(共53张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.4 点到直线的距离
课标解读 课标要求 素养要求
1.探索并学握点到直线的距离公式. 2.会求两条平行直线间的距离. 1.逻辑推理——会推导点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式.
2.数学运算——能利用点到直线的距离公式、两平行直线间 的距离公式解决问题.
要点一 点到直线的距离公式
设到直线的距离为，则.这称为点到直线的距离公式.
要点二 两平行直线间的距离
已知直线，则与之间的距离为_________.
直线外一点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值吗？
提示 是.
应用点到直线的距离公式的注意点
（1）求点到直线的距离时，要注意公式中的条件是直线的一般式方程．
（2）公式的形式：分母是直线的x,y项系数平方和的算术平方根，分子是用替换直线方程中所得实数的绝对值．
（3）在解决直线方程的问题时，要注意直线的斜率是否存在，以免漏解或错解．
（4）公式对任意的直线都成立，但当直线与轴、轴垂直时，可以简化公式，点到的距离；点到的距离.
探究点一 点到直线的距离
例
（1） 求在轴上且与直线的距离等于5的点的坐标；
[答案] 设点的坐标为，依题意有．
，即或，或
．故点的坐标为（10，0）或（-，0）.
（2） 求过点且与两点距离相等的直线方程．
[答案] 当斜率存在时，设直线方程为，即.
由题意得，解得或．直线方程为或．
当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．
所求直线方程为或．
变式在本例（2）中，若直线过点，且点到的距离是点到的距离的，求直线的方程．
[答案] 当斜率存在时，设直线的方程为，即.
由题意得，解得或，
所以直线的方程为或.
当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．
综上，直线的方程为或.
解题感悟
（1）利用点到直线的距离公式解决相关问题时，不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可用公式.
（2）求直线的方程一般用待定系数法，此时要考虑直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在.
（3）综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用.
1. 已知直线，若点到直线的距离相等，则实数的值为( )
A. -4 B. 4 C. -4或-2 D. 2或4
C
[解析] 两点到直线的距离相等，
，即，解得或.
2. 过点(2,1)的直线到两点的距离相等，则的方程为( )
A. B.
C. 或 D.
C
[解析] 当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由题意得，化简得或（舍去），解得，
直线的方程为，综上，直线的方程为或．
探究点二 两平行直线间的距离
例
（1） [2021山东聊城高二期末] 两直线与平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. 3 D. 6
C
[解析] 由于两直线与平行，则，解得，则直线的方程为，
因此，这两条直线间的距离.
（2） 与两直线和的距离相等的直线的方程是( )
A. B.
C. D. 以上都不对
A
[解析] 直线平行于直线，到两平行直线的距离相等的直线与两直线平行，∴可设所求的直线方程为，由题意可得，，解得，∴直线的方程为，故选A.
解题感悟
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.
当直线，且时，；
当直线，不全为0且时，.但必须注意两直线方程中的系数对应相等.
1. 若直线与平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 因为直线与平行，
所以，解得或，
当时，，此时与重合，不符合题意；
当时，，即，
此时与之间的距离，故选B.
2. 到直线的距离等于55的直线方程为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
D
[解析] 由题意可得所求直线与已知直线平行，故设所求直线的方程为，
，解得或，故所求直线的方程为或.
探究点三 与距离公式有关的最值问题
例 两条互相平行的直线分别过点，并且各自绕着点，旋转，如果两条平行直线间的距离为.
（1） 求的取值范围；
[答案] 设经过点和点的直线分别为，，
显然当时，和的距离最大，
且最大值为，
的取值范围为.
（2） 求取最大值时，两条直线的方程.
[答案] 由（1）知，，此时，
利用点斜式可求得两直线的方程分别为和.
解题感悟
（1）解决距离问题时要注意“数”与“形”之间的相互转化.
（2）两平行线间的距离可转化为两点间的距离或转化为点到直线的距离.
1. 已知分别是直线与上的动点，则的最小值为( )
A. 3 B. C. D.
D
[解析] 易知两平行线间的距离就是的最小值，可化为，
则.
2. 求过点且与原点距离最大的直线方程.
[答案] 易知过点且与垂直的直线到原点的距离最大，
，所求直线的方程为，即.
1. 点(1,-1)（1，-1）到直线的距离是( )
A. B. C. D.
A
2. 直线与直线的距离为，则的值为
( )
A. 9 B. 11或-9 C. -11 D. 9或-11
B
3. 点(0,1)到直线的距离的最大值是( )
A. 1 B. C. D. 2
D
4. 分别过点和点的两条直线均垂直于轴，则这两条直线间的距离是____.
5
直观想象——点到直线的距离的最值问题
若实数满足，求的最小值．
[答案] 解：，设，，
上式看作点与间的距离，
即点与直线① 上任意一点间的距离，
的最小值应为点到直线的距离．
②.
即的最小值为.
[解析] 审：本题主要考查点到直线的距离公式及用构造法求函数最值问题，易知点在直线上，要求的最小值的代数式中含有两个变量，所以可转化为点到直线的距离问题.
联：原式可化为，可看成点与点(1,1)间的距离，则问题转化为点(1,1)到直线的距离的最小值问题．
思：解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的几何特征加以解决．
1. [2021北京怀柔第一中学高二期中] 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是( )
A. 1 B. C. 2 D.
B
2. 若点到直线的距离不大于3，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
D
3. [2020山东聊城高二联考] 若两直线与平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
B
4. 与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线的方程是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
C
5. [2021山东潍坊一中高二月考] 正方形的中心为点，边所在的直线方程是，则边所在的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
6. 已知点，则的面积为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
A
7. [2020山东德州第一中学高二期中] （多选）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A. B.
C. D.
BC
[解析] .点到直线 的距离，故错误;
.点到直线的距离，故正确；C.点到直线的距离，故正确；
.点到直线的距离，故错误，
故选BC.
8. 点到直线的距离等于3，则_________.
或-3
9. [2020安徽六安城南中学高二开学考试] 与直线平行，且与它之间的距离为的直线方程是______________________________.
或
[解析] 设点为抛物线上任一点，则点到直线的距离
，当时，．
10. 抛物线上的点到直线的距离的最小值为____.
11. [2020浙江宁波高二期中] 已知，且满足，则的最小值为( )
A. 3 B. C. 1 D.
A
[解析] 设点，直线，直线，
由题意，得点在直线上，点在直线上，
所以，显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，即.
12. 两平行直线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间的距离的取值范围是( )
A. （0，） B. [0，5]
C. （0，5] D. （0，]
C
[解析] ，当时，与的最大距离为5，
因为两直线平行，所以两直线间的距离不为0，故选C.
13. 当______时，直线l与的交点到直线的距离最短，这个最短距离为_____.
[解析] 设与的交点为，则由
解得.
设到的距离为，则.
故当时，.
14. 如图，已知直线，现将直线向上平移到直线的位置，若，和坐标轴围成的梯形的面积为4，求的方程.
[答案] 设的方程为，则，
.
梯形的高就是点到直线的距离，故.
由梯形面积公式，得，
..
直线的方程是.
15. 已知三条直线，，，且与间的距离是.
（1） 求的值；
[答案] 因为直线的方程可化为,，且与间的距离是,所以，解得（舍去）.
（2） 能否找到一点，使点同时满足下列三个条件：
①点在第一象限；
②点到直线的距离是点到直线的距离的；
③点到直线的距离与点到直线的距离之比是.
若能，求点的坐标；若不能，说明理由.
[答案] 设点的坐标为，，
若点满足条件②，则点在与平行的直线上，
又，
所以，解得或，故有或；若点满足条件③，由题意及点到直线的距离公式，可得，化简，
可得，故有或，
即或（舍去）.
联立和，
解得舍去.
联立和，
解得
故点的坐标为，故能找到一点同时满足这三个条件.
16. 已知是等腰三角形的底边上一点（不与重合），于，于，用解析法证明为定值．
[答案] 证明 过点作，垂足为，以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，其中为定值，为参数，，
所在直线的方程为，
所在直线的方程为，
由点到直线的距离公式得．
，
为定值．
[解析] 命题分析 本题考查点到直线的距离公式和应用解析法解决平面图形问题，即证明等腰三角形底边上一点到两腰所在直线的距离的和为定值.
答题要领 建立平面直角坐标系，写出各边所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求出和．
方法感悟 解析法（坐标法）即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，用处理代数问题的方法解决问题，这种方法是联系平面解析几何的纽带．求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后化简为定值．(共44张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.2 直线的方程
第3课时 直线的一般式方程
课标解读 课标要求 素养要求
根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的一般式方程. 1.数学抽象——能快速掌握直线的一般式方程.
2.数学运算——能够应用直线的一般式方程解决有关问题.
