2.1.1 数轴上的基本公式
一、选择题
1．下列命题：
①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ①②③④都正确．
2．A、B为数轴上的两点，B的坐标为－5，BA＝－6，则A的坐标为( )
A．－11 B．－1或11
C．－1 D．1或－11
[答案] A
[解析] BA＝xA－(－5)＝－6，∴xA＝－11.故选A.
3．在下列四个命题中，正确的是( )
A．两点A、B确定一条有向线段
B．起点为A，终点为B的有向线段记作AB
C．有向线段A的数量AB＝－|B|
D．A、B两点确定一条直线
[答案] D
[解析] 两点A、B可确定和，故A错；AB表示的数量，故B错；当AB<0时，才有AB＝－||，故C错．
4．数轴上，M、N、P的坐标分别为3，－1，－5，则MP＋PN等于( )
A．－4 B．4
C．－12 D．12
[答案] A
[解析] MP＋PN＝MN＝－1－3＝－4.
5．数轴上两点A(2x＋a)，B(2x)，则A、B两点的位置关系是( )
A．A在B左侧 B．A在B右侧
C．A与B重合 D．由a的取值决定
[答案] D
[解析] 2x＋a与2x的大小由a确定，从而A与B的位置关系也由a确定．
6．下列各组点：①M(a)和N(2a)；②A(b)和B(2＋b)；③C(x)和D(x－a)；④E(x)和F(x2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
[答案] B
[解析] ∵AB＝(2＋b)－b＝2，
∴点B一定在点A的右侧．
7．已知数轴上A、B两点的坐标分别为、－，则d(A，B)为( )
A．0 B．－
C. D.
[答案] C
[解析] d(A，B)＝＝.
8．如图，数轴上的每一格等于一个长度单位，则点A的坐标为( )
A．A(－1) B．A(1)
C．A(0) D．A(2)
[答案] A
二、填空题
9．数轴上一点P(x)，它到A(－8)的距离是它到B(－4)距离的3倍，则x＝________.
[答案] －2或－5
[解析] 由题知|x＋8|＝3|x＋4|，则x＝－2或x＝－5.
10．设M、N、P、Q是数轴上不同的四点，给出以下关系：
①MN＋NP＋PQ＋QM＝0；
②MN＋PQ－MQ－PN＝0；
③PQ－PN＋MN－MQ＝0；
④QM＝MN＋NP＋PQ.
其中正确的序号是________．
[答案] ①②③
[解析] 由向量的运算法则知，MN＋PQ－MQ－PN＝MN＋PQ＋QM＋NP＝MP＋PM＝0，故①②正确；PQ－PN＋MN－MQ＝PQ＋NP＋MN＋QM＝NQ＋QN＝0，故③正确；MN＋NP＋PQ＝MQ，与QM不相等，故④错．
11．若数轴上有四点A、B、C、D，且A(－7)、B(x)、C(0)、D(9)，满足＝，则x＝________.
[答案] 2
[解析] ∵＝表示向量与向量方向相同，且长度相等，∴AB＝CD，∴x＋7＝9－0，∴x＝2.
12．在数轴上已知点B(3)，AB＝4，则A点的坐标为______；已知点B(2)，d(B，A)＝2，则A点的坐标为________；已知点B(－1)，BA＝2，则A点的坐标为______．
[答案] －1 0或4 1
三、解答题
13．根据所给条件，在数轴上分别画出点p(x)对应的范围．
(1)d(x,17)<30；(2)|x－12|>3；
(3)|x＋1|≤2.
[解析]
(1)据轴上两点间距离的意义d(x,17)<30即|x－17|<30，
∴－30
(2)x－12>3或x－12<－3，∴x>15或x<9.
(3)－2≤x＋1≤2，∴－3≤x≤1.如上图．
14．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有＝，延长DC到点E，使＝，求点E的坐标．
[解析] 设C(x)，E(x′)，则＝＝，
∴x＝－5.
即C点坐标为－5.∵E在DC的延长线上，
∴＝＝＝，
∴x′＝－，即E点坐标为－.
15．已知两点A、B的坐标如下，求AB、|AB|.
(1)A(2)、B(5)；(2)A(－2)、B(－5)．
[解析] (1)AB＝5－2＝3，
|AB|＝|5－2|＝3.
(2)AB＝(－5)－(－2)＝－3，
|AB|＝|(－5)－(－2)|＝3.
16．在数轴上求一点的坐标，使它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)距离的2倍．
[解析] 设所求点为P(x)，由题意，得
d(A，P)＝2d(B，P)，即|x＋9|＝2|x＋3|，
解得x＝3或x＝－5.
17．符合下列条件的点P(x)位于数轴上的何处？
(1)d(x,2)<8；(2)|x＋3|<4.
[解析] (1)d(x,2)＝|2－x|<8.∴－8(2)∵|x＋3|<4，∴－418．已知数轴上的点A、B、C的坐标分别为－1、3、5.
(1)求AB、BA、|AB|、|BC|、|AC|.
(2)若数轴上还有两点E、F，且AE＝8，CF＝－4，求点E、F的坐标．
[解析] (1)AB＝3－(－1)＝4；
BA＝－AB＝－4；
|AB|＝|3－(－1)|＝4；
|BC|＝5－3＝2；
|AC|＝|5－(－1)|＝6.
(2)设E、F点的坐标分别为xE、xF.
∵AE＝8，∴xE－(－1)＝8，有xE＝7.
∵CF＝－4，∴xF－5＝－4，有xF＝1.
故E、F两点坐标分别为7、1.
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2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
一、选择题
1．直角坐标平面上连结点(－2,5)和点M的线段中点是(1,0)，那么点M坐标为( )
A．(－4,5) B．(4，－5)
C．(4,5) D．(－4，－5)
[答案] B
2．以A(1,5)、B(5,1)、C(－9，－9)为顶点的三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
[答案] B
[解析] 根据两点的距离公式，
|AB|＝＝4，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AC|＝|BC|≠|AB|，∴△ABC为等腰三角形．
3．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意，得－2＋x＝2×1，
5－3＝2y，∴x＝4，y＝1，
∴|PO|＝＝.
4．已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC、BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是( )
A．(－3，－7)
B．(－3，－7)或(2，－5)
C．(3，－5)
D．(2，－7)或(－3，－5)
[答案] D
[解析] 设C(x，y)，显然AC、BC的中点不同在一条坐标轴上．若AC的中点在x轴上，BC中点在y轴上，则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；若AC中点在y轴上，BC中点在x轴上，则有3＋x＝0,5＋y＝0，即C(－3，－5)．
5．设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x等于( )
A．0 B．6
C．0或6 D．0或－6
[答案] C
[解析] 由|PA|＝5，得(x－3)2＋(0－4)2＝25，解得x＝6或x＝0.
6．已知菱形的三个顶点分别为(a，b)、(－b，a)、(0,0)，则它的第四个顶点是( )
A．(2a，b)
B．(a－b，a＋b)
C．(a＋b，b－a)
D．(a－b，b－a)
[答案] B
[解析] 令A(a，b)、B(－b，a)、C(0,0)，因为三条线段AB、AC、BC中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|＝|BC|＝，得AB为对角线．设D(x0，y0)，由中点坐标公式，得，解得.
7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60km，AE＝CD＝30km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在( )
A．P1处 B．P2处
C．P3处 D．P4处
[答案] A
[解析] 以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)、B(60,0)、C(30,30)、D(30,60)、E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)＝|AP|2＋|BP|2＋|CP|2＋|DP|2＋|EP|2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x＋240y＋10800＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5040.当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P的坐标为(24,24)，与点P1重合．故选A.
8．已知点P1(3，－5)，P2(－1，－2)，在直线P1P2上有一点P，且|P1P|＝15，则P点坐标为( )
A．(－9，－4)
B．(－14,15)
C．(－9,4)或(15，－14)
D．(－9,4)或(－14,15)
[答案] C
[解析] 由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项C、D中有共同点(－9,4)，只需验证另外一点P是否适合|P1P|＝15.若P(15，－14)，
则|P1P|＝＝＝15，故选C.
二、填空题
9．设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M(－1，2)，则|PQ|等于__________．
[答案] 2
[解析] 设P(a,0)，Q(0，b)，由中点坐标公式得
，∴，
∴|PQ|＝＝＝2.
