(共14张PPT)
1.5.2 点到直线的距离
学习目标
1.了解点到直线距离公式的推导方法.
2.掌握点到直线的距离公式,会求平行线间的距离.
3.能利用点到直线的距离公式解决相关问题.
1 |距离公式
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间的公垂线
段的长
公式 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与
l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
间的距离d=②
2 |距离公式的特殊情况
1.点到几种特殊直线的距离公式
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.
2.两条特殊平行直线间的距离
两条垂直于x轴的直线x=a,x=b的距离d=|a-b|;
两条垂直于y轴的直线y=a,y=b的距离d=|a-b|.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离. ( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . ( )
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .
3.直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离. ( √ )
提示:由直线外一点与直线上任一点的连线中,垂线段最短,故结论成立,这是点到
直线距离的代数特征.
4.连接两条平行直线上两点,即得两平行线间的距离. ( )
提示:两平行线间的距离是两平行线间的公垂线段的长,并不是两平行直线上任
意两点间的距离,故结论不正确.
5.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也能看作两条直
线上各取一点的最短距离.( √ )
提示:由平行线间距离的定义知结论正确.
1 |点到直线的距离公式及其应用
1.计算点到直线的距离的步骤
整理:将直线方程化为一般式,即Ax+By+C=0.
代入:将点P(x1,y1)的坐标及A,B,C的值代入式子d= .
计算:得到d的值.
2.利用点到直线的距离求直线方程的两种方法
(1)设直线上任一点的坐标为(x,y),利用距离公式构造等量关系,将等量关系坐标
化,即得所求直线方程.
(2)设出直线的方程,利用距离公式建立关于待定系数的方程,解方程求出待定系
数,即得直线方程.
3.应用点到直线的距离公式的注意事项
(1)当点在直线上时,点到该直线的距离为0,点到直线的距离公式仍然适用.
(2)点到直线的距离公式对于直线方程中A=0或B=0时的情况仍然适用.
(3)在应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程
化为一般式.
已知正方形的中心的坐标为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直
线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.
思路点拨
根据所求的三边中有一边所在的直线与直线x+3y-5=0平行,另两边所在的直线与
直线x+3y-5=0垂直,并结合正方形的中心到四边的距离相等解题.
解析 由 得正方形的中心的坐标为(-1,0).
设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在直线的方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5).
由点(-1,0)到两直线l,l1的距离相等,
得 = ,
解得c=7或c=-5(舍去),
∴l1:x+3y+7=0.
又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边的距离相等,
∴ = = ,
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,
∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.
∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
2 |平行线间距离公式的应用
两平行线间距离的求法
(1)当直线的方程为一般式时,可利用两平行线间的距离公式,其步骤如下:
解题时必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等,若不相等,则先将系数化为相等.
(2)当直线的方程为斜截式,即l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d= .
(3)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点
到另一条直线的距离.
两平行线间距离的应用
已知两平行直线间的距离及其中一直线的方程求另一直线的方程,一般先设出直
线方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.也可以把两平行直线间的距离问
题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题,然后利用点到直线的距
离公式求解.
在△ABC中,已知A(1,1),B(3,-2).
(1)若直线l过点M(2,0),且点A,B到直线l的距离相等,求直线l的方程;
(2)若∠ACB的平分线在直线m:2x-y-6=0上,求直线BC的方程.
思路点拨
(1)将条件转化为直线l过线段AB的中点或l∥AB,结合直线方程的知识即可得解;
(2)将条件转化为点A关于直线m的对称点A'(a,b)在直线BC上,由轴对称的性质可
得A'(5,-1),再由直线方程的知识即可得解.
解析 (1)∵点A,B到直线l的距离相等,
∴直线l过线段AB的中点或l∥AB.
①当直线l过线段AB的中点N 时,直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2;
②当l∥AB时,直线l的斜率k=kAB= =- ,
则直线l的方程为y-0=- (x-2),
即3x+2y-6=0.
综上,直线l的方程为x=2或3x+2y-6=0.
(2)∵∠ACB的平分线在直线m上,
∴点A关于直线m的对称点A'(a,b)在直线BC上,
∴
解得
即A'(5,-1),
∴直线BC的斜率为 = ,
∴直线BC的方程为y+1= (x-5),即x-2y-7=0.(共17张PPT)
1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式.
