第2章 2.1 第1课时 数 列
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数．
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．
③数列的项数是无限的．
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[答案] A
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．
2．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )
A．an＝[1＋(－1)n]
B．an＝[1＋(－1)n＋1]
C．an＝[1＋(－1)n＋1]
D．an＝[1＋(－1)n]
[答案] B
[解析] 经验证可知B符合要求．
3．已知数列{an}对任意的p、q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
[答案] C
[解析] ∵对任意p、q∈N*都有ap＋q＝ap＋aq.
∴a10＝a8＋a2＝a4＋a4＋a2＝5a2＝－30.
4．数列1,3,7,15，……的通项公式an＝( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
[答案] C
[解析] a1＝1代入，排除A，B，a2＝3，排除D.
5．已知数列，，，，，…，则5是它的第( )
A．18项 B．19项
C．20项 D．21项
[答案] D
[解析] 观察可得{an}的通项公式：an＝，(n∈N＋)，5＝＝，所以n＝21.
6．数列{an}的通项公式an＝logn＋1(n＋2)，则它的前30项之积为( )
A. B．5
C．6 D.
[答案] B
[解析] ∵an＝log(n＋1)(n＋2)＝
∴a1·a2·…·a30＝×××…×＝＝5.
二、填空题
7．写出下面数列的一个通项公式(填在横线上)，使它的前4项分别是下列各数：
(1)3,6,9,12；__________
(2)0，－2，－4，－6；__________
(3)，，，；__________
(4)－，，－，；__________
(5)1，，，；__________
[答案] (1)an＝3n (2)an＝－2(n－1) (3)an＝ (4)an＝ (5)an＝
8．数列－1，，－，，…的一个通项公式为________．
[答案] an＝(－1)n
[解析] 奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为－，，－，，∴an＝(－1)n.
三、解答题
9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
[解析] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴从第7项起各项都是正数．
10．已知数列1,2，，，，….
(1)写出这个数列的一个通项公式an；
(2)判断数列{an}的增减性．
[解析] (1)数列1,2，，，，….可变为，，，，，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n对应，而分子比序号n的3倍 少2，
∴an＝.
(2)∵an＝＝3－，∴an＋1＝3－，
∴an＋1－an＝3－－3＋＝－＝>0，
∴an＋1>an.故数列{an}为递增数列．
能力提升
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
[答案] D
[解析] ∵f(n)＝1＋＋＋…＋，
∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)，则数列的最大项是( )
A．第12项 B．第13项
C．第12项或第13项 D．不存在
[答案] C
[解析] an＝，n＋≥，
但由于n∈N＋取不到等号，而a12＝a13
∴第12项和第13项都是最大项．
二、填空题
3．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
[答案] n2－n＋1
[解析] 序号n决定了每图的分支数，而每分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n·(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．
4．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．
[答案] λ>－3
[解析] 由{an}为递增数列，得
an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，
即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，
令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.
只需λ>f(n)max＝－3即可．
三、解答题
5．根据数列的通项公式，写出它的前4项：
(1)an＝；(2)an＝.
[解析] (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4，便可得数列{an}的前4项为：a1＝，a2＝＝，a3＝，a4＝＝.
(2)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4，便可得数列{an}的前4项为：a1＝－1，a2＝，a3＝－，a4＝.
6．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是序号n的一次函数，求通项公式，并求第30项．
[解析] 设an＝a·n＋b，
则，解得.
故an＝4n－2.∴a30＝118.
7．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)，试判断{an}是递增数列还是递减数列？
[解析] ∵an＝，则an＋1＝.
对任意n∈N＋，(n＋1)(n＋2)>n(n＋1)，
∴<，
于是an＋1－an＝－<0.
∴{an}是递减数列．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解析] (1)令n2－5n＋4<0，得
1
故数列中有两项是负数．
即a2、a3为负数．
(2)an＝n2－5n＋4＝(n－)2－.
∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，最小值为－2.
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第2章 2.1 第2课时
数列的递推公式(选学)
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，则a5＝( )
A. B. C．4 D．5
[答案] A
[解析] 令n＝3,4,5，求a5即可．
2．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( )
A．－3 B．－4 C．－5 D．2
[答案] A
[解析] 由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，
a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.
3．正项数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4＝( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 由递推关系可得a2＝，a3＝，a4＝.
4．已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝( )
A．x B．y C．y－x D．－x
[答案] C
[解析] 根据递推关系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，这6个数值重复出现a2007＝a334×6＋3＝a3.
5．已知Sk表示数列的前k项和，且Sk＋Sk＋1＝ak＋1(k∈N*)，那么此数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
[答案] C
[解析] ∵由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝Sk＋Sk＋1
∴Sk＝0(k∈N*)
可知此数列每一项均为0，即an＝0是常数列．
6．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( )
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
[答案] B
[解析] 交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝，
∴a10＝＝45.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为________________．
[答案] ，，，，
[解析] ∵an＝3n－1(n∈N*)
∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.
8．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，则
(1)这个数列的第四项是________；
(2)65是这个数列的第________项；
(3)这个数列从第________项起以后各项都为正数．
[答案] －12；11；7
[解析] (1)a4＝42－4×4－12＝－12.
(2)令65＝n2－4n－12，∴n2－4n－77＝0，
∴n＝11或n＝－7(舍去)．
故65是这个数列的第11项．
(3)令n2－4n－12>0，得n>6或n<2.
∴这个数列从第7项起以后各项都为正数．
三、解答题
9．在数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝an＋，求通项公式．
[解析] 由an＋1＝an＋，得an＋1＝an，
即＝.∴＝，＝，＝，…，
＝(n≥2)．
将以上各式相乘，得
···…·＝···…·
∴＝，∴an＝(n≥2)，
又a1＝1满足上式．
∴an＝(n∈N*)．
10．设数列{an}的前n项的和为Sn，且方程x2－anx－an＝0，有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…，求a1、a2.
[解析] 当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.
当n＝2时，有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.
能力提升
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
[答案] A
[解析] 解法一：取n＝2，则a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；
取n＝3，则a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln2＋ln＝2＋ln3，排除B，选A.
解法二：直接将选项依次代入验证．
当an＝2＋lnn时，an＋1＝an＋ln(1＋)
＝2＋lnn＋ln(1＋)
＝2＋ln(n＋1)满足，故选A.
解法三：∵an＋1＝an＋ln(1＋)，
∴a2－a1＝ln(1＋)＝ln2，
a3－a2＝ln(1＋)＝ln，
a4－a3＝ln(1＋)＝ln，
…
an－an－1＝ln(1＋)＝ln.