10．已知△ABC的三个顶点A(－2，－1)、B(1,3)、C(2,2)，则△ABC的重心坐标为__________．
[答案]
11．已知△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为P(3，－2)、Q(1,6)、R(－4,2)，则顶点A的坐标为________．
[答案] (－2，－6)
[解析] 设A(x0，y0)，则由P是AB的中点得B(6－x0，－4－y0)．由Q是BC的中点得C(x0－4,16＋y0)．∵R是CA的中点，∴－4＝，2＝，∵x0＝－2，y0＝－6，∴A(－2，－6)．
三、解答题
12．已知平行四边形的三个顶点A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求第四个顶点D的坐标．
[解析] 若构成的平行四边形为ABCD1，即AC为一条对角线，
设D1(x，y)，则由AC中点也是BD1中点，
∴D1(2,2)．
同理可得，以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2(－6,0)；以BC为对角线的平行四边形ACD3B，则D3(4,6)，
∴第四个顶点D的坐标为：(2,2)或(－6,0)或(4,6)．
13．求证：A(2，－5)、B(6,1)、C(5，－)不能成为三角形的三个顶点．
[解析] 由|AB|＝2，|AC|＝，|BC|＝满足|BC|＋|AC|＝|AB|，故A、B、C三点在同一条直线上，构不成三角形．
14．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离．
[解析] 以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系．(如图所示)
设A(－a,0)，B(0，－b)，C(c,0)，D(0，d)，
则CD的中点E，
AB的中点H，
又圆心G到四个顶点的距离相等，
故圆心G的横坐标等于AC中点的横坐标，
圆心G的纵坐标等于BD中点的纵坐标，
即圆心G，∴|OE|2＝，
|GH|2＝，∴|OE|＝|GH|，结论成立．
15．已知三角形ABC的顶点A(－7,0)、B(2，－3)、C(5,6)．判断此三角形形状，并求其面积．
[解析] |AB|＝＝3，
|BC|＝＝3，
|AC|＝＝6，
∴|AB|＝|BC|且|AB|2＋|BC|2＝|AC|2.
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴S△ABC＝|AB|·|BC|＝·3·3＝45.
16．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(9)与到点B(－15)的距离相等；
(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(3)的距离是它到点B(－9)的距离的2倍．
[解析] (1)设该点为M(x)，根据题意，有d(A，M)＝|x－9|，
d(M，B)＝|－15－x|，∴|x－9|＝|－15－x|，
∴x－9＝15＋x(显然不成立)，或x－9＝－15－x，
∴x＝－3.故该点坐标为－3.
(2)设该点为N(x)，
则d(A，N)＝|x－3|，d(N，B)＝|－9－x|，
根据题意有|x－3|＝2|9＋x|，
∴x－3＝18＋2x，或x－3＝－18－2x.
解得x＝－21，或x＝－5.
故该点坐标是－21或－5.
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2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
一、选择题
1．有下列命题：
①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；
③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；
④坐标平面上所有的直线都有斜率．
其中错误的是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
[答案] D
[解析] 当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错．
2．直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．135°或225° D．0°
[答案] A
[解析] 由斜率公式得直线l的斜率
k＝＝1，故倾斜角为45°.
3．直线y＝kx＋b，当k>0，b<0时，此直线不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．以上都不是
[答案] B
[解析] 由k>0知，直线的倾斜角为锐角，
由b<0知，直线过y轴负半轴上点(0，b)，
∴直线不经过第二象限．
4．若A(－2,3)、B(3，－2)、C(，m)三点共线，则m值为( )
A．－2 B．2
C．－ D.
[答案] D
[解析] 解法一：kAB＝＝－1，
kAC＝＝kAB＝－1，
解得m＝，
解法二：可用两点间距离求解|AC|＋|CB|＝|AB|.(注意三点横坐标从左至右依次为A、C、B)
5．点(1,3)、(5,7)和(10,12)的位置关系是( )
A．在同一条直线上
B．三点间的距离两两相等
C．三点连线组成一个直角三角形
D．三点连线组成一个等边三角形
[答案] A
[解析] 由任意两点连线斜率相等可得．
6．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b)三点，则a＋b等于( )
A．4 B．－7
C．1 D．－1
[答案] C
[解析] 由题意，得2＝＝，
∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.
7．过M(－2，m)，N(m,4)的直线的倾斜角为90°，则m的值为( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
[答案] A
8．若直线l经过二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．[0°，90°) B．[90°，180°)
C．(90°，180°) D．[0°，180°)
[答案] C
[解析] 由直线过二、四象限，则直线斜率为负，因此倾斜角的范围是(90°，180°)．
二、填空题
9．若过点P(1,1)、Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是____________．
[答案]
[解析] 由k＝＝<0，得a<.
10．如图所示，直线l1、l2、l3、l4的斜率分别为k1、k2、k3、k4，从小到大的关系是____________．
[答案] k1[解析] 由倾斜角和斜率的关系可知k111．已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为________．
[答案] (1,0)或(0，－2)
[解析] 设B(x,0)或(0，y)，kAB＝或，
∴＝2或＝2，∴x＝1，y＝－2.
12．已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是________
[答案] k≥或k≤－4
[解析] 如图所示，kPM＝＝－4，
kPN＝＝，
因为过点P且与x轴垂直的直线PA与线段MN相交，但此时直线l的斜率不存在，当直线PN绕点P逆时针旋转到PA处的过程中，l的斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l的斜率的范围是k≥，当直线l由PA(不包括PA)逆时针绕P点旋转到PM处的过程中，斜率为负且逐渐增大，此时l的斜率范围是k≤－4.
三、解答题
13．经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求其斜率．
(1)A(－，)、B(，－)；
(2)P(m，b－2)、Q(m，c－6)．
[解析] (1)存在 kAB＝＝－1.
(2)∵P、Q两点横坐标相等，∴斜率不存在．
14．(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)、B(1,3m)的直线的斜率为12?
(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)、B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是45°？
[解析] (1)由题意，得＝12，
解得m＝－2.
(2)由题意，得＝1，
解得m＝.
15．已知A(1,1)、B(3,5)、C(a,7)、D(－1，b)四点共线，求直线方程y＝ax＋b.
[解析] ∵A、B、C、D四点共线，
∴直线AB、AC、AD的斜率相等，即kAB＝＝2，
kAC＝，kAD＝，
∴2＝＝.解得a＝4，b＝－3.
∴所求直线方程为y＝4x－3.
16．已知方程2x＋3y＋6＝0.
(1)把这个方程改写成一次函数形式；
(2)画出这个方程所对应的直线l；
(3)点是否在直线l上？
(4)方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线l的方程？
[解析] (1)由2x＋3y＋6＝0，得3y＝－2x－6，
即y＝－x－2.
(2)当x＝0时，y＝－2，y＝0时，x＝－3，
∴在坐标平面内作出两点，即A(0，－2)、B(－3,0)．
作出直线AB即为方程2x＋3y＋6＝0的直线l.
(3)将的坐标代入2x＋3y＋6＝0不满足，
∴点不在直线l上．
(4)虽然以方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的解为坐标的点都在直线l上，但直线l上的点的坐标不都是该方程的解，如点C∈l，但，却不是该方程的解．
∴方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线l的方程，直线l也不是方程2x＋3y＋6＝0的直线．
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2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程和两点式方程
一、选择题
1．在x轴上截距为2，在y轴上截距为－2的直线方程为( )
A．x－y＝2 B．x－y＝－2
C．x＋y＝2 D．x＋y＝－2
[答案] A
[解析] 所求直线方程为＋＝1，即x－y＝2.
2．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是( )
A．a＝－7，b＝－7
B．a＝－7，b＝－
C．a＝－，b＝7
D．a＝－，b＝－7
[答案] D
[解析] 令x＝0，得y＝－7，即b＝－7，
令y＝0，得x＝－，即a＝－.
3．下列说法中不正确的是( )
A．点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于不垂直于x轴的任何直线
B．斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线
C．两点式＝适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线
D．截距式＋＝1适用于不过原点的任何直线
[答案] D
[解析] 截距式方程不表示过原点的直线，也不表示与坐标轴垂直的直线．
4．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m为( )
A．1 B．2
C．－ D．2或－
[答案] D
[解析] 由题知直线过点(1,0)，
∴2m2＋m－3＝4m－1，
则m＝－或m＝2.