2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题.
3.理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题.
1 |两点间的距离
1.公式
平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式P1P2=① .
2.特殊情况
当直线P1P2垂直于y轴时,P1P2=|x2-x1|;当直线P1P2垂直于x轴时,P1P2=|y2-y1|;当点P1,P2
中有一个是原点时,P1P2= (或 ).
2 |中点坐标公式
1.公式
对于平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0),则② .
2.中点坐标公式的推导
对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0).如图,过点P1,M,P2向
x轴作垂线,垂足分别为P'1,M',P'2,则P'1,M',P'2的横坐标分别为x1,x0,x2.
因为M是P1P2的中点,所以P1M=MP2,又P1P'1∥MM'∥P'2P2,可知P'1M'=M'P'2 ,则x0-x1=
x2-x0,解得x0= .同理可得y0= .
所以线段P1P2的中点M的坐标为 .
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.P1(0,a),P2(0,b)两点间的距离为a-b. ( )
提示:P1(0,a),P2(0,b)两点间的距离应该为|a-b|.
2.已知平面内的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则直线上A,B两点间的距
离AB= ·|x1-x2|. ( √ )
提示:AB=
= = ·|x1-x2|,
即AB= ·|x1-x2|.
3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且AB=5,则a的值为1. ( )
提示: 由题意知AB= =5,解得a=1或-5.
4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(1,0)射出的光线被直线AB反射后,再射到直线OB上,最
后经OB反射后回到P点,则光线所经过的路程是 . ( √ )
提示:点P关于y轴的对称点P'的坐标是(-1,0),设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点
为P″(a,b),
∴ 解得 ∴P″(4,3),
∴光线所经过的路程P'P″= = .
1 |常见的对称问题
点关于点的对称
求点P1(x1,y1)关于点P2(x2,y2)的对称点P(x,y).由中点坐标公式得 则有
点关于直线的对称
(1)如图,已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,求点P关于直线l的对称点P'(x',y')的步骤
如下:
第一步,直线PP'和l垂直,故kPP'·kl=-1①.
第二步,PP'的中点在直线l上,即点 满足直线方程Ax+By+C=0,
得到A· +B· +C=0②.
第三步,联立①②两式可以解出x',y'.
(2)点关于直线对称的常用结论:
①点P(x0,y0)关于x轴的对称点P'(x0,-y0);
②点P(x0,y0)关于y轴的对称点P'(-x0,y0);
③点P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P'(y0,x0);
④点P(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P'(-y0,-x0);
⑤点P(x0,y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点P'(2m-x0,y0);
⑥点P(x0,y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点P'(x0,2n-y0).
直线关于点的对称
直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程.
如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出
点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m.
如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出
这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;
(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.
解析 (1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0),
则线段PP'的中点M在直线l上,且PP'⊥l.
所以有 解得
故P'点的坐标为 .
(2)解法一:由 得直线l与l1的交点为N(2,0),在l1上任取一点B(0,-2),设B
关于直线l的对称点为B'(x1,y1),
则
解得 即B' ,
所以直线l2的斜率为kNB'= =7,
所以l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0.
解法二:由于直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线为l2,则l2上任一点P1(x,y)关于l的对
称点P'1(x',y')一定在直线l1上.
由 得
把(x',y')代入方程y=x-2并整理得7x-y-14=0,
故l2的方程为7x-y-14=0.
(3)设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对
称点P2(x2,y2)一定在直线l上.
由 得
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0.
方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是
指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中
点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
2 |对称在求最值中的应用
在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法
(1)当两定点A、B在直线l的异侧时,如图①,连接AB,线段AB交直线l于点P,此
时AB与l的交点P到两定点的距离之和最小,最小值为AB的长.在直线l上任取一点
P',则P'A+P'B≥AB.
(2)当两定点A、B在直线l的同侧时,如图②,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B
交直线l于点P,此时点P到两定点A,B的距离之和最小.
在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法
(1)当两定点A、B在直线l的同侧时(A、B连线与l不平行),连接BA并延长,交直线l
于点P.此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大,最大值为AB的长.如图③,在l
上任意取一点P',则有|P'B-P'A|≤AB=|PB-PA|.