相加得：an－a1＝ln2＋ln＋…＋ln＝lnn，∵a1＝2，∴an＝2＋lnn.
2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝( )
A．0 B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…
至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－，，0，－，，0，…，周而复始．
∵20÷3＝6余2，∴a20＝a2＝－.
二、填空题
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
[答案] －
[解析] f(n＋1)＝＋＋＋…＋＋＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.
4．若数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝a(n是正整数)，则数列的通项an＝________.
[答案] an＝32n－1
[解析] a1＝3，a2＝32，a3＝34，a4＝38…，猜想an＝32n－1.
三、解答题
5．数列{an}的通项公式是an＝－2n2＋19n－23，则数列{an}中最大的一项是第几项？并求出该项．
[解析] an＝－2n2＋19n－23＝－2(n－)2－23＋＝－2(n－)2＋，
∵n∈N*，∴当n＝5时，an最大，
a5＝－2×52＋19×5－23＝22.
故数列{an}最大的一项是第5项，且a5＝22.
6．设函数f(x)＝log2x－logx4(0[解析] ∵f(x)＝log2x－logx4，
∴f(2 an)＝log22 an－log2 an 4＝2n，
即an－＝2n，∴a－2nan－2＝0，
∴an＝n±.
又∵0∴an<0(n∈N*)，∴an＝n－(n∈N*)．
7．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性．
[解析] 将A、B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：
站号
1
2
3
4
5
6
7
8
剩余邮件数
7
12
15
16
15
12
7
0
该数列的图象如图所示．
它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．
8．某林区改变植树计划，第一年植树增长率200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的.
(1)假设成活率为100%，经过四年后，林区的树木量是原来的树木量的多少倍？
(2)如果每年都有5%的树木死亡，那么经过多少年后，林区的树木量开始下降？
[解析] (1)设林区原有的树木量为a，调整计划后，第n年的树木量为an(n＝1,2,3，…)，则a1＝a(1＋200%)＝3a，
a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a，
a3＝a2(1＋)＝a2＝9a
a4＝a3(1＋)＝a3＝a.
所以经过四年后，林区树木量是原来树木量的倍；
(2)若每年损失树木量的5%，则第n年后的树木量与第(n－1)年的树木量之间的关系为：
an＝an－1(1＋)(1－5%)＝(1＋)an－1(n≥2)．
设第n年后树木量开始减少，
则，
即，
∴，∴≤≤，解得n＝6.
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第2章 2.2 第1课时
等差数列的概念及通项公式
一、选择题
1．(2010·重庆文)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
[答案] A
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a9＝a1＋a1＋8d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2a5＝10，∴a5＝5.
2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
[答案] D
[解析] 由2an＋1＝2an＋1得an＋1－an＝，∴{an}是等差数列首项a1＝2，公差d＝，
∴an＝2＋(n－1)＝
∴a101＝＝52.
3．等差数列相邻四项是a＋1，a＋3，b，a＋b，那么a，b的值分别为( )
A．2,7 B．1,6 C．0,5 D．无法确定
[答案] A
[解析] 由题设2(a＋3)＝a＋1＋b，
∴a－b＋5＝0又2b＝(a＋3)＋(a＋b)，
∴2a－b＋3＝0，
由得
4．设数列{an}是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为( )
A．1 B．2 C．4 D．3
[答案] B
[解析] 由题设，
∴a2＝4，∴，
∴a1，a3是一元二次方程x2－8x＋12＝0的两根，
又a3＞a1，∴a1＝2.
5．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序列号n等于( )
A．667 B．668 C．669 D．670
[答案] C
[解析] 由等差数列通项公式得2005＝1＋(n－1)×3解得n＝669.
6．等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，an＝13，则n的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
[答案] C
[解析] 设公差为d，∵a3＋a5＝10，a1＝2，
∴2a1＋6d＝10，∴d＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1，
又an＝13，∴n＋1＝13，n＝12.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________.
[答案] 42
[解析] a1＋a2＋a3＝15，a2＝5，d＝3，
∴a5＝a2＋3d＝14，a4＋a5＋a6＝3a5＝42.
8．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为__________．
[答案] 4
[解析] 2(2x＋1)＝x＋(4x＋2)，∴x＝0，∴a1＝0，a2＝1，d＝a2－a1＝1，∴a5＝a1＋4d＝4.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a5＋a6＋a8＝450，求a1＋a9.
[解析] ∵a2＋a8＝a4＋a6＝2a5，
∴a2＋a8＋a4＋a6＋a5＝5a5，
∴5a5＝450，∴a5＝90.
又∵a1＋a9＝2a5，∴a1＋a9＝180.
10．在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n.
[解析] ∵a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝2×＋5d，
又a2＋a5＝4，∴2×＋5d＝4，解得d＝.
∴an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，
解得n＝50.
能力提升
一、选择题
1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中顶为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] ＝＝＝.
2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列{}是等差数列，则a11等于( )
A．0 B. C. D．－1
[答案] B
[解析] 令bn＝，由题设b3＝＝，
b7＝＝且{bn}为等差数列，
∴b7＝b3＋4d，∴d＝.∴b11＝b7＋4d＝＋＝，
又b11＝，∴a11＝.
二、填空题
3．在a和b(a≠b)两数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为__________．
[答案]
[解析] 设插入的n个数为b1、b2……bn则由a、b1、b2……bn、b成等差数列．
∴b＝a＋(n＋1)d，∴d＝.
4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为________．
[答案] 48
[解析] ∵a1＋3a8＋a15＝a1＋3(a1＋7d)＋a1＋14d＝5a1＋35d＝5(a1＋7d)＝120，∴a1＋7d＝24.
3a9－a11＝3(a1＋8d)－(a1＋10d)
＝3a1＋24d－a1－10d
＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝48.
三、解答题
5．设a1＝kc，a2＝kc2，a3＝kc3(k>0，c>0)，求证：lga1，lga2，lga3成等差数列．
[解析] ∵a1＝kc，a2＝kc2，a3＝kc3(k>0，c>0)，
∴lga1＋lga3＝lg(a1a3)＝lg(k2c4)
＝lg(kc2)2＝2lg(kc2)＝2lga2，
即lga1＋lga3＝2lga2.
∴lga1，lga2，lga3成等差数列．
6．已知等差数列{an}，设bn＝()an，又已知b1＋b2＋b3＝，b·b2·b3＝，求{an}的通项公式．
[解析] ∵b1＋b2＋b3＝()a1＋()a2＋()a3＝，b1b2b3＝()a1＋a2＋a3＝，
∴a1＋a2＋a3＝3，因为a1，a2，a3成等差数列，可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1.
