2022版新教材高中数学各章以及期中期末测评卷（word版含解析）苏教版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2022版新教材高中数学各章以及期中期末测评卷（word版含解析）苏教版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 541.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-08 21:07:20 | ||
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文档简介
第1章 直线与方程
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020江苏宝应中学高二期末)过点(0,1)且斜率为的直线在x轴上的截距是 ( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
2.(2020江苏启东中学高二月考)已知a,b∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a2-2)y-1=0垂直”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.(2020江苏连云港潜质联盟校高二联考)直线l1的斜率是k1=,直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),l1∥l2,则a的值为 ( )
A.-3 B.1
C. D.
4.(2020江苏海头高级中学高一月考)已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则线段OP的最小值为 ( )
A.4 B.2
C.2 D.2
5.(2021山东郓城一中高二上第一次月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为 ( )
A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0
6.(2020江苏江宁高级中学高二期中)在直线l:+=1中,a∈{1,3,5,7},b∈{2,4,6,8}.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为 ( )
A.6 B.7
C.8 D.16
7.(2020江苏南京田家炳高级中学高二月考)已知点A(1,1)和点B(4,4),P是直线l:x-y+1=0上的一点,则PA+PB的可能取值是 ( )
A.3 B.
C. D.2
8.(2020江苏靖江高级中学高二期中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),若存在非零实数t,使得f(t)+f=-2成立,则a2+4b2的最小值为 ( )
A. B.
C.16 D.4
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020江苏无锡天一中学高二月考)下列说法中,正确的有 ( )
A.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0
B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2
C.直线x-y+1=0的倾斜角为60°
D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0
10.(2020山东潍坊高二期中)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是
B.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m
C.点(,0)到直线l的距离是2
D.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0
11.(2021江苏西亭高级中学高二月考)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论错误的是 ( )
A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,l1与l2都有公共点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都不垂直
12.(2020江苏南通启东中学高一开学考试)如图,已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数f(x)的图象过点A,B,交x轴于另一点C(3,0).若该图象的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形,则点Q的坐标可以是 ( )
A.(1,-) B.(1,0)
C.(1,1) D.(1,6)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2020江苏无锡高二期中)过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是 .
14.(2020江苏镇江三模)已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+ky+k=0,且l1∥l2,则直线l1,l2间的距离为 .
15.(2020江苏太仓高级中学高二月考)已知a,b∈R*,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,则ab的最大值等于 .
16.(2020浙江效实中学高一期中)已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC中点为D(0,2),斜边上中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020江苏苏州高一期中)已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.
18.(12分)(2020江苏大桥实验学校高一期中)已知直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.
(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;
(2)若直线l'经过点A,且坐标原点到直线l'的距离等于3,求直线l'的方程.
19.(12分)(2020江苏东台中学高二期中)在路边安装路灯,灯柱OA的高为h米,路宽OC为23米,灯杆AB与灯柱OA成120°角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直,请你建立适当直角坐标系,解决以下问题:
(1)当h=10米,AB=米时,求灯罩轴线BD所在直线的方程;
(2)当h=米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,求灯杆AB的长.
20.(12分)(2020江苏江宁高级中学高一月考)设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R).
(1)求证:无论a为何值,直线l必过一定点P;
(2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),当△AOB面积最小时,求△AOB的周长;
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数时,求直线l的方程.
21.(12分)(2021山东泰安第一中学高二月考)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的N处.
(1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程;
(2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围;
(3)若b≥6,求光线从C出发,到达点N时所走过的最短路程s.
22.(12分)(2020江苏海安高级中学高二月考)已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.
(1)求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标;
(2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:①△AOB的周长为12 ②△AOB的面积为6 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由;
(3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,当PM+PN取最小值时,求直线的方程.
第2章 圆与方程
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏沭阳高级中学高二月考)已知圆的方程为x2+y2+2x-4y=0,则圆的半径为 ( )
A.3 B. C. D.4
2.(2021山东东营第一中学高二月考)圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为 ( )
A.x2+(y-3)2=4 B.(x-3)2+y2=4
C.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+y2=4
3.(2020江苏海门中学高二月考)以A(3,-1),B(-2,2)为直径端点的圆的方程是 ( )
A.x2+y2-x-y-8=0 B.x2+y2-x-y-9=0
C.x2+y2+x+y-8=0 D.x2+y2+x+y-9=0
4.(2021江苏阜宁中学高二期中)已知圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+a=0的最大距离为4,则实数a的值是 ( )
A.0或4 B.-2或2 C.-2 D.2
5.(2020江苏南京田家炳高级中学高二上月考)已知过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则a= ( )
A.-1 B.-2 C.1或2 D.-1或-2
6.(2020江苏淮阴中学高二上期中)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若存在圆C的弦AB,满足AB=2,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-5,5]
C.(-,) D.[-,]
7.(2020河南郑州高一期末)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为 ( )
A. B.-1 C.6-2 D.5-4
8.(2020江苏宿迁四校联考)已知圆C1:x2+y2+2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2-4x+2y+1=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+2上的动点,则MP+NP的最小值为 ( )
A.2-3 B.2+3 C.-3 D.+3
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020全国高二课时练习)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是 ( )
A.圆M的圆心为(-3,4) B.x轴被圆M截得的弦长为8
C.圆M的半径为5 D.y轴被圆M截得的弦长为6
10.(2020江苏镇江高二期中)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=( )
A.2 B.4 C.6 D.10
11.(2020江苏石榴高级中学高二月考)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0相交于A、B两点,下列说法正确的是 ( )
A.两圆有两条公切线
B.直线AB的方程为y=2x+4
C.线段AB的长为
D.所有过点A、B的圆系方程可以记为x2+y2-4+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1)
12.(2020江苏泰州中学高二期中)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在点M满足·=3,则实数a的值可能为 ( )
A.-2 B.-1 C.2 D.0
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2020山东济南第十一中学高二期中)若直线x-y+m=0与圆x2+y2=1相切,则实数m= .
14.(2020江苏高淳高级中学高二期中)直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为,则实数a的值为 .
15.(2021天津滨海新区高二月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l过点(1,3),且与圆C交于A,B两点,AB=2,则直线l的方程为 .
16.(2020江苏梅村高级中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-2)2=4上两个动点,且AB=2.若直线l:y=-2x上存在点P,使得=+,则实数m的取值范围为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021广东深圳中学高二月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0.
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)过点A(1,0)作圆M的切线,求切线l的方程.
18.(12分)(2020江苏淮安高一期中)已知圆C的方程为x2+y2-4x-12=0,点P(3,1).
(1)求圆C的圆心坐标及半径;
(2)求过点P的直线被圆C截得的弦长最大时的直线l的方程;
(3)若圆C的一条弦AB的中点为P,求直线AB的方程.
19.(12分)(2020浙江温州十五校联合体高二上期中联考)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切,O为坐标原点,动点P在圆外,过P作圆C的切线,切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径;
(2)若点P运动到(-2,4)处,求此时切线l的方程;
(3)求满足条件PM=2PO的点P的轨迹方程.
20.(12分)(2020江苏扬州中学高一期中)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+2y-5=0相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若过点(-1,3)的直线l被圆O所截得的弦长为4,求直线l的方程;
(3)若过点A(0,)作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B、C两点,且k1k2=-,求证:直线BC恒过定点,并求出该定点的坐标.
21.(12分)(2021江苏响水中学高二月考)已知以动点E为圆心的☉E与直线l:x=-相切,与定圆F:(x-1)2+y2=外切.
(1)求动圆圆心E的轨迹C1的方程;
(2)点D是曲线C2:y2=4x-4上的点,若在C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,求△ACD面积的最小值.
22.(12分)(2020江苏南京师大附中高二期中)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,与x轴正半轴相切,且直线l:x-y=0被圆C截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程;
(2)设点A在圆C上运动,点B(7,6),且点M满足=2,记点M的轨迹为Γ.
①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;
②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有为一常数 若存在,求出所有满足条件的点T的坐标;若不存在,说明理由.
第3章 圆锥曲线与方程
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏苏州八校联盟适应性检测)已知双曲线的方程为x2-=1,则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±3x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x
2.(2020江苏涟水中学高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0),若其长轴长为6,离心率为,则此椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
3.(2020江苏锡山高级中学高二期中)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率为,则实数a的值为 ( )
A. B. C.1 D.2
4.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)若过椭圆+=1内一点P(1,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为 ( )
A.x-2y+1=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y-3=0 D.x+2y+3=0
5.(2020江苏奔牛高级中学高二期中)若直线l过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线相交于A,B两点,且AB=16,则线段AB的中点P到y轴的距离为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6.(2020江苏镇江中学高二期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P,若=,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
7.(2021江苏连云港中学调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,两条渐近线分别为l1:y=x,l2:y=-x,过F作l1的垂线,垂足为M,该垂线交l2于点N,O为坐标原点,若OF=FN,则双曲线C的离心率是 ( )
A. B. C. D.
8.(2021山东烟台第一中学高二月考)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A、B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于另一点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则= ( )
A.- B.2 C.1 D.
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏南通高二期中)已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是 ( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
10.(2021广东联考)已知F1、F2分别是双曲线C:-=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是 ( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2
C.点M的横坐标为±
D.△MF1F2的面积为2
11.(2021江苏徐州第一中学高二月考)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是 ( )
A.AB≥4
B.OA+OB>8
C.若点P(2,2),则PA+AF的最小值是3
D.△OAB的面积的最小值是2
12.(2021山东淄博实验中学高二月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且F1F2=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是 ( )
A.QF1+QP的最小值为2-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为
D.若=,则椭圆C的长轴长为+
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏泗洪中学高二月考)已知椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为 .
14.(2020江西南昌大学附属中学高二期中)抛物线y2=4x的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为 .
15.(2020江苏南通高二月考)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+= .
16.(2020江苏泰州中学高二期中)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后经过抛物线的焦点F,射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,若两条平行光线间的最小距离为6,则此抛物线的方程为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020江苏南通高二期中)已知命题p:+=1表示焦点在x轴上的椭圆,命题q:+=1表示双曲线.
(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.
18.(12分)(2020江苏扬州仪征中学高二期中)已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为2,焦距为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点,求弦长AB.
19.(12分)(2020江苏扬州高二期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,求线段AB的中点坐标和AB的长度.
20.(12分)(2020江苏田家炳中学高二期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,F1F2=2,点P为椭圆短轴的端点,且△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点B是椭圆上的一点,B1,B2是椭圆上的两动点,且直线BB1,BB2关于直线x=1对称,试证明:直线B1B2的斜率为定值.
21.(12分)(2021江苏淮安、连云港、徐州、宿迁四市联考) 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(,)在椭圆C上.A、B分别为椭圆C的上、下顶点,动直线l交椭圆C于P、Q两点,满足AP⊥AQ,AH⊥PQ,垂足为H.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△ABH面积的最大值.
22.(12分)(2020江苏南京高二期中)已知点P是抛物线C1:y2=4x的准线上任意一点,过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.
(1)证明:直线AB过定点,并求出定点的坐标;
(2)若直线AB交椭圆C2:+=1于C、D两点,S1、S2分别是△PAB、△PCD的面积,求的最小值.
第4章 数列
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏苏州星海中学高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则数列{nan}的前5项和为 ( )
A.126 B.127 C.128 D.129
2.(2021江苏苏州高三期中)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若an>0,a1=,Sn<2,则等比数列{an}的公比的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.(2021江苏南通平潮高级中学高二期中)等比数列{an}的前n项积为Tn,且满足a1>1,a102a103-1>0,<0,则使得Tn>1成立的最大正整数n的值为 ( )
A.102 B.203 C.204 D.205
4.(2021江苏无锡第一中学高二期中)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 ( )
A.184 B.174 C.188 D.160
5.(2021江苏无锡第一中学高二期中)已知数列{an}满足a1=,an+1=an(n∈N*).设bn=,n∈N*,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B. C. D.(-1,2)
6.(2021浙江温州中学高三第一次模拟考试)已知数列{an}满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(n∈N),则a1+a2+…+a128= ( )
A.1024 B.1101 C.1103 D.1128
7.(2021广东汕头金山中学四校高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*有Sn=an-,且1A.2或4 B.2 C.3或4 D.6
8.(2020浙江湖州高三期末)已知数列{an}中,a1=2,若an+1=+an,设Sm=++…+,若Sm<2020恒成立,则正整数m的最大值为 ( )
A.1009 B.1010 C.2019 D.2020
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏宿迁修远中学高二月考)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N*),则下列说法正确的是 ( )
A.a5=-16
B.S5=-63
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn+1}是等比数列
10.(2021江苏扬州邵伯高级中学高二月考)设单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则 ( )
A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1
C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1
11.(2020福建福州第一中学高一期末)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a6a7>1,<0,则下列结论正确的是 ( )
A.0C.Sn的最大值为S7 D.Tn的最大值为T6
12.(2021江苏盐城响水中学高二学情分析)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则 ( )
A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列
C.an=2·3n-1 D.an=
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二期中)在等比数列{an}中,已知a3·a8=10,则·a7的值为 .
14.(2021江苏镇江吕叔湘中学高三月考)设Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn=5an-7,则an= .
15.(2021湖南三湘名校教育联盟高二期中)已知数列{an}满足an=定义使a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数的k叫作“幸福数”,则区间[1,2020]内所有“幸福数”的和为 .
16.(2021江苏张家港外国语学校高三期中)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=0,Sn=an+1-2,则Sn= ,若<,则n的最小值是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020江苏如皋中学高一月考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值.
18.(12分)(2020四川内江高一期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=7,S4=40.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,若2Tn≤λ-2020对所有n∈N*都成立,求实数λ的取值范围.
19.(12分)(2021江苏连云港赣榆高级中学阶段测试)已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an+1=2(n+2)an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:Sn<2an.
20.(12分)(2021安徽阜阳太和第一中学高三开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x2上.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an-9|}的前n项和Tn.
21.(12分)(2020福建厦门双十中学高一期末)已知数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n=2,3,4,…).
(1)求a3,a4的值;
(2)设bn=-1(n∈N*),试用bn表示bn+1,并求{bn}的通项公式;
(3)设cn=(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
22.(12分)(2021江苏南通启东中学高二上期中)已知数列{an}的首项a1=a,其中a∈N*,an+1=令集合A={x|x=an,n=1,2,3,…}.
(1)若a=4,写出集合A中的所有元素;
(2)若a≤2020,且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列,求a的所有可能取值构成的集合;
(3)求证:1∈A.
第5章 导数及其应用
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020江苏张家港高二下期中)函数f(x)=x2-sinx在[0,π]上的平均变化率为 ( )
A.1 B.2 C.π D.π2
2.(2021河南部分重点中学四联)设=-2,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角是 ( )
A. B. C. D.
3.(2021江苏淮安中学高三上期中)若幂函数f(x)的图象过点,则函数g(x)=的递减区间为 ( )
A.(0,2) B.(-∞,0)和(2,+∞)
C.(-2,0) D.(2,+∞)
4.(2021江苏苏州中学高三上期初调研)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上不单调,则a的取值范围是 ( )
A.(2,e+1) B.[2,e+1]
C.(-∞,2]∪[e+1,+∞) D.(-∞,2)∪(e+1,+∞)
5.(2021江苏扬州高邮一中高三上段测)对任意x∈R,函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是 ( )
A.0≤a≤21 B.0C.a≤0或a≥21 D.a<0或a>21
6.(2021江苏南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校高三上11月联考)已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(log20.2),则 ( )
A.bC.b7.(2021江苏盐城高三上期中)函数f(x)=,x∈[-π,0)∪(0,π]的图象大致是 ( )
8.(2021江苏徐州铜山高三上一联)若函数y=f(x)的定义域为R,对于任意x∈R,f'(x)A.(2,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,2)
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏扬州高二下期末联考改编)下列结论错误的是 ( )
A.若y=x2+ln2,则y'=2x+
B.若y=(2x+1)2,则y'=3(2x+1)2
C.若y=x2ex,则y'=2xex
D.若y=,则y'=
10.(2020江苏镇江中学高二上期末)如图是y=f(x)的导数的图象,对于下列四个判断, 其中正确的是 ( )
A.f(x)在[-2,-1]上是增函数
B.当x=-1时,f(x)取得极小值
C.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
D.当x=3时,f(x)取得极小值
11.(2021江苏南通高三上期中)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务,2020年7月31日上午,北斗三号全球卫星导航系统正式开通,北斗卫星导航系统能实现“天地互通”的关键是信号处理,其中某语言通讯的传递可以用函数f(x)=
cosx++近似模拟,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.对任意x∈R,都有f'(π-x)=f'(x)
D.函数f'(x)的最小值为-3
12.(2021江苏南通四校高三上二联)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)-f(x)A.2f(2)-3f(1)>5
B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+
C.f(3)-2f(1)<7
D.若f(1)=2,0x2+x+
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏泰州姜堰中学、南通如东中学、宿迁沭阳如东中学高三上联考)曲线f(x)=xex+x2-1在x=0处的切线方程为 .
14.(2021安徽皖江名校联盟二联)已知f(x)=x3+2xf'(0),
则f'(1)= .
(2021江苏淮安五校高三上一联)已知三个函数h(x)=x2-
2lnx,f(x)=h'(x)-5lnx-5ln2,g(x)=h(x)+2lnx-bx+4.若 x1∈(0,1], x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,则实数b的取值范围为 .
16.(2021江苏无锡高三上期中)已知函数f(x)=令g(x)=f(x)-kx,当k=-2e2时,有g(x0)=0,则x0= ;若函数g(x)恰好有4个零点,则实数k的值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏苏州常熟高三上阶段性检测)已知函数f(x)=x3-x2+ax,g(x)=2x+b,当x=1+时,f(x)取得极值.
(1)求a的值,并判断f(1+)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)当x∈[-3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求实数b的取值范围.
18.(12分)(2021江苏淮安淮阴中学高三上阶段检测)已知函数f(x)=lnx-.
(1)当a=1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(2,e)上存在零点,求实数a的取值范围.
19.(12分)(2021江苏无锡梅村高级中学高三上期初检测)已知函数f(x)=x2-alnx-2x,a∈R.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,求 +的取值范围.
20.(12分)(2021江苏南通启东高三上期中联考)如图所示的容器的体积为18πdm3,它由半球和圆柱两部分组成,半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,圆柱的高为hdm.已知顶部半球面的造价为3a元/dm2,圆柱侧面的造价为a元/dm2,圆柱底面的造价为元/dm2.
(1)将圆柱的高h表示为底面半径r的函数,并求出定义域;
(2)当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为多少
21.(12分)(2021江苏南京六校联合体高三上11月联考节选)已知函数f(x)=ax-xlnx,g(x)=,a,b∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)已知函数f(x)的极大值为1,设122.(12分)(2021江苏扬州中学高三上10月月考)设函数f(x)=mx-ex+3(m∈R).
