2022版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何章末总结课件新人教B版选择性必修第一册(72张ppt)
文档属性
| 名称 | 2022版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何章末总结课件新人教B版选择性必修第一册(72张ppt) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 5.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-09 09:53:19 | ||
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文档简介
(共72张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
章末总结
题型1 空间向量的运算
例1 （1） 如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，.求证：四边形是梯形.
[答案] 证明：，分别是边，的中点，
，，
则.
，
，且.
又不在上，故四边形是梯形.
（2） 已知正四面体的棱长为1，如图.求：①；②；③.
[答案] 在正四面体中，.
①.
②
=1+1-1+1-1=1.
③.
方法归纳
1.空间向量的线性运算包括加法、减法及数乘运算.选定空间中不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求.
2.空间向量的数量积：
（1）空间向量的数量积的定义表达式及其变形式是两个重要公式.
（2）空间向量的数量积的其他变形式是解决立体几何问题的重要公式，如，在上的投影的数量为等.
1. 如图，已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面对角线上的四等分点且靠近点，设，则____.
[解析] 连接，则为的中点，如图.
.
，，..
2. 在三棱锥中，棱、、两两垂直，且，如图.给出下列四个命题：
①；②；
③和的夹角为；
④三棱锥的体积为.
其中所有正确命题的序号为_________.
①②③
[解析] 设，因为棱、、两两垂直，所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、.
对于①，，所以，①正确；
对于②，，，则，②正确；
对于③，，，
，
因为，所以和的夹角为，③正确；
对于④，，，，则，
所以，
而三棱锥的体积，④错误.
题型2 利用空间向量证明平行、垂直问题
例2 在四棱锥中，，，底面，，为的中点．
（1） 求证：平面；
[答案] 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，.
证明：，易知平面的一个法向量为，，即，
又平面，平面.
（2） 平面内是否存在一点，使平面？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由．
[答案] 存在.，，假设平面内存在一点，使平面，则，.
设，则，
即，
，
在平面内存在一点，使平面.
方法归纳
利用空间向量证明空间中的位置关系：
线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量
线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直
线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示
线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题
面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即共线向量）；
②转化为线面平行、线线平行问题
面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题
续表
3. 如图，四边形为正方形，平面，，.
（1） 证明：平面平面；
[答案] 证明 如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意有，，，，则，，，所以，，即，.又，平面，故平面.
因为平面，所以平面平面.
（2） 证明：平面.
[答案] ，，则，，，则，，所以为平面的一个法向量．
因为，且，所以，又平面，故平面.
题型3 利用空间向量求空间角
例3 在四棱锥中，底面为矩形，底面，，直线与底面成角，点是的中点.
（1） 求异面直线与的夹角的余弦值；
[答案] 以为原点，的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，底面，为直线与平面所成的角，，，，，，，，.
，，
异面直线与的夹角的余弦值为.
（2） 求直线与平面所成角的正弦值；
[答案] ，，，设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则且，则，取，则，，.
[答案] 由（2）知平面的一个法向量为，即平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，易知，，，
则且，则，取，则则，
，
（3） 求二面角的余弦值.
，
∴二面角的余弦值为.
方法归纳
1.求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为，，那么这两条异面直线所成的角或，所以.
2.求斜线与平面所成的角：如图，设平面的一个法向量为，斜线的一个方向向量为，斜线与平面所成的角为，则.
3.求二面角的大小：如图，设平面，的法向量分别为，.因为两平面的法向量所成的角（或其补角）就等于平面，所成的锐二面角，所以.
4. 如图，三棱柱内接于圆柱，已知圆柱的轴截面为正方形，，点在轴上运动.
（1） 证明：无论在何处，总有；
[答案] 证明：如图，连接并延长，交于点，交圆柱侧面于点，连接，，
，，.
又在圆柱中，平面，且平面，，
又，平面，平面，
平面，无论在何处，总有平面，.
（2） 当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
[答案] 如图，建立空间直角坐标系，由（1）知轴，
设，则，
在中，，
从而.
，，，
，.
设平面的一个法向量为，则
取，得，易知平面的一个法向量为
，
故所求锐二面角的余弦值为.