5．经过点A(1,2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案] C
[解析] 当直线经过点A(1,2)且在两坐标上的截距为0时，直线方程为y＝2x；
当直线过点A(1,2)且斜率为1时，直线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1；当直线过点A(1,2)且斜率为－1时，直线方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3，上述三条直线且只有该三条直线过点A(1,2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
6．方程y＝ax＋表示的直线可能是( )
[答案] B
[解析] 直线的斜率和截距同号，由图象选B.
7．经过A(2,1)、B(6，－2)两点的直线方程不是( )
A．y－1＝－(x－2)
B．3x＋4y－10＝0
C.＋＝1
D.＝
[答案] D
[解析] 经过A(2,1)、B(6，－2)两点的直线方程为＝，故D不对．
8．图中标出的直线的倾斜角正确的是( )
[答案] A
二、填空题
9．过点(3，－4)且平行于x轴的直线方程为______________．
[答案] y＝－4
10．过点(1,3)且平行于y轴的直线方程为__________．
[答案] x＝1
11．已知点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，直线PM的斜率为k(k≠0)，则直线PN的斜率为____________．
[答案] －k
[解析] 设P(0，m)，M(a，b)，则N(－a，b)，
由题设kPM＝k，即＝k，
∴kPN＝＝－k.
12．直线l过点P(－2,3)且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的方程为__________．
[答案] 3x－2y＋12＝0
[解析] 解法一：由题意知直线l的斜率k存在，设直线方程为y－3＝k(x＋2) (k≠0)，即kx－y＋2k＋3＝0，
令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－－2，
∴A(－－2,0)，B(0,2k＋3)，
∵AB中点为(－2,3)，
∴，得k＝.
∴直线l方程为y－3＝(x＋2)，
即直线l方程为3x－2y＋12＝0.
解法二：设A(a,0)，B(0，b)，
∵P为A、B的中点，∴＝－2，＝3，
∴a＝－4，b＝6，
∴直线l的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0.
三、解答题
13．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－的直线方程．
[解析] 设直线方程为y＝－x＋b，
令y＝0得x＝b，
由题意知·|b|·|b|＝12，∴b2＝36，
∴b＝±6，∴所求直线方程为y＝－x±6.
14．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程，当t为何值时，直线通过点(4，－3)？并作出该直线的图象．
[解析] (1)由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.
(2)将点(4，－3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5，故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．
直线y＝－2x＋5图象如右图所示．
15．已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
[解析] 依题意，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，则可得直线的方程为y＋2＝k(x－3)．
令x＝0，得y＝－2－3k；令y＝0，得x＝＋3.
由题意得－2－3k＝3＋，
解得k＝－1或k＝－.
∴l的方程为y＋2＝－(x－3)或y＋2＝－(x－3)．
即为x＋y－1＝0或2x＋3y＝0.
16．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示．求y与x的函数关系．
[解析] 当0当10≤x≤40时，直线段过点A(10,20)、B(40,30)，
∴kAB＝＝.
∴此时方程为y－20＝(x－10)
即y＝x＋.
17．已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，求直线l2的斜率k2.
[解析] 设直线l2的倾斜角为α2，如图所示可知．
α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°.
∴k2＝tanα2＝tan135°＝－1.
∴直线l2的斜率为－1.
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2.2.2 第2课时 直线方程的一般式
一、选择题
1．直线的斜率为－，且直线不通过第一象限，则直线的方程可能是( )
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0
D．3x＋4y－42＝0
[答案] B
2．如果a·c<0，b·c<0，那么，直线ax＋by＋c＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
3．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( )
A.ab B.|ab|
C. D.
[答案] D
[解析] ∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，
令x＝0，得y＝，
∴三角形的面积S＝··＝.
4．方程y＝k(x＋4)表示( )
A．过点(－4,0)的一切直线
B．过点(4,0)的一切直线
C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(－4,0)且不平行于x轴的一切直线
[答案] C
[解析] 方程y＝k(x＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C.
5．经过点A(2,1)，在x轴上截距为－2的直线方程是( )
A．x＝－2 B．x－4y＋2＝0
C．4x＋y＋2＝0 D．x－4y－2＝0
[答案] B
[解析] 将点A(2,1)及B(－2,0)代入检验知选B；
也可设直线方程为y－1＝k(x－2)，令y＝0则x＝－2，
∴k＝；
或设直线方程为x＝my－2，将A(2,1)代入得m＝4.
6．已知直线经过A(a,0)、B(0，b)和C(1,3)三个点，且a、b均为正整数，则此直线方程为( )
A．3x＋y－6＝0
B．x＋y－4＝0
C．3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0
D．无法确定
[答案] C
[解析] 由直线经过A、B知方程为＋＝1，
又过C(1,3)点，∴＋＝1，
∵a，b均为正整数，∴a＝>0，
∴b>3，b＝>0，∴a>1.
由整除性可知a－1＝3或a－1＝1，
∴或，∴选C.
7．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为( )
A．3 B．－3
C. D．－
[答案] D
[解析] 由题意，得a－3m＋2a＝0，
∴a＝m，又∵m≠0，∴直线ax＋3my＋2a＝0
的斜率k＝－＝－.
8．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是( )
[答案] B
[解析] 排除法：选项A中，直线l1的斜率大于0，在y轴上的截距小于0，∴a>0，b<0，故l2的斜率为－b>0，但图中l2的斜率小于0，故A不正确，同理排除C、D，故选B.
二、填空题
9．直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0可以化成斜截式方程的条件是____________；可以化成截距式方程的条件是____________．
[答案] B≠0；A·B·C≠0
10．不论A、B取何值，只要A、B不同时为零，则直线Ax＋By＝0必过定点________．若A、B不同时为零，且A＋B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0恒过定点________．
[答案] (0,0) (1,1)
11．过两点(5,7)、(1,3)的直线方程为____________________；若点(a,12)在此直线上，则a＝________.
[答案] x－y＋2＝0 a＝10
12．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围是________．
[答案]
[解析] 直线方程可化为y＝(3－2t)x－6，
∴3－2t≤0，∴t≥.
三、解答题
13．已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程．
[解析] 因为直线过A(－5,6)、B(－4,8)两点，
由两点式得，＝，
整理得2x－y＋16＝0，
两边同除以－16，得＋＝1.
14．已知?ABCD的顶点A(1,2)、B(2，－1)、C(3，－3)，求直线BD的方程．
[解析] ∵平行四边形ABCD两对角线AC与BD交点M为AC的中点，∴M(2，－)，
直线BM的方程为x＝2，
即直线BD的方程为x－2＝0.
15．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，求实数m的值．
[解析] 直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1的方程可化为(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m＋1，
由题意知m＋1≠0，(m－2)y＝1，由题意得＝1，
∴m＝3.
16．求证：不论m为何实数值，直线(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒过定点，并指出此定点坐标．
[解析] 令m＝、m＝－3，得两条直线，
即，
解得.交点为(2,3)，
当x＝2，y＝3时，
对m∈R，方程(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒成立．
故直线恒过定点(2,3)．
17．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2，－22)，C(0,1)，求这个三角形的三条边各自所在直线的方程．
[解析] ∵直线AB过点A(－3,0)，B(2，－2)，∴由直线的两点式方程得＝，整理得2x＋5y＋6＝0.
即直线AB的方程为2x＋5y＋6＝0.
∵直线AC过点A(－3,0)，C(0,1)，∴直线AC在x轴，y轴上的截距分别为－3,1，由直线的截距式方程得＋＝1，整理得x－3y＋3＝0.
即直线AC的方程为x－3y＋3＝0.
∵直线BC过点B(2，－2)，C(0,1)，∴由直线的两点式方程得＝，整理得3x＋2y－2＝0.即直线BC的方程为3x＋2y－2＝0.
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2.2.3第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件
一、选择题
1．(2010·安徽文，4)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
[答案] A
[解析] 解法一：所求直线斜率为，过点(1,0)，由点斜式得，y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
解法二：设所求直线方程为x－2y＋b＝0，∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A.
2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )
A．－6 B．6
C．－ D.
[答案] B
[解析] 由3(a－2)－2a＝0，得a＝6，经检验知当a＝6时，两直线平行．
3．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足( )
A．m≠1 B．m≠－
C．m≠0 D．m≠1且m≠－
[答案] A
[解析] Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A2＋B2≠0，
即A≠0或B≠0.