(1)讨论函数f(x)的极值;
(2)若a为整数,m=0,且 x∈(0,+∞),不等式(x-a)[f(x)-2]期中学业水平检测
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏新海高级中学高二月考)两条平行直线6x-4y+5=0与y=x间的距离是( )
A. B. C. D.
2.(2020江苏淮安高一期末)直线l1:x+my+4=0与l2:(2m-15)x+3y+m2=0垂直,则m的值为 ( )
A.3 B.-3 C.15 D.-15
3.(2021江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考) 已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称,则圆C中以为中点的弦的长度为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021江苏扬州中学高二月考)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20cm,灯深10cm,则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
A.2.5cm B.3.5cm C.4.5cm D.5.5cm
5.(2020江苏淮阴中学高一期末)大约在2000多年前,我国的墨子给出了圆的概念:“一中同长也”.其意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O为原点,OP=1,若M,则线段PM的长的最小值为 ( )
A. B. C. D.
6.(2020江苏南通高二期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,其渐近线上横坐标为的点P满足·=0,则a= ( )
A. B. C.2 D.4
7.(2020江苏连云港高二期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若
∠F1PF2=60°,则该椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
8.(2021山东莱州一中高二期中)已知椭圆C:+=1的下顶点为A,点B是C上异于点A的一点,若直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,且=,则tan∠ABM= ( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020江苏南京第九中学高二期中)下列说法正确的是 ( )
A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件
B.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的取值范围为∪
C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切
D.离心率为的双曲线的渐近线方程为y=±x
10.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)过抛物线y2=4x的焦点F作直线,交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则 ( )
A.以线段AB为直径的圆与直线x=-相离
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
C.当=2时,AB=
D.AB的最小值为4
11.已知F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0且a≠b)的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.则下列四个命题中正确的是( )
A.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上
B.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上
C.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D.△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)
12.(2021山东德州一中高二月考)已知F1,F2是椭圆+=1(a1>b1>0)和双曲线-=1(a2>b2>0)的公共焦点,P是它们的一个公共点,且
∠F1PF2=,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则以下结论正确的是 ( )
A.-=- B.=3
C.+=1 D.+的最小值为1+
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏太湖高级中学高二期中)在y轴上的截距为-1且倾斜角为135°的直线的方程为 .
14.(2021江苏江浦高级中学高二期中)过P(2,2)作圆C:(x-1)2+y2=1的切线,则切线方程为 .
15.(2021江苏木渎高级中学高二月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,若以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切,则椭圆的标准方程为 .
16.(2020山东平度九中高二月考)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=2,C2:(x-4)2+(y-2)2=1,过原点O作一条射线与圆C1相交于点A,在该射线上取点B,使得OA·OB=2,圆C2上的点到点D的距离的最小值为,则满足该条件的点D所形成的轨迹的周长为 ,BD的最小值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.
18.(12分)(2020江苏句容高级中学高二期中)已知F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,曲线C是以F2为圆心且过原点的圆.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点P在曲线C上运动,点M满足=,求点M的轨迹方程.
19.(12分)(2020江苏启东中学高二月考)树林的边界是直线l(图中CD所在的直线),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,AB=BC=a(a为正实数),若兔子沿线段AD(或AE)方向以速度2μ(μ为正实数)向树林逃跑,同时狼沿BM(点M在线段AD上)方向或BN方向(点N在线段AE上)以速度μ进行追击,若狼到达点M(或点N)的时间不多于兔子到达点M(或点N)的时间,狼就会吃掉兔子.
(1)求兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a);
(2)兔子要想不被狼吃掉,求锐角θ(θ=∠DAC或∠EAC)的取值范围.
20.(12分)(2021广东佛山一中高二月考)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且MN=3.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值.
21.(12分)(2020江苏天一中学高二月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且直线+=1与圆x2+y2=2相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,O为坐标原点,射线OM与椭圆C相交于点P,且OP=OM,求△ABO的面积.
22.(12分)(2021江苏苏州八校联盟联考)如图,已知椭圆C1:+=1(a>b>0),且离心率为,抛物线C2:y2=2px(p>0).点P是椭圆C1与抛物线C2的交点.
(1)求曲线C1和曲线C2的方程;
(2)过点P作斜率为k(k<0)的直线l1交椭圆C1于点A,交抛物线C2于点B(A,B均异于点P).
①若PB=3PA,求直线l1的方程;
②过点P作与直线l1的倾斜角互补的直线 l2,且直线l2交抛物线C2于点C,交椭圆C1于点D(C,D异于点P).记△PAC的面积为 S1,△PBD的面积为S2.若∈,求k的取值范围.
期末学业水平检测
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏南京航空航天大学附中高二上期中)直线x+y+1=0的斜率为 ( )
A. B.- C. D.-
2.(2021江苏启东高二上期中联考)已知1,a,x,b,16这五个实数成等比数列,则x的值为 ( )
A.4 B.-4 C.±4 D.不确定
3.(2021江苏镇江八校高三上期中)曲线y=x-x2在点(1,0)处的切线方程是 ( )
A.x-2y-1=0 B.x+2y-1=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
4.(2021江苏启东中学高二上期中)圆C1:x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0的公切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.(2021江苏苏州高新第一中学高二上期中)“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是 ( )
A.9 B.10 C.12 D.13
6.[2021新高考八省(市)1月联考]已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为 ( )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
7.(2020江苏盐城东台中学高二上阶段测试)如图,椭圆C的两个焦点是F1,F2,过点F1的直线与椭圆C交于点P,Q,若PF2=F1F2,且2PF1=3QF1,则椭圆C的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
8.(2021江苏南京大学附中高三上阶段测试)已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+>0,若F(x)=f(x)+,则函数F(x)的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.0或2
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏连云港高二上期中)下列有关双曲线2x2-y2=8的性质的说法正确的是 ( )
A.离心率为 B.顶点坐标为(0,±2)
C.实轴长为4 D.虚轴长为4
10.(2021江苏常州教育学会高三上学业水平监测)已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S6=S12,则下列结论中正确的有 ( )
A.a1∶d=-17∶2 B.S18=0
C.当d>0时,a6+a14>0 D.当d<0时,|a6|>|a14|
11.(2021福建龙岩高二上联考)若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则b的可能取值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.
12.(2021江苏南通天星湖中学高三上二调)已知函数f(x)=-2sinx+sin2x,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)是周期函数
B.函数f(x)在[-π,π]上有4个零点
C.函数f(x)的图象关于(π,)对称
D.函数f(x)的最大值为
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏扬州新华中学高三上月考)已知直线l1:2x-y+a=0与直线l2:-4x+2y+1=0,且直线l1与直线l2的距离为,则实数a的值为 .
14.(2021江苏无锡一中高三上检测)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内不单调,则k的取值范围是 .
15.(2021江苏徐州高三上期中)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)时发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m.
16.(2021湖南长沙雅礼中学高三上月考)被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例:一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔,再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔,新幼兔又如此方式成长,若不考虑其他意外因素,按此规律繁殖,则每年的兔子总对数可构成一个奇妙的数列,兔子数列具有许多有趣的数学性质,该数列在西方又被称为斐波那契数列,它最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中.现有一兔子数列{Fn}:F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),则F9= ;若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an},则数列{an}的前2020项和为 .(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏盐城响水中学高二上期中) 在①Sn=;②2Sn=an+1-3,a1=3这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.
问题:在数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,且 .
(1)证明{an}为等比数列;
(2)设bn=log3an,且Tn=+++…+,证明Tn<1.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)(2021湖南长沙长郡中学高二上期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.
(1)求C的标准方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
19.(12分)(2021江苏扬州一中高三上月考)已知函数f(x)=x-ln(x+1),g(x)=ex-1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[2,+∞)时,证明:>2.
20.(12分)(2021吉林蛟河一中高三上月考)新冠肺炎疫情期间,某企业生产的口罩能全部售出,每月生产x万件(每件5个口罩)的利润函数为p(x)=(单位:万元).
(1)当每月生产5万件口罩时,利润为多少万元
(2)当月产量为多少万件时,生产的口罩所获月利润最大 最大月利润是多少
21.(12分)(2021江苏徐州一中、兴化中学高三上联考)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x2=2py(p>0),一平行于y轴的光线从上方射向抛物线上的点P,经抛物线2次反射后,又沿平行于y轴的方向射出,已知两平行光线间的最小距离为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:y=x+m与抛物线C交于A,B两点,以点A为顶点作△ABN,使△ABN的外接圆圆心T的坐标为,求弦AB的长度.
22.(12分)(2020江苏南通中学高三月考)中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t)(单位:人).
(1)求P(t)的表达式;
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t-2000(单位:元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益最大
答案全解全析
第1章 直线与方程
1.D 过点(0,1)且斜率为的直线方程为y-1=(x-0),即y=x+1,
令y=0,则x=-2,即该直线在x轴上的截距是-2.故选D.
2.A 两直线方程可化为y=-ax+1,y=-+,因为两直线垂直,所以-ax=-1,
则a+(a2-2)=0,解得a=-2或a=1.
所以“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a2-2)y-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.
3.C ∵直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),∴k2=.
∵l1∥l2,∴=,解得a=.故选C.
4.C 因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,
所以要使线段OP最小,只需OP和直线垂直即可,
所以OPmin==2.故选C.
5.D ∵线段AB的中点为M(2,1),kAB=-,
∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,∵AC=BC,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.
6.B 因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=ab,于是ab≥10,ab≥20.当a=1时,没有这样的b满足条件;当a=3时,b=8;当a=5时,b∈{4,6,8};当a=7时,b∈{4,6,8},所以这样的直线的条数为7.
故选B.
7.D 如图所示,直线l:x-y+1=0与y轴的交点为C(0,1),且倾斜角为,
因为A(1,1),所以AC∥x轴,所以∠ACy 的平分线在直线l上,
所以A(1,1)关于直线l:x-y+1=0的对称点在y轴上,设为点D,则D(0,2)
所以直线l为AD的中垂线,则PD=PA,所以PA+PB=PB+PD,
连接BD,当B,P,D三点共线时,PB+PD最小.
此时PA+PB的最小值为BD==2.故选D.
8.A 因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),
所以f(t)=t2+at+b,f=++b,
因为存在非零实数t,使得f(t)+f=-2,
所以存在实数t≠0,使+a+2b=0成立,
a2+4b2的几何意义为坐标原点与点(a,2b)的距离的平方,
记2b=m,u=t+,则u2≥4.
故+a+2b=0可化为ua+m+u2=0,其表示动点(a,m)的轨迹,设为直线l,则原点与点(a,m)的距离的最小值为原点到直线l的距离,
故a2+4b2≥=,令s=u2,s≥4.
因为y=-在[4,+∞)上是增函数,
所以y=-≥,
所以a2+4b2≥,当且仅当t=±1时,取等号.
故选A.
9.BD 对于A,点P(1,2)在直线y=2x上,且该直线在x,y轴截距都为0,故A错误;
对于B,令x=0,则y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确;
对于C,x-y+1=0可化为y=x+,则该直线的斜率k=tanα=,所以倾斜角α=30°,故C错误;
对于D,过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线上的所有点的横坐标为5,故D正确.
故选BD.
10.CD 对于选项A,直线l:x-y+1=0的斜率k=tanθ=,故直线l的倾斜角θ是,故A错误;
对于选项B,因为直线m:x-y+1=0的斜率k'=,kk'=1≠-1(k为直线l的斜率),故直线l与直线m不垂直,故B错误;
对于选项C,点(,0)到直线l的距离d==2,故C正确;
对于选项D,过(2,2)与直线l平行的直线方程是y-2=(x-2),整理得x-y-4=0,故D正确.
故选CD.
11.AC 存在k=0,使得l2的方程为x=0,其倾斜角为90°,故A错误;
直线l1:x-y-1=0过定点(0,-1),直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R) k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),故B正确;
当k=-时,直线l2的方程为x-y-=0,即x-y-1=0,l1与l2重合,故C错误;
两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,方程无解,故对任意的k,l1与l2都不垂直,选项D正确.
故选AC.
12.ABC 直线y=3x+3与x轴交点为A(-1,0),与y轴交点为B(0,3),又C(3,0),故可设f(x)=a(x+1)(x-3),将B(0,3)代入,得3=a×1×(-3) a=-1,
所以f(x)=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,其图象的对称轴为直线x=1.
设Q(1,a),
当AB=AQ时,=,解得a=±,所以Q(1,-）或Q(1,),所以A选项正确.
当AB=BQ时,=,解得a=0或a=6.由于点(1,6)在直线y=3x+3上,故舍去,所以Q(1,0),所以B选项正确,D选项错误.
当QA=QB时,=,解得a=1,故Q(1,1),所以C选项正确.
故选ABC.
13.答案 2x+y-1=0
解析 与直线x-2y+3=0垂直的直线斜率为-2,又直线过点P(-1,3),则所求直线方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.
14.答案
解析 由题意可得l1:y=x+3,l2:y=-x-1,
∵l1∥l2,∴=-,解得k=-4,
当k=-4时满足条件,
故直线l2为x-2y-2=0,
故直线l1,l2间的距离d==.
15.答案
解析 根据题意,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,
则a-1+2b=0,变形可得a+2b=1,
则ab=(a×2b)≤×=,当且仅当a=2b=时,等号成立,
即ab的最大值为.
16.答案 x-3y+1=0
解析 因为中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,
所以可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a由AC中点为D(0,2),可得A(-a,3a-3),
所以kAE==-3+,
因为CE为等腰△ABC斜边上的中线,所以CE⊥AB,故kAB=,
因为A、E、B三点在同一条直线上,所以kAE=-3+=kAB=,
所以a+b=3①,
又CE=AE,D是AC的中点,所以AC⊥DE,
所以kCD·kDE=-1,即×=-1,化简得2ab=3(a+b)-5②,
由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),
所以点E(2,1),又因为kAB=,
所以直线AB的方程为y-1=(x-2),即x-3y+1=0.
17.解析 (1)因为l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0,①
又因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0,② (3分)
由①②解得a=2,b=2. (5分)
(2)因为l1∥l2,所以a×1=-b(a-1),
所以l2:ax-by-b2=0,
又因为坐标原点到l1,l2的距离相等,
所以=,解得b=±2. (8分)
当b=2时,a=;当b=-2时,a=2.
所以或 (10分)
18.解析 直线mx+y-3m-1=0可化为m(x-3)+y-1=0,
由可得所以点A的坐标为(3,1). (3分)
(1)设直线l的方程为x-2y+n=0,
将点A(3,1)代入方程可得n=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0. (5分)
(2)①当直线l'的斜率不存在时,因为直线过点A,所以直线l'的方程为x=3,
符合原点到直线l'的距离等于3; (8分)
②当直线l'的斜率存在时,设直线l'的方程为y=kx-3k+1,即kx-y-3k+1=0,
因为原点到直线的距离为3,所以=3,解得k=-,
所以直线l'的方程为4x+3y-15=0. (10分)
综上,直线l'的方程为x=3或4x+3y-15=0. (12分)
19.解析 (1)以灯柱底端O点为原点,灯柱OA所在直线为y轴,路宽OC所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则A点的坐标为(0,h),C点的坐标为(23,0). (2分)
因为灯杆AB与灯柱OA成120°角,所以AB的倾斜角为30°,则B点的坐标为,即.
因为BD⊥AB,所以kBD=-, (4分)
当h=10时,B点的坐标为,此时BD所在直线的方程为y-=-,即x+y-15=0.
故当h=10米,AB=米时,灯罩轴线BD所在的直线的方程为x+y-15=0. (6分)
(2)易知点D的坐标为.
可求得B, (8分)
所以直线BD的斜率k==-,解得AB=.
所以当h=米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,AB=米. (12分)
20.解析 (1)证明:由(a+1)x+y-5-2a=0得a(x-2)+x+y-5=0,
则解得
所以无论a为何值,直线l必过一定点P(2,3). (4分)
(2)由题意得a≠-1.当x=0时,yB=5+2a,当y=0时,xA=,
由得a>-1, (6分)
所以S△AOB=·(5+2a)·=
≥=12,
当且仅当4(a+1)=,即a=时,取等号.
所以A(4,0),B(0,6),
所以△AOB的周长为OA+OB+AB=4+6+=10+2. (8分)
(3)直线l在两坐标轴上的截距均为整数,即5+2a,均为整数,
因为=2+,所以a=-4,-2,0,2, (10分)
又当a=-时,直线l在两坐标轴上的截距均为零,也符合题意,
所以直线l的方程为3x-y-3=0,x-y+1=0,x+y-5=0,3x+y-9=0,3x-2y=0. (12分)
21.解析 (1)C(1,2)关于x轴的对称点C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3,
由得x=5∈[3,5],则此时N(5,2),
所以光所走过的路程C'N=4. (4分)
(2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],令其端点为A(3,5),B(5,3),
则kC'A=,kC'B=,所以反射光线斜率的取值范围是. (8分)
(3)若反射光线与直线y=-x+b垂直,光所走过的路程最短,则由得x=.∵b≥6,∴x=≥.
①当x=∈,即6≤b≤7时,光所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离,此时s===; (10分)
②当x=∈(5,+∞),即b>7时,光所走过的最短路程为线段C'B',其中B'(5,b-5),
此时s==,
综上,s= (12分)
22.解析 (1)依题意,直线方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,
即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,
所以解得故直线过定点P. (4分)
(2)依题意设直线方程为+=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),
将P代入得+=1.(*)
由题易得解得或 (6分)
其中不满足(*),满足(*).
所以存在直线+=1,即3x+4y-12=0满足条件. (8分)
(3)由(1)知直线过定点P,若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,则直线的倾斜角α∈,
所以PM=,PN=-,
所以PM+PN=-×=-=2×①, (9分)
令t=cosα-sinα=cos,
由于α∈,所以α+∈,所以cos∈,
所以t=cos∈[-,-1). (10分)
则①可化为PM+PN=2×=,由于y=-t在[-,-1)上为减函数,所以y=在[-,-1)上为增函数,故当t=-,即α=时,PM+PN取得最小值,为=4.此时直线方程为y-2=-,即3x+3y-10=0. (12分)
第2章 圆与方程
1.B 将方程x2+y2+2x-4y=0化为标准形式,得(x+1)2+(y-2)2=5,
∴圆的半径r=.故选B.
2.B 由圆的方程可知,圆心(-3,0),半径r=2,
圆心(-3,0)关于原点对称的点的坐标为(3,0),
则圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为(x-3)2+y2=4.
故选B.
3.A 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意得圆心(a,b)为AB的中点,
根据中点坐标公式可得a==,b==,
易知r===,
所以圆的标准方程为+=,
化简整理得x2+y2-x-y-8=0.故选A.
4.B 由题意可得圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=4,则圆心(-1,1),半径为2,
圆心到直线x+y+a=0的距离为d==|a|,
由圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+a=0的最大距离为4,
可得|a|+2=4,解得a=±2.故选B.
5.A 因为过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,
所以点P(2,1)在圆上,
则22+12+4a+a+2a2+a-1=0,解得a=-2或a=-1.
又x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0为圆的方程,
所以(2a)2+a2-4(2a2+a-1)>0,即-2故选A.
6.D 由题意知圆C的圆心为(-1,2),半径r=2,
因为M为线段AB的中点,所以CM==1,
所以M在以C(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,
又M在直线2x+y+k=0上,
所以直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y-2)2=1有公共点,
于是≤1,解得k∈[-,].故选D.
7.D 如图所示,圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为C'1(2,-3),半径为1,
点M关于x轴对称的点为M',
圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3,
由图可知,当P,M',N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,
且PM+PN的最小值为圆C'1与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,
即C'1C2-3-1=-4=5-4,故选D.