由()1－d＋＋()1＋d＝，
得2d＋2－d＝.解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，
an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，
an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
7．已知f(x)＝，在数列{xn}中，xn＝f(xn－1)．若x1＝，求x100的值．
[解析] ∵xn＝f(xn－1)，∴xn＝
即xnxn－1＋3xn＝3xn－1
得＝1，即－＝.
∴{}是以2为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)，∴x100＝.
8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
[解析] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，由题意可知，
即，解得或，
故所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
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第2章 2.2 第2课时
等差数列的性质
一、选择题
1．(2010·大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋……＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
[答案] C
[解析] ∵{an}是等差数列，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
2．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于( )
A．1 B. C. D.
[答案] D
[解析] ∵x，a1，a2，y成等差数列，
∴a1－a2＝－d＝－.
∵x，b1，b2，b3，y成等差数列，
∴b1－b2＝－d′＝－.
∴＝.
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
[答案] D
[解析] 由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝51a51＝0，
∴a51＝0.
4．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．30 B．27 C．24 D．21
[答案] B
[解析] b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，∵{an}成等差数列，∴b1，b2，b3成等差数列，∴a3＋a6＋a9＝b3＝b2＋(b2－b1)＝2b2－b1＝27.
5．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于( )
A．15 B．30 C．31 D．64
[答案] A
[解析] a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.
在等差数列中，a4，a8，a12成等差数列，
所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.
6．在等差数列{an}中，am＝n，an＝m(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n为( )
A．m－n B．0 C．m2 D．n2
[答案] B
[解析] ∵{an}是等差数列，
∴设公差为d，
则an－am＝(n－m)d＝m－n，
∴d＝－1.
∴am＋n＝am＋md＝n＋nd＝n－n＝0.
二、填空题
7．(2011·重庆理)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
[答案] 74
[解析] a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
8．等差数列{an}中，公差为，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝________.
[答案] 85
[解析] 由等差数列的定义知a2＋a4＋a6＋…＋a100
＝a1＋a3＋a5＋…＋a99＋50d＝60＋25＝85.
三、解答题
9．已知数列{an}满足(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，且a1＝1，an>0.
(1)求证：数列{a}为等差数列；(2)求an.
[解析] (1)由(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，
得a－a＝16，
∴数列{a}构成以a＝1为首项，以16为公差的等差数列；
(2)由(1)知
a＝1＋(n－1)×16＝16n－15，
又an>0，∴an＝.
10．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供的两个不同的信息表如下图所示：
甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只鸡．
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息：
(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
[解析] (1)设第n年每个养鸡场饲养鸡an万只，养鸡场为bn个，由图知{an}、{bn}均为等差数列且1≤n≤6，
a1＝1，a6＝2，∴an＝0.2n＋0.8，
b1＝30，b6＝10，∴bn＝－4n＋34，
∴a2＝0.2×2＋0.8＝1.2，
b2＝－4×2＋34＝26，
a2b2＝1.2×26＝31.2(万只)．
∴第2年有养鸡场26个，饲养鸡31.2万只．
(2)a1b1＝1×30＝30(万只)，a6b6＝2×10＝20(万只)．
∵a6b6∴第6年养鸡业规模比第1年缩小了．
(3)每年出产鸡的只数为
y＝an·bn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝(－2n2＋9n＋68)
＝－(n－)2＋(1≤n≤6)，
∴当n＝2时，y有最大值．
即第2年规模最大，共生产鸡31.2万只．
能力提升
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
[答案] C
[解析] 由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，
∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
2．若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a＋b的值是( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 设方程x2－x＋a＝0的两根为x1和x2，则x1＋x2＝1，设x2－x＋b＝0的两根为x3和x4，
则x3＋x4＝1.
不妨设x1＝，则x2＝，故由x1x2＝a得a＝，公差d＝＝，∴x3＝＋＝，x4＝＋＝，∴b＝x3x4＝，∴a＋b＝.
二、填空题
3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.
[答案] 105
[解析] 由题意，设数列{an}的公差d＞0，
则，求得d＝3
故a11＋a12＋a13＝a1＋a2＋a3＋30d＝15＋30×3＝105.
4．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．
[答案] 4,6,8或8,6,4
[解析] 设这三个数为a－d，a，a＋d，则
，
∴.∴三数为4,6,8或8,6,4.
三、解答题
5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝1，且
(n≥2)，若cn＝an＋bn，
(1)证明数列{cn}是等差数列；
(2)求数列{cn}的通项公式．
[解析] (1)∵an＝an－1＋bn－1＋1
bn＝an－1＋bn－1＋1(n≥2)，
∴an＋bn＝an－1＋bn－1＋2，
∴cn＝an＋bn，∴cn－1＝an－1＋bn－1，
∴cn－cn－1＝2(n≥2)，
∴数列{cn}是以c1＝a1＋b1＝3为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)知cn＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
6．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销；买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．
[解析] 设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440即800－20n≥440，得n≥18.
当购买台数小于18台时，每台售价为800－20n，在台数大于等于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
当n<10时，600n<(800－20n)n，
当n＝10时，600n＝(800－20n)n，
当10当n>18时，440n<660n.
答：当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．
7．是否存在数列{an}，同时满足下列条件？
①{an}是等差数列，且公差不为零；
②数列{}也是等差数列．
若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由．
[解析] 设符合条件的数列{an}存在，则
an＋an＋2＝2an＋1，且＋＝.
即(an＋an＋2)＝4.
所以(an＋an＋2)2＝4anan＋2.
故(an－an＋2)2＝0，故an＝an＋2.
这与公差不为0矛盾，所以不存在符合条件的数列{an}.
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第2章 2.2 第3课时
等差数列的前n项和
一、选择题
1．(2011·大纲全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
[答案] D
[解析] ∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.
2．记等差数列{an}的前n项和Sn.若a1＝，S4＝20，则S6＝( )
A．16 B．24
C．36 D．48
[答案] D
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝，S4＝4×＋d＝2＋6d＝20，
∴d＝3，故S6＝6×＋×3＝48，故选D.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝( )
A．38 B．20
C．10 D．9
[答案] C
[解析] 由等差数列的性质，得am－1＋am＋1＝2am，
∴2am＝a，由题意，得am≠0，∴am＝2.
又S2m－1＝＝
＝2(2m－1)＝38，∴m＝10.
4．数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
[答案] B
[解析] ∵{an}是等差数列，
∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，
又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.
∴3(a1＋a20)＝54，
∴a1＋a20＝18.
∴S20＝＝180.
5．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
[答案] C
[解析] 由已知a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为定值，则S13＝＝13a7也为定值，故选C.