要点一 直线的一般式方程
平面直角坐标系中直线的方程,要么可以写成的形式,要么可以写成①_____________的形式,因此可以看出,所有的直线方程都可以写成的形式,其中A,B,C都是实常数,而且A与B②_____________（即）.式一般称为直线的一般式方程.
不同时为零
要点二 方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的几何意义
1.方程的几何意义
关于的二元一次方程表示的一定是直线,这是因为在式中,如果,则方程可以化为=,它表示的是斜率为③______且截距为的直线;如果,则由与不同时为零可知,从而方程可以化为,它表示的是斜率④_________且过点的直线.
不存在
2.直线的法向量
如果直线的一般式方程为,那么为直线的一个⑤_________.
法向量
1. 点斜式方程,斜截式方程,两点式方程,截距式方程能否转化为的形式
提示能,分别是,,,.
2. 一般式方程转化为点斜式方程时,需满足什么条件 转化后的方程是什么
提示需满足,方程为.
3. 当时，直线在轴上的截距分别是什么？
提示当时，直线在轴上的截距分别为，.
直线一般式方程的结构特征
（1）方程是关于的二元一次方程.
（2）方程中等号的左侧自左向右一般按,常数的先后顺序排列.
（3）的系数一般不为分数和负数.
（4）虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
探究点一 直线的一般式方程
例
（1） 如果,那么直线不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
D
[解析] 因为,所以直线的斜率,
又因为,所以直线在轴上的截距,
所以直线不经过第四象限,故选D.
（2） 已知直线的一个法向量为,且经过点,则直线的一般式方程为_______________________.
[解析] 因为直线的一个法向量为,所以设直线方程是,
又因为直线经过点,所以,解得,
所以直线的一般式方程为.
解题感悟
（1）求直线的一般式方程的方法：
①先求出直线的其他形式的方程,再转化为一般式方程.
②利用直线的方向向量或法向量设出直线的一般式方程,再根据直线所过的点的坐标求出一般式方程.
（2）在直线方程中,令可得直线在y轴上的截距;令可得直线在轴上的截距.若确定直线斜率存在,则可将一般式化为斜截式.
已知直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的一般式方程.
[答案] 由题意得,
令,得,令,得,
因为直线在两坐标轴上的截距相等,
所以,即,解得或,故直线l的一般式方程为或.
探究点二 直线方程的应用
例 若直线的方程为,则该直线过定点_________．
(-2,1)
[解析] 直线的方程可化为k(x＋2)－y＋1＝0,令解得,则直线过定点(-2,1)．
变式在本例中,设直线与轴、轴的交点分别为点,当时,求三角形（为坐标原点）面积的最小值.
[答案] 由题意可得,
,所以三角形的面积
当且仅当,即时等号成立.所以三角形面积的最小值为4.
解题感悟
（1）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积时,要注意其面积为在两坐标轴上的截距的绝对值的积的,其易错点为漏掉绝对值.
（2）由直线的一般式方程求其所过的定点,方法有两种,一是化为点斜式求解;二是利用解方程组求解.
1. 已知直线的方程为,直线与轴,轴分别交于两点,则的面积为____．
6
[解析] 直线的方程为,令,得,令,得,
故.
2. 取任意实数时,直线恒经过定点,则点的坐标为_________.
(1,-1)
[解析] 直线方程可整理为
令解得即定点的坐标为(1,-1).
探究点三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围
例
（1） 若方程表示一条直线,则实数满足( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 因为方程表示一条直线,
所以不能同时成立,所以.
（2） 已知直线,若直线不经过第四象限,求的取值范围.
[答案] 直线方程可化为,
当时,要使直线不经过第四象限,则有解得;
当时,直线方程为,符合题意.
综上可知,的取值范围是.
解题感悟
已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤：
1. 直线：的倾斜角大于,则的取值范围是____________________.
[解析] 当时,直线的倾斜角为,符合要求;
当时,直线的斜率为,则或者,解得或者或者.
综上可知,实数的取值范围是.
1. 直线的方程是,则直线经过( )
A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限
C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限
A
2. 直线过点(1,-1),则直线的斜率等于( )
A. -3 B. 3 C. D.
D
3. 已知直线经过点(-1,2),且是直线的一个法向量,则直线的一般式方程为________________.
数学建模——直线方程的实际应用
1. 为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪,其中,点在线段上,且,经测量,.如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.
[答案] 如图,以边所在直线为轴,边所在直线为轴建立平面直角坐标系,则 (0,20), (30,0).
所以直线 的方程为 ,即 ,设
则矩形 的面积
化简得 ,配方,得
易得当 时, 最大,最大约为 .
素养探究：本题考查直线方程的实际应用,解答本题要先建立恰当的平面直角坐标系,求得直线的方程,再设出点的坐标,由矩形面积公式建立模型,然后利用二次函数的基本性质求其最值,在此过程中体现了数学建模的核心素养.
1. [2021山东济南高二期中] 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
A
2. [2021山东聊城一中高二月考] 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. 3 B. 6 C. D.
D
3. [2020安徽宿州高二期中] 直线过定点( )
A. (2,1) B. (-1,2) C. (-1,1) D. (1,1)
D
4. [2020山师附中高二期中] 过点(1,0)且一个法向量为的直线方程是( )
A. B.
C. D.
D
5. 已知直线的方程为,则直线( )
A. 恒过点(-2,0)且不垂直于轴
B. 恒过点(-2,0)且不垂直于轴
C. 恒过点(2,0)且不垂直于轴
D. 恒过点(2,0)且不垂直于轴
D
6. 若,则直线可能是( )
A.
B.
C.
D.
C
7. 已知直线的斜率为5,且,则该直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 由知直线的斜率为,在轴上的截距为,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,,又,.
8. 已知直线在轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,则的值分别为________.
-3,-1
9. 已知两条直线和都过点,则过两点的直线的方程为_________________.
[解析] 由题意知易知两点都在直线上,即为所求的直线方程.
10. 将直线绕坐标原点逆时针旋转,再向下平移1个单位长度后所得直线的方程为_________________．
[解析] 直线,即的倾斜角为,将该直线绕原点逆时针旋转后所得到的直线的倾斜角为,斜率,其方程为
,再向下平移1个单位长度后所得直线的方程为,即.
11. 直线：：在同一平面直角坐标系中的图形大致是( )
A.
B.
C.
D.
C
[解析] 将与的方程化为斜截式得,根据斜率和截距的符号可得选C.
12. [2021山东烟台高二期末] 过点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 设直线的斜率为,倾斜角为,直线的斜率为,则,则,所以,所以直线的方程是,即.
13. 已知直线它们在同一坐标系中的位置如图所示,则( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 可化为可化为，
由题图知故且,故选C.
14. 已知的一个顶点为,斜边所在直线的一个方向向量为,则边上的高所在直线的方程为_________________.
[解析] 由题意可得,为边上的高所在直线的一个法向量,故设直线的方程为又直线过点.
所求直线的方程为.
15. 已知直线的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为37,求直线的方程.
[答案] 设直线的方程为,
令,则,所以直线与轴的交点为;
令,则,所以直线与轴的交点为.
根据勾股定理得所以.所以直线的方程为或.
16. 设直线的方程为.
（1） 若在两坐标轴上的截距相等,求的方程;
[答案] 依题意知,直线在两坐标轴上的截距都存在,,
令,得,令,得,则,解得或.
当时,直线的方程为;
当时,直线的方程为.
综上所述,直线的方程为或.
（2） 若不经过第一象限,求实数的取值范围．
[答案] 直线方程可化为,
所以斜率,截距为,
则解得,
所以实数的取值范围为.(共48张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.3 两条直线的位置关系
第2课时 两条直线的垂直
课标解读 课标要求 素养要求
能根据斜率判定两条直线垂直. 1.数学抽象、逻辑推理——会推导两直线垂直的充要条件.
2.数学运算——能应用两直线垂直解决有关问题.
要点一 有斜率的两条直线垂直的充要条件
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线，，用类似方考察它们的法向量或倾斜角之间的关系，可得.
要点二 两条直线垂直的一般形式
设直线，，则.
1. 如果两条直线与垂直，那么它们的斜率之积是否一定为-1？
提示，也有可能会一条斜率为0，另一条斜率不存在.
2. 直线与垂直吗？
提示 垂直.
直线垂直条件的应用
（1）过点且与垂直的直线可表示为；
（2）与直线垂直的所有直线可以表示为；
（3）与直线垂直的所有直线可以表示为.
探究点一 两直线垂直的判定
例 分别判断下列两直线是否垂直.
（1） 直线经过点，，直线经过点，；
[答案] 由题意知直线的斜率不存在，直线的斜率为0，所以与垂直.