8.A 圆C1化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=1,圆心C1(-1,-2),半径R=1,
圆C2化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C2(2,-1),半径r=2,
设点(-1,-2)关于直线l:y=x+2对称的点为(a,b),
则 解得
设圆C1关于直线l:y=x+2对称的圆为圆C',则C'(-4,1),半径R'=1,则其方程为(x+4)2+(y-1)2=1,
设圆C'上的点M'与圆C1上的点M关于直线l对称,则有PM=PM',
原问题可以转化为P到圆C'和圆C2上的动点距离之和的最小值,
如图,连接C2C',与直线l交于点P,
此时点P是满足PN+PM'最小的点,
此时PN+PM'=C2C'-3=2-3,即MP+NP的最小值为2-3.
故选A.
9.BCD 圆M的一般方程化为标准形式为(x-4)2+(y+3)2=52,
故圆心为(4,-3),半径为5,故A错误,C正确;
令x=0,得y=0或y=-6,故y轴被圆M截得的弦长为6,故D正确;
令y=0,得x=0或x=8,故x轴被圆M截得的弦长为8,故B正确.
故选BCD.
10.AD ∵直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,
∴圆心到直线的距离等于半径的.
由题意知圆心为C(3,3),半径为r=6,
∴=2,解得m=2或m=10.
故选AD.
11.AC 选项A中,因为圆O和圆M相交于A、B两点,所以两圆有两条公切线,故A正确;
选项B中,圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0的方程相减得y=2x-4,所以直线AB的方程为y=2x-4,故B错误;
选项C中,圆心O到直线AB的距离d==,所以线段AB的长为2=2=,故C正确;
选项D中,因为λ∈R,λ≠-1,所以恒成立,即过A、B两点,方程可化为x2+y2-x+y+=0,
而+-4×=>0恒成立,
所以方程(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圆,
但此圆系不包括圆M,故D不正确.
故答案为AC.
12.BD 设点M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),
所以·=(-x-1)(-x+1)+y2=3,即x2+y2=4,
所以M的轨迹方程为x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为2,
由此可知圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1与x2+y2=4有公共点,
又因为圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1的圆心为(2a-1,2a+2),半径为1,
所以1≤≤3,解得-1≤a≤.
故选BD.
13.答案 ±
解析 圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,
由题意得=1,解得m=±.
14.答案 ±1
解析 由题意得圆心C(a,0),半径r=1,
故圆心C(a,0)到直线l:x-y=0的距离d=,
因为直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为,
所以=2=2,解得a=±1.
15.答案 x=1或3x+4y-15=0
解析 圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的圆心C(2,1),半径r=2,
设圆心C到直线l的距离为d,则d===1,
当直线l的斜率不存在时,直线l:x=1,满足d=1;
当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,
所以d===1,解得k=-,
所以l的方程为3x+4y-15=0,
综上所述,直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.
16.答案 [-1-,-1+]
解析 由题意知圆心C(m,2),半径r=2.
取AB的中点Q,连接CQ,则CQ⊥AB.
所以CQ===1,
所以点Q在圆(x-m)2+(y-2)2=1上.
易知=+=2,
设P(x0,y0),Q(x1,y1),则=(x1-x0,y1-y0),
=(m,2),所以则
所以+=1,即+=1,
所以点P在以D为圆心,1为半径的圆D上,
又点P在直线l:y=-2x上,所以直线l与圆D有公共点,
所以≤1,解得-1-≤m≤-1+.
17.解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圆心M(6,7),半径r=5. (2分)
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0),
∵圆N与x轴相切,与圆M外切,
∴0从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (5分)
(2)当切线的斜率不存在时,切线l的方程为x=1,满足条件; (6分)
当切线的斜率存在时,设切线l的方程为y=k(x-1),
∴圆心M(6,7)到直线l的距离等于半径5,
即5=,化简得70k=24,解得k=,
故切线l的方程为12x-35y-12=0. (8分)
综上,切线l的方程为x=1或12x-35y-12=0. (10分)
18.解析 (1)圆C的方程化为标准形式为(x-2)2+y2=16,
故圆心C(2,0),半径r=4. (2分)
(2)因为直线l被圆截得的弦长最大,所以直线l过圆心C,
易求得kCP==1, (4分)
所以直线l的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0. (7分)
(3)易知CP垂直平分弦AB,又kCP=1,所以kAB=-1, (9分)
故直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0. (12分)
19.解析 (1)圆C:x2+y2+2x-4y+m=0化为标准形式为(x+1)2+(y-2)2=5-m, (1分)
故圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为. (2分)
由于圆C与y轴相切,所以=1,得m=4,所以圆C的半径为1. (3分)
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,圆C的圆心(-1,2)到直线x=-2的距离为1,所以直线l:x=-2为圆C的切线. (5分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2)+4,由直线l与圆相切得=1,解得k=-.此时切线l的方程为y=-x+. (7分)
综上,满足条件的切线l的方程为x=-2或y=-x+. (8分)
(3)设P(x,y),则PM2=PC2-MC2=(x+1)2+(y-2)2-1,PO2=x2+y2, (9分)
由于PM=2PO,所以(x+1)2+(y-2)2-1=4(x2+y2), (10分)
整理得+=, (11分)
所以点P的轨迹是以为圆心,为半径的圆. (12分)
20.解析 (1)∵圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+2y-5=0相切,
∴=r,∴r=, (2分)
∴圆O的方程为x2+y2=5. (3分)
(2)∵直线l被圆O所截得的弦长为4,
∴圆心到直线l的距离d==1.
当直线l的斜率不存在时,x=-1,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x+1),
即kx-y+k+3=0, (5分)
则d==1,
∴k=-,∴直线l的方程为4x+3y-5=0. (6分)
综上所述,直线l的方程为4x+3y-5=0或x=-1. (7分)
(3)设直线AB的方程为y=k1x+,
与圆方程联立,消去y得(1+)x2+2k1x=0,
∴xB=-,yB=,即B, (9分)
设直线AC:y=k2x+,
同理可得xC=-,yC=,
∵k1k2=-,∴k2=-,用-代替k2得C,
则kBC==,
∴直线BC的方程为y-=, (11分)
令x=0,可得y==,
则直线BC过定点. (12分)
21.解析 (1)设点E(x,y),☉E的半径为R,
则R=x+,EF=R+=x+1, (2分)
所以点E到直线x=-1的距离与到点F(1,0)的距离相等,
即x+1=,
化简得动圆圆心E的轨迹C1的方程为y2=4x. (4分)
(2)由题意得,直线AC斜率不可能为零,
设点A(x1,y1),C(x2,y2),D(x0,y0),
直线AC的方程为x=my+t,
与y2=4x联立,消去x得y2-4my-4t=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4t,
故线段AC的中点M(2m2+t,2m), (6分)
在曲线C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,
则点B,D关于点M对称,所以B(4m2+2t-x0,4m-y0),
又因为点B在曲线C1:y2=4x上,所以(4m-y0)2=4(4m2+2t-x0),
整理得my0+t=+,(*) (9分)
设点D到直线AC的距离为d,
则S△ACD=AC·d=|y1-y2|·=·|my0-x0+t|,
将(*)代入上式,得S△ACD=·,
又因为=4x0-4,所以S△ACD==
==,
当m=时,△ACD的面积有最小值,且最小值为. (12分)
22.解析 (1)设圆心C(t,3t),则由圆C与x轴正半轴相切,可得半径r=3|t|.
圆心到直线l:x-y=0的距离d==|t|,由7+2t2=r2,解得t=±1.
故圆心为(1,3)或(-1,-3),半径为3. (2分)
∵圆C与x轴正半轴相切,∴C(1,3),
故圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9. (3分)
(2)①设A(xA,yA),M(x,y),则=(x-xA,y-yA),=(7-x,6-y),
∴∴ (5分)
∵点A在圆C上运动,
∴(3x-14-1)2+(3y-12-3)2=9,
∴(x-5)2+(y-5)2=1,
∴点M的轨迹方程为(x-5)2+(y-5)2=1,
它是一个以(5,5)为圆心,1为半径的圆. (7分)
②假设存在一点T(t,t),满足=λ(其中λ为常数),
设P(x,y),则=λ,
化简得x2+y2=λ2(x2-2tx+t2+y2-2ty+t2), (9分)
∵P在轨迹Γ上,∴(x-5)2+(y-5)2=1,
化简得x2+y2=10x+10y-49,
∴10x+10y-49=λ2(10x+10y-49-2tx-2ty+2t2),
整理得x(10-10λ2+2tλ2)+y(10-10λ2+2tλ2)+49λ2-2λ2t2-49=0,
∴解得t=.
∴存在T满足条件. (12分)
第3章 圆锥曲线与方程
1.D 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选D.
2.D 因为椭圆的长轴长为6,离心率为,
所以2a=6,e==,所以a=3,c=1,
又b2=a2-c2=8,
所以椭圆的标准方程为+=1.
故选D.
3.A 由双曲线-y2=1(a>0)的离心率为,可得=,解得a=(负值舍去).故选A.
4.C 设此弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②得=-=-,又kAB=,则kAB=-,故弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),化简得x+2y-3=0.
故选C.
5.A 由题意,可得抛物线的准线方程为x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以AB=x1+x2+4=16,即x1+x2=12,
所以点P的横坐标为=6,所以点P到y轴的距离为6.
故选A.
6.B 由题意,不妨设点B在x轴上方,则B,设P(0,t),又A(a,0),且=,∴(-a,t)=,∴a=c,∴e==.
故选B.
7.D ∵直线FN与直线l1垂直,
∴kFN·=-1,即kFN=-,
∴直线FN的方程为y=-(x-c),联立
得
∴N,
∵OF=FN,
∴c2=+,解得3b2=a2,
∴e===.
8.D 易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
则直线AB:y=k1(x-2),直线AF:y=(x-1),直线BF:y=(x-1),
由得x2-2x-x+1=0,
则x1x3=1,∴x3=,
∴y3==-,
同理,x4=,y4=-,
∴k2==
==
==2k1.
∴=.故选D.
9.ACD 对于选项A,mx2+ny2=1可化为+=1,
因为m>n>0,所以<,此时曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;
对于选项B,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,
此时曲线C是圆心在原点,半径为的圆,故B不正确;
对于选项C,mx2+ny2=1可化为+=1,
因为mn<0,所以与异号,此时曲线C是双曲线,令mx2+ny2=0,可得y=±x,故其渐近线方程为y=±x,故C正确;
对于选项D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,
即y=±,此时曲线C是平行于x轴的两条直线,故D正确.
故选ACD.
10.ACD 由双曲线方程-=1知a=2,b=,焦点在y轴上,其渐近线方程为
y=±x=±x,故A正确;c==,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,故B错误;联立得或由对称性知M点的横坐标是±,故C正确;=F1F2·|xM|=×2×=2,故D正确.故选ACD.
11.ACD 易知F(1,0),不妨设点A在第一象限.
若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),
此时AB=4,OA+OB=2OA=2,
此时S△OAB=×4×1=2,故B错误;
若直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
显然k≠0,则直线l的方程为y=k(x-1),
联立消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,
∴AB=x1+x2+2=4+>4,
原点O到直线l的距离d=,
∴S△OAB=×AB×d=××=2>2,
综上,AB≥4,S△OAB≥2,故A正确,D正确;
如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则PA+AF=PA+AN,
故当P,A,N三点共线时,PA+AF取得最小值,最小值为3,故C正确.
故选ACD.
12.ACD 选项A中,因为F1F2=2,所以F2(1,0),PF2=1,所以QF1+QP=2-QF2+QP≥2-PF2=2-1,当Q,F2,P三点共线时取等号,故A正确;
选项B中,若椭圆C的短轴长为2,则b=1,a=2,此时椭圆方程为+y2=1,由+1>1,可知点P在椭圆外,故B错误;
选项C中,因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,又a-b=1,所以b=a-1,所以+<1,即a2-3a+1>0,所以a>==,所以>,所以e=<,所以椭圆C的离心率的取值范围为,故C正确;
选项D中,若=,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),所以+=1,又a-b=1,所以a2-11a+9=0,所以a===,所以=,所以椭圆C的长轴长为+,故D正确.
故选ACD.
13.答案 4
解析 由题得a2-4=9+3,解得a=4或a=-4(舍去),
故答案为4.
14.答案
解析 由题易得抛物线的焦点为(1,0),
双曲线的渐近线方程为y=±x,即3x+4y=0或3x-4y=0.
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.
故答案为.
15.答案 4
解析 不妨设点P位于第一象限,如图,
设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,由椭圆及双曲线的定义知
∴PF1=a1+a2,PF2=a1-a2,又F1F2=2c,∠F1PF2=,
∴由余弦定理得4c2=+-2(a1+a2)(a1-a2)·cos,
化简得+3=4c2,
∴+=4,即+=4.故填4.
16.答案 y2=6x
解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),设两条平行光线间的距离为d,
由题意可知,d=|y1-y2|,
易知F,且直线PQ过点F,则可设直线PQ的方程为x=my+,m∈R,
联立消去x,得y2-2pmy-p2=0,
由根与系数的关系可得y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
则d=|y1-y2|==2p≥2p,
所以2p=6,
故抛物线的方程为y2=6x.
17.解析 (1)若命题p为真命题,则满足 (3分)
解得-44,
即m的取值范围为(-4,-2)∪(4,+∞). (5分)
(2)若命题q为真命题,则(m-t)(m-t-1)<0,即t因为p是q的必要不充分条件,所以{m|t4}, (8分)
即-4≤t或t+1≤-2或t≥4,解得-4≤t≤-3或t≥4.
即实数t的取值范围为[-4,-3]∪[4,+∞). (10分)
18.解析 (1)设双曲线的标准方程为-=1.由题意可得2a=2,2c=2,
所以a=,c=, (2分)
所以b2=c2-a2=2,所以b=,
所以双曲线C的标准方程为-=1. (5分)
(2)联立消去y,整理可得x2+2x-9=0, (8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-9, (10分)
所以AB=|x1-x2|=×=×=8. (12分)
19.解析 (1)由题意知,椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0),
由椭圆的定义知c=2,
2a=+=2, (3分)
所以a=,所以b2=a2-c2=10-4=6,
故椭圆的标准方程为+=1. (5分)
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得8x2+10x-25=0,
所以x1+x2=-,x1x2=-. (8分)
设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则x0==-,y0=,
所以线段AB的中点坐标为. (10分)
由弦长公式得AB=×=×=. (12分)
20.解析 (1)由F1F2=2得c=1,又=×2×b=,所以b=, (2分)
所以a==2.
所以椭圆的标准方程为+=1. (4分)
(2)证明:已知点B,当直线BB1的斜率不存在时显然不满足题意,
所以直线BB1的斜率存在.
设直线BB1:y-=k(x-1),即y=kx+-k,由于直线BB1,BB2关于直线x=1对称,因此直线BB2的斜率为-k,故直线BB2:y=-kx++k, (6分)
设B1(x1,y1),B2(x2,y2),
联立整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0, (7分)
则x1=(方程有一解是x=1),同理x2=, (9分)
则=====,所以直线B1B2的斜率为定值. (12分)
21.解析 (1)由题意知解得 (3分)
所以椭圆C的标准方程为+=1. (5分)
(2)由题意知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+m,其中m≠±2,
联立得(3k2+2)x2+6kmx+3m2-12=0,
Δ=36k2m2-12(3k2+2)(m2-4)=24(6k2+4-m2),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, (6分)
易得A(0,2),B(0,-2),因为AP⊥AQ,
所以·=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+m-2)(kx2+m-2)
=(k2+1)x1x2+k(m-2)(x1+x2)+(m-2)2=0,
所以(k2+1)×+k(m-2)×+(m-2)2=0,
即(k2+1)(3m2-12)-6k2m(m-2)+(m-2)2(3k2+2)=0,
因为m≠±2,所以(k2+1)(3m+6)-6k2m+(m-2)(3k2+2)=0,
所以3k2m+6k2+3m+6-6k2m+3k2m+2m-6k2-4=0,即5m+2=0,
所以m=-,满足Δ>0.所以直线PQ的方程为y=kx-,即直线PQ过定点. (8分)
解法一:因为△ABH存在,所以k≠0,
所以直线AH的斜率为-,方程为y=-x+2,
联立解得点H的横坐标为xH=, (10分)
所以S△ABH=AB×|xH|=×4×=≤,
当且仅当|k|=,即k=±1时取等号,即△ABH面积的最大值为. (12分)
解法二:设直线PQ所过的定点为D,则D. (9分)
因为AH⊥PQ,所以点H在以AD为直径的圆上,
所以=AB×=×4×=,即△ABH面积的最大值为. (12分)
22.解析 (1)设点(x0,y0)在抛物线y2=2px上,则=2px0.下面证抛物线y2=2px在点(x0,y0)处的切线方程为y0y=p(x+x0),
联立消去x,得y2-2y0y+2px0=0,即y2-2y0y+=0, (2分)
所以关于y的方程y2-2y0y+=0有两个相等的实根,即y1=y2=y0,此时x==x0,
因此直线y0y=p(x+x0)与抛物线y2=2px相切,且切点为(x0,y0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,t),
则以A为切点的切线方程为y1y=2(x+x1),
同理,以B为切点的切线方程为y2y=2(x+x2), (4分)
因为两条切线均过点P(-1,t),所以即
所以点A、B的坐标满足直线2x-ty-2=0的方程,
所以直线AB的方程为2x-ty-2=0,
令y=0,可得x=1,所以直线AB过定点(1,0). (6分)
(2)设点P到直线AB的距离为d,则==.
由题意可知,直线AB不与x轴重合,可设直线AB的方程为x=my+1,
设C(x3,y3),D(x4,y4),联立得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0恒成立,
由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4, (8分)
由弦长公式可得AB=|y1-y2|=×=4(m2+1),
联立得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0恒成立,
则y3+y4=-,y3y4=-, (10分)
由弦长公式得CD=|y3-y4|=×=.
所以====m2+≥,
当且仅当m=0时,等号成立.
因此的最小值为. (12分)
第4章 数列
1.D 当n=1时,S1=2a1-1=a1,解得a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1,
所以{nan}的前5项和为1×20+2×21+3×22+4×23+5×24=129,故选D.
2.A 设等比数列{an}的公比为q,依题意可得q≠1.
∵an>0,a1=,Sn<2,∴×qn-1>0,<2,∴0∴0<1-qn<1,
∴4-4q≥1,解得q≤.综上可得,{an}的公比的取值范围是.故选A.
3.C 设等比数列{an}的公比为q.由a102a103-1>0,得a102a103>1,则×q>1,所以q>0,
所以等比数列{an}的各项均为正数,由<0,得(a102-1)(a103-1)<0,又a1>1,
所以a102>1,a103<1,所以T204=a1·a2·…·a203·a204=>1,
T205=a1·a2·…a203·a204·a205=<1,
故使得Tn>1成立的最大正整数n的值为204,故选C.
4.B 设数列3,4,6,9,13,18,24,…为{an},易得an-an-1=n-1(n≥2),a1=3,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(n-1)+(n-2)+…+1+3=+3=+3.
所以a19=+3=174.故选B.
5.C 由an+1=an(n∈N*)可知数列{an}是公比为的等比数列,
所以an=·=,所以bn==(n-2λ)2n,
因为数列{bn}是递增数列,所以bn+1>bn对于任意的n∈N*恒成立,
即(n+1-2λ)2n+1>(n-2λ)2n,整理得λ<,又n∈N*,∴λ<,故选C.