(2)当两定点A、B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'并延长,
交l于点P.此时点P到两定点距离之差的绝对值最大,最大值为|PB-PA|=|PB-PA'|=
A'B.如图④,在l上任取一点P',则有|P'B-P'A|=|P'B-P'A'|≤A'B.
已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上.
(1)当PA+PB最小时,点P的坐标为 ;
(2)当|PB-PA|最大时,点P的坐标为 .
思路点拨
(1)利用对称性将直线同侧两点转化为异侧两点,利用两点之间线段最短求最小
值,进而得出点P的坐标.
(2)A、B两点在直线l的同侧,根据三角形两边之差小于第三边,得出当A,B,P三点
共线时,|PB-PA|取得最大值,进而得出点P的坐标.
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
解得 故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
PB取得最小值,最小值为A'B的长,此时点P为直线A'B与直线l的交点.又直线A'B的
方程为x=-2,所以由 得 故点P的坐标为(-2,3).
(2)A、B两点在直线l的同侧,P是直线l上一点,则|PB-PA|≤AB,当且仅当A,B,P三点
共线时,|PB-PA|取得最大值,最大值为AB的长,此时点P为直线AB与直线l的交点.
又直线AB的方程为y=x-2,所以由 得 故点P的坐标为(12,10).
答案 (1)(-2,3) (2)(12,10)(共15张PPT)
1.4 两条直线的交点
学习目标
1.会用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
3.会求过两直线交点的直线方程,并能解决一些简单的直线过定点问题.
1 |两直线交点的代数表示
设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0)的
交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上,所以点P的坐标既满足直线l1的方程
A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组
的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
2 |两直线的位置关系与方程组的解的联系
在同一平面内存在两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,直线l1与l2的位置
关系如下:
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个
数 一个 ① 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 ② 相交 重合 ③ 平行
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.
( √ )
2.无论m为何值,直线x-y+1=0与x-2my+3=0必相交.( )
提示:当m= 时,两直线平行.
3.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),当
A1B2≠A2B1时,直线l1与l2相交. ( √ )
提示:当A1B2≠A2B1时,方程组 有唯一解,从而两直线相交.
4.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),当
A1B2=A2B1时,直线l1与l2没有交点. ( )
提示: 当A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1时,方程组 有无数组解,从而直线
l1与l2重合;当A1B2=A2B1,且B1C2≠B2C1时,方程组 无解,从而直线l1与
l2平行.
1 |求两条直线的交点
求两相交直线的交点坐标,其关键是解方程组,解二元一次方程组的常用方
法有代入消元法和加减消元法.
(1)若一条直线的方程是斜截式,则常常应用代入消元法解方程组.
(2)若直线的方程都是一般式,则常常应用加减消元法解方程组.
已知|t|≤1,直线l1:tx-y+1=0和直线l2:x+ty+1=0相交于点P,l1和y轴交于点A,l2和x轴交
于点B.判断l1与l2的位置关系,并用t表示点P的坐标.
思路点拨
分t=0和t≠0两种情况讨论直线的位置关系;联立直线方程可求得P的坐标.
解析 当t=0时,l1:y=1,l2:x=-1,显然l1⊥l2;
当t≠0时,k1=t,k2=- ,则k1k2=-1,则l1⊥l2.
综上所述,l1⊥l2.
联立直线方程,得 解得
所以P .
2 |求过两条直线交点的直线方程的方法
(1)求出两直线的交点,作为待求直线上的已知点,再根据已知条件求出直线方程;
(2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则过l1,l2的
交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),然后根据条
件求待定系数.注意该设法中的直线方程不包括直线l2.
经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,且经过原点的直线的方程是
.
解析 解法一:联立
解得
所以直线l1与l2的交点坐标为 .
故过点 和原点的直线方程为y=- x,
即3x+19y=0.
解法二:设直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,因为直线过原点,所以将(0,0)代入,得4
+5λ=0,解得λ=- ,所以所求直线方程为y=- x,即3x+19y=0.
答案 3x+19y=0
3 |求解直线过定点问题的常用方法
(1)将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式,则直线必过定点(x0,y0).
(2)应用分离参数的方法,将直线方程转化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0,由
求出定点坐标.
(3)应用特殊值法,给方程中的参数赋两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,从中解
出的x,y的值即为所求定点的横、纵坐标.
已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证:无论k取何实数,直线l过定点,并求出
这个定点坐标.