（2） 直线的斜率为，直线与直线平行.
[答案] 由题意知直线的斜率，直线的斜率，，所以直线与不垂直.
变式在本例（2）中，若直线，的法向量分别是，，试判断直线，是否垂直.
[答案] 因为，所以直线与垂直.
解题感悟
（1）若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：判断.
（2）若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：判断.
（3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断.
1. 下列四组直线中，互相垂直的一组是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
B
[解析] 易知两直线垂直应满足斜率之积为-1.A选项，斜率分别为-2和2，故错误；B选项，斜率分别为-2，12，故正确；C选项，斜率分别为-12，1，故错误；D选项，斜率分别为-1，-1，故错误，故选B.
2. 设，，分别是内角所对边的边长，则直线与的位置关系是( )
A. 平行 B. 重合
C. 垂直 D. 相交但不垂直
C
[解析] 直线的斜率为，直线的斜率为，中，，其中为三角形的外接圆半径，斜率之积等于，故两直线垂直，故选C.
探究点二 根据两直线垂直求参数
例 [2021山东潍坊高二期中] 已知直线与直线垂直，则实数( )
A. 12 B. 0或12 C. 0或23 D. 23
C
[解析] 由题意得，解得或.
解题感悟
根据两直线垂直求参数的方法主要利用两直线垂直的充要条件，注意不要和两直线平行的充要条件相混淆.
1. [2020江苏常州北郊高级中学高二期中] 已知直线，若，则的值为( )
A. -6 B. -3 C. 1 D. 1或-6
B
[解析] ，，解得.
2. [2020上海杨浦复旦附中高二期中] “”是“直线和直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
[解析] 由直线和直线垂直，
可得，即，解得，
是直线和直线垂直的充分不必要条件.
探究点三 根据两条直线垂直求直线的方程
例
（1） 过直线与的交点，并与垂直的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 由解得所以交点为(1,1)，
因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率，
所以所求直线的方程为，即，故选B.
（2） 已知中，，高，所在直线的方程分别为，，则边所在直线的方程是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由题意可知高，所在直线的斜率分别为，，故边AB和所在直线的斜率分别为5，-2，
边和所在直线的方程分别为，，
整理为一般式可得，.
联立解得即， 同理，联立解得即， 边 所在直线的方程为 ，即 .
解题感悟
（1）与直线垂直的直线方程可设为（为参数）.
（2）与直线平行的直线方程可设为；与它垂直的直线的方程可设为.
1. 以，为端点的线段的垂直平分线的方程是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 由题意可得，则其垂直平分线的斜率，
易知线段的中点M的坐标为(-2,2)，
所以垂直平分线的方程是，整理为一般式为.故选B.
2. 已知点，，则经过原点且垂直于的直线方程是( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 根据题意得，则所求的直线的斜率，则所求的直线方程为，即，故选A.
1. 直线和直线的位置关系是( )
A. 重合 B. 垂直
C. 平行 D. 相交但不垂直
B
2. 若直线与直线垂直，则的值为( )
A. -1 B. C. D. -1或
D
3. 若直线过点(-1,2)，且与直线垂直，则的方程是( )
A. B.
C. D.
A
4. 已知在中，，，，则边上的高所在直线的方程为________________.
数学建模——应用直线的垂直解决实际应用问题
在路边安装路灯，已知灯柱的高为米，路宽为23米，灯杆与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，如图.请你建立适当的平面直角坐标系，解决以下问题：
（1） 当米，米时，求灯罩轴线所在直线的方程；
[答案] 以灯柱底端点为原点，灯柱所在直线为轴，路宽所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为(23,0)，因为灯杆与灯柱成角，所以的倾斜角为，
则点的坐标为，即．
因为，所以，当米时，
点的坐标为，
则灯罩轴线的方程为，
即.
（2） 当米且灯罩轴线正好通过道路路面的中线时，则灯杆的长为多少米？
[答案] 由题意知点D的坐标为(11.5,0).
可求得，由的斜率，解得米，即灯杆长为2.5米.
素养探究：本题考查直线垂直的实际应用，解答本题首先建立平面直角坐标系，则可得，的坐标及直线的斜率，从而可得直线的斜率，最后求得直线的方程，再利用可求得的长，在此过程中体现了数学建模的核心素养.
1. [2020湖北武汉外国语学校高二期中] 已知直线与，则这两条直线的位置关系是( )
A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定
C
2. 已知的三个顶点，，，则其形状为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
A
3. [2020重庆第七中学高二月考] 过点(3,2)且与直线垂直的直线方程是( )
A. B.
C. D.
D
4. 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，则与( )
A. 垂直 B. 平行
C. 重合 D. 相交但不垂直
A
5. 若直线与直线垂直，则它们的交点坐标为
( )
A. (-1,-3) B. (-2,-1)
C. D. (-1,-2)
B
[解析] 由两直线垂直可得，所以，所以第一条直线的方程为，又垂足在直线上，所以代入得，再把点(1,-2)代入另一方程可得，所以.
6. [2021山东临沂卧龙中学高二期末] 已知直线与垂直，垂足为，则的值为( )
A. -4 B. 20 C. 0 D. 24
A
7. （多选）已知不共线的四点，，，，则下面四个结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
ABD
[解析] 易知，，
，中结论正确；
，，，中结论正确；
，，
，，中结论正确.故选ABD.
8. [2021上海通河中学高二期中] 直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数_____．
-2
9. 已知点，，，点在轴上，则当点的坐标为_________时，.
(-9,0)
[解析] 设点，因为，所以直线的斜率存在.则由知，，所以，解得.则的坐标为(-9,0).
10. 动点在直线上运动，为定点，当最小时，点的坐标为__________．
[解析] 易知当线段与直线垂直时，最小，
直线的斜率为-1，其垂线的斜率为1，
过点与直线垂直的直线方程为，
即，
由解得，∴当最小时，点的坐标为.
11. 若，，，且，分别是直线，的法向量，则，的值分别可以是( )
A. 2，1 B. 1，2 C. -1，2 D. -2，1
A
[解析] 由题意得，，，，，
选项A满足，选项B，，均不满足.
12. 已知点，，点在直线上，若使取得最小值，则点的坐标是( )
A. (1,-1) B. (-1,1)
C. D. (-2,2)
C
[解析] 设点关于直线的对称点为，则解得所以，则直线的方程为，与联立，解得
所以点.
13. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.
（1） 求顶点的坐标；
[答案] 设点的坐标为.
，，.
又点在直线上，
.由解得点的坐标为(4,3).
（2） 求直线的方程.
[答案] 设点的坐标为，则，边的中点的坐标为，
，即.
由解得点的坐标为，
直线的方程为，即.
14. 已知四边形的顶点，，，，求使四边形为直角梯形的和的值.
[答案] 当时，如图（1）所示，四边形为直角梯形，
且，
易求得，.
当时，如图（2）所示，
∵四边形为直角梯形，且， ， ，
∴解得，.
综上所述，或，.
15. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点（点与点，不重合），求面积的最大值.
[答案] 动直线，令，解得，此直线过定点.
动直线，即，令，，解得 ， ，∴此直线过定点 .
时，两条直线分别为，，交点，； 时，两条直线的斜率分别为 ， ， ，
两条直线垂直.
设 ， ， ， ，又 ， ，
当且仅当 时等号成立， .
综上可得， 面积的最大值是 .
[解析] 命题分析 本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力.
答题要领 首先根据两直线的方程求出定点，的坐标，然后判断两直线的位置关系并确定的形状，进而求出其面积的最大值.
方法感悟 求平面图形面积的最大值要首先确定平面图形的形状，求出面积的表达式，以便于利用基本不等式或函数的性质求最值.(共51张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.3 两条直线的位置关系
第1课时 两条直线的相交、平行与重合
课标解读 课标要求 素养要求
1.能根据斜率判定两条直线平行. 2.能用解方程组法求两条直线的交点坐标. 1.数学抽象、逻辑推理——会推导两直线相交、平行或重合的充要条件.
2.数学运算——能通过求两直线的交点坐标，判断两直线的位置及应用两直线平行解决有关问题.
要点一 两条直线的相交、平行与重合
若直线，，则：
与相交；
与平行且①__________；
与②_______且.
重合
要点二 用直线的法向量表示两条直线的位置关系
因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，不难看出：
（1）与相交（即只有一个交点）的充要条件是与③_________，即；
（2）与平行或重合的充要条件是与④_______， 即.
不共线
共线
1. 如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
提示 不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等.
2. 设直线，的方向向量分别是，.
（1） 直线，相交的充要条件是什么？
.
（2） 若，则直线一定成立吗？
提示不一定，直线与可能平行，也可能重合.