6．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝( )
A．138 B．135
C．95 D．23
[答案] C
[解析] 本题考查等差数列的性质及前n项和．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
则，
②－①得2d＝6，∴d＝3.
a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d
＝2a1＋4×3＝4，
∴a1＝－4，
S10＝10×(－4)＋×3＝－40＋135＝95.
故选C.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a1＞0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝________，n＝________.
[答案] 2；3
[解析] 由题意，得，
解得.
8．(2011·湖南理)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
[答案] 25
[解析] ∵a4－a1＝3d，∴3d＝6，∴d＝2，∴S5＝5a1＋×5×4×d＝5＋×5×4×2＝25.
三、解答题
9．在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
[解析] (1)解法一：由已知条件得
，
解得.
∴S10＝10a1＋×d
＝10×3＋×4＝210.
解法二：由已知条件得，
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
解法三：由(a5＋a10)－(a4＋a9)＝2d＝58－50，
得d＝4
由a4＋a9＝50，得2a1＋11d＝50，∴a1＝3.
故S10＝10×3＋＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
10．在等差数列{an}中，(1)已知 a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
[解析] (1)∵a6＝10，S5＝5，
∴，解得.
∴a8＝a6＋2d＝16，S8＝＝44.
(2)∵a1＋a17＝a3＋a15，
∴S17＝＝＝＝340.
能力提升
一、选择题
1．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为( )
A．24 B．26
C．27 D．28
[答案] B
[解析] 设该等差数列为{an}，
由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，
∴a1＋an＝22.
∴Sn＝＝11n＝286，
∴n＝26.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200＝( )
A．100 B．101
C．200 D．201
[答案] A
[解析] ∵＝a1＋a200，且A、B、C三点共线，
∴a1＋a200＝1，S200＝＝100.
二、填空题
3．已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n＝________.
[答案] 27
[解析] Sn＝＝18，
由S3＝1和，
得3(a1＋an)＝4，故a1＋an＝，
故n＝＝＝27.
4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．
[答案] 3
[解析] S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
三、解答题
5．已知等差数列{an}，
(1)若a2＋a7＋a12＝21，求S13；
(2)若S15＝75，求a8.
[解析] (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，a2＋a7＋a12＝21，
∴3a7＝21，即a7＝7.
∴S13＝＝＝91.
(2)∵S15＝＝＝75，∴a8＝5.
6．已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2)2，
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
[解析] (1)由Sn＝(an＋2)2，
则Sn－1＝(an－1＋2)2 (n≥2)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
∴an－an－1＝4，即{an}为等差数列．
(2)∵S1＝(a1＋2)2.∴a1＝(a1＋2)2.
解得a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2
∴bn＝an－30＝(4n－2)－30
＝2n－31.
令bn<0得n<，
∴S15为前n项和最小值．
S15＝b1＋b2＋…＋b15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.
7．甲、乙两物分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
[分析] 可将问题化为等差数列问题．
[解析] (1)设n分钟后第1次相遇，依题意有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0
解得n＝7，n＝－20(舍去)
第一次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第二次相遇，依题意有
2n＋＋5n＝3×70
整理得n2＋13n－6×70＝0
解得n＝15或n＝－28(舍去)
第二次相遇是开始运动15分钟．
8．数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n－8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{|an|}的前n项和Tn.
[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝－14；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－8，
故an＝.
(2)由an＝2n－8可知：当n≤4时，an≤0，当n≥5时，an>0.
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋7n＋8，
当n≥5时，Tn＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－7n－8－2×(－20)＝n2－7n＋32，
∴Tn＝.
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第2章 2.2 第4课时
等差数列的综合应用习题课
一、选择题
1．四个数成等差数列，S4＝32，a2:a3＝1:3，则公差d等于( )
A．8 B．16 C．4 D．0
[答案] A
[解析] ∵a2:a3＝1:3，∴＝，∴d＝－2a1
又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，
∴d＝8.
[点评] 可设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由S4＝32得：a＝8，由a2:a3＝1:3得：＝，∴d＝4，∴公差为2d＝8.
2．等差数列{an}中，a2＝7，a9＝15，则前10项和S10等于( )
A．100 B．110 C．120 D．125
[答案] B
[解析] S10＝＝
＝＝110.
3．(2011·桂林高二检测)已知等差数列{an}为5,4，3…，则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n值是( )
A．15 B．7
C．8或9 D．7或8
[答案] D
[解析] ∵a1＝5，d＝4－5＝－，
∴an＝5＋(n－1)·(－)＝－n＋.
令an＝0得n＝8，∴a7>0，a8＝0，a9<0，
∴当n＝7或8时，Sn最大．
4．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值．
[答案] C
[解析] 由S50，由S6＝S7知a7＝0，
由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．
5．在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则等于( )
A. B. C．2 D.
[答案] A
[解析] ∵S12＝8S4，∴12a1＋×12×11×d＝8(4a1＋×4×3×d)，
即20a1＝18d，∵d≠0，
∴＝＝.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
[答案] B
[解析] 解法一：∵{an}是等差数列，∴S3、S6－S3、S9－S6为等差数列．
∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∴S9－S6＝2S6－3S3＝45.
解法二：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，令bn＝，则{bn}成等差数列．
由题设b3＝＝3，b6＝＝6，
∴b9＝2b6－b3＝9.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝9b9－36＝45.
二、填空题
7．设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…a99的值为________．
[答案] －82
[解析] ∵a1＋a4＋a7＋…a97＝50，公差d＝－2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a1＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d
＝50＋66×(－2)＝－82.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
[答案] 24
[解析] {an}为等差数列，由S9＝72得S9＝＝9a5，
∴a5＝8.
∴a2＋a4＋a9＝3a5＝24.
三、解答题
9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[解析] 解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则
Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②整理得d＝－，代入①得，a1＝，
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110
＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
解法二：设Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴
?
∴Sn＝－n2＋n.
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
解法三：设等差数列的首项为a1，公差为d，则
(p≠q)
①－②得(p－q)a1＋d＝－(p－q)．又p≠q，
∴a1＋d＝－1，
∴Sp＋q＝(p＋q)a1＋d
＝－(p＋q)，
∴S110＝－110.
解法四：数列S10，S20－S10，S30－S20，…S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，前10项的和为10S10＋·D＝S100＝10?D＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)
＝－120.
∴S110＝－120＋S100＝－110.
解法五：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100
＝＝.
又S100－S10＝10－100＝－90，
∴a1＋a110＝－2.
∴S110＝＝－110.
10．等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求出最大值．
[解析] 解法一：∵a1＝25，S17＝S9，
∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)
＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.
解法二：∵a1＝25，S17＝S9，
即17a1＋d＝9a1＋d.
