第一章《三角形的证明》单元质量检测试卷C（含答案）

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北师大版2021-2022学年八年级（下）第一章三角形的证明检测试卷C
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是
A. 已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式
B. 如果 的相反数为 ，那么 为
C. 如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除
D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数
2. 下列各图中， 是 的平分线，点 ，， 分别在射线 ，， 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是
A. B.
C. D.
3. 如图，某市准备在一块由三条公路围成的 区域内设立一个大型超市，要求超市到三条公路的距离相等，则超市应建立在 的
A. 两个内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处
C. 两边中线的交点处 D. 两边的垂直平分线的交点处
4. 如图，在等边三角形 中， 于点 ．若 ，则 的长是
A. B. C. D.
5. 如图，在 中，， 于点 ，，，则
A. B. C. D.
6. 在 中，，，，则 的长为
A. B. C. D.
7. 下列说法错误的是
A. 有两个内角分别是 与 的三角形是等腰三角形
B. 一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C. 有两个内角不等的三角形不是等腰三角形
D. 有两个不同顶点的外角相等的三角形是等腰三角形
8. 若有三点 ，， 不在同一条直线上，点 满足 ，则平面内这样的点 有
A. 个 B. 个 C. 个或 个 D. 无法确定
9. 如图，直线 ，点 在直线 上，点 ， 在直线 上，，， 于 ，那么 等于
A. B. C. D.
10. 如图，在 中，线段 的垂直平分线与 相交于点 ，连接 ，边 的长为 ，边 的长为 ，则 的周长为
A. B. C. D.
11. 如图，过边长为 的等边 的边 上一点 ，作 于点 ， 为 延长线上一点，当 时，连接 交 边于点 ，则 的长为
A. B. C. D.
12. 中，，， 的对边分别记为 ，，，由下列条件不能判定 为直角三角形的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 在等腰三角形 中，，下列说法：
① 边上的高线和中线重合；
② 和 边上的中线的长度相等；
③ 中， 和 的平分线的长度相等；
④ 和 边上的高线的长度相等．
其中正确的是 （填序号）．
14. 在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的 倍，则较小锐角的度数为 度．
15. 如图，在 中，，，分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线 ，交 于点 ，连接 ，若 ，则 的长为 ．
16. 写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题： ．
17. 如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ，， 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ，，若 ，，则 的周长是 ．
18. 如图，一只船从 处出发，以 海里/时的速度向正北航行，经过 小时到达 处，分别从 、 处望灯塔 ，测得 ， ，则 与灯塔 的距离为
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）如图， 平分 ，，垂足为 ，，．求证： 是等边三角形．
20. （10分）如图，在 中，，点 在 上，．说明 为等腰三角形的理由．
下面九个语句是说明 为等腰三角形的表述，但是次序搞乱了．请将这九个语句重新整理，说明 为等腰三角形，并说出依据．
① ；
② ；
③ ；
④ ，即 为等腰三角形；
⑤ ；
⑥ ，即 ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ ．
整理如下：
21. （8分）如图，，，交 的延长线于点 ， 于点 ，且 ，求证： 是 的平分线．
22. （8分）如图，已知直线 ，直线 分别与 ， 交于点 ，．请用尺规作图法，在线段 上求作一点 ，使点 到 ， 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
23. （8分）如图，从 处观测 处时的仰角 ，从 处观测 处时的仰角 ，求 的度数．
24. （8分）如图，在 中，，．
求证： 是直角三角形．
25. （10分）回答下列问题：
（1）【知识运用】如图①，，，， 相交于点 ．求证：．
（2）【数学思考】如图②，已知三个点 ， 和 ，只允许用圆规作点 ，使得 ， 两点关于 所在的直线对称．
答案
第一部分
1. B 【解析】A、已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；
B、如果 的相反数为 ，那么 为 是真命题，它的逆命题是如果 为 ，那么 的相反数为 ，是真命题；
C、如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除，是假命题；
D、如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．
2. D
3. A
4. B
5. D
6. D
7. C 【解析】有两个内角分别是 与 ，根据三角形内角和定理，可得第三个角必为 ，所以该三角形是等腰三角形，故A中的说法正确；当一个外角的平分线平行于三角形的一边时，根据平行线的性质，可得该三角形的两个内角相等，所以该三角形是等腰三角形，故B中的说法正确；在内角分别为 ，， 的三角形中， 的角与 的角不相等，但该三角形为等腰三角形，故C中的说法不正确；有两个不同顶点的外角相等时，根据“等角的补角相等”，可得该三角形的两个内角相等，所以该三角形是等腰三角形，故D中的说法正确．
8. A 【解析】到点 ， 距离相等的点在线段 的垂直平分线上，到点 ， 距离相等的点在线段 的垂直平分线上，到点 ， 距离相等的点在线段 的垂直平分线上，而三角形三边的垂直平分线交于一点．故选A．
9. A
10. B
【解析】 线段 的垂直平分线与 相交于点 ，
，
的周长 ，
，，
的周长 ．
11. B
12. B 【解析】A、因为 ，，
所以 ，
所以 为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设 ，，，
，
解得：，
则 ，
所以 不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、因为 ，
所以 ，
所以 为直角三角形，故此选项不合题意；
D、因为 ，
设 ，，，
因为 ，
所以能构成直角三角形，故此选项不合题意．
第二部分
13. ①②③
【解析】由 ，知 为底边，由等腰三角形的性质知①正确，由全等三角形的性质可判断②③正确．
14.
15.
16. 如果 ，那么 ．
17.
18. 海里
【解析】 是 的外角，
，
，
（海里），
因此 处与灯塔 距离是 海里．
第三部分
19. 如图，
因为 ，，
所以 ，．
因为 平分 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 是等边三角形．
20. 整理说明过程如下：
因为 （已知），
所以 （等边对等角），
又因为 ，
所以 ，
因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
所以 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，得 ，即 为等腰三角形．
21. 交 的延长线于点 ， 于点 ，
，
与 都是直角三角形，
在 与 中，
，
，
又 ，，
是 的平分线．
22. 如图，点 为所作．
23. 因为 ，，
所以 ．
同理 ，
从而 ．
24. 如图，作 平分 交 于点 ，过 作 于点 ．
平分 ，
，
，
，
是等腰三角形，
又 ，
．
，
．
在 与 中，
．
，
是直角三角形．
25. （1） ，，
， 在线段 的垂直平分线上，
．
（2） 以 为圆心， 的长为半径画弧，再以 为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点 ，点 即为所求．
，，
， 在线段 的垂直平分线上，
， 两点关于 所在的直线对称．
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