6.B 因为数列{an}满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(n∈N),
所以a1=a3=a7=…==1,k∈N*,=+=1+,k∈N*,
=,=+,=,……,=+,k∈N*,
设S(k)=++…+,
所以S(k)=++…+=3(++…+)+2-2=3S(k-1)-2,
又a0=1,所以a1=1,a2=2,a3=1,a4=3,S(1)=a3+a4=4,
所以S(k)-1=3[S(k-1)-1],S(1)-1=3,所以S(k)-1=3k,即S(k)=3k+1,所以a1+a2+…+a128=1+2+S(1)+…+S(6)=3+(3+1)+(32+1)+…+(36+1)=1101.
故选B.
7.A 对任意的n∈N*有Sn=an-,可得a1=S1=a1-,解得a1=-2,
当n≥2时,Sn=an-,Sn-1=an-1-,两式相减得Sn-Sn-1=an-an-1=an,即an=-2an-1,所以{an}是首项为-2,公比为-2的等比数列,
所以an=(-2)n,所以Sn==-[1-(-2)n],
所以1当k=2和k=4时不等式成立,所以k的值为2或4,故选A.
8.B ∵an+1=+an,a1=2,
∴an>0,∴an+1-an=>0,即数列{an}为递增数列,
∴an+1=an(an+1)≥6,即==-≤.
易得=-.
∵=2,
∴Sm=++…+
=2+2+…+2
=2m-2
=2m-2
=2m-2
=2m-1+,
∵m∈N*,a2=+a1=6,
∴2m-1+≤2m-1+=2m-,
∵Sm<2020恒成立,
∴2m-<2020,即m<1010+,
∴正整数m的最大值为1010.
9.AC 因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N*),所以S1=2a1+1,
因此a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;
所以an=-2n-1,因此a5=-1×24=-16,故A正确;
又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;
因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC.
10.BC 由a2a3a4=64得=43,则a3=4.设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由a2+a4=10,得+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.又数列{an}单调递增,所以q=2,所以2a1+8a1=10,解得a1=1,所以an=2n-1,Sn==2n-1,所以Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC.
11.ABD 若q<0,则a6<0,a7>0,∴a6a7<0,与a6a7>1矛盾,故舍去;若q≥1,则a6>1,a7>1,∴>0,与<0矛盾,故舍去,∴0∵<0,∴a6>1>a7>0,∴a6a8=∈(0,1),B正确.
∵an>0,∴Sn单调递增,即Sn的最大值不为S7,C错误.
当n≥7且n∈N*时,an∈(0,1),当1≤n≤6且n∈N*时,an∈(1,+∞),∴Tn的最大值为T6,D正确.故选ABD.
12.ABD 数列{an}的前n项和满足an+1=2Sn(n∈N*),
当n≥2时,an=2Sn-1,两式相减,整理得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n≥2),
所以an+1=3an(n≥2),即=3(n≥2),又a1=1,a2=2S1=2a1=2,
所以=2,所以数列{an}的通项公式为an=
当n≥2时,Sn===3n-1,又S1=a1=1,符合此式,
所以数列{an}的前n项和Sn=3n-1,又==3,所以数列{Sn}为公比为3的等比数列.故选ABD.
13.答案 100
解析 ·a7=·(a5·a7)=·===100.
14.答案
解析 由题意知,数列{an}满足2Sn=5an-7,当n≥2时,2Sn-1=5an-1-7,
两式相减,可得2Sn-2Sn-1=5an-7-(5an-1-7),即2an=5an-5an-1(n≥2),
即=(n≥2),当n=1时,2S1=5a1-7,即2a1=5a1-7,解得a1=,
所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=·=.
15.答案 1349
解析 当k=1时,a1=1,符合题意.
当k≥2时,a1·a2·a3·…·ak=log45·log56·…·logk+2(k+3)=log4(k+3).
令log4(k+3)=m,m∈Z,则k+3=4m,∴k=4m-3.
令2≤k=4m-3≤2020,则5≤4m≤2023,∴2≤m≤5,m∈Z.
∴区间[1,2020]内所有“幸福数”的和为1+(42-3)+(43-3)+(44-3)+(45-3)
=(4-3)+(42-3)+(43-3)+(44-3)+(45-3)
=-15=1349.
16.答案 2n-2;4
解析 因为Sn+2=an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1=2Sn+2,
所以Sn+1+2=2(Sn+2),所以{Sn+2}是等比数列且公比q=2,
又S1+2=a1+2=2,所以Sn+2=2n,所以Sn=2n-2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,则=,
因为<,所以<,
化简得22n-16·2n+14>0,解得2n>8+5或2n<8-5,
因为n∈N*,所以2n>8+5,则nmin=4.
17.解析 (1)当n=1时,S1=(a1-1)=a1,所以a1=a. (1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1), (3分)
整理得=a,即数列{an}是以a为首项,a为公比的等比数列,
所以an=a·an-1=an(a≠0,a≠1). (5分)
(2)由(1)知,bn=+1=,∴b1=3,b2=,b3=, (7分)
由数列{bn}是等比数列,得=b1·b3,
所以=3·,解得a=. (10分)
18.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a2=7,S4=40,所以 (2分)
解得 (4分)
所以an=6n-5. (6分)
(2)由(1)得bn===, (8分)
所以Tn==<. (10分)
要使2Tn≤λ-2020对所有n∈N*都成立,
只需满足1≤λ-2020,故λ≥2021,故λ的取值范围为[2021,+∞). (12分)
19.解析 (1)易知{an}的各项均不为0.因为(n+1)an+1=2(n+2)an,所以=, (2分)
则an=a1····…·=2n-1·a1·=(n+1)·2n-1(n≥2), (4分)
当n=1时,a1=2,满足此式,所以an=(n+1)·2n-1. (6分)
(2)证明:Sn=2·20+3·21+4·22+…+(n+1)·2n-1①,
2Sn=2·21+3·22+4·23+…+n·2n-1+(n+1)·2n②, (8分)
①-②得-Sn=2+21+22+23+…+2n-1-(n+1)·2n
=2+-(n+1)·2n=-n·2n,所以Sn=n·2n, (10分)
所以2an-Sn=(n+1)·2n-n·2n=2n>0,所以Sn<2an. (12分)
20.解析 (1)因为点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x2上,
所以Sn+3=(n+1)2,所以Sn=n2+2n-2. (2分)
当n=1时,a1=S1=1; (3分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-2-[(n-1)2+2(n-1)-2]=2n+1. (5分)
当n=1时,a1=1≠2×1+1,所以an=(6分)
(2)易得an-9=(8分)
当n=1时,T1=|-8|=8.
当1当n=1时,-12+7×1+2=8=T1,满足此式,所以当n≤4,n∈N*时,Tn=-n2+7n+2. (9分)
当n≥5,n∈N*时,Tn=T4+[Sn-S4-9(n-4)]=14+n2+2n-2-22-9n+36=n2-7n+26. (11分)
综上,Tn=(12分)
21.解析 (1)∵数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n=2,3,4,…),
∴a3===, (2分)
a4===. (3分)
(2)当n≥2时,-1=-1==, (4分)
∴当n≥2时,bn=bn-1,∴bn+1=bn,n∈N*, (6分)
∴bn=××××…××b1=nb1,
∵b1=-1=3,∴bn=3n,n∈N*. (8分)
(3)∵cn===tan(3n+3)-tan3n, (10分)
∴Sn=c1+c2+…+cn=(tan6-tan3)+(tan9-tan6)+…+[tan(3n+3)-tan3n]
=tan(3n+3)-tan3. (12分)
22.解析 (1)因为a1=a=4,a2=a1+1=5,a3=a2+1=6,a4==2,a5=a4+1=3,a6==1,a7=a6+1=2,……,所以集合A中的所有元素为4,5,6,2,3,1. (2分)
(2)不妨设成等比数列的连续7项中的第一项为ak,k∈N*,
若ak是3的倍数,则ak+1=ak;若ak被3除余1,则由递推关系可得ak+2=ak+2,所以ak+2是3的倍数,所以ak+3=ak+2;若ak被3除余2,则由递推关系可得ak+1=ak+1,所以ak+1是3的倍数,所以ak+2=ak+1.
所以成等比数列的连续7项的公比为. (5分)
因为an∈N*,所以这7项中的前6项一定都是3的倍数,而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会大于7).
设第7项为p,则p是被3除余1或被3除余2的正整数,则ak=p×36,
因为36<2020<37,所以ak=36或ak=2×36. (7分)
由递推关系式可知,在该数列的前k-1项中,满足小于2020的项只有
ak-1=36-1或2×36-1,ak-2=36-2或2×36-2,
所以a的所有可能取值构成的集合为{36,2×36,36-1,2×36-1,36-2,2×36-2}. (9分)
(3)证明:若ak被3除余1,则ak+1=ak+1,ak+2=ak+2,ak+3=(ak+2);
若ak被3除余2,则ak+1=ak+1,ak+2=(ak+1),ak+3≤(ak+1)+1;
若ak被3整除,则ak+1=ak,ak+3≤ak+2.
所以ak+3≤ak+2, (10分)
所以ak-ak+3≥ak-=(ak-3).
所以对于数列{an}中的任意一项ak,若ak>3,则ak>ak+3.
因为ak∈N*,所以ak-ak+3≥1,
所以数列{an}中必存在某一项am≤3(否则会与上述结论矛盾).
若am=1,结论得证.
若am=3,则am+1=1;若am=2,则am+1=3,am+2=1,所以1∈A. (12分)
第5章 导数及其应用
1.C f(x)在[0,π]上的平均变化率为 ==π.故选C.
2.C 因为=2f'(2)=-2,所以f'(2)=-1,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为-1,故所求切线的倾斜角为.故选C.
3.B 因为f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,又f(x)的图象过点,所以=,所以α=2,所以f(x)=x2,所以g(x)=,则g'(x)=.
当x>2或x<0时,g'(x)<0;当00,
所以g(x)=的递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),故选B.
4.A ∵f(x)=ex-(a-1)x+1,∴f'(x)=ex-a+1,∵f(x)在(0,1)上不单调,
∴f'(x)在(0,1)上有变号零点,又∵f'(x)单调递增,∴f'(0)·f'(1)<0,即(1-a+1)(e-a+1)<0,解得2∴a的取值范围是(2,e+1).故选A.
5.A 由题意得f'(x)=3ax2+2ax+7.a=0时,f'(x)=7>0,f(x)单调递增,无极值点;a≠0时,则Δ=4a2-84a≤0,解得06.D 由f(x)=x+cosx,得f'(x)=1-sinx,所以对任意x∈R,f'(x)≥0恒成立,所以y=f(x)在x∈R上单调递增,又0.3-1>2-0.3>log20.2,所以f(0.3-1)>f(2-0.3)>f(log20.2),所以c7.B f(x)=,x∈[-π,0)∪(0,π],其定义域关于原点对称,因为f(-x)===f(x),所以f(x)=,x∈[-π,0)∪(0,π]为偶函数,其函数图象关于y轴对称,所以排除A.易得f'(x)==.令g(x)=xcosx-sinx,则g'(x)=-xsinx,所以当x∈(0,π]时,g'(x)≤0,所以g(x)=xcosx-sinx在x∈(0,π]上单调递减,所以g(x)8.B 设函数g(x)=,则g'(x)==,
因为f'(x)因为f(x+1)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(2)=1,所以f(0)=1,所以g(0)==1,不等式f(x)0,即不等式f(x)9.ABC 对于A,若y=x2+ln2,则y'=2x,故A中结论错误;对于B,若y=(2x+1)2=4x2+4x+1,则y'=8x+4,故B中结论错误;对于C,若y=x2ex,则y'=2x·ex+x2·ex=(x2+2x)ex,故C中结论错误;对于D,若y=,则y'==,故D中结论正确.故选ABC.
10.BC 根据题中图象可知,当x∈[-2,-1]时,f'(x)≤0,则f(x)在[-2,-1]上是减函数,故A错误;当x=-1时,f'(x)=0,当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,故当x=-1时,f(x)取得极小值,故B正确;当x∈[-1,2]时,f'(x)≥0,故f(x)在[-1,2]上是增函数,当x∈[2,4]时,f'(x)≤0,故f(x)在[2,4]上是减函数,故C正确;当x=3时,f(x)不能取到极小值,故D错误.故选BC.
BCD 易知函数y=cosx,y=,y=的周期分别是2π,,,其最小公倍数为2π,所以f(x)的最小正周期为2π,故A中结论错误;因为 f=cos++=0,所以函数f(x)的图象关于点对称,故B中结论正确;f'(x)=-sinx-sin5x-sin9x=
f'(π-x),故C中结论正确; 易知当x=时,f'(x)取得最小值,f'=-sin-sin-
sin=-3,故D中结论正确.故选BCD.
12.CD 构造函数g(x)=,则g'(x)==.
因为(x+1)f'(x)-f(x)所以g'(x)=<0在x∈(0,+∞)上恒成立,即g(x)在(0,+∞)上递减,
所以g(2)所以g(3)若f(1)=2,x>1,则g(x)所以<=,整理得f(x)若f(1)=2,0g(1)在(0,1)上恒成立,所以>,整理得f(x)>x2+x+,故D正确.
故选CD.
13.答案 x-y-1=0
解析 易得f'(x)=ex+xex+2x,f(0)=-1,根据导数的几何意义可知曲线f(x)在点(0,-1)处的切线斜率为f'(0)=1,∴切线方程为y+1=x,即x-y-1=0.
14.答案 3
解析 由题意得f'(x)=3x2+2f'(0),令x=0,得f'(0)=2f'(0),则f'(0)=0,
则f(x)=x3,所以f'(x)=3x2,所以f'(1)=3.
15.答案 [8,+∞)
解析 由题意知h'(x)=2x-,f(x)=2x--5lnx-5ln2,g(x)=x2-bx+4,
∴f'(x)=2+-==,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减.
易知f(x)在区间(0,1]上的最大值为f=-3,
x1∈(0,1], x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,
即f(x)在(0,1]上的最大值大于或等于g(x)在[1,2]上的最大值,
即即解得b≥8,即实数b的取值范围为[8,+∞).
16.答案 0或-;
解析 由k=-2e2,得g(x)=f(x)+2e2x,则当x≥1时,g(x)=f(x)-kx=lnx+2e2x>0恒成立,所以不存在x0,使g(x0)=0;
当x<1时,g(x)=-x3+x+2e2x,因为g(x0)=0,所以-+x0+2e2x0=0,
解得x0=0或x0=-或x0=(舍去).
易知x=0为函数g(x)的一个零点.当x≠0时,令f(x)-kx=0,则k=.
即k=
令φ(x)=,x≥1,则φ'(x)=,x≥1,
当x∈[1,e)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
当x∈(e,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,
所以当x=e时,函数φ(x)取得极大值,极大值为φ(e)=,
作出直线y=k与函数y=的图象,如图所示,
要使函数g(x)恰好有4个零点,只需直线y=k与函数y=的图象有3个不同的交点,由图可知,当k=时,满足条件.
综上,要使函数g(x)恰好有4个零点,则k=.
17.解析 (1)由题意得f'(x)=x2-2x+a, (1分)
∵当x=1+时,f(x)取得极值,∴f'(1+)=0, (2分)
∴-2(1+)+a=0,
∴a=-1,∴f'(x)=x2-2x-1. (3分)
当x<1-时,f'(x)>0;当1-1+时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,1-)上单调递增,在(1-,1+)上单调递减,在(1+,+∞)上单调递增,
∴f(1+)是函数f(x)的极小值. (5分)
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,设f(x)=g(x),整理得x3-x2-3x=b,
设F(x)=x3-x2-3x,则F'(x)=x2-2x-3,
令F'(x)=0,解得x=-1或x=3. (7分)
列表如下:
x -3 (-3,-1) -1 (-1,3) 3 (3,4) 4
F'(x) + 0 - 0 +
F(x) -9 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
易得F(-1)=,F(3)=-9. (9分)
∵函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,
∴函数F(x)的图象与直线y=b有两个公共点,
结合图象(图略)可知-18.解析 (1)当a=1时,f(x)=lnx-(x-1),则f'(x)=-1=, (1分)
令f'(x)=0,得x=1, (2分)
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, (3分)
∴f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,
∴f(x)max=f(1)=0. (4分)
(2)∵f(x)在区间(2,e)上存在零点,∴lnx-=0在(2,e)上有解, (5分)
即a=在(2,e)上有解.
令g(x)=,x∈(2,e),则g'(x)=,x∈(2,e), (6分)
设y=lnx-1+,x∈(2,e),∴y'=-=>0,∴y>ln2-1+=ln>0, (7分)
∴g'(x)>0,∴g(x)在(2,e)上单调递增, (9分)
即g(x)>g(2)=,g(x)∴a∈. (12分)
19.解析 (1)易得f'(x)=2x--2=(x>0). (1分)
由题意得f'(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
即a≤2x2-2x在x∈(0,+∞)上恒成立,而2x2-2x=2-≥-, (3分)
∴a≤-. (4分)
(2)由题意知2x2-2x-a=0在(0,+∞)内有2个不等实根x1,x2,则-且x1+x2=1,x1x2=-, (5分)
不妨设x1则+=+=-3-a=-3+2x1x2=2x2lnx1+2x1lnx2-3=2(1-x1)lnx1+2x1ln(1-x1)-3, (7分)
令g(x)=(1-x)lnx+xln(1-x),
则g'(x)=-lnx++ln(1-x)-=ln+, (9分)
显然-1>1,1-2x>0,x(1-x)>0,故g'(x)>0,则g(x)在上单调递增, (10分)
所以g(x)故g(x)∈(-∞,-ln2),
则+的取值范围是(-∞,-2ln2-3). (12分)
20.解析 (1)因为半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,
所以半球体积V1=πr3dm3,圆柱的体积V2=πr2hdm3.
因为V1+V2=18π,所以V2=πr2h=18π-πr3, (2分)
所以h=-. (3分)
因为V1=πr3<18π,所以r<3,因此0所以h=-,定义域为{r|0(2)易得半球的表面积S1=2πr2dm2,圆柱的侧面积S2=2πrhdm2,圆柱的底面积S3=πr2dm2. (6分)
设容器的总造价为y元,则y=3aS1+aS2+S3=6πr2a+2πrha+·πr2=πr2a+2πra=(0令f(r)=4r2+,则f'(r)=8r-=,
令f'(r)=0,得r=. (9分)
当0当0,则f(r)在上为单调递增函数. (11分)
因此当r=时,f(r)取得极小值,也是最小值,为27,此时y有最小值36πa.
所以当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为dm. (12分)
21.解析 (1)易得f(x)的定义域为(0,+∞), (1分)
f'(x)=a-(lnx+1)=a-1-lnx. (2分)
令f'(x)>0,解得0ea-1, (3分)
所以f(x)的单调递增区间为(0,ea-1),单调递减区间为(ea-1,+∞). (4分)
(2)证明:由(1)可知,f(x)的极大值为f(ea-1)=aea-1-ea-1lnea-1=ea-1,
因为函数f(x)的极大值为1,所以ea-1=1,所以a=1, (5分)
所以f(x)=x-xlnx,所以f'(x)=1-lnx-1=-lnx,
当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,
因为1f(m), (7分)
所以g(n)-f(n)=-(n-nlnn)=n, (8分)
设φ(n)=lnn-,n>1,
则φ'(n)=>0,
所以φ(n)在(1,+∞)上单调递增,所以φ(n)>φ(1)=0, (10分)
所以lnn->0,所以g(n)>f(n).