∴d＝－2，Sn＝n2＋(a1－)n(d<0)，Sn的图象是开口向下的抛物线上一些孤立的点，
∵S17＝S9，∴最高点的横坐标为＝13，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13项之和最大，最大值为169.
解法三：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋a12＋……＋a17＝0，
∴a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14＝0，
∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0，所以S13最大，
∵a1＝25，S17＝S9，即17a1＋d＝9a1＋d，
∴d＝－2，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13项之和最大，最大值为169.
解法四：同方法一：
解得d＝－2，
∴an＝25＋(n－1)×(－2)
＝－2n＋27，由，
得，
解得≤n≤，又∵n∈N*，
∴当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169.
能力提升
一、选择题
1．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A．0 B．4475
C．8950 D．10 000
[答案] C
[解析] 设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝＝＝8950.
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( )
A．36 B．18 C．72 D．9
[答案] A
[解析] ∵S3＝－6，∴a1＋a2＋a3＝－6.
又S18－S15＝a16＋a17＋a18＝18，
∴a1＋a2＋a3＋a16＋a17＋a18＝(a1＋a18)＋(a2＋a17)＋(a3＋a16)＝3(a1＋a18)＝12，
∴a1＋a18＝4.
∴S18＝＝9(a1＋a18)＝9×4＝36.
二、填空题
3．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于________．
[答案] 4
[解析] ∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1·a2·a3＝105，
∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴n＝4.
4．给定81个数排成如图所示的数表，若每行的9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为________．
a11 a12 … a19
a21 a22 … a29
… … … …
a91 a92 … a99
[答案] 405
[解析] S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)
＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.
三、解答题
5．Sn为等差数列{an}的前n项和，S′n为等差数列{bn}的前n项和，已知Sn?S′n＝(7n＋1)?(4n＋27)，求a11?b11的值．
[解析] ∵a11＝，b11＝，∴＝＝
＝＝
＝.
6．(2010·课标全国卷文)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
[解析] (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
，可解得.
数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
7．(2010·浙江文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．
[解析] (1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以，解得a1＝7.
所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因为S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，
故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
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第2章 2.3 第1课时
等比数列的概念及通项公式
一、选择题
1．公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为( )
A．－4 B．－
C. D．4
[答案] D
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，由题意知d≠0，
且a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
化简，得a1＝－d.
∴a2＝a1＋d＝－d＋d＝d，
a3＝a2＋d＝d＋d＝d，
∴＝4，故选D.
2．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．0或2
[答案] B
[解析] 由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切，故选B.
3．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于( )
A．48 B．72
C．144 D．192
[答案] D
[解析] 设公比为q，则a6·a7·a8＝a5·a6·a7·q3，
∴q3＝＝8.
又a7·a8·a9＝a6·a7·a8·q3＝24×8＝192.
4．(2010·全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7
C．6 D．4
[答案] A
[解析] 由等比数列的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a＝5，
a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a＝10，所以a2a8＝50，
所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a＝()3＝(50)3＝5.
5．(2011·福州高二检测)等比数列{an}的各项为正数，公比为q，若q2＝4，则的值为( )
A. B．±
C．2 D．±2
[答案] A
[解析] 由q2＝4得q＝±2，
因为数列{an}各项为正数，所以q＝2，
又因为a4＝a3q，a5＝a4q，
∴a4＋a5＝a3q＋a1q＝(a3＋a4)q，
∴＝＝.
6．(2011·沈阳高二检测)已知等比数列{an}，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝80，则a5＋a6等于( )
A．480 B．320
C．240 D．120
[答案] B
[解析] ∵a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)·(a5＋a6)，即802＝20·(a5＋a6)．∴a5＋a6＝320，故选B.
二、填空题
7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
[答案] 18
[解析] 由题意得a4＋a5＝2，a4a5＝，∵q>1，∴a5>a4，解得a4＝，a5＝，∴q＝3，∴a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18.
8．若a1，a2，a3，a4，a5为等比数列，其公比为2，则＝________.
[答案]
[解析] 由已知：a3＝2a2，a4＝4a2，a5＝8a2，
∴＝＝＝.
三、解答题
9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
又∵＋2q＝，
解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×()n－1＝2×33－n；
当q＝3时，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
10．(2011·宿州高二检测)已知数列{an}是等比数列，首项a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}是等差数列，且b3＝a3，b5＝a5，求数列{bn}的通项公式及前n项的和．
[解析] (1)因为数列{an}是等比数列且a1＝2，a4＝16，
所以q3＝＝＝8，故q＝2.
数列{an}的通项公式为：an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.
(2)由(1)知：b3＝a3＝23＝8，b5＝a5＝25＝32，
而数列{bn}是等差数列，故数列{bn}的公差d＝＝＝12.
所以{bn}的递项公式bn＝b3＋(n－3)d
＝8＋(n－3)·12
即bn＝12n－28(n∈N＋)，又b1＝－16，所以其前n项的和
Sn＝＝6n2－22n.
能力提升
一、选择题
1．(2010·江西文)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
[答案] A
[解析] 由a5＝－8a2，a5>a2知a1>0，根据a5＝－8a2有a1q4＝－8a1q得q＝－2.所以an＝(－2)n－1.
2．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．18 B．24
C．60 D．90
[答案] C
[解析] 由a＝a3·a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋3d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，
又∵S8＝8a1＋28d＝32，
∴a1＝－3，d＝2，
∴Sn＝10a1＋45d＝60.
故选C.
二、填空题
3．已知a、b、c成等差数列，且a、c、b成等比数列，则a:b:c＝________.(其中a、b、c不相等)．
[答案] 4:1:(－2)
[解析] 由已知，得
由①，得a＝2b－c，代入②得2b2－bc－c2＝0，解得b＝－c，或(b＝c舍去)．
∴c＝－2b.∴a＝2b－c＝4b.
∴a:b:c＝4b:b:(－2b)＝4:1:(－2)．
4．已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q＝________.
[答案]
[解析] 设该正项等比数列为{an}，公比为q，由题意，得
an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，
∴q2＋q－1＝0，∵q>0，∴q＝.
三、解答题
5．(2010·全国Ⅰ文)记等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
[解析] 设数列{an}的公差为d，依题设有
，
即，
解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4，
因此Sn＝n(3n－1)，或Sn＝2n(5－n)．
6．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．
[解析] 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，依题意，得
，
解得a＝4或9.
当a＝4时，d＝4，这四个数依次为0,4,8,16.
当a＝9时，d＝－6，这四个数为15,9,3,1.
∴这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
7．设数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3…)．
求证：数列{}是等比数列．
[解析] ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn.
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2.