由2m2＋m－3＝0得m＝1或－.
由m2－m＝0得m＝0或1，故只有当m＝1时，2m2＋m－3与m2－m同时为0，
∴m≠1，选A.
4．(2010·山东聊城高一期末检测)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线与直线2x＋y＝1平行，则m的值为( )
A．0 B．－8
C．2 D．10
[答案] B
[解析] 由题意，得＝－2，∴m＝－8.
5．若直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
[答案] A
[解析] 由题意知，k＝－，∴由，
得交点坐标为，
∴， 解得－6．对于直线ax＋y－a＝0(a≠0)，以下说法正确的是( )
A．恒过定点，且斜率与纵截距相等
B．恒过定点，且横截距恒为定值
C．恒过定点，且与x轴平行
D．恒过定点，且与x轴垂直
[答案] B
[解析] 由方程ax＋y－a＝0(a≠0)化为a(x－1)＋y＝0，∴直线过定点(1,0)，又当y＝0时，x＝1，∴横截距为定值．
7．设P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上一点，P2(x2，y2)是不在直线l上的点，则方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0所表示的直线与l的关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交 D．位置关系不确定
[答案] A
[解析] ∵点P1(x1，y1)在直线l上，
∴f(x1，y1)＝0，又∵点P2(x2，y2)不在直线l上，
∴f(x2，y2)≠0.
∴方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0，
化为f(x，y)＝－f(x2，y2)≠0，
故方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0所表示的直线与直线l平行．
8．设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0，x，y∈R}，若A∩B＝?，则a的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－2 D．－4或2
[答案] C
[解析] 由A∩B＝?，直线4x＋ay－16＝0过点(1,3)或与y－3＝2(x－1)平行，则有4×1＋a×3－16＝0或－＝2.∴a＝4或a＝－2.
二、填空题
9．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两轴上截距之和为的直线l方程为__________．
[答案] 2x＋3y－1＝0
[解析] 设l：2x＋3y＋c＝0，
令x＝0，则y＝－，令y＝0，则x＝－，
∴－＋(－)＝，∴c＝－1.
10．过点(－3,2)且与直线2x＋3y－1＝0平行的直线方程是____________．
[答案] 2x＋3y＝0
[解析] 由题意，知所求直线的斜率k＝－，又过点(－3,2)，故直线方程为y－2＝－(x＋3)，
∴2x＋3y＝0.
11．和直线4x－3y－1＝0平行，且在y轴上的截距是的直线方程是______________．
[答案] 4x－3y＋1＝0
[解析] 由题意，知所求直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为，故其方程为y＝x＋，即4x－3y＋1＝0.
12．过点(－1，－3)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为______________．
[答案] 2x＋y＋5＝0
三、解答题
13．求过以点A(－1,2)、B(3,4)为端点的线段的中点，且平行于直线－＝1的直线方程．
[解析] ∵以点A(－1,2)、B(3,4)为端点的线段的中点坐标为(1,3)，又所求直线与直线－＝1平行，∴所求直线的斜率k＝，故所求直线方程为y－3＝(x－1)，即x－2y＋5＝0.
14．两条直线l1：2x－my＋4＝0和l2：2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，求m的取值范围．
[解析] ∵2×3－(－m)·2m＝6＋2m2≠0，
∴l1与l2不平行．
由，得，
∴，∴－15．求满足下列条件的直线方程．
(1)过点(－1,2)，且与直线x＋y－2＝0平行的直线；
(2)过直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y＋1＝0平行的直线方程．
[解析] (1)设所求直线方程为x＋y＋m＝0，
又点(－1,2)在直线上，
∴－1＋2＋m＝0，∴m＝－1，
故所求直线方程为x＋y－1＝0.
(2)设所求直线方程为2x＋y－1＋λ(x－2y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋2λ－1＝0，
又所求直线与直线3x＋y＋1＝0平行，
∴2＋λ＝3(1－2λ)，∴λ＝.
即所求直线方程为3x＋y－1＝0.
16．已知平行四边形ABCD中，A(1,1)、B(－2,3)、C(0，－4)，求D点坐标．
[解析] 设D(x，y)
∵AB∥CD，∴kAB＝kCD
∴＝，即2x＋3y＋12＝0(1)
又∵AD∥BC ∴kBC＝kAD
∴＝
即7x＋2y－9＝0(2)
由(1)(2)解得.
∴D点坐标为(3，－6)．
17．求将直线x＋2y＋3＝0沿x轴的负方向平移2个单位后所得到的直线方程．
[解析] 直线x＋2y＋3＝0的斜率为－，
与x轴的交点为(－3,0)，
所求直线与直线x＋2y＋3＝0平行，
且与x轴的交点为(－5,0)，
故所求直线方程为y＝－(x＋5)，
即x＋2y＋5＝0.
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2.2.3 第2课时 两条直线垂直的条件
一、选择题
1．点A(－，1)关于y轴的对称点A′的坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 点A关于y轴的对称点A′，点A与点A′的纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数．
2．过点(，)、(0,3)的直线与过点(，)、(2,0)的直线的位置关系为( )
A．相交但不垂直
B．垂直
C．平行
D．重合
[答案] B
[解析] 过点(，)、(0,3)的直线的斜率为
k1＝＝，
过点(，)、(2,0)的直线的斜率为
k2＝＝，
则k1·k2＝·＝·
＝·＝·＝－1，
故选B.
3．点P(1,2)关于x轴的对称点P′的坐标为( )
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－1，－2) D．(2,1)
[答案] A
[解析] 两点关于x轴对称时，两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，故选A.
4．(2010·锦州市高一期末检测)已知直线ax－y－2＝0和直线(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] A
[解析] 由题意，得a(a＋2)＋1＝0，
∴a＝－1.
5．以A(－2,1)、B(4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )
A．3x－y＋5＝0 B．3x－y－5＝0
C．3x＋y－5＝0 D．3x＋y＋5＝0
[答案] C
[解析] kAB＝，AB中点坐标为(1,2)，
故所求直线方程为3x＋y－5＝0.
6．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－6＝0 D．x－y＋1＝0
[答案] D
[解析] l过AB中点且与直线AB垂直，
∴直线l的斜率k＝－＝1，故选D.
7．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y＋7＝0
[答案] A
[解析] 所求直线的斜率k＝－2，又∵过点(－1,3)，
∴所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，
即2x＋y－1＝0.
8．已知直线3ax－y＝1与直线x＋y＋1＝0互相垂直，则a的值是( )
A．－1或 B．1或
C．－或－1 D．－或1
[答案] D
[解析] 由题意，得3a－1＝0，
解得a＝－或1.
二、填空题
9．直线l：4x－3y＋12＝0与两坐标轴相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为__________．
[答案] 6x＋8y－7＝0
[解析] 直线l：4x－3y＋12＝0与两坐标轴的交点A(－3,0)、B(0,4)，
kAB＝，线段AB的中点坐标为，
∴线段AB的垂直平分线的方程为
y－2＝－
即6x＋8y－7＝0.
10．和直线3x＋4y－7＝0垂直，并且在x轴上的截距是－2的直线方程是________________．
[答案] 4x－3y＋8＝0
[解析] 所求直线的斜率为，且过点(－2,0)，故所求直线方程为y＝(x＋2)，即4x－3y＋8＝0.
11．过点(2，－3)且与y轴垂直的直线方程为__________________．
[答案] y＝－3
12．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋C＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，C＝________，m＝________.
[答案] 5 －12 －2
[解析] ∵直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋C＝0垂直，∴－·＝－1，∴a＝5.
又∵点(1，m)在直线5x＋2y－1＝0上，
∴m＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x－5y＋C＝0上，
∴C＝－12.
三、解答题
13．四边形ABCD的顶点为A(－7,0)、B(2，－3)、C(5,6)、D(－4,9)．求证：四边形ABCD为正方形．
[解析] 由kAD＝＝＝3，
kBC＝＝＝3.∴AD∥BC.
又kAB＝＝－，
kCD＝＝－，∴AB∥CD.