又f(n)>f(m),所以f(m)22.解析 (1)由题意可得f(x)的定义域为R,f'(x)=m-ex.
当m≤0时,f'(x)<0恒成立,
则f(x)在R上单调递减,f(x)无极值. (2分)
当m>0时,令f'(x)=0,解得x=lnm,
当x∈(lnm,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-∞,lnm)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, (3分)
∴f(x)在x=lnm处取得极大值,极大值为f(lnm)=mlnm-m+3,无极小值,
综上所述,当m≤0时,f(x)无极值,当m>0时,f(x)的极大值为mlnm-m+3,无极小值. (5分)
(2)把代入(x-a)[f(x)-2]∵x>0,
∴ex-1>0,
∴a-x<,
∴a<+x,x>0(*). (7分)
令g(x)=+x,则g'(x)=. (8分)
设h(x)=ex-x-3.
由(1)可知,当m=1时,f(x)=-ex+x+3在(0,+∞)上单调递减,
∴函数h(x)=ex-x-3在(0,+∞)上单调递增,又 (9分)
∴h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0,且x0∈(1,2).
∴g'(x)在(0,+∞)上也存在唯一的零点,且为x0.
当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,
∴g(x)min=g(x0). (10分)
由g'(x0)=0得=x0+3,
∴g(x0)=x0+1,
∴g(x0)∈(2,3), (11分)
由(*)式可知,a∴整数a的最大值为2. (12分)
期中学业水平检测
1.D 直线y=x的方程可化为6x-4y=0,
所以两条平行直线间的距离d==.
故选D.
2.A 由题意可得1×(2m-15)+m×3=0,解得m=3.
故
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020江苏宝应中学高二期末)过点(0,1)且斜率为的直线在x轴上的截距是 ( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
2.(2020江苏启东中学高二月考)已知a,b∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a2-2)y-1=0垂直”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.(2020江苏连云港潜质联盟校高二联考)直线l1的斜率是k1=,直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),l1∥l2,则a的值为 ( )
A.-3 B.1
C. D.
4.(2020江苏海头高级中学高一月考)已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则线段OP的最小值为 ( )
A.4 B.2
C.2 D.2
5.(2021山东郓城一中高二上第一次月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为 ( )
A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0
6.(2020江苏江宁高级中学高二期中)在直线l:+=1中,a∈{1,3,5,7},b∈{2,4,6,8}.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为 ( )
A.6 B.7
C.8 D.16
7.(2020江苏南京田家炳高级中学高二月考)已知点A(1,1)和点B(4,4),P是直线l:x-y+1=0上的一点,则PA+PB的可能取值是 ( )
A.3 B.
C. D.2
8.(2020江苏靖江高级中学高二期中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),若存在非零实数t,使得f(t)+f=-2成立,则a2+4b2的最小值为 ( )
A. B.
C.16 D.4
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020江苏无锡天一中学高二月考)下列说法中,正确的有 ( )
A.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0
B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2
C.直线x-y+1=0的倾斜角为60°
D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0
10.(2020山东潍坊高二期中)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是
B.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m
C.点(,0)到直线l的距离是2
D.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0
11.(2021江苏西亭高级中学高二月考)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论错误的是 ( )
A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,l1与l2都有公共点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都不垂直
12.(2020江苏南通启东中学高一开学考试)如图,已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数f(x)的图象过点A,B,交x轴于另一点C(3,0).若该图象的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形,则点Q的坐标可以是 ( )
A.(1,-) B.(1,0)
C.(1,1) D.(1,6)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2020江苏无锡高二期中)过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是 .
14.(2020江苏镇江三模)已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+ky+k=0,且l1∥l2,则直线l1,l2间的距离为 .
15.(2020江苏太仓高级中学高二月考)已知a,b∈R*,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,则ab的最大值等于 .
16.(2020浙江效实中学高一期中)已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC中点为D(0,2),斜边上中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020江苏苏州高一期中)已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.
18.(12分)(2020江苏大桥实验学校高一期中)已知直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.
(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;
(2)若直线l'经过点A,且坐标原点到直线l'的距离等于3,求直线l'的方程.
19.(12分)(2020江苏东台中学高二期中)在路边安装路灯,灯柱OA的高为h米,路宽OC为23米,灯杆AB与灯柱OA成120°角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直,请你建立适当直角坐标系,解决以下问题:
(1)当h=10米,AB=米时,求灯罩轴线BD所在直线的方程;
(2)当h=米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,求灯杆AB的长.
20.(12分)(2020江苏江宁高级中学高一月考)设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R).
(1)求证:无论a为何值,直线l必过一定点P;
(2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),当△AOB面积最小时,求△AOB的周长;
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数时,求直线l的方程.
21.(12分)(2021山东泰安第一中学高二月考)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的N处.
(1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程;
(2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围;
(3)若b≥6,求光线从C出发,到达点N时所走过的最短路程s.
22.(12分)(2020江苏海安高级中学高二月考)已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.
(1)求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标;
(2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:①△AOB的周长为12 ②△AOB的面积为6 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由;
(3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,当PM+PN取最小值时,求直线的方程.
第2章 圆与方程
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏沭阳高级中学高二月考)已知圆的方程为x2+y2+2x-4y=0,则圆的半径为 ( )
A.3 B. C. D.4
2.(2021山东东营第一中学高二月考)圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为 ( )
A.x2+(y-3)2=4 B.(x-3)2+y2=4
C.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+y2=4
3.(2020江苏海门中学高二月考)以A(3,-1),B(-2,2)为直径端点的圆的方程是 ( )
A.x2+y2-x-y-8=0 B.x2+y2-x-y-9=0
C.x2+y2+x+y-8=0 D.x2+y2+x+y-9=0
4.(2021江苏阜宁中学高二期中)已知圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+a=0的最大距离为4,则实数a的值是 ( )
A.0或4 B.-2或2 C.-2 D.2
5.(2020江苏南京田家炳高级中学高二上月考)已知过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则a= ( )
A.-1 B.-2 C.1或2 D.-1或-2
6.(2020江苏淮阴中学高二上期中)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若存在圆C的弦AB,满足AB=2,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-5,5]
C.(-,) D.[-,]
7.(2020河南郑州高一期末)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为 ( )
A. B.-1 C.6-2 D.5-4
8.(2020江苏宿迁四校联考)已知圆C1:x2+y2+2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2-4x+2y+1=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+2上的动点,则MP+NP的最小值为 ( )
A.2-3 B.2+3 C.-3 D.+3
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020全国高二课时练习)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是 ( )
A.圆M的圆心为(-3,4) B.x轴被圆M截得的弦长为8
C.圆M的半径为5 D.y轴被圆M截得的弦长为6
10.(2020江苏镇江高二期中)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=( )
A.2 B.4 C.6 D.10
11.(2020江苏石榴高级中学高二月考)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0相交于A、B两点,下列说法正确的是 ( )
A.两圆有两条公切线
B.直线AB的方程为y=2x+4
C.线段AB的长为
D.所有过点A、B的圆系方程可以记为x2+y2-4+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1)
12.(2020江苏泰州中学高二期中)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在点M满足·=3,则实数a的值可能为 ( )
A.-2 B.-1 C.2 D.0
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2020山东济南第十一中学高二期中)若直线x-y+m=0与圆x2+y2=1相切,则实数m= .
14.(2020江苏高淳高级中学高二期中)直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为,则实数a的值为 .
15.(2021天津滨海新区高二月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l过点(1,3),且与圆C交于A,B两点,AB=2,则直线l的方程为 .
16.(2020江苏梅村高级中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-2)2=4上两个动点,且AB=2.若直线l:y=-2x上存在点P,使得=+,则实数m的取值范围为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021广东深圳中学高二月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0.
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)过点A(1,0)作圆M的切线,求切线l的方程.
18.(12分)(2020江苏淮安高一期中)已知圆C的方程为x2+y2-4x-12=0,点P(3,1).
(1)求圆C的圆心坐标及半径;
(2)求过点P的直线被圆C截得的弦长最大时的直线l的方程;
(3)若圆C的一条弦AB的中点为P,求直线AB的方程.
19.(12分)(2020浙江温州十五校联合体高二上期中联考)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切,O为坐标原点,动点P在圆外,过P作圆C的切线,切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径;
(2)若点P运动到(-2,4)处,求此时切线l的方程;
(3)求满足条件PM=2PO的点P的轨迹方程.
20.(12分)(2020江苏扬州中学高一期中)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+2y-5=0相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若过点(-1,3)的直线l被圆O所截得的弦长为4,求直线l的方程;
(3)若过点A(0,)作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B、C两点,且k1k2=-,求证:直线BC恒过定点,并求出该定点的坐标.
21.(12分)(2021江苏响水中学高二月考)已知以动点E为圆心的☉E与直线l:x=-相切,与定圆F:(x-1)2+y2=外切.
(1)求动圆圆心E的轨迹C1的方程;
(2)点D是曲线C2:y2=4x-4上的点,若在C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,求△ACD面积的最小值.
22.(12分)(2020江苏南京师大附中高二期中)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,与x轴正半轴相切,且直线l:x-y=0被圆C截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程;
(2)设点A在圆C上运动,点B(7,6),且点M满足=2,记点M的轨迹为Γ.
①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;
②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有为一常数 若存在,求出所有满足条件的点T的坐标;若不存在,说明理由.
第3章 圆锥曲线与方程
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏苏州八校联盟适应性检测)已知双曲线的方程为x2-=1,则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±3x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x
2.(2020江苏涟水中学高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0),若其长轴长为6,离心率为,则此椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
3.(2020江苏锡山高级中学高二期中)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率为,则实数a的值为 ( )
A. B. C.1 D.2
4.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)若过椭圆+=1内一点P(1,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为 ( )
A.x-2y+1=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y-3=0 D.x+2y+3=0
5.(2020江苏奔牛高级中学高二期中)若直线l过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线相交于A,B两点,且AB=16,则线段AB的中点P到y轴的距离为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6.(2020江苏镇江中学高二期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P,若=,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
7.(2021江苏连云港中学调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,两条渐近线分别为l1:y=x,l2:y=-x,过F作l1的垂线,垂足为M,该垂线交l2于点N,O为坐标原点,若OF=FN,则双曲线C的离心率是 ( )
A. B. C. D.
8.(2021山东烟台第一中学高二月考)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A、B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于另一点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则= ( )
A.- B.2 C.1 D.
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏南通高二期中)已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是 ( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
10.(2021广东联考)已知F1、F2分别是双曲线C:-=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是 ( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2
C.点M的横坐标为±
D.△MF1F2的面积为2
11.(2021江苏徐州第一中学高二月考)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是 ( )
A.AB≥4
B.OA+OB>8
C.若点P(2,2),则PA+AF的最小值是3
D.△OAB的面积的最小值是2
12.(2021山东淄博实验中学高二月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且F1F2=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是 ( )
A.QF1+QP的最小值为2-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为
D.若=,则椭圆C的长轴长为+
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏泗洪中学高二月考)已知椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为 .
14.(2020江西南昌大学附属中学高二期中)抛物线y2=4x的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为 .
15.(2020江苏南通高二月考)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+= .
16.(2020江苏泰州中学高二期中)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后经过抛物线的焦点F,射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,若两条平行光线间的最小距离为6,则此抛物线的方程为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020江苏南通高二期中)已知命题p:+=1表示焦点在x轴上的椭圆,命题q:+=1表示双曲线.
(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.
18.(12分)(2020江苏扬州仪征中学高二期中)已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为2,焦距为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点,求弦长AB.
19.(12分)(2020江苏扬州高二期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,求线段AB的中点坐标和AB的长度.
20.(12分)(2020江苏田家炳中学高二期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,F1F2=2,点P为椭圆短轴的端点,且△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点B是椭圆上的一点,B1,B2是椭圆上的两动点,且直线BB1,BB2关于直线x=1对称,试证明:直线B1B2的斜率为定值.
21.(12分)(2021江苏淮安、连云港、徐州、宿迁四市联考) 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(,)在椭圆C上.A、B分别为椭圆C的上、下顶点,动直线l交椭圆C于P、Q两点,满足AP⊥AQ,AH⊥PQ,垂足为H.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△ABH面积的最大值.
22.(12分)(2020江苏南京高二期中)已知点P是抛物线C1:y2=4x的准线上任意一点,过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.
(1)证明:直线AB过定点,并求出定点的坐标;
(2)若直线AB交椭圆C2:+=1于C、D两点,S1、S2分别是△PAB、△PCD的面积,求的最小值.
第4章 数列
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏苏州星海中学高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则数列{nan}的前5项和为 ( )
A.126 B.127 C.128 D.129
2.(2021江苏苏州高三期中)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若an>0,a1=,Sn<2,则等比数列{an}的公比的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.(2021江苏南通平潮高级中学高二期中)等比数列{an}的前n项积为Tn,且满足a1>1,a102a103-1>0,<0,则使得Tn>1成立的最大正整数n的值为 ( )
A.102 B.203 C.204 D.205
4.(2021江苏无锡第一中学高二期中)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 ( )
A.184 B.174 C.188 D.160
5.(2021江苏无锡第一中学高二期中)已知数列{an}满足a1=,an+1=an(n∈N*).设bn=,n∈N*,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B. C. D.(-1,2)
6.(2021浙江温州中学高三第一次模拟考试)已知数列{an}满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(n∈N),则a1+a2+…+a128= ( )
A.1024 B.1101 C.1103 D.1128
7.(2021广东汕头金山中学四校高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*有Sn=an-,且1
8.(2020浙江湖州高三期末)已知数列{an}中,a1=2,若an+1=+an,设Sm=++…+,若Sm<2020恒成立,则正整数m的最大值为 ( )
A.1009 B.1010 C.2019 D.2020
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏宿迁修远中学高二月考)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N*),则下列说法正确的是 ( )
A.a5=-16
B.S5=-63
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn+1}是等比数列
10.(2021江苏扬州邵伯高级中学高二月考)设单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则 ( )
A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1
C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1
11.(2020福建福州第一中学高一期末)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a6a7>1,<0,则下列结论正确的是 ( )
A.0
12.(2021江苏盐城响水中学高二学情分析)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则 ( )
A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列
C.an=2·3n-1 D.an=
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二期中)在等比数列{an}中,已知a3·a8=10,则·a7的值为 .
14.(2021江苏镇江吕叔湘中学高三月考)设Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn=5an-7,则an= .
15.(2021湖南三湘名校教育联盟高二期中)已知数列{an}满足an=定义使a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数的k叫作“幸福数”,则区间[1,2020]内所有“幸福数”的和为 .
16.(2021江苏张家港外国语学校高三期中)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=0,Sn=an+1-2,则Sn= ,若<,则n的最小值是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020江苏如皋中学高一月考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值.
18.(12分)(2020四川内江高一期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=7,S4=40.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,若2Tn≤λ-2020对所有n∈N*都成立,求实数λ的取值范围.
19.(12分)(2021江苏连云港赣榆高级中学阶段测试)已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an+1=2(n+2)an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:Sn<2an.
20.(12分)(2021安徽阜阳太和第一中学高三开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x2上.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an-9|}的前n项和Tn.
21.(12分)(2020福建厦门双十中学高一期末)已知数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n=2,3,4,…).
(1)求a3,a4的值;
(2)设bn=-1(n∈N*),试用bn表示bn+1,并求{bn}的通项公式;
(3)设cn=(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
22.(12分)(2021江苏南通启东中学高二上期中)已知数列{an}的首项a1=a,其中a∈N*,an+1=令集合A={x|x=an,n=1,2,3,…}.
(1)若a=4,写出集合A中的所有元素;
(2)若a≤2020,且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列,求a的所有可能取值构成的集合;
(3)求证:1∈A.
第5章 导数及其应用
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020江苏张家港高二下期中)函数f(x)=x2-sinx在[0,π]上的平均变化率为 ( )
A.1 B.2 C.π D.π2
2.(2021河南部分重点中学四联)设=-2,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角是 ( )
A. B. C. D.
3.(2021江苏淮安中学高三上期中)若幂函数f(x)的图象过点,则函数g(x)=的递减区间为 ( )
A.(0,2) B.(-∞,0)和(2,+∞)
C.(-2,0) D.(2,+∞)
4.(2021江苏苏州中学高三上期初调研)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上不单调,则a的取值范围是 ( )
A.(2,e+1) B.[2,e+1]
C.(-∞,2]∪[e+1,+∞) D.(-∞,2)∪(e+1,+∞)
5.(2021江苏扬州高邮一中高三上段测)对任意x∈R,函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是 ( )
A.0≤a≤21 B.0
6.(2021江苏南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校高三上11月联考)已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(log20.2),则 ( )
A.b
8.(2021江苏徐州铜山高三上一联)若函数y=f(x)的定义域为R,对于任意x∈R,f'(x)
C.(-∞,0) D.(-∞,2)
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏扬州高二下期末联考改编)下列结论错误的是 ( )
A.若y=x2+ln2,则y'=2x+
B.若y=(2x+1)2,则y'=3(2x+1)2
C.若y=x2ex,则y'=2xex
D.若y=,则y'=
10.(2020江苏镇江中学高二上期末)如图是y=f(x)的导数的图象,对于下列四个判断, 其中正确的是 ( )
A.f(x)在[-2,-1]上是增函数
B.当x=-1时,f(x)取得极小值
C.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
D.当x=3时,f(x)取得极小值
11.(2021江苏南通高三上期中)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务,2020年7月31日上午,北斗三号全球卫星导航系统正式开通,北斗卫星导航系统能实现“天地互通”的关键是信号处理,其中某语言通讯的传递可以用函数f(x)=
cosx++近似模拟,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.对任意x∈R,都有f'(π-x)=f'(x)
D.函数f'(x)的最小值为-3
12.(2021江苏南通四校高三上二联)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)-f(x)
B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+
C.f(3)-2f(1)<7
D.若f(1)=2,0
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏泰州姜堰中学、南通如东中学、宿迁沭阳如东中学高三上联考)曲线f(x)=xex+x2-1在x=0处的切线方程为 .
14.(2021安徽皖江名校联盟二联)已知f(x)=x3+2xf'(0),
则f'(1)= .
(2021江苏淮安五校高三上一联)已知三个函数h(x)=x2-
2lnx,f(x)=h'(x)-5lnx-5ln2,g(x)=h(x)+2lnx-bx+4.若 x1∈(0,1], x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,则实数b的取值范围为 .
16.(2021江苏无锡高三上期中)已知函数f(x)=令g(x)=f(x)-kx,当k=-2e2时,有g(x0)=0,则x0= ;若函数g(x)恰好有4个零点,则实数k的值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏苏州常熟高三上阶段性检测)已知函数f(x)=x3-x2+ax,g(x)=2x+b,当x=1+时,f(x)取得极值.
(1)求a的值,并判断f(1+)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)当x∈[-3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求实数b的取值范围.
18.(12分)(2021江苏淮安淮阴中学高三上阶段检测)已知函数f(x)=lnx-.
(1)当a=1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(2,e)上存在零点,求实数a的取值范围.