故{}是以2为公比的等比数列．
8．(2011·江西)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
[解析] (1)设{an}的公比为q，则
b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－
所以{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1
或an＝(2－)n－1.
(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)
由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根．
由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.
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第2章 2.3 第2课时
等比数列的性质
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于( )
A．90 B．30
C．70 D．40
[答案] D
[解析] ∵q2＝＝2，
∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.
2．等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝( )
A．39 B．310
C．311 D．312
[答案] B
[解析] 由已知，得a5a6＝9，
∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9，
∴a1·a2·…·a10＝95＝310.
3．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为( )
A．9 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] a3a5a7a9a11＝aq30＝243，
∴＝＝a1q6＝＝3.
4．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案] C
[解析] ∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，
∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，
∴b5＋b9＝2b7＝8.
5．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于( )
A. B.
C. D．6
[答案] A
[解析] ∵，
解得或.
又∵an>an＋1，∴a4＝3，a14＝2.∴＝＝.
6．(2010·湖北文)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
[答案] C
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±，∵各项都是正数，
∴q>0，∴q＝1＋，
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
二、填空题
7．等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5等于________．
[答案] 27
[解析] 由题意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9，
∴q2＝9，又an>0，∴q＝3.
故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9×3＝27.
8．已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于________．
[答案] －3
[解析] ＝
＝＝－3.
三、解答题
9．在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.
[解析] ∵a4·a7＝a3·a8＝－512，
∴，
解得或.
又公比为整数，
∴a3＝－4，a8＝128，q＝－2.
∴a10＝a3·q7＝(－4)×(－2)7＝512.
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200，
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
于是，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
能力提升
一、选择题
1．已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设等差数列首项为a1，公差为d，则
q＝＝＝
＝＝＝.
2．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
[答案] A
[解析] 设bn＝a，则＝＝()2＝q2，
∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时，lgan无意义，设cn＝nan
则＝＝q≠常数．
二、填空题
3．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是__________．
[答案] 3或27
[解析] 设此三数为3，a，b
则，
解得，或.
∴这个未知数为3或27.
4．一种专门占据内存的计算机病毒的大小为2 KB，它每3s自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为64 MB(1 MB＝210KB)的计算机开机后经过________s，内存被占完．
[答案] 45
[解析] 计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{an}，且a1＝2×2＝4，q＝2，则an＝4·2n－1，令4·2n－1＝64×210，得n＝15，即复制15次，共用45 s.
三、解答题
5．设正整数数列{an}为一个等比数列，且a2＝4，a4＝16，求lgan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n.
[解析] 由a2＝4，a4＝16，得a1＝2，q＝2，∴an＝2n.
∴lgan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n＝
lg(an＋1·an＋2·…·a2n)＝lg2(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n
＝lg2＝(3n2＋n)lg2.
6．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；
(2)求an的通项公式．
[解析] (1)由已知得an＋1＝a＋2an，
∴an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2
∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)2>0，
∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)
即＝2，且lg(1＋a1)＝lg3
∴{lg(1＋an)}是首项为lg3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg3＝lg32n－1
∴1＋an＝32n－1
∴an＝32n－1－1.
7．容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L，然后加满水，混合溶液后再倒出1 L，又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%.
[解析] 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1－.设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度是an＋1＝an(1－)．所以{an}构成以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列．所以an＝a1qn－1＝(1－)n，即第n次操作后溶液的浓度是(1－)n.当a＝2时，由an＝()n<，得n≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
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第2章 2.3 第3课时
等比数列的前n项和
一、选择题
1．已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514 B．513
C．512 D．510
[答案] D
[解析] 由已知得，
解得q＝2或.
∵q为整数，∴q＝2.∴a1＝2.∴S8＝＝29－2＝510.
2．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝( )
A．－4 B．－1
C．0 D．1
[答案] B
[解析] 设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，
a3＝S3－S2＝48，∴a＝a1·a3，
即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1.
3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
[答案] B
[解析] 公式q3＝＝＝27，q＝3，a1＝＝3，
S4＝＝120.
4．(2010·浙江文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )
A．－11 B．－8
C．5 D．11
[答案] A
[解析] 设公比为q，依题意得8a2＋a2q3＝0，又∵a2≠0，∴q＝－2，∴＝＝＝－11.
5．(2010·天津，理)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
[答案] C
[解析] 显然q≠1，∴＝，∴1＋q3＝9，∴q＝2，∴{}是首项为1，公比为的等比数列，前5项和T5＝＝.
6．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n＝( )
A．11 B．99
C．120 D．121
[答案] C
[解析] an＝＝－
∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.
解得n＝120.
二、填空题
7.＋＋＋＋＝________.
[答案]
[解析] a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.
∴原式＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)]
＝(1－)＝.
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比q＝________.
[答案]
[解析] 依题意S1,2S2,3S3成等差数列，有4S2＝S1＋3S3，当q≠1时，有4(a1＋a1q)＝a1＋.由于a1≠0，得3q2－q＝0，又q≠0，故q＝，当q＝1时，不成立．
三、解答题
9．在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
[解析] 由已知S6≠2S3，则q≠1.
又S3＝，S6＝，
即
①÷②，得1＋q3＝28，∴q＝3.
可求得a1＝.因此an＝a1qn－1＝3n－3.
10．(2010·北京文)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝－6，a6＝0.
∴，解得，
∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8.
∴－8q＝－24，∴q＝3.
∴{bn}的前n项和为
Sn＝＝＝4(1－3n)．
能力提升
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
[答案] C
[解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．
由＝q3＝＝知q＝，而新的数列{anan＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝，
又a1·a2＝4×2＝8，
故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．
2．正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和是( )
A．65 B．－65
C．25 D．－25
[答案] D
[解析] ∵{an}为正项等比数列，a2a4＝1，
∴a3＝1，又∵S3＝13，∴公比 q≠1.
又∵S3＝＝13，a3＝a1q2＝1，
解得q＝.
∴an＝a3qn－3＝()n－3＝33－n，
∴bn＝log3an＝3－n.
∴b1＝2，b10＝－7.
∴S10＝＝＝－25.
二、填空题
3．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.
[答案] (4n－1)
[解析] ∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，
∴公比q＝2.
又∵数列{a}也是等比数列，首项为a＝1，公比为q2＝4，
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S22－S11＝________.
[答案] －65
[解析] Sn＝－4－4－4＋…＋(－1)n－1(4n－3)，
∴S22＝－4×11＝－44，
S11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，
∴S22－S11＝－65.
三、解答题
5．(2010·福建文)数列{an}中，a1＝.前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．
[解析] (1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得an＋1＝()n＋1(n∈N*)
又a1＝，故an＝()n(n∈N*)
从而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)
(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝
从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得
＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2.