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵kAB·kAD＝(－)×3＝－1，∴AB⊥AD，
∴四边形ABCD为矩形．
又∵kAC＝＝，kAD＝＝－2，
kBD·kAC＝－1，∴AC⊥BD，
即矩形对角线互相垂直，
∴四边形ABCD为正方形．
14．已知A(－1,2)，B(3，－2)，C(1,5)，求△ABC的BC边上的高所在直线的方程．
[解析] ∵kBC＝＝－，
∴BC边上高AD所在直线斜率k＝，
又过A(－1,2)点，∴AD：y－2＝(x＋1)，
即2x－7y＋16＝0.
15．光线由点P(2,3)射到直线x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，求反射光线所在的直线方程．
[解析] ∵P关于直线x＋y＋1＝0对称点P′(－4，－3)，
∴反射光线所在直线为P′Q：4x－5y＋1＝0.
16．在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．
[解析] 设D(x，y)，∵DC∥AB，∴＝，
又∵DA⊥AB，∴·＝－1.
由以上方程组解得：x＝－11，y＝2.
∴D(－11,2)．
17．(1)求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．
(2)求直线2x－y＋1＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程．
(3)两平行直线3x＋4y－1＝0与6x＋8y＋3＝0关于直线l对称，求l的方程．
[解析] (1)所求直线与直线2x＋11y＋16＝0平行，它们到P点距离相等，
设所求直线方程为2x＋11y＋C＝0，由点P到两直线距离相等解出C＝－38，
∴所求直线2x＋11y－38＝0.
(2)设所求直线上任一点M(x，y)，它关于直线x－y＋2＝0的对称点M′(x1，y1)，
则，解出.
代入M′所在直线方程2x1－y1＋1＝0中得，2(y－2)－(x＋2)＋1＝0，即x－2y＋5＝0.
(3)所求直线l与两直线平行且距离相等，设l：6x＋8y＋C＝0，
则＝，∴C＝，
即l：6x＋8y＋＝0.
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2.2.4 点到直线的距离
一、选择题
1．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )
A．(5，－3) B．(9,0)
C．(－3,5) D．(－5,3)
[答案] A
[解析] 当PQ与已知直线垂直，垂足为Q时，点Q(5，－3)即为所求．
2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
[答案] A
[解析] 所求直线与两点A(1,2)，O(0,0)连线垂直时与原点距离最大．
3．与直线2x＋y＋1＝0的距离为的直线的方程是( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
[答案] D
[解析] 验证法：直线2x＋y＝0与2x＋y＋1＝0的距离为＝，
直线2x＋y＋2＝0与2x＋y＋1＝0的距离为＝，故选D.
4．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( )
A．4x＋y－6＝0
B．x＋4y－6＝0
C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0
D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
[答案] D
[解析] 设直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
∵直线过(1,2)且与A、B两点距离相等，
则
由②得：A＝4B或3A－B＋C＝0.
当A＝4B时，C＝－6B，直线方程4Bx＋By－6B＝0即4x＋y－6＝0.
当3A－B＋C＝0时，2A＝3B，－7A＝3C，∴直线方程3Ax＋2Ay－7A＝0，即3x＋2y－7＝0.
点评：本题实际解答比较麻烦，作为选择题可用检验淘汰法，由P(1,2)在所求直线上，排除B，C.故只须检验A、B两点到直线3x＋2y－7＝0的距离是否相等即可，选D.
5．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )
A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0
B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0
C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0
D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝0
[答案] B
[解析] 解法一：l1关于P(2,3)的对称直线l3，l2关于P(2,3)的对称直线l4，就是另两边所在直线．
解法二：因为另两边分别与l1、l3平行且到P(2,3)距离分别相等，
∴设l3：x－2y＋c1＝0，l4：3x－y＋c2＝0，由点到直线距离公式得出．
解法三：l1的对边与l1平行应为x－2y＋c＝0形式排除A、D；l2对边也与l2平行，应为3x－y＋c1＝0形式排除C，∴选B.
6．到直线3x－4y－1＝0距离为2的点的轨迹方程是( )
A．3x－4y－11＝0
B．3x－4y＋11＝0
C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
[答案] C
[解析] 设所求轨迹上任意点P(x，y)，
由题意，得＝2，
化简得3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0.
7．顺次连结A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)所组成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
[答案] B
[解析] ∵kAB＝kCD＝，kBC＝－，kAD＝－3，
∴AB∥CD，AB⊥AD.
8．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a、b的值分别为( )
A．1,9 B．－1，－9
C．1，－9 D．－1,9
[答案] B
[解析] 设直线ax＋3y－9＝0关于原点对称的直线方程为－ax－3y－9＝0，又∵直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，
∴－a＝1，b＝－9，即a＝－1，b＝－9.
二、填空题
9．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．
[答案] 3x－y＋10＝0
[解析] 设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又kOA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)．即3x－y＋10＝0.
10．与直线3x＋4y－3＝0平行，并且距离为3的直线方程为________________．
[答案] 3x＋4y－18＝0或3x＋4y＋12＝0
[解析] 设所求直线上任意一点P(x，y)
由题意，得＝3，
∴|3x＋4y－3|＝15，
∴3x＋4y－3＝±15，
即3x＋4y－18＝0或3x＋4y＋12＝0.
11．已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为__________．
[答案] 4
[解析] 由题设a2＋b2＝c2，m2＋n2表示直线l：ax＋by＋2c＝0上的点P(m，n)到原点O的距离的平方，故当PO⊥l时，m2＋n2取最小值d，
∴d＝2＝＝4.
12．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．
[答案] x＋y－10＝0或x＋y＝0
[解析] ∵l1∥l2其距离d＝＝.
所求直线l4∥l3，设l4：x＋y＋c＝0，则＝，
∴c＝0或－10，
∴所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
三、解答题
13．(2010·曲师大附中高一期末检测)已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其它三边所在直线方程．
[解析] 正方形中心G(－1,0)到四边距离相等，均为＝ .
设与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋c1＝0，
由＝，∴c1＝－5(舍去)或c1＝7.
故与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋7＝0.
设另两边所在直线方程为3x－y＋c2＝0.
由＝，得c2＝9或c2＝－3.
∴另两边所在直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
综上可知另三边所在直线方程分别为：x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
14．(2010·山东聊城高一期末检测)已知点A(2,4)，B(1，－2)，C(－2,3)，求△ABC的面积．
[解析] 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.
|AB|＝＝，
AB边上的高h就是点C到AB的距离．
AB边所在的直线方程为＝.
即6x－y－8＝0.
点C(－2,3)到6x－y－8＝0的距离h＝＝，
因此，S△ABC＝××＝.
15．求经过点A(2，－1)且与点B(－1,1)的距离为3的直线方程．
[解析] 若所求直线斜率不存在，则它的方程为x＝2满足要求；若所求直线的斜率存在．设方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由题设B(－1,1)到该直线距离为3，
∴＝3，∴k＝，
∴直线方程为：y＋1＝(x－2)即：5x－12y－22＝0，
∴所求直线的方程为：x＝2或5x－12y－22＝0.
16．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．
[解析] 解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，
∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1、l2的距离相等，
即＝，
解得t＝，∴M.
又l过点A(2,4)，
由两点式得＝，
即5x－y－6＝0，
故直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．
解方程组，得.
∴M.又l过点A(2,4)，
故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法三：由题意知直线l的斜率必存在，
设l：y－4＝k(x－2)，
由，得.
∴直线l与l1、l2的交点分别为，
.
∵M为中点，∴M.
又点M在直线x＋y－3＝0上，
∴＋－3＝0，解得k＝5.
故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，
即5x－y－6＝0.
17．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l的方程．
[解析] 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得线段A′B′的长为|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，解方程组，
得A，解方程组，
得B.
∵|AB|＝5，
∴2＋2＝25，
解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.
综上可知，所求直线的方程为x＝3或y＝1.
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2.3.1 圆的标准方程
一、选择题
1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足( )
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
[答案] C
[解析] 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
故点P(3,2)在圆内．
2．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
[答案] B
[解析] 圆心为(－1,1)，
半径r＝＝5，故选B.
3．点P与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．与t有关
[答案] C
[解析] |PO|＝＝＝1，故点P在圆上．
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
[答案] A
[解析] 圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.