19.(12分)(2021江苏无锡梅村高级中学高三上期初检测)已知函数f(x)=x2-alnx-2x,a∈R.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,求 +的取值范围.
20.(12分)(2021江苏南通启东高三上期中联考)如图所示的容器的体积为18πdm3,它由半球和圆柱两部分组成,半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,圆柱的高为hdm.已知顶部半球面的造价为3a元/dm2,圆柱侧面的造价为a元/dm2,圆柱底面的造价为元/dm2.
(1)将圆柱的高h表示为底面半径r的函数,并求出定义域;
(2)当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为多少
21.(12分)(2021江苏南京六校联合体高三上11月联考节选)已知函数f(x)=ax-xlnx,g(x)=,a,b∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)已知函数f(x)的极大值为1,设1
(1)讨论函数f(x)的极值;
(2)若a为整数,m=0,且 x∈(0,+∞),不等式(x-a)[f(x)-2]
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏新海高级中学高二月考)两条平行直线6x-4y+5=0与y=x间的距离是( )
A. B. C. D.
2.(2020江苏淮安高一期末)直线l1:x+my+4=0与l2:(2m-15)x+3y+m2=0垂直,则m的值为 ( )
A.3 B.-3 C.15 D.-15
3.(2021江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考) 已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称,则圆C中以为中点的弦的长度为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021江苏扬州中学高二月考)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20cm,灯深10cm,则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
A.2.5cm B.3.5cm C.4.5cm D.5.5cm
5.(2020江苏淮阴中学高一期末)大约在2000多年前,我国的墨子给出了圆的概念:“一中同长也”.其意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O为原点,OP=1,若M,则线段PM的长的最小值为 ( )
A. B. C. D.
6.(2020江苏南通高二期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,其渐近线上横坐标为的点P满足·=0,则a= ( )
A. B. C.2 D.4
7.(2020江苏连云港高二期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若
∠F1PF2=60°,则该椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
8.(2021山东莱州一中高二期中)已知椭圆C:+=1的下顶点为A,点B是C上异于点A的一点,若直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,且=,则tan∠ABM= ( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020江苏南京第九中学高二期中)下列说法正确的是 ( )
A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件
B.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的取值范围为∪
C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切
D.离心率为的双曲线的渐近线方程为y=±x
10.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)过抛物线y2=4x的焦点F作直线,交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则 ( )
A.以线段AB为直径的圆与直线x=-相离
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
C.当=2时,AB=
D.AB的最小值为4
11.已知F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0且a≠b)的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.则下列四个命题中正确的是( )
A.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上
B.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上
C.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D.△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)
12.(2021山东德州一中高二月考)已知F1,F2是椭圆+=1(a1>b1>0)和双曲线-=1(a2>b2>0)的公共焦点,P是它们的一个公共点,且
∠F1PF2=,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则以下结论正确的是 ( )
A.-=- B.=3
C.+=1 D.+的最小值为1+
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏太湖高级中学高二期中)在y轴上的截距为-1且倾斜角为135°的直线的方程为 .
14.(2021江苏江浦高级中学高二期中)过P(2,2)作圆C:(x-1)2+y2=1的切线,则切线方程为 .
15.(2021江苏木渎高级中学高二月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,若以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切,则椭圆的标准方程为 .
16.(2020山东平度九中高二月考)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=2,C2:(x-4)2+(y-2)2=1,过原点O作一条射线与圆C1相交于点A,在该射线上取点B,使得OA·OB=2,圆C2上的点到点D的距离的最小值为,则满足该条件的点D所形成的轨迹的周长为 ,BD的最小值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.
18.(12分)(2020江苏句容高级中学高二期中)已知F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,曲线C是以F2为圆心且过原点的圆.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点P在曲线C上运动,点M满足=,求点M的轨迹方程.
19.(12分)(2020江苏启东中学高二月考)树林的边界是直线l(图中CD所在的直线),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,AB=BC=a(a为正实数),若兔子沿线段AD(或AE)方向以速度2μ(μ为正实数)向树林逃跑,同时狼沿BM(点M在线段AD上)方向或BN方向(点N在线段AE上)以速度μ进行追击,若狼到达点M(或点N)的时间不多于兔子到达点M(或点N)的时间,狼就会吃掉兔子.
(1)求兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a);
(2)兔子要想不被狼吃掉,求锐角θ(θ=∠DAC或∠EAC)的取值范围.
20.(12分)(2021广东佛山一中高二月考)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且MN=3.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值.
21.(12分)(2020江苏天一中学高二月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且直线+=1与圆x2+y2=2相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,O为坐标原点,射线OM与椭圆C相交于点P,且OP=OM,求△ABO的面积.
22.(12分)(2021江苏苏州八校联盟联考)如图,已知椭圆C1:+=1(a>b>0),且离心率为,抛物线C2:y2=2px(p>0).点P是椭圆C1与抛物线C2的交点.
(1)求曲线C1和曲线C2的方程;
(2)过点P作斜率为k(k<0)的直线l1交椭圆C1于点A,交抛物线C2于点B(A,B均异于点P).
①若PB=3PA,求直线l1的方程;
②过点P作与直线l1的倾斜角互补的直线 l2,且直线l2交抛物线C2于点C,交椭圆C1于点D(C,D异于点P).记△PAC的面积为 S1,△PBD的面积为S2.若∈,求k的取值范围.
期末学业水平检测
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江苏南京航空航天大学附中高二上期中)直线x+y+1=0的斜率为 ( )
A. B.- C. D.-
2.(2021江苏启东高二上期中联考)已知1,a,x,b,16这五个实数成等比数列,则x的值为 ( )
A.4 B.-4 C.±4 D.不确定
3.(2021江苏镇江八校高三上期中)曲线y=x-x2在点(1,0)处的切线方程是 ( )
A.x-2y-1=0 B.x+2y-1=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
4.(2021江苏启东中学高二上期中)圆C1:x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0的公切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.(2021江苏苏州高新第一中学高二上期中)“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是 ( )
A.9 B.10 C.12 D.13
6.[2021新高考八省(市)1月联考]已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为 ( )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
7.(2020江苏盐城东台中学高二上阶段测试)如图,椭圆C的两个焦点是F1,F2,过点F1的直线与椭圆C交于点P,Q,若PF2=F1F2,且2PF1=3QF1,则椭圆C的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
8.(2021江苏南京大学附中高三上阶段测试)已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+>0,若F(x)=f(x)+,则函数F(x)的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.0或2
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏连云港高二上期中)下列有关双曲线2x2-y2=8的性质的说法正确的是 ( )
A.离心率为 B.顶点坐标为(0,±2)
C.实轴长为4 D.虚轴长为4
10.(2021江苏常州教育学会高三上学业水平监测)已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S6=S12,则下列结论中正确的有 ( )
A.a1∶d=-17∶2 B.S18=0
C.当d>0时,a6+a14>0 D.当d<0时,|a6|>|a14|
11.(2021福建龙岩高二上联考)若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则b的可能取值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.
12.(2021江苏南通天星湖中学高三上二调)已知函数f(x)=-2sinx+sin2x,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)是周期函数
B.函数f(x)在[-π,π]上有4个零点
C.函数f(x)的图象关于(π,)对称
D.函数f(x)的最大值为
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏扬州新华中学高三上月考)已知直线l1:2x-y+a=0与直线l2:-4x+2y+1=0,且直线l1与直线l2的距离为,则实数a的值为 .
14.(2021江苏无锡一中高三上检测)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内不单调,则k的取值范围是 .
15.(2021江苏徐州高三上期中)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)时发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m.
16.(2021湖南长沙雅礼中学高三上月考)被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例:一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔,再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔,新幼兔又如此方式成长,若不考虑其他意外因素,按此规律繁殖,则每年的兔子总对数可构成一个奇妙的数列,兔子数列具有许多有趣的数学性质,该数列在西方又被称为斐波那契数列,它最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中.现有一兔子数列{Fn}:F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),则F9= ;若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an},则数列{an}的前2020项和为 .(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏盐城响水中学高二上期中) 在①Sn=;②2Sn=an+1-3,a1=3这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.
问题:在数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,且 .
(1)证明{an}为等比数列;
(2)设bn=log3an,且Tn=+++…+,证明Tn<1.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)(2021湖南长沙长郡中学高二上期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.
(1)求C的标准方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
19.(12分)(2021江苏扬州一中高三上月考)已知函数f(x)=x-ln(x+1),g(x)=ex-1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[2,+∞)时,证明:>2.
20.(12分)(2021吉林蛟河一中高三上月考)新冠肺炎疫情期间,某企业生产的口罩能全部售出,每月生产x万件(每件5个口罩)的利润函数为p(x)=(单位:万元).
(1)当每月生产5万件口罩时,利润为多少万元
(2)当月产量为多少万件时,生产的口罩所获月利润最大 最大月利润是多少
21.(12分)(2021江苏徐州一中、兴化中学高三上联考)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x2=2py(p>0),一平行于y轴的光线从上方射向抛物线上的点P,经抛物线2次反射后,又沿平行于y轴的方向射出,已知两平行光线间的最小距离为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:y=x+m与抛物线C交于A,B两点,以点A为顶点作△ABN,使△ABN的外接圆圆心T的坐标为,求弦AB的长度.
22.(12分)(2020江苏南通中学高三月考)中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t)(单位:人).
(1)求P(t)的表达式;
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t-2000(单位:元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益最大
答案全解全析
第1章 直线与方程
1.D 过点(0,1)且斜率为的直线方程为y-1=(x-0),即y=x+1,
令y=0,则x=-2,即该直线在x轴上的截距是-2.故选D.
2.A 两直线方程可化为y=-ax+1,y=-+,因为两直线垂直,所以-ax=-1,
则a+(a2-2)=0,解得a=-2或a=1.
所以“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a2-2)y-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.
3.C ∵直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),∴k2=.
∵l1∥l2,∴=,解得a=.故选C.
4.C 因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,
所以要使线段OP最小,只需OP和直线垂直即可,
所以OPmin==2.故选C.
5.D ∵线段AB的中点为M(2,1),kAB=-,
∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,∵AC=BC,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.
6.B 因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=ab,于是ab≥10,ab≥20.当a=1时,没有这样的b满足条件;当a=3时,b=8;当a=5时,b∈{4,6,8};当a=7时,b∈{4,6,8},所以这样的直线的条数为7.
故选B.
7.D 如图所示,直线l:x-y+1=0与y轴的交点为C(0,1),且倾斜角为,
因为A(1,1),所以AC∥x轴,所以∠ACy 的平分线在直线l上,
所以A(1,1)关于直线l:x-y+1=0的对称点在y轴上,设为点D,则D(0,2)
所以直线l为AD的中垂线,则PD=PA,所以PA+PB=PB+PD,
连接BD,当B,P,D三点共线时,PB+PD最小.
此时PA+PB的最小值为BD==2.故选D.
8.A 因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),
所以f(t)=t2+at+b,f=++b,
因为存在非零实数t,使得f(t)+f=-2,
所以存在实数t≠0,使+a+2b=0成立,
a2+4b2的几何意义为坐标原点与点(a,2b)的距离的平方,
记2b=m,u=t+,则u2≥4.
故+a+2b=0可化为ua+m+u2=0,其表示动点(a,m)的轨迹,设为直线l,则原点与点(a,m)的距离的最小值为原点到直线l的距离,
故a2+4b2≥=,令s=u2,s≥4.
因为y=-在[4,+∞)上是增函数,
所以y=-≥,
所以a2+4b2≥,当且仅当t=±1时,取等号.
故选A.
9.BD 对于A,点P(1,2)在直线y=2x上,且该直线在x,y轴截距都为0,故A错误;
对于B,令x=0,则y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确;
对于C,x-y+1=0可化为y=x+,则该直线的斜率k=tanα=,所以倾斜角α=30°,故C错误;
对于D,过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线上的所有点的横坐标为5,故D正确.
故选BD.
10.CD 对于选项A,直线l:x-y+1=0的斜率k=tanθ=,故直线l的倾斜角θ是,故A错误;
对于选项B,因为直线m:x-y+1=0的斜率k'=,kk'=1≠-1(k为直线l的斜率),故直线l与直线m不垂直,故B错误;
对于选项C,点(,0)到直线l的距离d==2,故C正确;
对于选项D,过(2,2)与直线l平行的直线方程是y-2=(x-2),整理得x-y-4=0,故D正确.
故选CD.
11.AC 存在k=0,使得l2的方程为x=0,其倾斜角为90°,故A错误;
直线l1:x-y-1=0过定点(0,-1),直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R) k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),故B正确;
当k=-时,直线l2的方程为x-y-=0,即x-y-1=0,l1与l2重合,故C错误;
两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,方程无解,故对任意的k,l1与l2都不垂直,选项D正确.
故选AC.
12.ABC 直线y=3x+3与x轴交点为A(-1,0),与y轴交点为B(0,3),又C(3,0),故可设f(x)=a(x+1)(x-3),将B(0,3)代入,得3=a×1×(-3) a=-1,
所以f(x)=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,其图象的对称轴为直线x=1.
设Q(1,a),
当AB=AQ时,=,解得a=±,所以Q(1,-）或Q(1,),所以A选项正确.
当AB=BQ时,=,解得a=0或a=6.由于点(1,6)在直线y=3x+3上,故舍去,所以Q(1,0),所以B选项正确,D选项错误.
当QA=QB时,=,解得a=1,故Q(1,1),所以C选项正确.
故选ABC.
13.答案 2x+y-1=0
解析 与直线x-2y+3=0垂直的直线斜率为-2,又直线过点P(-1,3),则所求直线方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.
14.答案
解析 由题意可得l1:y=x+3,l2:y=-x-1,
∵l1∥l2,∴=-,解得k=-4,
当k=-4时满足条件,
故直线l2为x-2y-2=0,
故直线l1,l2间的距离d==.
15.答案
解析 根据题意,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,
则a-1+2b=0,变形可得a+2b=1,
则ab=(a×2b)≤×=,当且仅当a=2b=时,等号成立,
即ab的最大值为.
16.答案 x-3y+1=0
解析 因为中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,
所以可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a
所以kAE==-3+,
因为CE为等腰△ABC斜边上的中线,所以CE⊥AB,故kAB=,
因为A、E、B三点在同一条直线上,所以kAE=-3+=kAB=,
所以a+b=3①,
又CE=AE,D是AC的中点,所以AC⊥DE,
所以kCD·kDE=-1,即×=-1,化简得2ab=3(a+b)-5②,
由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),
所以点E(2,1),又因为kAB=,
所以直线AB的方程为y-1=(x-2),即x-3y+1=0.
17.解析 (1)因为l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0,①
又因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0,② (3分)
由①②解得a=2,b=2. (5分)
(2)因为l1∥l2,所以a×1=-b(a-1),
所以l2:ax-by-b2=0,
又因为坐标原点到l1,l2的距离相等,
所以=,解得b=±2. (8分)
当b=2时,a=;当b=-2时,a=2.
所以或 (10分)
18.解析 直线mx+y-3m-1=0可化为m(x-3)+y-1=0,
由可得所以点A的坐标为(3,1). (3分)
(1)设直线l的方程为x-2y+n=0,
将点A(3,1)代入方程可得n=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0. (5分)
(2)①当直线l'的斜率不存在时,因为直线过点A,所以直线l'的方程为x=3,
符合原点到直线l'的距离等于3; (8分)
②当直线l'的斜率存在时,设直线l'的方程为y=kx-3k+1,即kx-y-3k+1=0,
因为原点到直线的距离为3,所以=3,解得k=-,
所以直线l'的方程为4x+3y-15=0. (10分)
综上,直线l'的方程为x=3或4x+3y-15=0. (12分)
19.解析 (1)以灯柱底端O点为原点,灯柱OA所在直线为y轴,路宽OC所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则A点的坐标为(0,h),C点的坐标为(23,0). (2分)
因为灯杆AB与灯柱OA成120°角,所以AB的倾斜角为30°,则B点的坐标为,即.
因为BD⊥AB,所以kBD=-, (4分)
当h=10时,B点的坐标为,此时BD所在直线的方程为y-=-,即x+y-15=0.
故当h=10米,AB=米时,灯罩轴线BD所在的直线的方程为x+y-15=0. (6分)
(2)易知点D的坐标为.
可求得B, (8分)
所以直线BD的斜率k==-,解得AB=.
所以当h=米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,AB=米. (12分)
20.解析 (1)证明:由(a+1)x+y-5-2a=0得a(x-2)+x+y-5=0,
则解得
所以无论a为何值,直线l必过一定点P(2,3). (4分)
(2)由题意得a≠-1.当x=0时,yB=5+2a,当y=0时,xA=,
由得a>-1, (6分)
所以S△AOB=·(5+2a)·=
≥=12,
当且仅当4(a+1)=,即a=时,取等号.
所以A(4,0),B(0,6),
所以△AOB的周长为OA+OB+AB=4+6+=10+2. (8分)
(3)直线l在两坐标轴上的截距均为整数,即5+2a,均为整数,
因为=2+,所以a=-4,-2,0,2, (10分)
又当a=-时,直线l在两坐标轴上的截距均为零,也符合题意,
所以直线l的方程为3x-y-3=0,x-y+1=0,x+y-5=0,3x+y-9=0,3x-2y=0. (12分)
21.解析 (1)C(1,2)关于x轴的对称点C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3,
由得x=5∈[3,5],则此时N(5,2),
所以光所走过的路程C'N=4. (4分)
(2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],令其端点为A(3,5),B(5,3),
则kC'A=,kC'B=,所以反射光线斜率的取值范围是. (8分)
(3)若反射光线与直线y=-x+b垂直,光所走过的路程最短,则由得x=.∵b≥6,∴x=≥.
①当x=∈,即6≤b≤7时,光所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离,此时s===; (10分)
②当x=∈(5,+∞),即b>7时,光所走过的最短路程为线段C'B',其中B'(5,b-5),
此时s==,
综上,s= (12分)
22.解析 (1)依题意,直线方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,
即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,
所以解得故直线过定点P. (4分)
(2)依题意设直线方程为+=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),
将P代入得+=1.(*)
由题易得解得或 (6分)
其中不满足(*),满足(*).
所以存在直线+=1,即3x+4y-12=0满足条件. (8分)
(3)由(1)知直线过定点P,若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,则直线的倾斜角α∈,
所以PM=,PN=-,
所以PM+PN=-×=-=2×①, (9分)
令t=cosα-sinα=cos,
由于α∈,所以α+∈,所以cos∈,
所以t=cos∈[-,-1). (10分)
则①可化为PM+PN=2×=,由于y=-t在[-,-1)上为减函数,所以y=在[-,-1)上为增函数,故当t=-,即α=时,PM+PN取得最小值,为=4.此时直线方程为y-2=-,即3x+3y-10=0. (12分)
第2章 圆与方程
1.B 将方程x2+y2+2x-4y=0化为标准形式,得(x+1)2+(y-2)2=5,
∴圆的半径r=.故选B.
2.B 由圆的方程可知,圆心(-3,0),半径r=2,
圆心(-3,0)关于原点对称的点的坐标为(3,0),
则圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为(x-3)2+y2=4.
故选B.
3.A 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意得圆心(a,b)为AB的中点,
根据中点坐标公式可得a==,b==,
易知r===,
所以圆的标准方程为+=,
化简整理得x2+y2-x-y-8=0.故选A.
