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北师大版 八年级下
4.3.1公式法（1）
情境引入
填空：
（1）（x+5）（x-5） = ；
（2）（3x+y）（3x-y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？
平方差公式
尝试将上面的结果分别写成两个因式的乘积：
（x+5）（x-5）
（3m+2n）（3m–2n）
（3x+y）（3x-y）
因式分解
你能由此得到什么结论？
提炼概念
(a+b)(a-b)=a - b
因式分解
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a - b
整式乘法
a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。
把乘法公式反过来用,可以把符合公式特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法。
（2）语言：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
（1）两项
（2）平方
（3）异号
思考：什么形式的多项式可以用平方差公式分解因式？
首2-尾2=（首+尾）（首-尾）
典例精讲
例1：将下面的多项式分解因式
(1) 25-16 x (2)
解：
25-16 x =
=(3a) -(1/2b) =(3a+1/2b)(3a-1/2b)
5 - (4x)
=( 5 + 4x)( 5 - 4x)
a - b = ( a + b)( a - b )
总结：正确找出a -b = ( a+b)(a-b)式子中的a和b。
第一步，将两项写成平方的形式；
第二步，找出a、b ；
第三步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式。
方法步骤：
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例2.把下列各式因式分解
（1） 9( m + n) - ( m - n )
解： 原式=[3(m+n)] -( m - n )
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
平方差公式中字母a、b不仅可以表示数，而且也可以表示单项式、多项式或单项式与单项式的乘积。
分解到不能再分解为止
（2）2x - 8x
解：原式=2x(x -4)
=2x(x -2 )
=2x(x+2)(x-2)
总结：当多因式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解。注意：每个因式要分解到不能再分解为止.
归纳概念
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
因式分解
一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解
三查 ③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底。
课堂练习
1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4m +n B. 4m- (-n) C. -4 m -n D. - m + n
2.-4a +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
D
D
3、分解因式
(1)7x2-63
(2)m2 (m-n)2-4(n-m)2．
解：(1)7x2-63
原式=7(x2-9)=7(x+3)(x-3)；
(2)m2 (m-n)2-4(n-m)2
原式=(m-n)2 (m2-4)
=(m-n)2 (m+2)(m-2)．
4.把多项式x4-16因式分解.
解：x4-16
=(x2)2-42
=(x2+4)(x2-4)
=(x2+4)(x+2)(x-2)
注意：每个因式要分解到不能再分解为止.
解：（1）(x－1)+b2(1－x)
=(x－1)－b2(x－1)
=(x－1)(1－b2)
=(x－1)(1+b)(1－b);
（2）(x2+x+1)2－1
=(x2+x+1+1)(x2+x+1－1)
=(x2+x+2)(x2+x)
=x(x+1)(x2+x+2)
5.分解因式
（1）(x－1)+b2(1－x)（2）(x2+x+1)2－1
6.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
解:a2-4b2=(a+2b)(a-2b)cm2
当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
课堂总结
用平方差公式法分解因式
★多项式特点：有两项是平方项，且符号异号
第一步，找出a、b,将两项写成平方的形式；
第二步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式.