在直线的一般式方程条件下，两直线相交、平行与重合的充要条件
设直线，直线，则：
（1）或．
（2）与重合的充要条件是，且.
（3）与相交的充要条件是.
探究点一 两条直线位置关系的判定
例 判断下列各组中两条直线的位置关系.
（1） ，；
[答案] 把化为，则，，；
易知，，.因为，所以与相交.
[答案] 易知，，；把化为，所以，，.
因为，所以与重合.
（3） ，；
（2） ，；
[答案] 把化为，把化为，
则，，；，，.
因为，所以与平行.
（4） ，
[答案] 把化为，把化为，
则，，；，，，
因为，而，所以与平行.
解题感悟
两条直线相交、平行或重合的四种判定方法：
（1）把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断；
（2）把直线方程都化为一般式，利用方程中，的系数之间的关系判断；
（3）解由直线的方程组成的方程组，利用方程组的解的个数判断；
（4）求两条直线的法向量，利用两个法向量的关系进行判断.
1. （多选）下列各直线中，与直线相交的是( )
A. B.
C. D.
CD
[解析] 直线的斜率为2，与直线相交的直线的斜率不能等于2，，中直线的斜率均为2；，中直线的斜率为-2，故选CD.
2. 若直线，的法向量分别为，，则直线，的位置关系为( )
A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合
D
[解析] 由题意得，所以，故直线与平行或重合.
探究点二 两直线平行的应用
例
（1） 已知直线，，若，则的值为( )
A. -7 B. -1 C. -7或-1 D. -2或4
A
[解析] 由题意得解得.
（2） 与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 设直线交轴于点，令，则，.
设所求直线为，
把代入得，
，所求直线的方程为.
变式在本例（2）中，把条件“与直线平行”改为“一个法向量为”，其余条件不变，求直线的方程.
[答案] 设直线交轴于点，令，则，，
所求直线的一个法向量为，可设其方程为，
把代入到方程中得，，
则所求直线的方程为.
解题感悟
（1）求与直线平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可设方程为，然后通过待定系数法求参数的值.
（2）求与直线平行的直线的方程时，可设方程为，代入已知条件求出的值即可.
（3）对于斜率为0或不存在的直线要单独讨论.
1. 过直线，的交点且与平行的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由解得
即两直线，的交点为(-4,-1).设与平行的直线的方程为，
则，解得，故所求直线的方程为.
2. 已知两条直线，，，则直线的一个法向量是( )
A. B. (-1,1) C. (-1,-1) D.
B
[解析] 时，不平行于，.
，，
解得，直线为，
直线的斜率为1.
故直线的一个法向量为(-1,1).
探究点三 两直线的交点问题
例
（1） 两直线和的交点在轴上，则的值是( )
A. -24 B. 6 C. D. 24
C
[解析] 因为两条直线和的交点在轴上，
所以设交点为，所以消去，可得.
（2） 直线与的交点在第四象限，则的取值范围为( )
A. (-6,-2) B.
C. D.
C
[解析] 直线与的交点在第四象限，
，联立方程得解得由题意知解得，即k的取值范围为.
解题感悟
求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
（1）若一条直线的方程是斜截式，常应用代入消元法解方程组.
（2）若直线的方程都是一般式，常应用加减消元法解方程组.
1. 直线与直线的交点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
B
[解析] 由题意联立方程得解得
即两直线的交点坐标为(-1,1)，在第二象限，故选B.
2. 若三条直线，和相交于一点，则( )
A. -2 B. C. 2 D. 12
B
[解析] 联立得解得即直线与直线交于点， 将点的坐标代入中，得，解得.
1. 直线与直线重合的条件是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
D
2. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为( )
A. -8 B. 0 C. 2 D. 10
A
3. 直线与直线的交点坐标是________.
4. 直线过点，且与过点，的直线平行，则直线的方程为_______________．
数学运算——直线系方程的应用
求过两直线和的交点且与直线平行的直线的方程.
[答案] 设所求直线的方程为，即.（*）
因为所求直线与直线平行，所以
解得.
代入（*）式，得，即.所以所求直线的方程为.
素养探究：求过两条直线交点的直线方程，可设过两条直线与 的交点的直线系方程为（不包括的方程），再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.体现了数学运算的核心素养.
1. 下列说法中正确的有( )
①平行的两条直线的斜率一定存在且相等
②平行的两条直线的倾斜角一定相等
③只有斜率相等的两条直线才一定平行
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
B
2. 直线与直线的位置关系是( )
A. 相交 B. 重合 C. 平行 D. 无法判断
C
3. 过点和的直线与直线的位置关系是
( )
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
B
4. [2021湖南长沙长郡中学高二期末] 直线与直线平行，则的值为( )
A. B. 2 C. -2 D. -1
B
5. 顺次连接点，，，所构成的图形是( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对
A
6. “”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
[解析] 由方程组得两直线的交点坐标为.
因为，所以，，所以交点在第二象限.
7. 当时，直线与直线的交点在
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
B
8. 若直线，，三线共点，则的值为______.
-
9. 经过直线和直线的交点，且平行于直线的直线的方程为___________．
[解析] 过两直线交点的直线的方程可设为，
即，因为该直线与直线平行，所以，即，故所求直线的方程为.
10. 若直线与平行，且过直线和的交点，则____，____.
3
4
[解析] 由方程组得两直线的交点坐标为(1,2)，
将(1,2)代入方程中，得①，
因为直线平行于直线，所以②，③. 由①②③，得 ， .
11. 若直线，，不能构成三角形，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由解得即直线与的交点为，
因为直线，，不能构成三角形，
所以过点，或分别与、平行，
若过点，则，即；
若，则，即；
若，则，所以.综上，的可能取值为，，.
12. 设，，分别是中角，，所对边的边长，则直线与的位置关系是( )
A. 平行 B. 重合 C. 相交 D. 平行或重合
D
[解析] 因为，，所以两条直线的斜率存在.
两条直线的方程可化为，，
由正弦定理得.
当三角形为等边三角形时，，此时两直线平行；
当时，时，，此时两直线重合.
13. （多选）已知直线，，当，满足一定的条件时，它们的图像可以是( )
A.
B.
C.
D.
AC
[解析] 直线可化为，其斜率为，在y轴上的截距为.
直线可化为，斜率为，在轴上的截距为.
选项A，当时，直线与平行，故A正确.
选项B，由直线在轴上的截距可得，
而由直线的斜率为，可得，故B不正确.
选项C，直线的斜率，直线在轴上的截距，直线 在 轴上的截距 ，直线 的斜率 ，故C正确.选项D，两直线的斜率 ， .由直线 在 轴上的截距可得 ，故D不正确.
14. 已知两直线和.试确定，的值，使
（1） 与相交于点；
[答案] 直线与相交于点，
∴，.
[答案] 由，得.
由得，
即当，或当，时，.
（2） .
[答案] 设平行四边形为，如图，边所在直线的方程为，边所在直线的方程为.
由 得顶点 .
因为 是对角线 的中点，且 的坐标为(3,3)，
15. 已知平行四边形的两邻边所在直线的方程是和，对角线的交点是，求另外两边所在直线的方程.
所以顶点的坐标为.
由知，，所以，
所以所在直线的方程为，即.由 知 ，所以 ，
所以 所在直线的方程为 ，即 .
所以另外两边所在直线的方程分别为 ， .
16. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是________.
命题分析 本题考查直线的交点、倾斜角的概念以及数形结合的思想方法.
答题要领 在坐标系内作出两条直线，观察两直线的交点可得两直线斜率的关系，可得直线的倾斜角的取值范围.
详细解析如图，直线过，，而过定点，设直线 的斜率为 ，
由图像可知
的倾斜角 的取值范围是 .
方法感悟 解答本题需要注意：
（1）根据直线的方程可明确直线的斜率、截距、所过的定点等几何性质，利用这些几何性质确定直线在坐标系内的位置.
（2）由直线的斜率的取值范围求解倾斜角的取值范围，要利用正切函数的单调性.(共50张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.2 直线的方程
第2课时 直线的两点式方程
课标解读 课标要求 素养要求
根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的方程的两种形式:两点式和截距式. 1.数学抽象——能快速掌握直线的两点式方程和截距式方程.
2.数学运算——能够应用直线的两点式与截距式方程解决有关问题.
要点一 直线的两点式方程
已知直线过与两点,注意到是直线的一个①___________.设为平面直角坐标系中一点,则在直线上的充要条件是与②_______,即,这就是直线的方程.
方向向量
共线
当且③_____________时,上式可以变形为这种形式的直线方程由直线上的两点确定,称为直线的两点式方程.
要点二 直线的截距式方程
通常称为直线的截距式方程，需要特别注意的是，这只有直线在轴与在轴上的截距都存在且④________时才成立.