思路点拨
可用特殊值法,分别令k=0,1,将得到的直线方程联立求得交点坐标,代入验证即可;
也可以利用共点直线系方程来求解.
解析 解法一: 对于方程(k+1)x-(k-1)y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0.
解方程组 得两直线的交点为(1,-1).将点(1,-1)代入已知直线方程的左边,
得(k+1)-(k-1)·(-1)-2k=0.这表明无论k取何实数,直线l过定点(1,-1).
解法二: 整理直线l的方程,得(x+y)+k(x-y-2)=0,无论k取何实数,直线l的方程为直线
系l1+λl2=0的形式,因此直线l过定点,定点坐标即方程组 的解,解方程组
得
∴直线l过定点(1,-1).
解法三:由直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,变形为(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+
1)(x-1)+(1-k)(y+1)=0.
直线l的方程为过定点(x0,y0)的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直线l必过
定点,定点坐标为方程组 的解,解方程组得
∴无论k取何实数,直线l过定点(1,-1).(共13张PPT)
1.3 两条直线的平行与垂直
学习目标
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.
2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直.
3.能运用两条直线平行或垂直解决相关问题,能用代数法解决几何问题.
1 |两条直线平行(不重合)的判定
类型 斜率存在 斜率都不存在
图示
对应关系 l1∥l2 ① k1=k2 两直线斜率都不存在
② l1∥l2
2 |两条直线垂直的判定
类型 斜率都存在 一条直线斜率不存在,
一条直线斜率为0
图示
对应关系 l1⊥l2 ③ k1k2=-1
④ l1⊥l2
３ |根据位置关系设直线方程的方法
1.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);
2.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0;
3.与直线y=kx+b平行的直线方程可设为y=kx+m(m≠b);
4.与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程可设为y=- x+m;
5.经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程可设为(A1x+B1y
+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2,其中 + ≠0, + ≠0).
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.如果两条直线平行,那么这两条直线的斜率一定相等. ( )
提示:两条直线平行,则这两条直线的斜率可能都不存在.
2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线
垂直. ( )
提示:若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直
线垂直.
3.l1∥l2 k1=k2成立的前提条件是两条直线的斜率都存在,且这两条直线不重合.
( √ )
4.已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. ( )
提示:由l1⊥l2,可得α-β=±90°.
1 |两条直线平行的判定
1.从斜率角度考虑:看两条直线的斜率是否存在,若斜率都存在,则看斜率是否相
等;若斜率都不存在或斜率相等,则看两直线是否重合,若不重合则两直线平行.
2.应用数形结合思想,看两直线的倾斜角是否相等,若倾斜角相等且两直线不重
合,则两直线平行.
已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A ,B ,C ,
则点D的坐标为 .
思路点拨
思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列出方程组求解.
思路二:设出点D的坐标,根据 = ,通过坐标运算列方程组求解.
解析 解法一:设点D的坐标为(m,n).
由题意知,AB∥CD,AD∥BC.
则kAB=kCD,kAD=kBC,
∴ 化简,得
解得
∴点D的坐标为 .
解法二:设点D的坐标为(m,n).
由题意知, = .
依题意得, = , = -m,- -n ,
因此 解得
∴点D的坐标为 .
答案
2 |两条直线垂直的判定
判断两条直线是否垂直
1.在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可;
2.一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直.
已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形
ABCD为直角梯形.
思路点拨
分析直角顶点的位置,利用两底边所在直线平行、直角腰与底边垂直列方程组求解.
解析 由四边形ABCD是直角梯形,结合图形可知直角梯形有2种情形:
①A1B∥CD,A1B⊥A1D,由图可知,A1(2,-1).
∴m=2,n=-1.
②A2D∥BC,A2D⊥A2B,
∴ 即
解得
综上, 或
如果涉及四边形已知三个顶点求另外一个顶点的问题,注意判断图形是否唯一,
以防漏解.(共8张PPT)
1.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)与直线的关系.
2.根据直线方程的代数特征,探索直线的一般式方程,掌握直线的一般式方程.
3.会进行直线方程五种形式之间的转化,理解代数结论的几何解释.
1.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1 | 直线的一般式方程
1.概念
平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x,y的二元一次方程Ax+
By+C=0(A,B不全为0)来表示;在平面直角坐标系中,任何一个关于x,y的二元一次
方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线.