题型4 利用空间向量求距离
例4 已知正方形的边长为1，平面，且，，分别为，的中点.
（1） 求点到平面的距离；
[答案] 建立以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，
，，分别为，的中点，
，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
则即，令，则，，，
∴点到平面的距离.
思路分析 （1）建立以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式即可得到答案.
（2） 求直线到平面的距离.
[答案] ，点到平面的距离，
，分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
直线到平面的距离等于点到平面的距离，
直线到平面的距离为.
思路分析（2）证得平面，利用直线到平面的距离等于点到平面的距离即可得到答案.
方法归纳
1.求两点间的距离的向量法主要是坐标法（易建系的）和基向量法（各基向量的模和夹角已知或可求），利用向量的模的定义求解.
2.利用向量求点线距离时，关键是利用向量的垂直，建立关于垂足坐标的方程，垂足的坐标要利用向量的共线用直线的方向向量表示，只设一个未知数即可.
3.用向量法求点面距离的步骤：
（1）建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；
（3）求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程
组，求出法向量；
（4）得答案：代入公式求得答案.
4.线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.
5. 如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面.
（1） 请确定点的位置，并说明理由；
[答案] 连接交于点，连接，如图，
则点为的中点.当为的中点时，在中，，又平面，平面，平面.
（2） 若是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
[答案] 以的中点为原点，所在直线为轴，在平面中，过点作的平行线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.
设，四棱锥的体积为，，解得．
，，
，，
.则，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
到平面的距离．
1. [2020课标Ⅲ理，19，12分] 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，.
（1） 证明：点在平面内；
[答案] 证明：在棱上取点，使得，连接、、、，如图.
在长方体中，且，且，
，，且，
四边形为平行四边形，，，四边形为平行四边形，则且，
同理可证四边形为平行四边形，
且，
且，则四边形为平行四边形，
点在平面内.
（2） 若，，，求二面角的正弦值.
[答案] 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由得，
取，得，则，
设平面的一个法向量为，
由，得取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为.
2. [2020课标Ⅰ理，18，12分] 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，.是底面的内接正三角形，为上一点，.
（1） 证明：平面；
[答案] 证明：设，由题设可得，，，.
因此，从而.
又故.
所以平面.
[答案] 过作交于点，因为平面，所以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，
，，
所以，，，
（2） 求二面角的余弦值.
设平面的一个法向量为，
由
得，
令，得，，
所以，设平面的一个法向量为
由，
得令，得，，
所以，故，
易知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
3. [2020新高考Ⅰ，20,12分] 如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为.
（1） 证明：平面；
[答案] 证明：在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以，所以，
因为平面，所以，所以，因为，平面，所以平面
（2） 已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
[答案] 如图，建立空间直角坐标系，
因为，所以，，，，，
设，则有，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值等于当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
4. [2020天津，17,15分] 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
（1） 求证：；
[答案] 证明：，，从而，所以.
[答案] 易知是平面的一个法向量，，.设为平面的一个法向量，则，
即.不妨设，可得.
则，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（2） 求二面角的正弦值；
（3） 求直线与平面所成角的正弦值.
[答案] 依题意，.由（2）知为平面的一个法向量，于是.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
第一章 空间向量与立体几何
章末总结
题型1 空间向量的运算
例1 （1） 如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，.求证：四边形是梯形.
[答案] 证明：，分别是边，的中点，
，，
则.
，
，且.
又不在上，故四边形是梯形.
（2） 已知正四面体的棱长为1，如图.求：①；②；③.
[答案] 在正四面体中，.
①.
②
=1+1-1+1-1=1.
③.
方法归纳
1.空间向量的线性运算包括加法、减法及数乘运算.选定空间中不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求.
2.空间向量的数量积：
（1）空间向量的数量积的定义表达式及其变形式是两个重要公式.
（2）空间向量的数量积的其他变形式是解决立体几何问题的重要公式，如，在上的投影的数量为等.
1. 如图，已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面对角线上的四等分点且靠近点，设，则____.
[解析] 连接，则为的中点，如图.
.
，，..
2. 在三棱锥中，棱、、两两垂直，且，如图.给出下列四个命题：
①；②；
③和的夹角为；
④三棱锥的体积为.