不为0
1. 如何用点和的坐标表示过此两点的所有的直线的方程
提示.
2. 能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示吗
提示能.直线的截距式方程就是直线过两点的直线的两点式方程的简化形式.
3. 直线在轴和轴上的截距均为0吗
提示直线与坐标轴的交点为(0,0),故在x轴和轴上的截距均为0.
1.对直线的两点式方程的理解
（1）两点式方程的应用前提是且即斜率不存在及斜率为0时不能用两点式方程.当时,方程为;当时,方程为．
（2）对于两点式中的两点,只要是直线上的两个点即可,两点式方程与这两个点的顺序无关.
2.直线的截距式方程的注意点
（1）截距式方程应用的前提是直线在轴和轴上的截距存在且均不为0,当直线与轴或轴的正半轴平行时不能用截距式方程.
（2）截距并非距离,其中,截距相等的情况包括截距为零的情况,此时不可用截距式方程来表示直线.
探究点一 直线的两点式方程
例 三角形的三个顶点分别为,,,如图所示,求直线和直线的方程.
[答案] 直线过两点,由两点式方程,得,
整理得．直线的方程为．
直线过两点,
由两点式方程,得,整理得．
直线的方程为．
解题感悟
（1）当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件,若满足,即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下,也可以先用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程．
（2）由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时,常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系．
已知．
（1） 求线段的中点的坐标;
[答案] 因为,所以线段的中点的坐标为,即的坐标为(0,3)．
（2） 求的边上的中线所在直线的方程．
[答案] 的边上的中线即线段,因为．
所以线段所在直线的方程为,即.
探究点二 直线的截距式方程
例 求过点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程．
[答案] ①当直线在两坐标轴上的截距均为0时,方程为;
②当直线在两坐标轴上的截距不为0时,可设方程为,
又过点解得的方程为,即.
综上所述,直线的方程为或.
变式在本例中,把“截距互为相反数”改为“截距相等”,其余条件不变,求直线的方程．
[答案] ①当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距相等且都为0,直线方程为;
②当直线不过原点时,设直线方程为,
代入点(5,2),则,,直线方程为,即.
综上所述,直线的方程为或.
解题感悟
（1）如果问题中涉及直线与两坐标轴相交,则可考虑选用直线的截距式求方程,用待定系数法确定其系数即可．
（2）在选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．
根据下列条件,求直线的方程．
（1） 直线在轴上的截距为-2,在轴上的截距为-2;
[答案] 由题意得,即．
[答案] 设直线的方程为．由题意,得解得或所求直线方程为或．
（2） 直线过点(1,1),在两坐标轴上截得的线段长的和为10．
探究点三 直线方程的综合应用
例 [2021山东临沂高二期中] 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点.
[答案] 设直线的方程为,因为直线过点,所以,①
由题意得.②
由①②可得,解得或所以直线的方程为或.
（1） 当的周长为12时,求直线的方程;
（2） 当的面积为6时,求直线的方程.
[答案] 设直线的方程为,由题意知,,,消去,
得,解得或所以直线的方程为或.
解题感悟
（1）使用待定系数法求直线方程的一般步骤：①设方程,②求系数,③代入方程求得直线方程;
（2）若已知直线在两个坐标轴上的截距或题目中涉及截距,一般优先选择用截距式方程求解.
1. [2021山东潍坊高二期末] 已知直线过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线的方程为_____________________________.
或
[解析] 设直线的方程为.因为点在直线上,
所以①.
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,
所以②.
由①②可知或解得或故直线l的方程为或,即或.
2. [2021山东威海高二期末] 已知两点动点在线段上运动,则的最大值为____.
3
[解析] 由题意知线段AB的方程为,则,所以,当时,取得最大值3.
1. 直线过一、二、三象限,则( )
A. B.
C. D.
C
2. 经过两点的直线方程是( )
A. B.
C. D.
D
3. 已知点在过点和的直线上,则的值是( )
A. 5 B. 2 C. -2 D. -6
C
数学运算——利用直线的截距解决三角形的面积问题
[2020山东青岛第二中学高二期中] 过点作直线,与轴的正半轴分别交于两点,为原点．若的面积为,求的最小值,并求出此时直线的方程．
[答案] 解：设,其中,
则由直线的截距式方程得直线l的方程为① .
将代入直线的方程,得．
根据题意得,
当且仅当②,即时,取得最小值8,
因此直线的方程为③ ．
[解析] 审：以过点的直线与两坐标轴的交点、坐标原点为顶点的三角形,求此三角形面积的最小值以及此时直线的方程.
联：根据题意设出A,B的坐标,进而可得直线的方程,由及,最后利用基本不等式求最值,即可得答案.
思：涉及直线与三角形的面积或最小值问题时,一般要把直线的方程设为截距式,并用截距表示三角形的面积,再利用均值不等式或函数的性质求其最值.
1. （多选）下列说法正确的是( )
A. 点斜式适用于不垂直于轴的任何直线
B. 斜截式适用于不垂直于轴的任何直线
C. 两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线
D. 截距式适用于不过原点的任何直线
ABC
2. [2020山东聊城三中高二月考] 如图所示,直线的截距式方程是,则有( )
A. B.
C. D.
B
3. 已知直线的两点式方程为,则的斜率为( )
A. B. C. D.
A
4. 一条光线从处射到点后被轴反射,则反射光线所在的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
B
5. 已知的三个顶点为的中点,为的中点,则中位线所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
6. 两条直线：和：在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )
A.
B.
C.
D.
A
7. 已知直线过原点,且平分平行四边形的面积,若平行四边形的两个顶点分别为则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由题意可知直线l必过平行四边形对角线的交点,因为所以对角线的交点为(3,2),又直线过原点,所以其方程为.
8. [2021山东烟台高二期中] 过点,并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________.
或
9. 已知,动点在线段上移动,则的值为_____.
12
[解析] 易知所在直线的方程为,则即.
10. [2021山东潍坊高二月考] 直线过点(1,2)且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍,则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
C
[解析] 当直线过原点时,斜率,
直线的方程为;
当直线不过原点时,设直线的方程为,
将(1,2)代入得,解得.
故直线l的方程为,即.
综上,直线的方程为或.
11. （多选）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
AB
[解析] 因为直线经过第一、二、三象限,所以直线在轴上的截距,在轴上的截距.
由直线的斜率小于1可知,结合可得.
由绝对值的性质可知,选项A正确;
由幂函数的单调性可知,选项B正确;
因为,所以,选项C错误;
因为,所以,选项D错误,故选AB.
12. 已知直线上一动点,则的最大值是____.
3
[解析] 易知直线的方程为,则,
即当点的坐标为时,取得最大值3.
13. 已知的顶点且边的中点在轴上,边的中点在轴上.
（1） 求顶点的坐标;
[答案] 设,
则且
所以,所以点的坐标为(-5,-3).
[答案] 因为所以因为所以.
所以直线的方程为,即.
（2） 求直线的方程.
14. [2020吉林长春外国语学校高二开学考试] 已知直线过点.
（1） 求在两坐标轴上截距相等的直线方程;
[答案] 当直线过原点时,斜率,直线方程为;
当直线不过原点时,设方程为,则,解得,∴直线方程为,即.
综上,直线方程为或.
（2） 若与轴正半轴相交,交点分别是,求使的面积最小的直线方程.
[答案] 设直线的方程为,直线过点,
,当且仅当,即时等号成立,,
面积的最小值为24,此时直线方程为.
15. 在平面直角坐标系中,平行四边形的两对角线交于点(-1,1),其中分别求该平行四边形的边所在直线的方程.
[答案] 详细解析 设点的坐标为,点的坐标为.
由题意可得解得
所在直线的方程为,即,
所在直线的方程为,即.
[解析] 命题分析 根据平行四边形的两个顶点和对角线的交点求其边所在的直线方程,考查直线的两点式方程和运算求解能力.
答题要领 要求边所在直线的方程,只需利用中点坐标公式求出点和的坐标,然后根据直线的两点式方程求解即可.
方法感悟 （1）求直线的方程时,要根据具体的条件选择直线方程的形式,如本题根据条件可求出所求直线上的两点,所以可用两点式.
（2）求相关点的坐标时,要恰当地利用平面图形的几何性质求解.(共43张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.2 直线的方程
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
课标解读 课标要求 素养要求
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的方程的两种形式：点斜式和斜截式. 1.数学抽象——能快速掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程、直线的方程和方程的直线的概念.
2.数学运算——能够应用直线方程解决有关问题.
要点一 直线的方程与方程的直线
一般地,如果直线上点的坐标都是方程的解,而且以方程的解为①_______的点都在直线上,则称②_____________为直线的方程,而直线称为方程的直线.此时,为了简单起见,“直线”也可说成“直线”,并且记作.