4.B 由题意可得圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=4,则圆心(-1,1),半径为2,
圆心到直线x+y+a=0的距离为d==|a|,
由圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+a=0的最大距离为4,
可得|a|+2=4,解得a=±2.故选B.
5.A 因为过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,
所以点P(2,1)在圆上,
则22+12+4a+a+2a2+a-1=0,解得a=-2或a=-1.
又x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0为圆的方程,
所以(2a)2+a2-4(2a2+a-1)>0,即-2
6.D 由题意知圆C的圆心为(-1,2),半径r=2,
因为M为线段AB的中点,所以CM==1,
所以M在以C(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,
又M在直线2x+y+k=0上,
所以直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y-2)2=1有公共点,
于是≤1,解得k∈[-,].故选D.
7.D 如图所示,圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为C'1(2,-3),半径为1,
点M关于x轴对称的点为M',
圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3,
由图可知,当P,M',N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,
且PM+PN的最小值为圆C'1与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,
即C'1C2-3-1=-4=5-4,故选D.
8.A 圆C1化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=1,圆心C1(-1,-2),半径R=1,
圆C2化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C2(2,-1),半径r=2,
设点(-1,-2)关于直线l:y=x+2对称的点为(a,b),
则 解得
设圆C1关于直线l:y=x+2对称的圆为圆C',则C'(-4,1),半径R'=1,则其方程为(x+4)2+(y-1)2=1,
设圆C'上的点M'与圆C1上的点M关于直线l对称,则有PM=PM',
原问题可以转化为P到圆C'和圆C2上的动点距离之和的最小值,
如图,连接C2C',与直线l交于点P,
此时点P是满足PN+PM'最小的点,
此时PN+PM'=C2C'-3=2-3,即MP+NP的最小值为2-3.
故选A.
9.BCD 圆M的一般方程化为标准形式为(x-4)2+(y+3)2=52,
故圆心为(4,-3),半径为5,故A错误,C正确;
令x=0,得y=0或y=-6,故y轴被圆M截得的弦长为6,故D正确;
令y=0,得x=0或x=8,故x轴被圆M截得的弦长为8,故B正确.
故选BCD.
10.AD ∵直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,
∴圆心到直线的距离等于半径的.
由题意知圆心为C(3,3),半径为r=6,
∴=2,解得m=2或m=10.
故选AD.
11.AC 选项A中,因为圆O和圆M相交于A、B两点,所以两圆有两条公切线,故A正确;
选项B中,圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0的方程相减得y=2x-4,所以直线AB的方程为y=2x-4,故B错误;
选项C中,圆心O到直线AB的距离d==,所以线段AB的长为2=2=,故C正确;
选项D中,因为λ∈R,λ≠-1,所以恒成立,即过A、B两点,方程可化为x2+y2-x+y+=0,
而+-4×=>0恒成立,
所以方程(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圆,
但此圆系不包括圆M,故D不正确.
故答案为AC.
12.BD 设点M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),
所以·=(-x-1)(-x+1)+y2=3,即x2+y2=4,
所以M的轨迹方程为x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为2,
由此可知圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1与x2+y2=4有公共点,
又因为圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1的圆心为(2a-1,2a+2),半径为1,
所以1≤≤3,解得-1≤a≤.
故选BD.
13.答案 ±
解析 圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,
由题意得=1,解得m=±.
14.答案 ±1
解析 由题意得圆心C(a,0),半径r=1,
故圆心C(a,0)到直线l:x-y=0的距离d=,
因为直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为,
所以=2=2,解得a=±1.
15.答案 x=1或3x+4y-15=0
解析 圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的圆心C(2,1),半径r=2,
设圆心C到直线l的距离为d,则d===1,
当直线l的斜率不存在时,直线l:x=1,满足d=1;
当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,
所以d===1,解得k=-,
所以l的方程为3x+4y-15=0,
综上所述,直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.
16.答案 [-1-,-1+]
解析 由题意知圆心C(m,2),半径r=2.
取AB的中点Q,连接CQ,则CQ⊥AB.
所以CQ===1,
所以点Q在圆(x-m)2+(y-2)2=1上.
易知=+=2,
设P(x0,y0),Q(x1,y1),则=(x1-x0,y1-y0),
=(m,2),所以则
所以+=1,即+=1,
所以点P在以D为圆心,1为半径的圆D上,
又点P在直线l:y=-2x上,所以直线l与圆D有公共点,
所以≤1,解得-1-≤m≤-1+.
17.解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圆心M(6,7),半径r=5. (2分)
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0),
∵圆N与x轴相切,与圆M外切,
∴0
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (5分)
(2)当切线的斜率不存在时,切线l的方程为x=1,满足条件; (6分)
当切线的斜率存在时,设切线l的方程为y=k(x-1),
∴圆心M(6,7)到直线l的距离等于半径5,
即5=,化简得70k=24,解得k=,
故切线l的方程为12x-35y-12=0. (8分)
综上,切线l的方程为x=1或12x-35y-12=0. (10分)
18.解析 (1)圆C的方程化为标准形式为(x-2)2+y2=16,
故圆心C(2,0),半径r=4. (2分)
(2)因为直线l被圆截得的弦长最大,所以直线l过圆心C,
易求得kCP==1, (4分)
所以直线l的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0. (7分)
(3)易知CP垂直平分弦AB,又kCP=1,所以kAB=-1, (9分)
故直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0. (12分)
19.解析 (1)圆C:x2+y2+2x-4y+m=0化为标准形式为(x+1)2+(y-2)2=5-m, (1分)
故圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为. (2分)
由于圆C与y轴相切,所以=1,得m=4,所以圆C的半径为1. (3分)
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,圆C的圆心(-1,2)到直线x=-2的距离为1,所以直线l:x=-2为圆C的切线. (5分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2)+4,由直线l与圆相切得=1,解得k=-.此时切线l的方程为y=-x+. (7分)
综上,满足条件的切线l的方程为x=-2或y=-x+. (8分)
(3)设P(x,y),则PM2=PC2-MC2=(x+1)2+(y-2)2-1,PO2=x2+y2, (9分)
由于PM=2PO,所以(x+1)2+(y-2)2-1=4(x2+y2), (10分)
整理得+=, (11分)
所以点P的轨迹是以为圆心,为半径的圆. (12分)
20.解析 (1)∵圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+2y-5=0相切,
∴=r,∴r=, (2分)
∴圆O的方程为x2+y2=5. (3分)
(2)∵直线l被圆O所截得的弦长为4,
∴圆心到直线l的距离d==1.
当直线l的斜率不存在时,x=-1,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x+1),
即kx-y+k+3=0, (5分)
则d==1,
∴k=-,∴直线l的方程为4x+3y-5=0. (6分)
综上所述,直线l的方程为4x+3y-5=0或x=-1. (7分)
(3)设直线AB的方程为y=k1x+,
与圆方程联立,消去y得(1+)x2+2k1x=0,
∴xB=-,yB=,即B, (9分)
设直线AC:y=k2x+,
同理可得xC=-,yC=,
∵k1k2=-,∴k2=-,用-代替k2得C,
则kBC==,
∴直线BC的方程为y-=, (11分)
令x=0,可得y==,
则直线BC过定点. (12分)
21.解析 (1)设点E(x,y),☉E的半径为R,
则R=x+,EF=R+=x+1, (2分)
所以点E到直线x=-1的距离与到点F(1,0)的距离相等,
即x+1=,
化简得动圆圆心E的轨迹C1的方程为y2=4x. (4分)
(2)由题意得,直线AC斜率不可能为零,
设点A(x1,y1),C(x2,y2),D(x0,y0),
直线AC的方程为x=my+t,
与y2=4x联立,消去x得y2-4my-4t=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4t,
故线段AC的中点M(2m2+t,2m), (6分)
在曲线C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,
则点B,D关于点M对称,所以B(4m2+2t-x0,4m-y0),
又因为点B在曲线C1:y2=4x上,所以(4m-y0)2=4(4m2+2t-x0),
整理得my0+t=+,(*) (9分)
设点D到直线AC的距离为d,
则S△ACD=AC·d=|y1-y2|·=·|my0-x0+t|,
将(*)代入上式,得S△ACD=·,
又因为=4x0-4,所以S△ACD==
==,
当m=时,△ACD的面积有最小值,且最小值为. (12分)
22.解析 (1)设圆心C(t,3t),则由圆C与x轴正半轴相切,可得半径r=3|t|.
圆心到直线l:x-y=0的距离d==|t|,由7+2t2=r2,解得t=±1.
故圆心为(1,3)或(-1,-3),半径为3. (2分)
∵圆C与x轴正半轴相切,∴C(1,3),
故圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9. (3分)
(2)①设A(xA,yA),M(x,y),则=(x-xA,y-yA),=(7-x,6-y),
∴∴ (5分)
∵点A在圆C上运动,
∴(3x-14-1)2+(3y-12-3)2=9,
∴(x-5)2+(y-5)2=1,
∴点M的轨迹方程为(x-5)2+(y-5)2=1,
它是一个以(5,5)为圆心,1为半径的圆. (7分)
②假设存在一点T(t,t),满足=λ(其中λ为常数),
设P(x,y),则=λ,
化简得x2+y2=λ2(x2-2tx+t2+y2-2ty+t2), (9分)
∵P在轨迹Γ上,∴(x-5)2+(y-5)2=1,
化简得x2+y2=10x+10y-49,
∴10x+10y-49=λ2(10x+10y-49-2tx-2ty+2t2),
整理得x(10-10λ2+2tλ2)+y(10-10λ2+2tλ2)+49λ2-2λ2t2-49=0,
∴解得t=.
∴存在T满足条件. (12分)
第3章 圆锥曲线与方程
1.D 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选D.
2.D 因为椭圆的长轴长为6,离心率为,
所以2a=6,e==,所以a=3,c=1,
又b2=a2-c2=8,
所以椭圆的标准方程为+=1.
故选D.
3.A 由双曲线-y2=1(a>0)的离心率为,可得=,解得a=(负值舍去).故选A.
4.C 设此弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②得=-=-,又kAB=,则kAB=-,故弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),化简得x+2y-3=0.
故选C.
5.A 由题意,可得抛物线的准线方程为x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以AB=x1+x2+4=16,即x1+x2=12,
所以点P的横坐标为=6,所以点P到y轴的距离为6.
故选A.
6.B 由题意,不妨设点B在x轴上方,则B,设P(0,t),又A(a,0),且=,∴(-a,t)=,∴a=c,∴e==.
故选B.
7.D ∵直线FN与直线l1垂直,
∴kFN·=-1,即kFN=-,
∴直线FN的方程为y=-(x-c),联立
得
∴N,
∵OF=FN,
∴c2=+,解得3b2=a2,
∴e===.
8.D 易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
则直线AB:y=k1(x-2),直线AF:y=(x-1),直线BF:y=(x-1),
由得x2-2x-x+1=0,
则x1x3=1,∴x3=,
∴y3==-,
同理,x4=,y4=-,
∴k2==
==
==2k1.
∴=.故选D.
9.ACD 对于选项A,mx2+ny2=1可化为+=1,
因为m>n>0,所以<,此时曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;
对于选项B,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,
此时曲线C是圆心在原点,半径为的圆,故B不正确;
对于选项C,mx2+ny2=1可化为+=1,
因为mn<0,所以与异号,此时曲线C是双曲线,令mx2+ny2=0,可得y=±x,故其渐近线方程为y=±x,故C正确;
对于选项D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,
即y=±,此时曲线C是平行于x轴的两条直线,故D正确.
故选ACD.
10.ACD 由双曲线方程-=1知a=2,b=,焦点在y轴上,其渐近线方程为
y=±x=±x,故A正确;c==,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,故B错误;联立得或由对称性知M点的横坐标是±,故C正确;=F1F2·|xM|=×2×=2,故D正确.故选ACD.
11.ACD 易知F(1,0),不妨设点A在第一象限.
若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),
此时AB=4,OA+OB=2OA=2,
此时S△OAB=×4×1=2,故B错误;
若直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
显然k≠0,则直线l的方程为y=k(x-1),
联立消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,
∴AB=x1+x2+2=4+>4,
原点O到直线l的距离d=,
∴S△OAB=×AB×d=××=2>2,
综上,AB≥4,S△OAB≥2,故A正确,D正确;
如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则PA+AF=PA+AN,
故当P,A,N三点共线时,PA+AF取得最小值,最小值为3,故C正确.
故选ACD.
12.ACD 选项A中,因为F1F2=2,所以F2(1,0),PF2=1,所以QF1+QP=2-QF2+QP≥2-PF2=2-1,当Q,F2,P三点共线时取等号,故A正确;
选项B中,若椭圆C的短轴长为2,则b=1,a=2,此时椭圆方程为+y2=1,由+1>1,可知点P在椭圆外,故B错误;
选项C中,因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,又a-b=1,所以b=a-1,所以+<1,即a2-3a+1>0,所以a>==,所以>,所以e=<,所以椭圆C的离心率的取值范围为,故C正确;
选项D中,若=,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),所以+=1,又a-b=1,所以a2-11a+9=0,所以a===,所以=,所以椭圆C的长轴长为+,故D正确.
故选ACD.
13.答案 4
解析 由题得a2-4=9+3,解得a=4或a=-4(舍去),
故答案为4.
14.答案
解析 由题易得抛物线的焦点为(1,0),
双曲线的渐近线方程为y=±x,即3x+4y=0或3x-4y=0.
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.
故答案为.
15.答案 4
解析 不妨设点P位于第一象限,如图,
设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,由椭圆及双曲线的定义知
∴PF1=a1+a2,PF2=a1-a2,又F1F2=2c,∠F1PF2=,
∴由余弦定理得4c2=+-2(a1+a2)(a1-a2)·cos,
化简得+3=4c2,
∴+=4,即+=4.故填4.
16.答案 y2=6x
解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),设两条平行光线间的距离为d,
由题意可知,d=|y1-y2|,
易知F,且直线PQ过点F,则可设直线PQ的方程为x=my+,m∈R,
联立消去x,得y2-2pmy-p2=0,
由根与系数的关系可得y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
则d=|y1-y2|==2p≥2p,
所以2p=6,
故抛物线的方程为y2=6x.
17.解析 (1)若命题p为真命题,则满足 (3分)
解得-4
即m的取值范围为(-4,-2)∪(4,+∞). (5分)
(2)若命题q为真命题,则(m-t)(m-t-1)<0,即t
即-4≤t或t+1≤-2或t≥4,解得-4≤t≤-3或t≥4.
即实数t的取值范围为[-4,-3]∪[4,+∞). (10分)
18.解析 (1)设双曲线的标准方程为-=1.由题意可得2a=2,2c=2,
所以a=,c=, (2分)
所以b2=c2-a2=2,所以b=,
所以双曲线C的标准方程为-=1. (5分)
(2)联立消去y,整理可得x2+2x-9=0, (8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-9, (10分)
所以AB=|x1-x2|=×=×=8. (12分)
19.解析 (1)由题意知,椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0),
由椭圆的定义知c=2,
2a=+=2, (3分)
所以a=,所以b2=a2-c2=10-4=6,
故椭圆的标准方程为+=1. (5分)
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得8x2+10x-25=0,
所以x1+x2=-,x1x2=-. (8分)
设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则x0==-,y0=,
所以线段AB的中点坐标为. (10分)
由弦长公式得AB=×=×=. (12分)
20.解析 (1)由F1F2=2得c=1,又=×2×b=,所以b=, (2分)
所以a==2.
所以椭圆的标准方程为+=1. (4分)
(2)证明:已知点B,当直线BB1的斜率不存在时显然不满足题意,
所以直线BB1的斜率存在.
设直线BB1:y-=k(x-1),即y=kx+-k,由于直线BB1,BB2关于直线x=1对称,因此直线BB2的斜率为-k,故直线BB2:y=-kx++k, (6分)
设B1(x1,y1),B2(x2,y2),
联立整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0, (7分)
则x1=(方程有一解是x=1),同理x2=, (9分)
则=====,所以直线B1B2的斜率为定值. (12分)
21.解析 (1)由题意知解得 (3分)
所以椭圆C的标准方程为+=1. (5分)
(2)由题意知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+m,其中m≠±2,
联立得(3k2+2)x2+6kmx+3m2-12=0,
Δ=36k2m2-12(3k2+2)(m2-4)=24(6k2+4-m2),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, (6分)
易得A(0,2),B(0,-2),因为AP⊥AQ,
所以·=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+m-2)(kx2+m-2)
=(k2+1)x1x2+k(m-2)(x1+x2)+(m-2)2=0,
所以(k2+1)×+k(m-2)×+(m-2)2=0,
即(k2+1)(3m2-12)-6k2m(m-2)+(m-2)2(3k2+2)=0,
因为m≠±2,所以(k2+1)(3m+6)-6k2m+(m-2)(3k2+2)=0,
所以3k2m+6k2+3m+6-6k2m+3k2m+2m-6k2-4=0,即5m+2=0,
所以m=-,满足Δ>0.所以直线PQ的方程为y=kx-,即直线PQ过定点. (8分)
解法一:因为△ABH存在,所以k≠0,
所以直线AH的斜率为-,方程为y=-x+2,
联立解得点H的横坐标为xH=, (10分)
所以S△ABH=AB×|xH|=×4×=≤,
当且仅当|k|=,即k=±1时取等号,即△ABH面积的最大值为. (12分)
解法二:设直线PQ所过的定点为D,则D. (9分)
因为AH⊥PQ,所以点H在以AD为直径的圆上,
所以=AB×=×4×=,即△ABH面积的最大值为. (12分)
22.解析 (1)设点(x0,y0)在抛物线y2=2px上,则=2px0.下面证抛物线y2=2px在点(x0,y0)处的切线方程为y0y=p(x+x0),
联立消去x,得y2-2y0y+2px0=0,即y2-2y0y+=0, (2分)
所以关于y的方程y2-2y0y+=0有两个相等的实根,即y1=y2=y0,此时x==x0,
因此直线y0y=p(x+x0)与抛物线y2=2px相切,且切点为(x0,y0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,t),
则以A为切点的切线方程为y1y=2(x+x1),
同理,以B为切点的切线方程为y2y=2(x+x2), (4分)
因为两条切线均过点P(-1,t),所以即
所以点A、B的坐标满足直线2x-ty-2=0的方程,
所以直线AB的方程为2x-ty-2=0,
令y=0,可得x=1,所以直线AB过定点(1,0). (6分)
(2)设点P到直线AB的距离为d,则==.
由题意可知,直线AB不与x轴重合,可设直线AB的方程为x=my+1,
设C(x3,y3),D(x4,y4),联立得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0恒成立,
由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4, (8分)
由弦长公式可得AB=|y1-y2|=×=4(m2+1),
联立得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0恒成立,
则y3+y4=-,y3y4=-, (10分)
由弦长公式得CD=|y3-y4|=×=.
所以====m2+≥,
当且仅当m=0时,等号成立.
因此的最小值为. (12分)
第4章 数列
1.D 当n=1时,S1=2a1-1=a1,解得a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1,
所以{nan}的前5项和为1×20+2×21+3×22+4×23+5×24=129,故选D.
2.A 设等比数列{an}的公比为q,依题意可得q≠1.