方程① Ax+By+C=0(A,B不全为0) 叫作直线的一般式方程.
2.几何意义
(1)当B≠0时,k(斜率)=② - ,b=③ - (y轴上的截距).
(2)当B=0,A≠0时,a(x轴上的截距)=- .
(3)在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,则x=- ,它表示一条与y轴平行或重合的直线;若
A=0,B≠0,则y=- ,它表示一条与x轴平行或重合的直线.
2 |直线方程的五种形式的比较
名称 方程形式 已知条件 适用范围
点斜式 y-y0=k(x-x0) 直线上一定点(x0,y0),斜率k 不垂直于x轴的直线
斜截式 y=kx+b 斜率k,直线在y轴上的截距b 不垂直于x轴的直线
两点式 = (x1≠x2,y1≠y2) 直线上两点(x1,y1),(x2,y2) 不垂直于x轴和y轴的直
线
截距式 + =1(a≠0,b≠0) 直线在x轴上的非零截
距a,直线在y轴上的非
零截距b 不垂直于x轴和y轴,且
不过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为0) 系数A,B,C 任何位置的直线
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.任何直线方程都能表示为一般式. ( √ )
2.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程任何情况下都可以与一般式方
程进行互化. ( )
提示:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均可以化为一般式方程,但
一般式方程转化为其他形式,必须要在适用范围内才能进行转化.
3.直线l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则直线l的斜率k=- . ( )
提示:当B=0时,直线垂直于x轴,斜率不存在.
4.直线l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则直线在x轴、y轴上的截距分别为- 、
- . ( )
提示:当B=0时,直线垂直于x轴,在y轴上的截距不存在;当A=0时,直线垂直于y轴,在x轴上的截距不存在.
|求直线的方程
在求直线方程时,先根据已知条件选择适当的方程的形式,再依据条件求出直线
的方程,通常将结果化为一般式方程.
直线的一般式方程一般要求:x的系数为非负数,且x、y的系数不要有分数,各项系
数没有公约数.
求过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.
思路点拨
因为直线l过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以直线l不可能与x
轴或y轴垂直,即斜率必存在,且不为0,故可用截距式或点斜式求解.最后再将方程
化为一般式即可.
解析 解法一(截距式):设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0,b≠0时,设直线l的方程为 + =1.
因为点(4,-3)在直线上,所以 + =1.
若a=b,则a=b=1,直线l的方程为x+y=1.
若a=-b,则a=7,b=-7,直线l的方程为x-y=7.
②当a=b=0时,直线过原点,且过点(4,-3),
则直线l的方程为3x+4y=0.
综上可知,所求直线l的方程为x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0.
解法二(点斜式):由题意知,直线l的斜率存在且不为0,可设斜率为k,则直线l:y-(-3)=
k(x-4).
当x=0时,y=-3-4k;
当y=0时,x= +4.
因为直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等,
所以|-3-4k|= ,
解得k=1或k=-1或k=- .
所以直线l的方程为y+3=x-4或y+3=-(x-4)或y+3=- (x-4),
即x-y-7=0或x+y-1=0或3x+4y=0.(共12张PPT)
1.2.2 直线的两点式方程
学习目标
1.探索并掌握直线方程的两点式.
2.能用直线的两点式方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1 |直线的两点式方程
名称 两点式
已知条件 直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
图形
方程形式 ① =
适用条件 直线不垂直于x轴和y轴
2 |直线的截距式方程
名称 截距式
已知条件 直线在x,y轴上的截距分别为a,b,且a≠0,b≠0
图形
方程形式 ② + =1
适用条件 直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知直线过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线一定存在两点式方程. ( )
提示:直线的两点式方程是 = ,只有当x1≠x2,且y1≠y2时,两点式方程才
存在.
2.经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)两点的直线的方程是 = ,也可以是
= . ( √ )
3.方程 = 和方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示的直线完全相同. ( )
提示:两个方程表示的直线不一定相同,方程 = 表示不垂直于坐标轴
的直线,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示经过任意两点的直线,此时只要直线上的
两点不重合,直线都可以用(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示.
4.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. ( √ )
提示:能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴,从而斜率一定存在,即可用
点斜式方程表示.
5.不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示.( )
提示:经过原点和垂直于坐标轴的直线都不可以用截距式表示.