坐标
要点二 直线的点斜式方程与斜截式方程
1.直线的点斜式方程
已知是直线上一点.
（1）如果直线的斜率不存在,则直线的方程为③_________.
（2）如果直线的斜率存在且为,设为直线上不同于的点,则,即④_______,化简可得.因为该方程由直线上一点和直线的⑤_______确定,所以通常称为直线的点斜式方程.
斜率
2.直线的截距
一般地,当直线既不是轴也不是轴时:若与轴的交点为,则称在轴上的截距为⑥____;若与⑦_______的交点为,则称在轴上的截距为.一条直线在轴上的截距简称为截距.
3.直线的斜截式方程
如果已知直线的斜率为,截距为,则意味着这条直线过了⑧________这个点,从而可知直线的方程为,化简可得,上述方程由直线的斜率和⑨_______确定,因此通常称为直线的斜截式方程.
轴
截距
1. “直线的方程与方程的直线”的定义中有两个条件,为什么不可以删掉一个
提示定义中的两个条件是判断一个方程是不是指定直线的方程,一条直线是不是所给定方程的直线的依据,缺一不可.从逻辑知识来看:第一个条件表示是直线的方程的必要条件,第二个条件表示是直线的方程的充分条件.因此,在判断或证明为直线的方程时,必须注意两个条件同时成立.
2. 直线的点斜式方程应用的前提条件是什么
提示 点斜式方程应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此形式写出直线的方程.
3. 直线在轴上的截距或在轴上的截距是距离吗
提示不是.直线在轴上的截距或在轴上的截距是一个实数.
4. 直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是的形式,二者有什么区别吗
提示当时,是一次函数;当时,不是一次函数,故一次函数可以看成一条直线的斜截式方程.
正确理解“直线的方程与方程的直线”的概念
（1）纯粹性：定义中的两个条件是轨迹性质的体现．条件“直线上点的坐标都是方程的解”,阐明直线上没有坐标不满足方程的点,也就是说直线上所有的点都符合这个条件,无一例外;
（2）完备性：条件“以方程的解为坐标的点都在直线l上”,阐明符合方程的点都在直线上.
探究点一 直线的点斜式方程
例 已知在平面直角坐标系中,位于第一象限,且,求：
（1） 边所在直线的方程;
[答案] 如图所示, 因为
所以 轴,
所以 边所在直线的方程为 .
（2） 边与边所在直线的方程．
[答案] 因为所以所以边所在直线的方程为.
因为所以所以所在直线的方程为.
解题感悟
（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点→定斜率→写出方程.
（2）点斜式方程可表示过点的所有直线,但除外.
求满足下列条件的直线的点斜式方程.
（1） 过点,斜率;
[答案] 直线过点,斜率,直线的点斜式方程为.
（2） 过点,且与轴平行;
[答案] 与轴平行的直线的斜率直线的点斜式方程为,即.
（3） 过两点;
[答案] 过点的直线的斜率.
又直线过点,直线的点斜式方程为.
（4） 过点(-1,2)且直线的一个方向向量为.
[答案] 直线的一个方向向量为,
,
故直线的点斜式方程为.
探究点二 直线的斜截式方程
例 根据下列条件求直线的斜截式方程.
（1） 斜率为2,在轴上的截距是5;
[答案] 由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为.
（2） 倾斜角为,在轴上的截距是-2;
[答案] 倾斜角为斜率.
由斜截式可得直线方程为.
（3） 倾斜角为,与轴的交点到坐标原点的距离为3.
[答案] 直线的倾斜角为斜率.
直线与轴的交点到原点的距离为3,
直线在轴上的截距或.
所求直线方程为或.
变式在本例（2）中,把条件“倾斜角为”改为“直线的一个法向量为”,其余条件不变,求直线的方程.
[答案] 因为直线的一个法向量为,所以直线的一个方向向量为,
所以所求直线的斜率为2,由斜截式可得直线方程为.
解题感悟
求直线的斜截式方程的策略
（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.
（2）直线的斜截式方程中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
1. 已知直线的倾斜角为,在轴上的截距为2,则此直线的方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 因为直线的倾斜角为,在轴上的截距为2,
所以该直线的斜率,且该直线过点(2,0),所以该直线的方程为.
2. 过点且斜率为2的直线在轴上的截距是( )
A. 4 B. -4 C. 8 D. -8
D
[解析] 由题意可知,所求直线的方程为,即,
故所求直线在y轴上的截距为-8.
探究点三 直线过定点问题
例 证明：对任意的实数,直线：总过第三象限.
[答案] 证明 证法一：可化为,所以直线l过定点(-2,-7),
由于点(-2,-7)在第三象限,故直线总过第三象限.
证法二：直线的方程可化为,
令解得,即直线过定点(-2,-7),
由于点(-2,-7)在第三象限,所以对任意的实数,直线总过第三象限.
解题感悟
求定点的方法有两种：
①将直线方程化成点斜式,由点斜式方程观察得到定点;
②将看成参数的系数,变形整理后,对参数取任意的值,式子都成立,从而转化为方程组,求的值,由确定的点就是“定点”.
1. 对任意的,直线都经过的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
D
[解析] 易知是直线的点斜式方程,该直线经过定点(1,-2),由于点(1,-2)在第四象限,故直线过第四象限,故选D.
2. 直线必过定点________.
(3,2)
[解析] 将直线方程变形为,由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).
1. 已知直线方程为,则( )
A. 直线经过(-1,2),斜率为-1 B. 直线经过,斜率为-1
C. 直线经过(-1,-2),斜率为-1 D. 直线经过(-2,-1),斜率为1
C
2. 直线l的斜率是3,且过点,则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
A
3. 在轴上的截距为2,且斜率为-3的直线的方程为______________．
直观想象——斜截式方程的几何意义
1. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图像只可能是( )
A.
B.
C.
D.
D
[解析] 对于,由直线可知,由直线知矛盾,故A错.
对于,由直线可知由直线可知矛盾,故B错.
对于,由直线可知,由直线可知,矛盾,故C错.
对于,由直线可知由直线可知故D对.故选D.
素养探究：本题主要考查了直线方程的图像判定,对各选项中直线的斜率a和截距的正负进行讨论即可,在此过程中体现了直观想象的核心素养.
1. [2021北京临川学校高二期中] 直线经过点且倾斜角,则直线的点斜式方程是( )
A. B.
C. D.
A
2. [2020黑龙江哈尔滨三中高二月考] 过点(2,-3)且斜率为的直线在轴上的截距为( )
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
D
3. 已知直线的点斜式方程为,则这条直线经过的定点、倾斜角分别是( )
A. B.
C. D.
A
4. [2021山东济南高二期中] （多选）下列命题中正确的是( )
A. 每一条直线都有斜截式方程
B. 方程与方程可表示同一直线
C. 直线过点,倾斜角为,则其方程为
D. 倾斜角是钝角的直线,其斜率为负数
CD
5. [2020山东泰安高二期中] 已知直线,则直线经过( )
A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限
C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限
D
6. 已知的三个顶点分别为为的中点,则中线所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
B
7. 与直线的斜率互为负倒数,且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是______________.
[解析] 易知直线的斜率为2,
直线的斜率是,
直线的斜截式方程为.
8. 直线在轴上的截距为1,则的值是_______.
2或
[解析] 令,得,解得或.
9. 直线所过的定点为________.
(2,0)
10. 直线不过第三象限,则斜率的取值范围是__________.
[解析] 当时,直线不过第三象限;当时,直线过第三象限;当时,直线不过第三象限,所以斜率的取值范围为.
11. 经过点(-1,1)且斜率是直线的斜率的2倍的直线方程是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由方程知,已知直线的斜率为,
所求直线的斜率是,
由直线的点斜式方程可得直线方程为,故选C.
12. 下列选项中,在同一平面直角坐标系中,表示直线与正确的是( )
A.
B.
C.
D.
C
[解析] ①当时,直线的倾斜角为锐角,直线在轴上的截距,选项A,B,C,D都不成立;②当时,直线的倾斜角为,选项A,B,C,D都不成立;③当时,直线的倾斜角为钝角,直线的倾斜角为锐角且在轴上的截距,只有选项C成立.
13. 已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数的取值范围是____________________.
[解析] 令,则.令,则,
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积.由三角形的面积不小于1,可得所以或.
14. 求倾斜角为直线的倾斜角的一半,且分别满足下列条件的直线方程.
（1） 经过点(-4,1);
[答案] 由直线的斜率为,可知此直线的倾斜角为,所以所求直线的倾斜角为,故所求直线的斜率.
因为直线过点(-4,1),所以由直线的点斜式方程得,即.