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
作业布置
教材课后配套作业题。
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4.3.1公式法（1）学案
课题 4.3.1公式法（1） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点 会用平方差公式进行因式分解。
难点 掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。
教学过程
导入新课 【引入思考】 想一想（1）观察多项式 x2-25 和 9x2-y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.归纳总结：(a+b)(a-b)=a -b a -b = (a+b)(a-b)（整式乘法） （因式分解）特点：(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式.(2) 公式右边：（是分解因式的结果）
新知讲解 提炼概念因式分解一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公 因式。二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解 三查 ③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底。典例精讲 .co例1、把下列各式分解因式： （1）25-16x2 （2）9a2- b2 例2 把下列各式分解因式： （1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x
课堂练习 巩固训练 1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）4m +n B. 4m- (-n) C. -4 m -n D. - m + n 2.-4a +1分解因式的结果应是 （ ）-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)3、分解因式(1)7x2-63 (2)m2 (m-n)2-4(n-m)2．4.把多项式x4-16因式分解.x4-16=(x2+4)(x+2)(x-2)5.分解因式（1）(x－1)+b2(1－x)（2）(x2+x+1)2－1如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
答案引入思考师生共同分析：多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：x2-25=x2-52， 9x2-y2 =(3x)2-y2 把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)； 9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y). 提炼概念典例精讲 例1解：（1）25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x). （2）9a2- b2=(3a)2-(b)2=(3a+b)(3a-b)例2 解：（1）9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)（2）2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)巩固训练1.D2.D3.解：(1)7x2-63 原式=7(x2-9)=7(x+3)(x-3)；(2)m2 (m-n)2-4(n-m)2原式=(m-n)2 (m2-4) =(m-n)2 (m+2)(m-2)．x4-16=(x2+4)(x+2)(x-2)5.解：（1）(x－1)+b2(1－x)=(x－1)－b2(x－1)=(x－1)(1－b2)=(x－1)(1+b)(1－b);（2）(x2+x+1)2－1=(x2+x+1+1)(x2+x+1－1)=(x2+x+2)(x2+x)=x(x+1)(x2+x+2)6.解:a2-4b2=(a+2b)(a-2b)cm2当a=3.6，b=0.8时,原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8) =5.2×2 =10.4cm2
课堂小结 因式分解的一般步骤：1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
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4.3.1公式法（1） 教案
课题 4.3.1公式法（1） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点 会用平方差公式进行因式分解。
难点 掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题（一）探究用平方差公式因式分解1、想一想（1）观察多项式 x2-25 和 9x2-y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.师生共同分析：多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：x2-25=x2-52， 9x2-y2 =(3x)2-y2 把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)； 9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y). 2、归纳总结：(a+b)(a-b)=a -b a -b = (a+b)(a-b)（整式乘法） （因式分解）特点：(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式.(2) 公式右边：（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.3、学以致用 思考自议了解平方差公式、完全平方公式的特点。 掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征。
讲授新课 提炼概念 因式分解一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公 因式。二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解 三查 ③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底。三、典例精讲例1、把下列各式分解因式： （1）25-16x2 （2）9a2- b2 分析：先确定a与b学生根据分析，自主完成解题过程解：（1）25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x). （2）9a2- b2=(3a)2-(b)2=(3a+b)(3a-b)例2 把下列各式分解因式： （1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x分析：（1）把括号看作一个整体；（2）先提出这个公因式学生根据分析，自主完成解题过程解：（1）9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)（2）2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)归纳：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 21 正确熟练地运用平方差公式与因式分解. 把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式因式分解.
课堂检测 四、巩固训练 1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）4m +n B. 4m- (-n) C. -4 m -n D. - m + n D2.-4a +1分解因式的结果应是 （ ）-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)D3、分解因式(1)7x2-63 (2)m2 (m-n)2-4(n-m)2．解：(1)7x2-63 原式=7(x2-9)=7(x+3)(x-3)；(2)m2 (m-n)2-4(n-m)2原式=(m-n)2 (m2-4) =(m-n)2 (m+2)(m-2)．4.把多项式x4-16因式分解.x4-16=(x2+4)(x+2)(x-2)5.分解因式（1）(x－1)+b2(1－x)（2）(x2+x+1)2－1解：（1）(x－1)+b2(1－x)=(x－1)－b2(x－1)=(x－1)(1－b2)=(x－1)(1+b)(1－b);（2）(x2+x+1)2－1=(x2+x+1+1)(x2+x+1－1)=(x2+x+2)(x2+x)=x(x+1)(x2+x+2)如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．解:a2-4b2=(a+2b)(a-2b)cm2当a=3.6，b=0.8时,原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8) =5.2×2 =10.4cm2
课堂小结 因式分解的一般步骤：1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
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