1 |直线的两点式方程
运用直线的两点式方程时的注意事项
(1)已知直线上的两点,首先判断直线是否垂直于坐标轴.若直线垂直于坐标轴,则
直接写出方程;若直线不垂直于坐标轴,则可根据两点式求出直线的方程.
(2)用两点式求直线方程时,一定要注意坐标的对应关系.
(3)对于两点式中的两点,只要是直线上的两个不同点即可,两点式方程与这两个
点的顺序无关.
如图,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规
定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方
程表示.
(1)求直线AB的方程;
(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李
思路点拨
(1)根据图象上的两点,用方程的两点式求直线AB的方程;
(2)令y=0,解得x的值,即为旅客可免费携带行李的最大质量.
解析 (1)直线AB过A(60,6),B(80,10)两点,
由直线的两点式方程,得 = ,即x-5y-30=0.所以直线AB的方程是x-5y-30
=0.
(2)令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30千克的行李.
解题模板
此类问题的求解关键是根据图象特征,利用直线上的点探求直线的方程,再
根据方程解决实际问题.
2 |直线的截距式方程
运用直线的截距式方程时的注意事项
(1)方程 + =1中,要求a,b同时存在,且a≠0,b≠0,即两个截距同时存在且都不为0,
因此它不能表示过坐标原点和垂直于x轴、y轴的直线.
(2)若题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一
坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直
线的方程,但一定要注意考虑“零截距”的情况.
已知直线l过点P(3,2).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线l的方程;
(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,求△ABO面积的最小值及此
时直线l的方程.
思路点拨
已知直线过一定点,且给出了直线在坐标轴上截距的限定条件,因此可选择直线
的截距式方程来解决问题.
解析 (1)①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,直线l的方程为y= x,即2x-3y=
0;
②当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,可设直线l的方程为 + =1,即x-y=a,
又∵直线l过点P(3,2),∴3-2=a,解得a=1,
∴l的方程为x-y-1=0.
综上所述,直线l的方程是2x-3y=0或x-y-1=0.
(2)设A(a,0)、B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为 + =1.
∵直线l过点P(3,2),∴ + =1.
由a>0,b>0,得1= + ≥2 ,因此ab≥24,
当且仅当 = = ,即a=6,b=4时取等号.
∴S△ABO= a·b≥12,
∴△ABO面积的最小值是12,此时直线l的方程为 + =1,即2x+3y-12=0.
运用截距式方程解题时,要注意判断截距是否存在、截距是不是0这两种特殊情
况,防止漏解导致错误.(共9张PPT)
1.2.1 直线的点斜式方程
学习目标
1.经历由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.探索并掌握直线的点斜式方程.
3.能用直线的点斜式方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.2 直线的方程
1 |直线的点斜式方程
名称 点斜式
已知条件 点P(x1,y1)和斜率k
图示
方程形式 ① y-y1=k(x-x1)
适用情况 斜率存在
当直线l与x轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式表示.但因为l上每一
点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
2 |直线的斜截式方程
名称 斜截式
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式 ② y=kx+b
适用情况 斜率存在
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.方程k= 与y-y0=k(x-x0)表示的意义相同. ( )
提示:方程k= 表示的图形中没有点(x0,y0).
2.直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). ( √ )
提示:由直线方程的点斜式知,方程y-3=k(x+1)表示过点(-1,3),斜率为k的直线.
3.经过P(x0,y0)的任意直线方程可表示为y-y0=k(x-x0).( )
提示：当直线的斜率存在时,可表示为y-y0=k(x-x0);当直线的斜率不存在时,不能表示
为点斜式方程,其方程可表示为x=x0.
4.直线l在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( )
提示:直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标,而不是距离.
5.所有的直线都有点斜式和斜截式方程. ( )
提示：垂直于x轴的直线,其倾斜角为90°,即斜率不存在,没有点斜式和斜截式方程.
1 |如何求直线的方程
求直线方程的两种方法
1.先确定几何要素,再写出直线方程(直线斜率均存在).
(1)求直线的点斜式方程的步骤:确定直线上一点(x0,y0)和斜率k→写出方程y-y0=
k(x-x0).
(2)求直线的斜截式方程的步骤:确定直线在y轴上的截距b和斜率k→写出方程y=
kx+b.