[答案] 因为直线在轴上的截距为-10,所以由直线的斜截式方程得.
（2） 在轴上的截距为-10.
15. 已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线的方程.
（1） 过定点;
[答案] 依题意,知直线l的斜率存在且不为0.
设直线的方程为,令,得,令,得,
解得.
直线的方程为或.
（2） 斜率为16.
[答案] 设直线的方程为,令,得,令,得,
解得.直线的方程为或.
16. 直线的方程为,若直线经过第二象限,求的取值范围.
[答案] 详细解析 直线可化为,所以直线过定点,
又点在第一象限,故只需l在轴上的截距大于0即可,即,解得.故a的取值范围是.
命题分析 本题考查直线的斜截式方程、直线过定点问题和直线的截距问题,难度稍大.
答题要领 首先判定直线所过的定点,然后根据直线在轴上的截距的符号求参数的取值范围.
方法感悟 根据直线所在的象限求参数的取值范围的解决方法一般有两个：
（1）首先得到直线所过的定点,然后利用直线在轴上的截距的符号求参数的取值范围.
（2）考虑直线的斜率和直线在轴上的截距的符号,列出不等式组确定参数的取值范围.(共45张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
第2课时 直线的方向向量和法向量
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解直线的方向向量、法向量的概念. 2.会求直线的方向向量和法向量. 3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用. 直观想象——能利用直线的方向向量、法向量确定直线.
要点一 直线的方向向量
1.直线方向向量的定义
一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线①_____________，则称向量为直线l的一个方向向量，记作②_______.
平行或重合
2.直线方向向量的性质
（1）如果为直线l的一个③___________，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定④_______.
（2）如果是直线上两个不同的点，则）是直线的一个⑤___________
方向向量
共线
方向向量
3.直线的方向向量与倾斜角，斜率的关系
一般地，如果已知为直线的一个方向向量，则:
（1）当时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为⑥______
（2）当时，直线的斜率是存在的，而且此时都是直线的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知，从而，因此可知倾斜角满足⑦___________
要点二 直线的法向量
1.直线法向量的定义
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线⑧_______，则称向量为直线的一个法向量，记作.
⒉直线法向量的性质
（1）一条直线的⑨___________与法向量互相垂直.
（2）当不全为0时，因为向量是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线的一个方向向量，则另一个一定是直线的一个⑩_________.
垂直
方向向量
法向量
1. 若直线的斜率为，则直线的一个方向向量可以是吗
提示 可以.
2. 直线的一个方向向量与其斜率有什么关系
提示当，时，的纵坐标与横坐标的比就是直线的斜率;当时，直线的斜率不存在.
3. 若为直线的一个法向量，则入也是直线的一个法向量吗
提示 是 .
4. 向量为何是相互垂直的
提示因为二者的数量积为，所以向量是相互垂直的.
1.任何直线都有方向向量和法向量.倾斜角为的直线的斜率不存在，但其方向向量一定存在;倾斜角为的直线的斜率为0，但其法向量所在的直线的斜率不存在.
2.如果直线的倾斜角为，斜率为，如图所示，那么直线的一个方向向量为.
探究点一 直线的方向向量及应用
例
（1） 直线过点，，求直线的一个方向向量、斜率和倾斜角．
[答案] 解法一：由已知得为直线的一个方向向量，，，
故该直线的一个方向向量为，斜率为，倾斜角为.
解法二：，
.
直线 的一个方向向量为 .
故该直线的一个方向向量为 ，斜率为 ，倾斜角为 .
（2） 已知平面内三点，，，证明：三点共线．
[答案] 证明：.
，又与有公共点，三点共线．
解题感悟
直线的方向向量的求法
（1）在直线上任找两点，则为直线的一个方向向量．
（2）已知直线的斜率为，则为直线的一个方向向量．
（3）表示与轴平行或重合的直线的方向向量，表示与轴平行或重合的直线的方向向量.
1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则的值是( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
D
[解析] 由已知得.
2. 若直线的一个方向向量是，则其斜率为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为
．
探究点二 直线的法向量及应用
例 已知菱形中,点,直线的一个方向向量为,直线的一个法向量为,求点的坐标．
[答案] 设点的坐标为,则．
由题意得,,则即
又四边形为菱形,,
∴为直线的一个法向量,，
即
由①②解得∴点的坐标为(5,7)．
变式在本例中,若直线的法向量的大小为18,求此法向量.
[答案] 因为,所以直线的一个方向向量为,所以该直线的法向量可设为,由题意可得,解得,所以直线的法向量为(-3,3)或(3,-3).
解题感悟
直线的法向量的求法
若直线的方向向量为,则直线的法向量,即要求直线的法向量,只需求出直线的方向向量即可
1. 已知直线的倾斜角为,它的一个法向量为,则的值为( )
A. 1-3 B. 3+1 C. 3+32 D. -3+32
D
[解析] 由题意得,,
∴直线的一个方向向量为．
∴,
∴解得.
2. 若直线的一个法向量为,则该直线的倾斜角为____.
[解析] 解析 设直线的倾斜角为,因为直线l的一个法向量为,所以该直线的一个方向向量为,
则,又因为,所以.
1. 过点的直线的一个法向量为( )
A. B.
C. D.
C
3. 直线的一个法向量为,则直线的倾斜角为____．
2. 直线的一个方向向量为,则该直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
D
数学运算——直线的方向向量与斜率
1. 已知向量,直线的一个方向向量为,若与共线,则直线的斜率的取值范围是____________________．
[解析] 与共线,为直线的一个方向向量,.
①当时,,当且仅当时取等号,所以．
②当时,,当且仅当时取等号,所以．故直线AB的斜率的取值范围是．
素养探究：本题考查直线的方向向量与直线的斜率的关系,解答本题的关键是由直线的方向向量求出直线的斜率的表达式,然后利用基本不等式求其取值范围,在此过程中体现了数学运算的核心素养.
1. [2020山东德州高二检测] 过两点的直线的一个方向向量为,则( )
A. B. C. -1 D. 1
C
2. （多选）若直线l的倾斜角等于,则下列向量中可以是直线的方向向量的有( )
A. (2,2) B. (-3,3)
C. D.
BCD
3. 直线过点,则直线的一个法向量为( )
A. (-1,4) B. (2,5) C. (5,-2) D. (-1,-4)
D
4. [2021山东青岛高二月考] 已知直线的一个方向向量为,则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
C
5. 已知直线l经过点和点,则直线的一个单位方向向量为( )
A. (-3,-4) B.
C. D.
D
6. 在平面直角坐标系中,正三角形的边所在直线的一个方向向量为,则与所在直线的斜率之和为( )
A. B. 0 C. D.
B
[解析] 所在直线的斜率为0.又为等边三角形,
与所在直线的倾斜角一个为,另一个为,
7. （多选）下列说法正确的是( )
A. 若直线垂直于y轴,则该直线的一个方向向量为(1,0),一个法向量为(0,1)
B. 若直线的一个方向向量为,则该直线的斜率
C. 若直线的一个法向量为,则能作为该直线的一个方向向量
D. 任何直线一定存在法向量与方向向量,且两向量是相互垂直的
ACD
[解析] 由直线的方向向量、法向量的定义知A,C,D正确,选项B中,当时,不成立,故选ACD.
8. 已知直线的一个法向量为,则直线的倾斜角为_______．
9. 直线过点,则____;若直线的一个方向向量为,则______.
1
[解析] 由题意得,三点共线,
等式两边同除以得.
若为直线的一个方向向量,
则解得 .
10. 已知实数满足,且,若直线的方向向量为,则直线的斜率的取值范围为__________．
[解析] 直线的方向向量为,则
，
，
,即直线的斜率的取值范围是．
11. 将直线沿轴负方向平移个单位长度,再沿轴正方向平移个单位长度,得到直线,此时直线与重合,若直线的一个方向向量为,则的值为( )
A. B. 1 C. 2 D. 4
B
[解析] 设直线上一点为,则平移后点的对应点为．
与都在直线上,为直线的一个方向向量．
.
12. 已知三点不能构成一个三角形,则的值为_______．
0或2
[解析] 不能构成一个三角形,三点共线．,
时,三点共线,不能构成三角形．
13. 直线的一个方向向量为,则直线的倾斜角的取值范围是________________．
[解析]
设直线的倾斜角为,则
14. 已知且向量都是直线的法向量,求的最小值．
[答案] ，
即，且，
.当且仅当 ,即 时,等号成立．
∴当 时, 的最小值为 .
15. 已知直线过两点．
（1） 当为何值时,直线的倾斜角为锐角？
[答案] 若倾斜角为锐角,则，
即解得.