5．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
[答案] A
[解析] ∵点P(2，－1)为弦AB的中点，又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)，
∴弦AB的垂直平分线的斜率k＝＝－1，
∴直线AB的斜率k′＝1，
故直线AB的方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
6．过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x－1)2＋(y－3)2＝2
C．(x－5)2＋(y－5)2＝25
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
[答案] A
[解析] 由题意可设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
又点A(1,2)在圆上，
∴(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1或a＝5.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25.
7．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是( )
A．5－ B．5＋
C. D．10
[答案] B
[解析] 圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25的圆心为A(－3,1)，半径r＝5，O为坐标原点，|OA|＝＝，如图所示，
显然圆上的点到原点O的最大距离为|OA|＋r＝＋5.
8．方程|x|－1＝表示的曲线为( )
A．两个半圆 B．一个圆
C．半个圆 D．两个圆
[答案] A
[解析] 两边平方整理得：(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，
由|x|－1≥0得x≥1或x≤－1，
∴(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)或(x＋1)2＋(y－1)2＝1(x≤－1)，
∴为两个半圆，故选A.
二、填空题
9．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
[答案] ±2
[解析] ∵点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，∴1＋3＝m2，∴m＝±2.
10．圆心既在直线x－y＝0上，又在直线x＋y－4＝0上，且经过原点的圆的方程是__________________．
[答案] (x－2)2＋(y－2)2＝8
[解析] 由，得.
∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
11．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的方程是__________________．
[答案] (x＋)2＋y2＝2
[解析] ∵圆过原点，圆心在x轴的负半轴上，∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又半径等于，故圆心坐标为(－，0)，所求圆的方程为(x＋)2＋y2＝2.
12．半径为5，圆心在y轴上，且与直线y＝6相切的圆的方程为________________．
[答案] x2＋(y－1)2＝25
或x2＋(y－11)2＝25
[解析] 如图所示，可知有两个圆，上圆圆心为(0,11)，下圆圆心为(0,1)．
三、解答题
13．已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)、B(－1，－1)、C(－3,5)，求这个三角形外接圆的方程．
[解析] 解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则，
整理得， 解得a＝－2，b＝2，∴r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
解法二：AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，故所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
解法三：∵kAB＝＝2，kAC＝＝－，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2,2)，半径r＝|BC|＝，所以圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
14．已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图，那么半圆的方程为
x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝＝<3.即在离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．
15．根据下列条件，求圆的方程：
(1)过点A(1,1)，B(－1,3)且面积最小；
(2)圆心在直线2x－y－7＝0上且与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)．
[解析] (1)过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，
∴圆心坐标为(0,2)，半径r＝|AB|
＝＝×＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝2.
(2)由圆与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)可知，圆心在直线y＝－3上，由，得.
故圆心坐标为(2，－3)，
半径r＝＝，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
16．经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上，求圆的方程．
[解析] 设所求的圆的圆心为C(a，)，则|CA|＝|CB|，
即
＝.
解得a＝7.
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|CB|＝＝.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
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2.3.2 圆的一般方程
一、选择题
1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A．(1，－1) B.
C．(－1,2) D.
[答案] D
[解析] 圆的方程(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0可化为x2＋y2＋x＋2y－10＝0，
∴圆心坐标为.
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A．a<－2或a>
B．－C．－2D．－2[答案] D
[解析] 由题知a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即(3a－2)(a＋2)<0，因此－23．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( )
A.π B．2π
C．2π D．4π
[答案] C
[解析] 圆的方程x2＋y2－2x＋6y＋8＝0
可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的半径r＝，故周长l＝2πr＝2π.
4．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
[答案] A
[解析] 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，
∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0
表示点(1，－2)．
5．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
[答案] D
[解析] 可知直线mx＋2ny－4＝0过圆心(2,1)，有2m＋2n－4＝0，即n＝2－m，则mn＝m·(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1.
6．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
[答案] B
[解析] 由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，
故有－＝－，即D＝E.
7．如果直线l将圆x2＋y2－2x－6y＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是( )
A．[0,3] B．[0,1]
C. D.
[答案] A
[解析] l过圆心C(1,3)，且不过第四象限．
由数形结合法易知：0≤k≤3.
8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )
A．(0，－1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(－1,1)
[答案] A
[解析] 圆的半径r＝，要使圆的面积最大，即圆的半径r取最大值，故当k＝0时，r取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1)．
二、填空题
9．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________
[答案] 在圆C外部
[解析] 将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外部．
10．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
[答案] 4
[解析] 由题意，知D＝－4，E＝8，
r＝＝4，∴F＝4.
11．若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，则点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的__________．
[答案] 外部
[解析] ∵x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，∴点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的外部．
12．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．
[答案] 30－10
[解析] 原点到圆心的距离为，半径r＝5，则a2＋b2最小值为(5－)2＝30－10.
三、解答题
13．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．
[解析] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入，得
①
②
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
由已知，|x1－x2|＝6(其中x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两根)，∴D2－4F＝36，③
①、②、③联立组成方程组，解得
， 或.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
14．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．
[解析] 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵点P(k,0)、Q(2,0)在圆上，
∴k、2为方程x2＋Dx＋F＝0的两根．
∴k＋2＝－D,2k＝F.即，
又因圆过点P(0,1)，故1＋E＋F＝0.
∴E＝－F－1＝－2k－1，故圆的方程为
x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0.
∴圆心C的坐标为.
又∵圆在点P的切线斜率为1，
∴＝－1，即k＝－3，
从而D＝1，E＝5，F＝－6.
即圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
15．求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
[解析] 解法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C.
∴kCB＝，由kCB·kl＝－1，得
·＝－1，①
又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②
82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③
由①②③联立可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
∴圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
解法二：设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，
即3x－y－18＝0.①
由于A(－2，－4)、B(8,6)，则AB的中点坐标为(3,1)，又kAB＝＝1，
∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，
即x＋y－4＝0②
由①②联立后，可解得.
即圆心的坐标为
∴所求圆的半径r＝＝.
∴所求圆的方程为2＋2＝.
16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程．
[解析] 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，
∴
设圆在x轴上的截距为x1、x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1、y2，它们是方程y2＋Dy＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③.
由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，
化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
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2.3.3 直线与圆的位置关系
一、选择题
1．如果a2＋b2＝c2，那么直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
[答案] C
[解析] 圆的半径r＝1，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝4>1.故选C.
2．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0的圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝2，如图所示，圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离为，故过圆心C与直线x＋y＋1＝0平行的直线l与圆的两个交点A、B到直线x＋y＋1＝0的距离为.又圆的半径r＝2，故过圆心C作直线x＋y＋1＝0的垂线，并延长与圆的交点C′到直线x＋y＋1＝0的距离为，故选C.
3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上均有可能
[答案] B
[解析] 几何法：圆心(0,0)到直线距离小于1，
∴<1，∴a2＋b2>1，
∴点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外．
4．与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有( )
A．6条 B．4条
C．3条 D．2条
[答案] C
[解析] 在两轴上截距相等，分两种情形：
①过原点，截距都是0，设为y＝kx，由(0,2)到y＝kx距离为，
∴＝，∴k＝±1.
②不过原点设截距均为a，则方程为x＋y＝a.
同样可得：＝，∴a＝4，共有3条．
5．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长是( )
A. B.
C．1 D.
[答案] A
[解析] 圆心C(2，－2)，半径r＝，
弦心距＝，
∴弦长为2＝.
6．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦为最短的直线的方程为( )
A．3x－y－5＝0
B．x＋3y－5＝0
C．3x－y－1＝0
D．x＋3y－1＝0
[答案] B
[解析] 经过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最短的弦是与过该点的直径垂直的直线，
已知圆心(1，－2)，故过(2,1)的直径的斜率为k＝＝3，因此与这条直径垂直的直线的斜率为－，其方程为y－1＝－(x－2)，即为x＋3y－5＝0.
7．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线方程为( )
A．y＝－3x或y＝x
B．y＝3x或y＝－x
C．y＝－3x或y＝－x
D．y＝3x或y＝x
[答案] A
[解析] 设所求直线方程为y＝kx，圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝，∴圆心为(2，－1)，半径r＝＝，由题意，得＝，解得k＝－3或.
8．以点P(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，则圆P的半径r的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0，)
C．(0,2) D．(0,10)
[答案] C
[解析] P到直线的距离d＝＝2，
∵圆与直线相离，∴0二、填空题
9．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________．
[答案] 4＋
[解析] 圆心到直线x－y＝3的距离为＝，
∴圆心x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋.