2.先设后求,待定系数.
(1)求过已知点P(x0,y0)的直线方程:当直线斜率存在时,设点斜式方程为y-y0=k(x-
x0),再根据题意,求出待定系数;当斜率不存在时,其方程为x=x0.
(2)当直线斜率存在时,设斜截式方程为y=kx+b,再根据题意,求出待定系数,即可求
得直线方程.
已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)直线AB的方程;
(2)直线AC和BC的方程.
解析 (1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.
(2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°,所以kAC=tan 45°=1.
又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),即y=x.
同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以kBC=tan 135°=-1.
又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.
2 |如何利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题
1.对于含参数的直线方程,可将方程整理成点斜式或斜截式,利用系数的几何意
义,结合图形探求和证明过定点问题.
2.可根据斜截式方程中k,b的几何意义,确定函数的大致图象.
(1)若k<0,且b<0,则直线y=kx+b必不过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)无论a为何值,直线y=ax-3a+2(a∈R)恒过定点 .
解析 (1)由k<0,b<0可知直线过第二、三、四象限.故选A.
(2)将直线方程变形为y-2=a(x-3),
由直线的点斜式方程可知,直线恒过定点(3,2).
答案 (1)A (2)(3,2)(共13张PPT)
1.1 直线的斜率与倾斜角
学习目标
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
1 | 直线的斜率
对于直线l上任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线l的斜率公式是
① k= (x1≠x2) .
2 | 直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按
② 逆时针 旋转到和直线重合时所转过的③ 最小正角 称为这条直线的倾
斜角.
2.直线的倾斜角α的取值范围为④ 0°≤α<180° .
3 |直线的斜率与倾斜角的对应关系
1.直线的斜率与倾斜角的关系
把一条直线(直线的斜率存在)的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常
用小写字母k表示,即⑤ k=tan α .
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率 (范围) k=0 k>0 不存在 k<0
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.任何一条直线有且只有一个倾斜角和它对应. ( √ )
2.若一条直线的倾斜角为90°,则这条直线与x轴垂直. ( √ )
3.直线的倾斜角越大,它的斜率越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大.
( )
提示:设直线的倾斜角为α,斜率为k.当α=60°时,k= ;当α=150°时,k=- ,所以直线
的倾斜角越大,斜率不一定越大;反之,直线的斜率越大,它的倾斜角也不一定越大.
4.当直线的斜率小于0时,其倾斜角α的范围是90°<α<180°. ( √ )
1 |倾斜角和斜率的关系及其应用
1.所有的直线都有倾斜角,但并非所有的直线都存在斜率.当直线不垂直于x轴时,
直线的斜率与倾斜角为一一对应关系.
当直线l的倾斜角θ∈ 时,θ越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角θ∈ 时,θ越
大,斜率k越大.
2.已知直线的倾斜角θ的取值范围求斜率k的取值范围时,由k=tan θ,结合正切函数
的单调性即可求出tan θ的取值范围.
3.已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时,应将斜率k的取值范围划分为k≥
0和k<0两部分,根据正切函数的单调性分别求出倾斜角的取值范围,合并即可得
到倾斜角的取值范围.
已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
思路点拨
作出图形并观察,可以发现当直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间时,直
线l与线段AB有公共点.
解析 如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1.
(1)要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
(2)易知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),
易知直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,
∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的
倾斜角之间,即45°≤α≤135°,利用k=tan α(0°≤α<180°)的图象(如图所示)得到k的
取值范围是k≤-1或k≥1.
2 |直线斜率的应用
1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直
线的斜率,即kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC,或kAC=kBC),则直线
AB与AC(或AB与BC,或AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B,或C),因此
点A,B,C在同一条直线上.
2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)
的直线的斜率),借助于图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问
题,从而简化运算过程.
已知点(x,y)是y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象上一点,试求 的最大值和最小值.
思路点拨
可以看成是过点(-2,-3)和(x,y)的直线的斜率,结合图形求出斜率的最大值和
最小值即可.
解析 如图所示,y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象为曲线AB, 可以看成经过定点
P(-2,-3)与曲线AB上任意一点(x,y)的直线的斜率k,
可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,1),B(-1,5),则kPA= = ,kPB= =8,
所以 ≤k≤8.
所以 的最大值为8,最小值为 .
