，
，
.
所以，且三边长不满足勾股逆定理，所以为等腰三角形.
2. 已知点，在轴上找一点，使，求的值.
[答案] 设点，则有，
.
由，得，
解得，即点的坐标为，
.
探究点二 中点坐标公式及应用
例 （1） 点关于点的对称点的坐标为.
[答案] (6,-9)
[解析] 设所求对称点的坐标为，则解得故所求对称点的坐标为(6,-9).
（2） 已知平行四边形的三个顶点，，，求顶点的坐标.
[答案] 平行四边形的对角线互相平分，平行四边形对角线的中点坐标相同.
设点的坐标为，
则即.
解题感悟
中点坐标公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时，一般先根据几何概念提炼出“中点关系”，然后用中点坐标公式列方程或方程组求解.
已知平行四边形的两个顶点，对角线交点为，求顶点，的坐标.
[答案] 设点的坐标为，则由为的中点得解得
，解得
设D点的坐标为，则由为的中点得
解得故C点的坐标为(-10,6)，点的坐标为(-11,1).
探究点三 坐标法的应用
例 [2020山东滨州高二期末] 已知，求证：并求使等号成立的条件.
[答案] 如图所示，设，，，，，显然四边形是正方形.
由于，，所以点是正方形内部任意一点，则，，，
由平面几何知识可知，，
因此，又，
所以，
当且仅当，时取等号，
此时点既在上，又在上，即为正方形的中心，故.
解题感悟
（1）把不等式的左端利用两点间的距离公式转化为平面上两点间的距离是解题的关键，构造出正方形后利用平面几何的知识求解.
（2）建立坐标系的原则是“避繁就简”.
如图，和是在直线同侧的两个等边三角形，证明：.
[答案] 如图所示，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设和的边长分别为和，
则，，，
由两点间的距离公式，得，
，.
1. 已知，，，若点平分线段，则等于
( )
A. 6 B. 1 C. 2 D. -2
A
2. 已知，，且，则的值为( )
A. 4 B. -4或2 C. -2 D. -2或4
D
3. 已知的顶点，，，则的周长是( )
A. B. C. D.
C
4. 已知，，点在轴上，则的最小值为____.
5
1. [2021江西师大附中高二期中] 在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是( )
A. B.
C. D.
B
2. [2020江西南昌大学附属中学高二期中] 已知点，之间的距离是17，则的值是( )
A. 8 B. 6 C. D.
C
3. 已知三角形的三个顶点，，，则过点的中线长为( )
A. B. C. D.
B
4. [2021山东青岛高二月考] 已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是(3,4)，则AB的长为( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
D
5. 以、、为顶点的三角形是( )
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
C
6. 光线从点射到轴上，经x轴反射后经过点，则光线从到的距离为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 点关于x轴的对称点为，则光线从到的距离即的长，，故光线从A到的距离为.
7. 在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( )
A. (-3,1) B. (4,1) C. (-2,1) D. (2,-1)
A
[解析] 设第四个顶点为.当点的坐标为(-3,1)时，，，，.因为，，所以四边形不是平行四边形，A不正确；
当点坐标为(4,1)时，因为，所以且，故四边形是平行四边形，B正确；
当点坐标为(-2,1)时，因为，所以且，故四边形是平行四边形，C正确；
当点坐标为(2,-1)时，因为，所以且，故四边形四边形，D正确.故选A.
8. 已知点关于点的对称点是，则点到原点的距离是_______.
9. 在平面直角坐标系中，已知、、，平面内的点满足，则点的坐标为_______.
(3,1)
[解析] 设点的坐标为，由
可得
解得因此，点的坐标为(3,1).
10. 已知，，当取最小值时，实数的值是
12
[解析] ，当时，最小.
_______.
11. （2020江北重庆十八中高二期中）在平面直角坐标系中有，，，四点，为该平面内的动点，则到、、、四点的距离之和的最小值为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 依题意可知，，，，构成一个四边形.，当且仅当在对角线上时取得等号，，当且仅当在对角线上时取得等号，
所以，当且仅当为两条对角线的交点时取得等号.
故到、、、四点的距离之和的最小值为.
12. 已知点，点在坐标轴上，，则满足条件的点的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
[解析] 若点在轴上，设，由，得，
，解得或.
若点在轴上，设由，可得或.满足条件的点共有3个.
13. 等腰的顶点是，底边长边的中点是，则此三角形的腰长为_____.
[解析] .
在中，，即三角形的腰长为.
14. 已知的三个顶点，，.
（1） 判断的形状;
[答案] 由已知，，
，
.
，是以为直角顶点的直角三角形.
（2） 求的面积.
[答案] 由角为直角，得.的面积是5.
15. 已知是中边的中线，证明：.
[答案] 证明 取的中点为原点，边所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.
设，，（其中，则，，
16. [2020江西南昌十中高二月考] 函数的最小值为_____.
命题分析 本题考查求函数的最值问题和两点间的距离公式的应用，考查计算能力，难点在于代数式的几何意义的转化.
答题要领 根据题意，其几何意义为点到，两点的距离之和，求出点关于轴的对称点C，故，再根据距离公式求解即可.
详细解析 易知的几何意义为点到，两点的距离之和，
设点关于轴的对称点为，则其坐标为(1,-2)，
则，
当且仅当，，三点共线时，取得最小值，为.
方法感悟 本题属于两点间的距离公式的应用，函数的解析式中含有两个根号，利用函数的性质很难求解，对于此类问题要仔细观察代数式的结构特点，根据其几何意义，利用数形结合的思想方法求解.