6．(2011·课标全国)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．
[解析] (1)设数列{an}的公比为q.
由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝；
(2) bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2，
＋＋…＋
＝－2＝－.
所以数列的前n项和为－.
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)求a1－a3＝3，求Sn.
[解析] (1)依题意，得a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
∵a1≠0，∴2q2＋q＝0.
又q≠0，∴q＝－.
(2)由已知，得a1－a12＝3，
∴a1＝4.
∴Sn＝＝.
8．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设bn＝，求数列{b”}的前n项和Sn.
[解析] (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.②
①－②得3n－1an＝，∴an＝，n≥2.
又a1＝满足上式，∴an＝(n∈N*)．
(2)∵bn＝，∴bn＝n3n.
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n·3n＋1.④
③－④得，－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1＝(3n－1)－n·3n＋1
＝－－n·3n＋1
∴Sn＝－＋＋，
∴Sn＝＋，n∈N*.
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第2章 2.3 第4课时
数列的综合应用
一、选择题
1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1
2
1
a
b
c
A.1 B．2 C．3 D．4
[答案] A
[解析] 由题意知a＝，b＝，c＝，故a＋b＋c＝1.
2．若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是( )
A．等比数列，但不是等差数列
B．等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，但也是等比数列
D．既不是等差数列，又不是等比数列
[答案] B
[解析] Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，
又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝2n－1(n∈N*)
∴an＋1－an＝2(常数)
∴{an}是等差数列，但不是等比数列，故应选B.
3．(2010·福建理)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
[答案] A
[解析] 设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，
∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8 C．15 D．16
[答案] C
[解析] 设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3，
∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a1＝1，
∴q2－4q＋4＝0，q＝2.
∴S4＝＝15.
5．(2009·湖南)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．35 C．49 D．63
[答案] C
[解析] ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，
∴S7＝＝49.
6．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )
A．成等差数列 B．成等比数列
C．倒数成等差数列 D．不确定
[答案] B
[解析] 由题意，得2a2＝a1＋a3，
a＝a2·a4，①
＝＋.②
∴a2＝，代入①得，a4＝③
③代入②得，＝＋，∴＋＝＋，
∴a＝a1a5.
二、填空题
7．实数，1，成等差数列，实数a2,1，c2成等比数列，则＝__________.
[答案] 1或－
[解析] 由条件，得
∴或，∴＝1或－.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
[答案] 24
[解析] 设等差数列的首项为a1，公差为d，
则a2＋a4＋a9＝3a1＋12d，又S9＝72，
∴S9＝9a1＋×9×8×d＝9a1＋36d＝72，
∴a1＋4d＝8，
∴a2＋a4＋a9＝3(a1＋4d)＝24.
三、解答题
9．已知a、b、c、x、y、z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果，，成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．
[解析] 设ax＝by＝cz＝p，
∴x＝logap，y＝logbp，z＝logcp，
∵，，成等差数列．∴＝＋，
即：2logpb＝logpa＋logpc.
∴b2＝ac，∵a、b、c均为正数，∴a、b、c成等比数列．
10．{an}是等差数列，且3a5＝8a12＞0.数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和为Sn，当n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论．
[解析] 设{an}的公差为d，则由3a5＝8a12，得3a5＝8(a5＋7d)．∴a5＝－d＞0，∴d＜0.
∴a5＋11d＝－d＋11d＝－＞0，
a5＋12d＝－d＋12d＝＜0，即a16＞0，a17＜0.
这样b1＞b2＞…b14＞0,0＞b17＞b18＞….
其中b15＝a15·a16·a17＜0，b16＝a16·a17·a18＞0.
由于a15＝a5＋10d＝－d＞0，
a18＝a5＋13d＝d＜0，
∴|a18|＞|a15|＝a15.∴b16＞|b15|＝－b15.
∴S16＝S14＋b15＋b16＞S14.
综上所述，在数列{bn}的前n项和中，前16项和S16最大．
能力提升
一、选择题
1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
[答案] C
[解析] 设第n个月份的需求量超过1.5万件．则Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，
化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C.
2．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
[答案] C
[解析] 由已知，得an＝2n，log2a2n－1＝2n－1，
∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
二、填空题
3．已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则＋的值__________．
[答案] 2
[解析] b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c
∴＋＝＋
＝＝＝2.
4．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[答案]
[解析] 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行从左向右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
三、解答题
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．
(1)求a2、a3；
(2)证明an＝.
[解析] (1)∵a1＝1，∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.
(2)由已知an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝.所以an＝.
6．(2011·重庆文)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设公比为q(q>0)，
∵a1＝2，a3＝a2＋4，
∴a1q2－a1q－4＝0，
即q2－q－2＝0，解得q＝2，
∴an＝2n
(2)由已知得bn＝2n－1，
∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，
∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)
＝＋
＝2n＋1－2＋n2.
7．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
[解析] (1)∵an＋1＝，
∴＝＝＋·，
∴－1＝，
又a1＝，∴－1＝，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知－1＝·＝，
即＝＋1，∴＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋，①
则Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－，
∴Tn＝2－－.又1＋2＋3＋…＋n＝.
∴数列的前n项和
Sn＝2－＋＝－.
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第二章综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)
1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＝12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为( )
A．48 B．54
C．60 D．66
[答案] B
[解析] ∵a4＋a6＝a1＋a9＝12，
∴S9＝＝＝9×6＝54.
2．若等比数列{an}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么( )
A．a2＋a6>a3＋a5
B．a2＋a6C．a2＋a6＝a3＋a5
D．a2＋a6与a3＋a5的大小不能确定
[答案] B
[解析] (a2＋a6)－(a3＋a5)＝(a2－a3)－(a5－a6)
＝a2(1－q)－a5(1－q)＝(1－q)(a2－a5)
＝a1q(1－q)2(1＋q＋q2)．
∵q>0，且q≠1，又a1<0，
∴(a2＋a6)－(a3＋a5)<0.
即a2＋a63．△ABC中三内角A、B、C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，则三内角的公差等于( )
A．0° B．15°
C．30° D．45°
[答案] A
[解析] ∵A、B、C成等差数列，则B＝60°.
又三边成等比数列，
∴b2＝ac，则有sin2B＝sinAsinC.
＝－[cos(A＋C)－cos(A－C)]，
即cos(A－C)＝1，∴A－C＝0°，
∴A＝C.又∵B＝60°，∴A＝B＝C＝60°，故选A.
4．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D．n2＋n
[答案] A
[解析] ∵a1，a3，a6成等比数列，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)，a1d＝4d2，∴d＝，
∴Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋n.