[答案] ∵直线的一个方向向量为,
∴直线的斜率不存在．
故过两点的直线垂直于轴．
.
（2） 若直线的一个方向向量为,求的值．
16. 设是函数的图像上任意三个不同的点．求证：若三点共线,则.
[答案] 证明三点共线,
与共线,
，
，
即.
，
即，即 ，
又 三点不共点,
， ，
即 ，
即 ，
，
即证原等式成立.
命题分析 本题把直线的方向向量问题、三点共线问题与函数的性质交汇命题,考查学生分析问题、解决问题的能力.
答题要领 由三点共线,可知直线的方向向量和共线,运算化简可得的关系式,即可证明.
方法感悟 解决三点共线问题或利用三点共线问题解决其他问题的切入点有两个：一是根据三点所在直线的方向向量共线构建方程;二是根据三点中任意两点连线的斜率相等构建方程.(共46张PPT)
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
第1课时 直线的倾斜角与斜率
课标解读 课标要求 素养要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式. 1.数学抽象——能理解直线的倾斜角与斜率的概念.
2.数学运算——会用过两点的直线的斜率公式，并能用斜率解决有关问题.
要点一 直线的倾斜角
2倾斜角的取值范围
倾斜角的取值范围是.
1.倾斜角的定义
—般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与轴①_______，将轴绕着它们的交点按②_________方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角;如果这条直线与轴平行或③_______，则规定这条直线的倾斜角为.
相交
逆时针
重合
要点二 直线的斜率
1.斜率的定义
一般地，如果直线l的倾斜角为，则当时，称为直线的斜率;当时，称直线的斜率④_________.
⒉斜率的计算公式
若是直线上两个不同的点，则当时，直线的斜率为，当时，直线的斜率⑤_________.
不存在
不存在
1. 为什么定义中要规定“最小正角”
提示因为轴在旋转的过程中可以得到无数多个角，只有规定了最小的正角，倾斜角才是唯一确定的，更有利于我们利用倾斜角来研究直线.
2. 斜率公式中的与两点在该直线上的位置有关吗
提示斜率公式中的与两点在该直线上的位置无关，即在直线1上任取不同的两点，斜率均不变.
3. 斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以调换吗
提示斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是，那么分母必须是;如果分子是，那么分母必须是，即.
1.对倾斜角的理解
（1）清楚定义中含有的三个条件：①直线与轴相交;②绕直线与轴的交点按逆时针方向旋转;③与直线重合时所转的最小正角．
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴正方向的倾斜程度．
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
2.倾斜角与斜率的关系
（1）当倾斜角是时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于轴(或平行于轴或与轴重合)．
（2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
（3）直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度．由的图像可知：
当时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大;
当时，斜率越大，倾斜角也越大．
探究点一 直线的倾斜角
例
（1） 直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为( )
A. B.
C. 或 D. 或
D
[解析] 如图，当直线向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为;当直线向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为.故选D.
（2） 已知直线经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 直线倾斜角的取值范围是，因为直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是.
解题感悟
（1）解答本类题要根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.
（2）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
1. [2021山东聊城高二期末] 已知直线的倾斜角为，则角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 因为直线的倾斜角为所以所以.
2. 如图所示，直线的倾斜角是垂足为与轴分别交于点平分则的倾斜角为______．
[解析] 因为直线的倾斜角为所以所以的倾斜角为．
探究点二 直线的斜率
例 已知.
（1） 求直线和的斜率;
[答案] 由斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率．
[答案] 如图，当由运动到时，直线的斜率由增大到，
∴直线的斜率的取值范围是．
（2） 若点在线段上（包括端点）移动，求直线的斜率的取值范围．
变式把本例中点A的坐标换为（-2,-4），其余条件不变，求直线的斜率的取值范围.
[答案] 易知，
当由运动到时，直线的斜率由减小，当直线与轴垂直时，直线的斜率不存在，然后继续减小到，所以直线的斜率的取值范围是.
解题感悟
（1）由两点坐标求斜率运用两点的斜率公式求解.
（2）涉及直线与线段有交点的问题，通常数形结合利用公式求解.
[2021北京西城高二期末] 已知点，（3，0），若直线的斜率为，则_____．
-1
[解析] 根据斜率公式得，解得.
探究点三 直线的倾斜角与斜率的综合应用
例
（1） 已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
C
[解析] ，
易知当时，或故选C.
（2） 若三点在同一条直线上，则的值为_____.
-6
[解析]
三点共线，.
解题感悟
用斜率公式解决三点共线的方法
1. [2021四川棠湖中学高二月考] 在平面直角坐标系中，已知三点共线，则的值为( )
A. -2 B. C. D. 2
C
[解析] （1，0），，三点共线，
即解得故选C.
2. [2021河北尚义第一中学高二期中] 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 易知，因为，所以，结合正切函数的性质，可得．
1. 下面选项中，由两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
D
2. 若过两点的直线的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. -3 D. 3
D
3. 若直线经过点（1，2）和点（0，1），则它的倾斜角是( )
A. B.
C. 或 D.
A
4. 若三点共线，则的值为_____．
直观想象——利用数形结合的方法求分式的最值
已知实数满足，且，求的最大值和最小值.
[答案] 由题意得点满足关系式且可表示为点在线段上移动，并且A，B两点的坐标分别为，如图
所示，由于 的几何意义是直线 的斜率，
且 ，
所以 的最大值为2，最小值为 .
素养探究：由斜率公式，可知的几何意义是过与两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来解决此类最值问题，在此过程中体现了直观想象的核心素养.
1. [2020江苏苏州吴江汾湖高级中学高二月考] （多选）下列说法中正确的是( )
A. 若是直线的倾斜角，则
B. 若是直线的斜率，则
C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
BC
2. [2020四川资中第二中学高二月考] 已知直线过点 和点，则直线的斜率为( )
A. 1 B. 2 C. D.
B
3. [2020安徽六安城南中学高二开学考试] 直线的倾斜角和斜率分别是( )
A. B.
C. 不存在 D. 不存在
C
4. [2021山东聊城一中高二月考] 若过两点的直线的倾斜角为，则( )
A. -2或-1 B. 1 C. -1 D. -2
D
5. [2020上海嘉定高二期中] 若直线过点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D
6. [2021山东青州第一中学高二月考] （多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
AD
7. 直线过原点(0,0)，且不过第三象限，那么的倾斜角的取值范围是
( )
A.
B.
C. 或
D.
C
[解析] 倾斜角的取值范围为，由直线过原点且不过第三象限，知直线过第二、四象限，或与轴、轴重合，所以或.
8. 已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标为( )
A. (0,1)或(-1,0) B. (-1,0)
C. (3,0) D. (0,-3)或(3,0)
D
[解析] 若设点的坐标为，则即．
若设点的坐标为，则即．故选D.
9. 已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得的直线的斜率是____．
[解析] 设直线的倾斜角为，则，
则.
将直线绕点顺时针旋转，所得直线的倾斜角为其斜率为.
10. [2020上海建平中学高二期中] 过点和的直线的倾斜角的取值范围是_______.
[解析] 直线的斜率.
设直线的倾斜角为，则，又．
11. 已知，若点在线段上，则的最大值为
( )
A. 1 B. C. D. -3
C
[解析] 设，则，
∵点是线段上的任意一点，的取值范围是
故的最大值为，故选C．
12. 若直线过点，且与以为端点的线段恒相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 因为，
所以，
为使直线与线段恒相交，由图像可得，
只需或即.
13. 已知直线的倾斜角为，若直线与关于x轴对称，则直线的倾斜角为________，与两直线的斜率之和为____.
0
[解析] 如图，与关于x轴对称，
.又
，故 的倾斜角为 .
.
14. 若三点共线，求证：.
[答案] 证明 由于三点共线，所以此直线的斜率既可用两点的坐标表示，
也可用两点的坐标表示，即，由此可得，
两边同时除以，得
15. 一束光线从点射入，经轴上的点反射后，过点，求点的坐标.
[答案] 易知入射点关于轴的对称点为.
由光学知识知，点在反射光线所在的直线上，即，三点共线，如图，设点，从而有，即，解得，即点的坐标为(1,0).
16. 已知实数满足，求的最大值和最小值．
[答案] 详细解析 因为，所以表示抛物线上的点与点连线的斜率的图像如图所示．所以 .由已知得 所以 .所以
故 的最大值为8，最小值为 .
命题分析 本题考查斜率的概念及应用，同时考查数形结合的思想方法的应用.
答题要领 把点看作抛物线上的点，利用分式的几何意义，即把其看作点与点(-2,-3)连线的斜率，数形结合求解.
方法感悟 解答此类问题的关键是牢牢把握斜率的定义，把看作与两点连线的斜率，把代数问题转化为几何问题求解.