10．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长等于________．
[答案] 3
[解析] 设切线长为l，圆心C(2,3)，|AC|＝，
圆的半径r＝1，∴l2＝|AC|2－r2＝9，∴l＝3.
11．若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值范围是__________．
[答案] m>或m<－
[解析] 这是换一个角度考察点与圆的位置关系，过点P可作出圆的两条切线，∴P在圆外，∴(5m)2＋(12m)2>1，∴m2>，∴m>或m<－.
12．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
[答案]
[解析] ∵(1－2)2＋()2＝3<4，∴点A(1，)在圆内部．当劣弧所对的圆心角最小时，相应弦长最短，此时圆心C(2,0)与点A(1，)的连线垂直于直线l，
∵kAC＝－，∴kl＝.
三、解答题
13．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(1)经过点P(，1)；
(2)经过点Q(3,0)；
(3)斜率为－1.
[解析] (1)∵()2＋12＝4，∴点P(，1)在圆上，
故所求切线方程为x＋y＝4.
(2)∵32＋02>4，∴点Q在圆外．
设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
∴＝2，k＝±，
∴所求切线方程为y＝±(x－3)，
即2x±y－6＝0.
(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得
2x2－2by＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，
∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.解得b＝±2.
∴所求切线方程为x＋y±2＝0.
14．当m为何值时，直线mx－y－m－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相离？
[解析] 解法一：(代数法)
由，得
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
Δ＝4m(3m＋4)，
当Δ＝0，即m＝0或－时，直线与圆相切，
当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
当Δ<0，即－解法二：(几何法)
由已知得圆心坐标为(2,1)，半径r＝2，圆心到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝，
当d＝2，即m＝0或－时，直线与圆相切；
当d>2，即－当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交．
15．求证：不论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点．
[解析] 解法一：将直线l与曲线C的方程联立，得
消去y，得(1＋k2)x2－2(4k2＋k＋3)x＋2(8k2＋4k＋3)＝0.③
∵Δ＝4(4k2＋k＋3)2－8(1＋k2)(8k2＋4k＋3)＝12k2－8k＋12＝12>0，
∴方程③有两相异实数根，
因而方程组有两个解，即说明直线l与曲线C恒有两交点．
解法二：当k变化时，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直线l恒过定点A(4,3)，曲线C是半径r＝2，圆心为C(3,4)的圆．
∵|AC|＝＝∴直线l与曲线C恒有两个交点．
16．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[解析] 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由圆C与y轴相切得|a|＝r，①
又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，②
圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴2＋()2＝r2.③
联立①②③解方程组可得，或.
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
[解析] 解法一：设光线l所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)，则反射点的坐标为(k存在且k≠0)．∵光线的入射角等于反射角，
∴反射线l′所在直线的方程为
y＝－k，即l′：y＋kx＋3(1＋k)＝0.
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝1与l′相切，
∴圆心到l′的距离d＝＝1，
∴k＝－或k＝－，
∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
解法二：已知圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，如图所示．
可设光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)，
∵直线l与圆C′相切，
∴圆心C′(2，－2)到直线l的距离
d＝＝1.解得k＝－或k＝－.
∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
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2.3.4 圆与圆的位置关系
一、选择题
1．(2010·锦州市高一期末测试)两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
[答案] B
[解析] 圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，
两圆心距离d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，
∴r2－r1故选B.
2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案] C
[解析] x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．
3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )
A．(1，－2) B．(3，－2)
C．(2，－1) D．(＋2，－3)
[答案] B
[解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x－y－5＝0上，故选B.
4．动点P与定点A(－1,0)，B(1,0)连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0)
D．y＝
[答案] B
[解析] 直接法，设P(x，y)，由kPA＝，kPB＝及题设条件·＝－1(x≠±1)知选B.
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
[答案] D
[解析] 由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，
由题意，得＝5，∴a2＝16，∴a＝±4.
6．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.
7．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[答案] C
[解析] 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．
8．过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3,0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．x＋4y－3＝0 D．x－4y－3＝0
[答案] A
[解析] 圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心C(1，－2)，当CM⊥l时，l截圆所得的弦最短，kCM＝＝1，∴kl＝－1，故所求直线l的方程为y－0＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
二、填空题
9．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于两点，则m的取值范围是________．
[答案] (－3，－)∪(，3)
[解析] 两圆圆心坐标分别为O1(0,0)，O2(m,0)，半径分别为r1＝，r2＝2.由两圆相交于两点得r2－r1<|O1O2|10．两圆x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4的公共弦所在直线的方程是____________．
[答案] x＝
[解析] 两圆的方程x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x＝.
11．⊙O：x2＋y2＝1，⊙C：(x－4)2＋y2＝4，动圆P与⊙O和⊙C都外切，动圆圆心P的轨迹方程为______________________．
[答案] 60x2－4y2－240x＋225＝0
[解析] ⊙P与⊙O和⊙C都外切，设⊙P的圆心P(x，y)，半径为R，
则|PO|＝＝R＋1，
|PC|＝＝R＋2，
∴－＝1，
移项、平方化简得：60x2－4y2－240x＋225＝0.
12．已知集合A＝{(x，y)|y＝}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠?，则m的取值范围是________________．
[答案] －7≤m≤7
[解析] 由A∩B≠?，即直线y＝x＋m与半圆y＝有交点，如图所示．
如图可知，－7≤m≤7.
三、解答题
13．判断下列两圆的位置关系．
(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；
(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0；
(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；
(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.
[解析] (1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝，
d＝|C1C2|＝＝.
∵r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，
∴r1－r2(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－)2＋y2＝9，
∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，
圆C2的圆心坐标为(，0)，r2＝3，
d＝|C1C2|＝＝2.
∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．
(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，
C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.
∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，
d＝|C1C2|＝＝10.
∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．
(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，
∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，
圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，
d＝|C1C2|＝＝.
∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，
∴r2－r114．过圆O：x2＋y2＝R2外一点A(a，b)引圆的两条切线AB和AC(其中B、C是切点)，求经过这两个切点的直线l的方程．
[解析] 解法一：连结OB、OC，则AB⊥OB，AC⊥OC，
∴B、C两点在以OA为直径的圆(x－a)x＋(y－b)y＝0上
∴x2＋y2－ax－by＝0①
由已知，⊙O的方程为x2＋y2＝R2②
②－①得ax＋by＝R2为所求直线l的方程．
解法二：设切点B、C的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则过B点的切线方程为x1x＋y1y＝R2；过C点的切线方程为x2x＋y2y＝R2；
又∵切线AB、AC交于A(a，b)点，即点A在两切线上，
∴
这就是说，坐标(x1，y1)、(x2，y2)适合方程ax＋by＝R2.
∴方程ax＋by＝R2为直线l的方程．
15．求经过两圆x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的交点，且圆心在直线2x－y＝0上的圆的方程．
[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A(1，－2)，B(3,0)，设圆心C(a，b)，则由|CA|＝|CB|及C在直线2x－y＝0上，求出a＝，b＝.
∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.
解法二：同上求得A(1，－2)、B(3,0)，则圆心在线段AB的中垂线y＝－x＋1上，又在y＝2x上，得圆心坐标.
∴所求圆的方程为3x2＋3y2－2x－4y－21＝0.
16．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．
[解析] (1)将l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.
由，得.
故直线l经过定点A(3,1)．
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
∴点A在圆C的内部，故直线l与圆恒有两个交点．
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时，则l⊥AM，由kAM＝－，得l的方程为y－1＝2(x－3)即2x－y－5＝0.
17．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
[解析] 解法一：设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，∴圆B的圆心可设为(t,2t)，则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0. ①
∵圆A的方程x2＋y2＋2x＋2y－2＝0. ②
∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0. ③
又∵圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x＝－1，y＝－1代入方程③，
并整理得：r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，所以t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是2＋2＝.
解法二：如图，设圆A、圆B的圆心分别为A、B.则A(－1，－1)，B在直线l：y＝2x上，连结AB，过A作MN⊥AB，且MN交圆于M、N两点．∴MN为圆A的直径．
∵圆B平分圆A，∴只需圆B经过M、N两点．
∵圆A的半径是2，设圆B的半径为r，
∴r＝|MB|＝＝.
欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值．
∵A是定点，B是l上的动点，
∴当AB⊥l，即MN∥l时，|AB|最小．
于是，可求得B，rmin＝，
故圆B的方程是2＋2＝.
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2.4.1 空间直角坐标系
` 一、选择题
1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述
①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x，－y，z)；
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x，－y，z)；
④点P关于原点对称点的坐标是P4(－x，－y，－z)；
其中正确叙述的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] C
[解析] P关于x轴对称点P1(x，－y，－z)∴①错；P关于yoz平面对称点为P2(－x，y，z)∴②错；P关于y轴对称点为P3(－x，y－z)∴③错，只有④对，∴选C.
2．点P(－2,0,3)位于( )
A．y轴上 B．z轴上
C．xOz平面内 D．yOz平面内
[答案] C
3．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是( )
A．(1,2,3)
B．(－1，－2,3)
C．(－1,2，－3)
D．(1，－2，－3)
[答案] C
4．与点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是( )
A．(－1，－3，－5)
B．(－1，－3,5)
C．(－1,3，－5)
D．(1，－3，－5)
[答案] A
5．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴对称点的坐标是( )
A．(－2,1,4) B．(－2，－1，－4)
C．(－2,1,4) D．(2,1，－4)
[答案] B
6．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则它的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
[答案] D
7．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
8．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 点C的坐标为(1,1,0)，点C1的坐标为(1,1,1)，故中点坐标为.
二、填空题
9．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．
[答案] (2,0,3)
[解析] M在xOz平面上的射影为M′(－2,0，－3)，∴M′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．
10．点A(－4,3,5)在xOy平面上的投影点为________．
在xOz平面上的投影点为________．
在yOz平面上的投影点为________．
在x轴上的投影点为________．
在y轴上的投影点为________．
在z轴上的投影点为________．
[答案] (－4,3,0)，(－4,0,5)，(0,3,5)，(－4,0,0)，(0,3,0)，(0,0,5)．
11．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在y轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；
③在空间直角坐标系中，在xOy平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)．
其中叙述正确的是________．
[答案] ②④
[解析] 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标为(x,0,0)，在y轴上的点的坐标为(0，y,0)，在xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，在yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，故①③错，②④正确．
12．设x为任意实数，相应的所有点P(x,2，－3)的集合所表示的轨迹为________．
[答案] 一条直线
[解析] 点P(x,2，－3)在过(0,2，－3)点且与yOz平面垂直的直线上．
三、解答题
13．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2,3)，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标．
[解析] M(1，－2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，－2，－3)，关于xOz面对称的点是(1,2,3)，关于yOz面对称的点是(－1，－2,3)；M(1，－2,3)关于x轴对称的点是(1，－2，－3)，关于y轴对称的点是(－1，－2，－3)，关于z轴对称的点是(－1,2,3)；M(1，－2,3)关于坐标原点的对称点是(－1,2，－3)．
14．设有长方体ABCD－A′B′C′D′如图所示，长、宽、高分别为|AB|＝4 cm，|AD|＝3 cm，|AA′|＝5 cm，N是线段CC′的中点．分别以AB，AD，AA′所在的直线为x轴、y轴、z轴，以1 cm为单位长，建立空间直角坐标系．
(1)求A、B、C、D、A′、B′、C′、D′的坐标；
(2)求N的坐标．
[解析] (1)A，B，C，D都在平面xOy内，点的竖坐标都为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)，因此空间坐标分别是A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(4,3,0)、D(0,3,0)．
A′、B′、C′、D′同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z轴的交点A′在z轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.从这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A、B、C、D四点，故A′、B′、C′、D′的x，y坐标分别与A、B、C、D相同，由此可知它们的空间坐标分别是A′(0,0,5)、B′(4,0,5)、C′(4,3,5)、D′(0,3,5)．
(2)N是线段CC′的中点，有向线段CN的方向与z轴正方向相同，|CN|＝2.5，因此N的z坐标为2.5，C在xOy平面内的平面坐标为(4,3)，这就是N的x、y坐标，故N的空间坐标为(4,3,2.5)．
15．如图，长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝3，A′D′与B′D′相交于点P.分别写出点C、B′、P的坐标．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，得C(0,4,0)、B′(3,4,3)、P.
16．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B、C、E、A1的坐标．
[解析] 以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz.依题设，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．
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2.4.2 空间两点的距离公式
一、选择题
1．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于( )
A．10 B.
C. D．38
[答案] A
[解析] A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点B(2，－3，－5)
∴|AB|＝＝10.
2．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
[答案] D
[解析] ∵|AB|＝，|AC|＝2，|BC|＝，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A、B、C共线，构不成三角形．
3．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为( )
A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)
C．(0,0，－3) D．(0,0,3)
[答案] C
[解析] 设M(0,0，C)，由|AM|＝|BM|得：
＝，
∴C＝－3，选C.
4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)，B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( )
A．14 B．3
C．5 D．42
[答案] A
[解析] d(A，B)＝
＝14.
5．(2010·曲师大附中高一期末检测)以A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[答案] D
[解析] |AB|＝＝7，|BC|＝＝7，|AC|＝＝7，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B.
C．5 D．2
[答案] B
[解析] 如图所示，由题设条件可知：|AA1|＝3，|AB|＝2，
∴C1(0,2,3)，∴|AC1|＝.
7．点M(2，－3,5)到x轴的距离d等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 点M在x轴上射影N的坐标是(2,0,0)，∴d＝＝.
8．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵AB的中点M，C(0,1,0)，
∴|CM|＝＝.
二、填空题
9．若点A(－1,2，－3)关于y轴的对称点为B，则AB的长为________．
[答案] 2
[解析] ∵A(－1,2，－3)关于y轴的对称点B(1,2,3)，
∴|AB|＝＝2.
10．(2010·锦州市高一期末检测)在空间中，已知点A(－2，3,4)在y轴上有一点B使得|AB|＝7，则点B的坐标为________．
[答案] (0,3＋，0)或(0,3－，0)
[解析] 设点B的坐标为(0，b,0)，
由题意得＝7，解得b＝3±.
∴点B的坐标为(0,3＋，0)或(0,3－，0)
11．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．
[答案]
[解析] ∵|AM|＝
＝，
∴对角线|AC1|＝2，
设棱长为x，则3x2＝(2)2，∴x＝.
12．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，满足条件的P点组成的曲线是________．
[答案] 以O为圆心，半径为3的圆
[解析] 如右图：∵AO⊥平面xOy，
∴AO⊥OP，
又|AO|＝4，|AP|＝5，∴|OP|＝3.
三、解答题
13．已知点P1、P2的坐标分别为(3,1，－1)、(2，－2，－3)，分别在x、y、z轴上取点A、B、C，使它们与P1、P2两点距离相等，求A、B、C的坐标．
[解析] 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，c(0,0，z)，由|AP1|＝|AP2|得，＝
∴x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，由|CP1|＝|CP2|得z＝－，∴A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，C(0,0，－)．
14．(1)在z轴上求与点A(－4,1,7)和B(3,5，－2)等距离的点的坐标．
(2)在yOz平面上，求与点A(3,1,2)、B(4，－2，－2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标．
[解析] (1)设所求点P为(0,0，c)由题设|PA|＝|PB|，
∴＝解之得
c＝，∴P(0,0，)．
(2)设所求点为P(0，b，c)∵|PA|＝|PB|＝|PC|，
∴
∴∴∴P(0,1，－2)．
15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，
点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．
[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：
|A1C1|＝2，
∵|MC1|＝2|A1M|，
∴|A1M|＝，
∴M(，，4)．
又C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1中点∴N(1,2,2)，∴|MN|＝＝.
16．若点G到△ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为△ABC的重心．已知△ABC三个顶点的坐标分虽为A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(－1,3，－3)，求△ABC的重心G的坐标．
[解析] 设重心G的坐标为(x，y，z)，则|GA|2＋|GB|2＋|GC|2＝(x－3)2＋(y－3)2＋(z－1)2＋(x－1)2＋y2＋(z－5)2＋(x＋1)2＋(y－3)2＋(z＋3)2
＝3x2－6x＋3y2－12y＋3z2－6z＋64
＝3(x－1)2＋3(y－2)2＋3(z－1)2＋46，
当x＝1，y＝2，z＝1时，
|GA|2＋|GB|2＋|GC|2取最小值46，∴重心G的坐标为(1,2,1)
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