5．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )
A．1.14a B．1.15a
C．11×(1.15－1)a D．10(1.16－1)a
[答案] C
[解析] 本题是等比数列实际应用问题，考查建模能力和实际问题中求通项还是前n项和的区别能力．
设从去年开始，每年产值构成数列为{an}，则a1＝a
an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤5)，从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和应为S6－a1＝－a＝11×(1.15－1)a.
6．2＋4＋8＋…＋1024等于( )
A．2046 B．2007
C．1047 D．2046
[答案] A
[解析] 2＋4＋8＋…＋1024
＝(2＋4＋8＋…＋1024)＋(＋＋＋…＋)
＝＋＝211－2＋1－()10
＝2046＋＝2046＋＝2046.
7．等差数列{an}中，a1>0，若其前n项和为Sn，且有S14＝S8，那么当Sn取最大值时，n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
[答案] D
[解析] 解法一：∵S14＝S8，∴a9＋a10＋…＋a14＝0，
∴a11＋a12＝0，
∵S14＝S8，a1>0，∴d≠0.
故a11>0，a12<0，∴S11最大．
解法二：∵a1>0，S14＝S8，∴d<0.
∴点(n，Sn)是抛物线上的点，且抛物线的对称轴为n＝11，抛物线的开口向下，
∴n＝11时，Sn取最大值，故选D.
8．正项数列{an}满足a＝a＋4(n∈N*)，且a1＝1，则a7的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
[答案] B
[解析] ∵a＝a＋4(n∈N*)，
∴a－a＝4，又a1＝1，∴a＝1.
∴数列{a}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴a＝1＋4(n－1)＝4n－3.
∴a＝4×7－3＝25，
又a7>0，∴a7＝5.
9．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2010n＋t(t为常数)，则a1的值为( )
A．2008 B．2009
C．2010 D．2011
[答案] B
[解析] ∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2010n＋t，
∴a1＝S1＝2010＋t，a2＝S2－S1＝20102＋t－2010－t＝2009×2010，a3＝S3－S2＝20103＋t－20102－t＝2009×20102，又a1a3＝a，
∴(2010＋t)×2009×20102＝(2009×2010)2，
∴t＝－1，∴a1＝2010＋t＝2009.
10．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为( )
A．7或－3 B．log37
C．log27 D．4
[答案] C
[解析] 由已知得，2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)，整理得(2x)2－4·2x－21＝0，解得2x＝7，
∴x＝log27.
11．已知0A．等差数列 B．等比数列
C．各项倒数成等差数列 D．各项倒数成等比数列
[答案] C
[解析] ∵b2＝ac，∴＋＝logna＋lognc
＝logn(ac)＝lognb2＝2lognb＝.
12．把数列{2n＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…则第104个括号内各数之和为( )
A．2036 B．2048
C．2060 D．2072
[答案] D
[解析] 由观察会发现，每十个数都是一个循环，一个循环里有10个数组成，104个括号有26个小循环，则第104个括号内有四个数，则这四个数为数列3,5,7,9…的第257项，第258项，第259项，第260项，分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和为2072.
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
[答案] 15
[解析] 由等差数列的性质得，a3＋a8＝a5＋a6＝22，又a6＝7，a5＝22－7＝15.
14．已知数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
[答案]
[解析] a1＋a2＝5，b＝1×4，b2＝±2，
而b2是第三项，第一项和第五项都是正数，故b2＝2，
∴＝.
15．(2011·湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
[答案]
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
∴解得
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
16．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0, 则当n＝________时，Sn最大．
[答案] 8
[解析] ∵，
∴a8＞0而a1＞0，∴数列{an}是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n＝8时，Sn最大．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d.
[解析] ∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d，
又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，
∴
把(n－1)d＝－513代入②，得
n＋n·(－513)＝－1022，
解得n＝4，∴d＝－171.
18．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn＝2－2an ，n∈N*.求证：数列{an}为等比数列，并求通项an.
[证明] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－2a1，∴a1＝；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2－2an)－(2－2an－1)
＝2an－1－2an.∴＝.
故{an}是以 a1＝为首项，以q＝为公比的等比数列．
∴an＝a1qn－1＝()n.
19．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝1，S11＝33.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝()an.求证：{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.
[解析] (1)∵，∴，
∴，∴an＝.
(2)∵bn＝()＝，∴＝，∴{bn}是以b1＝为首项，为公比的等比数列，前n项和Tn＝＝1－.
20．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝1,3(a1＋a2＋…＋an)＝(n＋2)an，求通项an.
[解析] ∵3(a1＋a2＋…＋an)＝(n＋2)an，
∴3Sn＝(n＋2)an，
∴3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，两式相减，得
3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
∴(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2)．
∴＝，＝，＝，…，＝(n≥2)，将以上各式相乘，得
＝，又a1＝1，∴an＝.
又a1＝1满足上式，∴an＝(n∈N*)．
21．(本小题满分12分)设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项的和为Sn，且210S30－(210＋1)·S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项；
(2)求{nSn}的前n项和Tn.
[解析] (1)解法一：当q＝1时，S10＝10a1，S20＝20a1，S30＝30a1，
∴210S30－(210＋1)S20＋S10＝210·30a1－(210＋1)·20a1＋10a1
＝210·30a1－210·20a1－20a1＋10a1
＝10a1·210－10a1＝10a1(210－1)，
∵a1>0，∴10a1(210－1)≠0.∴q≠1.
由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0
得210 · －(210＋1) · ＋＝0，
∴210(1－q30)－(210＋1)·(1－q20)＋1－q10＝0，
∴210－210q30－210＋210q20－1＋q20＋1－q10＝0，
即q10(q10－1)(210q10－1)＝0，
∴210q10－1＝0，∴210q10＝1，∵q>0，∴q＝.
∴an＝a1qn－1＝·()n－1＝.
解法二：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得
210(S30－S20)＝S20－S10，
即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20.
可得210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20.
∵an>0，∴210q10＝1.解得q＝.
故an＝a1qn－1＝，(n＝1,2…)
(2)因为{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，
故Sn＝＝1－，nSn＝n－.则数列{nSn}的前n项和
Tn＝(1＋2＋…＋n)－， ①
＝(1＋2＋…＋n)－. ②
①－②，得
＝(1＋2＋…＋n)－＋
＝－1＋n＋，
即Tn＝－2＋＋.
22．(本小题满分14分)已知f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
[解析] (1)由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上得Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝1，满足上式．
所以an＝6n－5(n∈N*)．
(2)由(1)得
bn＝＝
＝，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝[1－＋－＋－＋…＋－]＝－<.
因此，使得<(n∈N*)成立的m必须且仅须满足≤，即m≥10，故满足要求的最小整数m＝10.
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