∵an>0,a1=,Sn<2,∴×qn-1>0,<2,∴0
∴4-4q≥1,解得q≤.综上可得,{an}的公比的取值范围是.故选A.
3.C 设等比数列{an}的公比为q.由a102a103-1>0,得a102a103>1,则×q>1,所以q>0,
所以等比数列{an}的各项均为正数,由<0,得(a102-1)(a103-1)<0,又a1>1,
所以a102>1,a103<1,所以T204=a1·a2·…·a203·a204=>1,
T205=a1·a2·…a203·a204·a205=<1,
故使得Tn>1成立的最大正整数n的值为204,故选C.
4.B 设数列3,4,6,9,13,18,24,…为{an},易得an-an-1=n-1(n≥2),a1=3,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(n-1)+(n-2)+…+1+3=+3=+3.
所以a19=+3=174.故选B.
5.C 由an+1=an(n∈N*)可知数列{an}是公比为的等比数列,
所以an=·=,所以bn==(n-2λ)2n,
因为数列{bn}是递增数列,所以bn+1>bn对于任意的n∈N*恒成立,
即(n+1-2λ)2n+1>(n-2λ)2n,整理得λ<,又n∈N*,∴λ<,故选C.
6.B 因为数列{an}满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(n∈N),
所以a1=a3=a7=…==1,k∈N*,=+=1+,k∈N*,
=,=+,=,……,=+,k∈N*,
设S(k)=++…+,
所以S(k)=++…+=3(++…+)+2-2=3S(k-1)-2,
又a0=1,所以a1=1,a2=2,a3=1,a4=3,S(1)=a3+a4=4,
所以S(k)-1=3[S(k-1)-1],S(1)-1=3,所以S(k)-1=3k,即S(k)=3k+1,所以a1+a2+…+a128=1+2+S(1)+…+S(6)=3+(3+1)+(32+1)+…+(36+1)=1101.
故选B.
7.A 对任意的n∈N*有Sn=an-,可得a1=S1=a1-,解得a1=-2,
当n≥2时,Sn=an-,Sn-1=an-1-,两式相减得Sn-Sn-1=an-an-1=an,即an=-2an-1,所以{an}是首项为-2,公比为-2的等比数列,
所以an=(-2)n,所以Sn==-[1-(-2)n],
所以1
8.B ∵an+1=+an,a1=2,
∴an>0,∴an+1-an=>0,即数列{an}为递增数列,
∴an+1=an(an+1)≥6,即==-≤.
易得=-.
∵=2,
∴Sm=++…+
=2+2+…+2
=2m-2
=2m-2
=2m-2
=2m-1+,
∵m∈N*,a2=+a1=6,
∴2m-1+≤2m-1+=2m-,
∵Sm<2020恒成立,
∴2m-<2020,即m<1010+,
∴正整数m的最大值为1010.
9.AC 因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N*),所以S1=2a1+1,
因此a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;
所以an=-2n-1,因此a5=-1×24=-16,故A正确;
又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;
因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC.
10.BC 由a2a3a4=64得=43,则a3=4.设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由a2+a4=10,得+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.又数列{an}单调递增,所以q=2,所以2a1+8a1=10,解得a1=1,所以an=2n-1,Sn==2n-1,所以Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.故选BC.
11.ABD 若q<0,则a6<0,a7>0,∴a6a7<0,与a6a7>1矛盾,故舍去;若q≥1,则a6>1,a7>1,∴>0,与<0矛盾,故舍去,∴0
∵an>0,∴Sn单调递增,即Sn的最大值不为S7,C错误.
当n≥7且n∈N*时,an∈(0,1),当1≤n≤6且n∈N*时,an∈(1,+∞),∴Tn的最大值为T6,D正确.故选ABD.
12.ABD 数列{an}的前n项和满足an+1=2Sn(n∈N*),
当n≥2时,an=2Sn-1,两式相减,整理得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n≥2),
所以an+1=3an(n≥2),即=3(n≥2),又a1=1,a2=2S1=2a1=2,
所以=2,所以数列{an}的通项公式为an=
当n≥2时,Sn===3n-1,又S1=a1=1,符合此式,
所以数列{an}的前n项和Sn=3n-1,又==3,所以数列{Sn}为公比为3的等比数列.故选ABD.
13.答案 100
解析 ·a7=·(a5·a7)=·===100.
14.答案
解析 由题意知,数列{an}满足2Sn=5an-7,当n≥2时,2Sn-1=5an-1-7,
两式相减,可得2Sn-2Sn-1=5an-7-(5an-1-7),即2an=5an-5an-1(n≥2),
即=(n≥2),当n=1时,2S1=5a1-7,即2a1=5a1-7,解得a1=,
所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=·=.
15.答案 1349
解析 当k=1时,a1=1,符合题意.
当k≥2时,a1·a2·a3·…·ak=log45·log56·…·logk+2(k+3)=log4(k+3).
令log4(k+3)=m,m∈Z,则k+3=4m,∴k=4m-3.
令2≤k=4m-3≤2020,则5≤4m≤2023,∴2≤m≤5,m∈Z.
∴区间[1,2020]内所有“幸福数”的和为1+(42-3)+(43-3)+(44-3)+(45-3)
=(4-3)+(42-3)+(43-3)+(44-3)+(45-3)
=-15=1349.
16.答案 2n-2;4
解析 因为Sn+2=an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1=2Sn+2,
所以Sn+1+2=2(Sn+2),所以{Sn+2}是等比数列且公比q=2,
又S1+2=a1+2=2,所以Sn+2=2n,所以Sn=2n-2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,则=,
因为<,所以<,
化简得22n-16·2n+14>0,解得2n>8+5或2n<8-5,
因为n∈N*,所以2n>8+5,则nmin=4.
17.解析 (1)当n=1时,S1=(a1-1)=a1,所以a1=a. (1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1), (3分)
整理得=a,即数列{an}是以a为首项,a为公比的等比数列,
所以an=a·an-1=an(a≠0,a≠1). (5分)
(2)由(1)知,bn=+1=,∴b1=3,b2=,b3=, (7分)
由数列{bn}是等比数列,得=b1·b3,
所以=3·,解得a=. (10分)
18.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a2=7,S4=40,所以 (2分)
解得 (4分)
所以an=6n-5. (6分)
(2)由(1)得bn===, (8分)
所以Tn==<. (10分)
要使2Tn≤λ-2020对所有n∈N*都成立,
只需满足1≤λ-2020,故λ≥2021,故λ的取值范围为[2021,+∞). (12分)
19.解析 (1)易知{an}的各项均不为0.因为(n+1)an+1=2(n+2)an,所以=, (2分)
则an=a1····…·=2n-1·a1·=(n+1)·2n-1(n≥2), (4分)
当n=1时,a1=2,满足此式,所以an=(n+1)·2n-1. (6分)
(2)证明:Sn=2·20+3·21+4·22+…+(n+1)·2n-1①,
2Sn=2·21+3·22+4·23+…+n·2n-1+(n+1)·2n②, (8分)
①-②得-Sn=2+21+22+23+…+2n-1-(n+1)·2n
=2+-(n+1)·2n=-n·2n,所以Sn=n·2n, (10分)
所以2an-Sn=(n+1)·2n-n·2n=2n>0,所以Sn<2an. (12分)
20.解析 (1)因为点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x2上,
所以Sn+3=(n+1)2,所以Sn=n2+2n-2. (2分)
当n=1时,a1=S1=1; (3分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-2-[(n-1)2+2(n-1)-2]=2n+1. (5分)
当n=1时,a1=1≠2×1+1,所以an=(6分)
(2)易得an-9=(8分)
当n=1时,T1=|-8|=8.
当1
当n≥5,n∈N*时,Tn=T4+[Sn-S4-9(n-4)]=14+n2+2n-2-22-9n+36=n2-7n+26. (11分)
综上,Tn=(12分)
21.解析 (1)∵数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n=2,3,4,…),
∴a3===, (2分)
a4===. (3分)
(2)当n≥2时,-1=-1==, (4分)
∴当n≥2时,bn=bn-1,∴bn+1=bn,n∈N*, (6分)
∴bn=××××…××b1=nb1,
∵b1=-1=3,∴bn=3n,n∈N*. (8分)
(3)∵cn===tan(3n+3)-tan3n, (10分)
∴Sn=c1+c2+…+cn=(tan6-tan3)+(tan9-tan6)+…+[tan(3n+3)-tan3n]
=tan(3n+3)-tan3. (12分)
22.解析 (1)因为a1=a=4,a2=a1+1=5,a3=a2+1=6,a4==2,a5=a4+1=3,a6==1,a7=a6+1=2,……,所以集合A中的所有元素为4,5,6,2,3,1. (2分)
(2)不妨设成等比数列的连续7项中的第一项为ak,k∈N*,
若ak是3的倍数,则ak+1=ak;若ak被3除余1,则由递推关系可得ak+2=ak+2,所以ak+2是3的倍数,所以ak+3=ak+2;若ak被3除余2,则由递推关系可得ak+1=ak+1,所以ak+1是3的倍数,所以ak+2=ak+1.
所以成等比数列的连续7项的公比为. (5分)
因为an∈N*,所以这7项中的前6项一定都是3的倍数,而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会大于7).
设第7项为p,则p是被3除余1或被3除余2的正整数,则ak=p×36,
因为36<2020<37,所以ak=36或ak=2×36. (7分)
由递推关系式可知,在该数列的前k-1项中,满足小于2020的项只有
ak-1=36-1或2×36-1,ak-2=36-2或2×36-2,
所以a的所有可能取值构成的集合为{36,2×36,36-1,2×36-1,36-2,2×36-2}. (9分)
(3)证明:若ak被3除余1,则ak+1=ak+1,ak+2=ak+2,ak+3=(ak+2);
若ak被3除余2,则ak+1=ak+1,ak+2=(ak+1),ak+3≤(ak+1)+1;
若ak被3整除,则ak+1=ak,ak+3≤ak+2.
所以ak+3≤ak+2, (10分)
所以ak-ak+3≥ak-=(ak-3).
所以对于数列{an}中的任意一项ak,若ak>3,则ak>ak+3.
因为ak∈N*,所以ak-ak+3≥1,
所以数列{an}中必存在某一项am≤3(否则会与上述结论矛盾).
若am=1,结论得证.
若am=3,则am+1=1;若am=2,则am+1=3,am+2=1,所以1∈A. (12分)
第5章 导数及其应用
1.C f(x)在[0,π]上的平均变化率为 ==π.故选C.
2.C 因为=2f'(2)=-2,所以f'(2)=-1,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为-1,故所求切线的倾斜角为.故选C.
3.B 因为f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,又f(x)的图象过点,所以=,所以α=2,所以f(x)=x2,所以g(x)=,则g'(x)=.
当x>2或x<0时,g'(x)<0;当0
所以g(x)=的递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),故选B.
4.A ∵f(x)=ex-(a-1)x+1,∴f'(x)=ex-a+1,∵f(x)在(0,1)上不单调,
∴f'(x)在(0,1)上有变号零点,又∵f'(x)单调递增,∴f'(0)·f'(1)<0,即(1-a+1)(e-a+1)<0,解得2
5.A 由题意得f'(x)=3ax2+2ax+7.a=0时,f'(x)=7>0,f(x)单调递增,无极值点;a≠0时,则Δ=4a2-84a≤0,解得0
因为f'(x)
10.BC 根据题中图象可知,当x∈[-2,-1]时,f'(x)≤0,则f(x)在[-2,-1]上是减函数,故A错误;当x=-1时,f'(x)=0,当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,故当x=-1时,f(x)取得极小值,故B正确;当x∈[-1,2]时,f'(x)≥0,故f(x)在[-1,2]上是增函数,当x∈[2,4]时,f'(x)≤0,故f(x)在[2,4]上是减函数,故C正确;当x=3时,f(x)不能取到极小值,故D错误.故选BC.
BCD 易知函数y=cosx,y=,y=的周期分别是2π,,,其最小公倍数为2π,所以f(x)的最小正周期为2π,故A中结论错误;因为 f=cos++=0,所以函数f(x)的图象关于点对称,故B中结论正确;f'(x)=-sinx-sin5x-sin9x=
f'(π-x),故C中结论正确; 易知当x=时,f'(x)取得最小值,f'=-sin-sin-
sin=-3,故D中结论正确.故选BCD.
12.CD 构造函数g(x)=,则g'(x)==.
因为(x+1)f'(x)-f(x)
所以g(2)
故选CD.
13.答案 x-y-1=0
解析 易得f'(x)=ex+xex+2x,f(0)=-1,根据导数的几何意义可知曲线f(x)在点(0,-1)处的切线斜率为f'(0)=1,∴切线方程为y+1=x,即x-y-1=0.
14.答案 3
解析 由题意得f'(x)=3x2+2f'(0),令x=0,得f'(0)=2f'(0),则f'(0)=0,
则f(x)=x3,所以f'(x)=3x2,所以f'(1)=3.
15.答案 [8,+∞)
解析 由题意知h'(x)=2x-,f(x)=2x--5lnx-5ln2,g(x)=x2-bx+4,
∴f'(x)=2+-==,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减.
易知f(x)在区间(0,1]上的最大值为f=-3,
x1∈(0,1], x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,
即f(x)在(0,1]上的最大值大于或等于g(x)在[1,2]上的最大值,
即即解得b≥8,即实数b的取值范围为[8,+∞).
16.答案 0或-;
解析 由k=-2e2,得g(x)=f(x)+2e2x,则当x≥1时,g(x)=f(x)-kx=lnx+2e2x>0恒成立,所以不存在x0,使g(x0)=0;
当x<1时,g(x)=-x3+x+2e2x,因为g(x0)=0,所以-+x0+2e2x0=0,
解得x0=0或x0=-或x0=(舍去).
易知x=0为函数g(x)的一个零点.当x≠0时,令f(x)-kx=0,则k=.
即k=
令φ(x)=,x≥1,则φ'(x)=,x≥1,
当x∈[1,e)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
当x∈(e,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,
所以当x=e时,函数φ(x)取得极大值,极大值为φ(e)=,
作出直线y=k与函数y=的图象,如图所示,
要使函数g(x)恰好有4个零点,只需直线y=k与函数y=的图象有3个不同的交点,由图可知,当k=时,满足条件.
综上,要使函数g(x)恰好有4个零点,则k=.
17.解析 (1)由题意得f'(x)=x2-2x+a, (1分)
∵当x=1+时,f(x)取得极值,∴f'(1+)=0, (2分)
∴-2(1+)+a=0,
∴a=-1,∴f'(x)=x2-2x-1. (3分)
当x<1-时,f'(x)>0;当1-
∴f(1+)是函数f(x)的极小值. (5分)
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,设f(x)=g(x),整理得x3-x2-3x=b,
设F(x)=x3-x2-3x,则F'(x)=x2-2x-3,
令F'(x)=0,解得x=-1或x=3. (7分)
列表如下:
x -3 (-3,-1) -1 (-1,3) 3 (3,4) 4
F'(x) + 0 - 0 +
F(x) -9 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
易得F(-1)=,F(3)=-9. (9分)
∵函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,
∴函数F(x)的图象与直线y=b有两个公共点,
结合图象(图略)可知-
令f'(x)=0,得x=1, (2分)
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, (3分)
∴f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,
∴f(x)max=f(1)=0. (4分)
(2)∵f(x)在区间(2,e)上存在零点,∴lnx-=0在(2,e)上有解, (5分)
即a=在(2,e)上有解.
令g(x)=,x∈(2,e),则g'(x)=,x∈(2,e), (6分)
设y=lnx-1+,x∈(2,e),∴y'=-=>0,∴y>ln2-1+=ln>0, (7分)
∴g'(x)>0,∴g(x)在(2,e)上单调递增, (9分)
即g(x)>g(2)=,g(x)
19.解析 (1)易得f'(x)=2x--2=(x>0). (1分)
由题意得f'(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
即a≤2x2-2x在x∈(0,+∞)上恒成立,而2x2-2x=2-≥-, (3分)
∴a≤-. (4分)
(2)由题意知2x2-2x-a=0在(0,+∞)内有2个不等实根x1,x2,则-
不妨设x1
令g(x)=(1-x)lnx+xln(1-x),
则g'(x)=-lnx++ln(1-x)-=ln+, (9分)
显然-1>1,1-2x>0,x(1-x)>0,故g'(x)>0,则g(x)在上单调递增, (10分)
所以g(x)
则+的取值范围是(-∞,-2ln2-3). (12分)
20.解析 (1)因为半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,
所以半球体积V1=πr3dm3,圆柱的体积V2=πr2hdm3.
因为V1+V2=18π,所以V2=πr2h=18π-πr3, (2分)
所以h=-. (3分)
因为V1=πr3<18π,所以r<3,因此0
设容器的总造价为y元,则y=3aS1+aS2+S3=6πr2a+2πrha+·πr2=πr2a+2πra=(0
令f'(r)=0,得r=. (9分)
当0
因此当r=时,f(r)取得极小值,也是最小值,为27,此时y有最小值36πa.
所以当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为dm. (12分)
21.解析 (1)易得f(x)的定义域为(0,+∞), (1分)
f'(x)=a-(lnx+1)=a-1-lnx. (2分)
令f'(x)>0,解得0
所以f(x)的单调递增区间为(0,ea-1),单调递减区间为(ea-1,+∞). (4分)
(2)证明:由(1)可知,f(x)的极大值为f(ea-1)=aea-1-ea-1lnea-1=ea-1,
因为函数f(x)的极大值为1,所以ea-1=1,所以a=1, (5分)
所以f(x)=x-xlnx,所以f'(x)=1-lnx-1=-lnx,
当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,
因为1
所以g(n)-f(n)=-(n-nlnn)=n, (8分)
设φ(n)=lnn-,n>1,
则φ'(n)=>0,
所以φ(n)在(1,+∞)上单调递增,所以φ(n)>φ(1)=0, (10分)
所以lnn->0,所以g(n)>f(n).
又f(n)>f(m),所以f(m)
当m≤0时,f'(x)<0恒成立,
则f(x)在R上单调递减,f(x)无极值. (2分)
当m>0时,令f'(x)=0,解得x=lnm,
当x∈(lnm,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-∞,lnm)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, (3分)
∴f(x)在x=lnm处取得极大值,极大值为f(lnm)=mlnm-m+3,无极小值,
综上所述,当m≤0时,f(x)无极值,当m>0时,f(x)的极大值为mlnm-m+3,无极小值. (5分)
(2)把代入(x-a)[f(x)-2]
∴ex-1>0,
∴a-x<,
∴a<+x,x>0(*). (7分)
令g(x)=+x,则g'(x)=. (8分)
设h(x)=ex-x-3.
由(1)可知,当m=1时,f(x)=-ex+x+3在(0,+∞)上单调递减,
∴函数h(x)=ex-x-3在(0,+∞)上单调递增,又 (9分)
∴h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0,且x0∈(1,2).
∴g'(x)在(0,+∞)上也存在唯一的零点,且为x0.
当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,
∴g(x)min=g(x0). (10分)
由g'(x0)=0得=x0+3,
∴g(x0)=x0+1,
∴g(x0)∈(2,3), (11分)
由(*)式可知,a
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1.D 直线y=x的方程可化为6x-4y=0,
所以两条平行直线间的距离d==.
故选D.
2.A 由题意可得1×(2m-15)+m×3=0,解得m=3.
故