其中所有正确命题的序号为_________.
①②③
[解析] 设，因为棱、、两两垂直，所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、.
对于①，，所以，①正确；
对于②，，，则，②正确；
对于③，，，
，
因为，所以和的夹角为，③正确；
对于④，，，，则，
所以，
而三棱锥的体积，④错误.
题型2 利用空间向量证明平行、垂直问题
例2 在四棱锥中，，，底面，，为的中点．
（1） 求证：平面；
[答案] 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，.
证明：，易知平面的一个法向量为，，即，
又平面，平面.
（2） 平面内是否存在一点，使平面？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由．
[答案] 存在.，，假设平面内存在一点，使平面，则，.
设，则，
即，
，
在平面内存在一点，使平面.
方法归纳
利用空间向量证明空间中的位置关系：
线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量
线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直
线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示
线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题
面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即共线向量）；
②转化为线面平行、线线平行问题
面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题
续表
3. 如图，四边形为正方形，平面，，.
（1） 证明：平面平面；
[答案] 证明 如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意有，，，，则，，，所以，，即，.又，平面，故平面.
因为平面，所以平面平面.
（2） 证明：平面.
[答案] ，，则，，，则，，所以为平面的一个法向量．
因为，且，所以，又平面，故平面.
题型3 利用空间向量求空间角
例3 在四棱锥中，底面为矩形，底面，，直线与底面成角，点是的中点.
（1） 求异面直线与的夹角的余弦值；
[答案] 以为原点，的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，底面，为直线与平面所成的角，，，，，，，，.
，，
异面直线与的夹角的余弦值为.
（2） 求直线与平面所成角的正弦值；
[答案] ，，，设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则且，则，取，则，，.
[答案] 由（2）知平面的一个法向量为，即平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，易知，，，
则且，则，取，则则，
，
（3） 求二面角的余弦值.
，
∴二面角的余弦值为.
方法归纳
1.求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为，，那么这两条异面直线所成的角或，所以.
2.求斜线与平面所成的角：如图，设平面的一个法向量为，斜线的一个方向向量为，斜线与平面所成的角为，则.
3.求二面角的大小：如图，设平面，的法向量分别为，.因为两平面的法向量所成的角（或其补角）就等于平面，所成的锐二面角，所以.
4. 如图，三棱柱内接于圆柱，已知圆柱的轴截面为正方形，，点在轴上运动.
（1） 证明：无论在何处，总有；
[答案] 证明：如图，连接并延长，交于点，交圆柱侧面于点，连接，，
，，.
又在圆柱中，平面，且平面，，
又，平面，平面，
平面，无论在何处，总有平面，.
（2） 当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
[答案] 如图，建立空间直角坐标系，由（1）知轴，
设，则，
在中，，
从而.
，，，
，.
设平面的一个法向量为，则
取，得，易知平面的一个法向量为
，
故所求锐二面角的余弦值为.
题型4 利用空间向量求距离
例4 已知正方形的边长为1，平面，且，，分别为，的中点.
（1） 求点到平面的距离；
[答案] 建立以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，
，，分别为，的中点，
，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
则即，令，则，，，
∴点到平面的距离.
思路分析 （1）建立以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式即可得到答案.
（2） 求直线到平面的距离.
[答案] ，点到平面的距离，
，分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
直线到平面的距离等于点到平面的距离，
直线到平面的距离为.
思路分析（2）证得平面，利用直线到平面的距离等于点到平面的距离即可得到答案.
方法归纳
1.求两点间的距离的向量法主要是坐标法（易建系的）和基向量法（各基向量的模和夹角已知或可求），利用向量的模的定义求解.
2.利用向量求点线距离时，关键是利用向量的垂直，建立关于垂足坐标的方程，垂足的坐标要利用向量的共线用直线的方向向量表示，只设一个未知数即可.
3.用向量法求点面距离的步骤：
（1）建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；
（3）求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程
组，求出法向量；
（4）得答案：代入公式求得答案.
4.线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.
5. 如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面.
（1） 请确定点的位置，并说明理由；
[答案] 连接交于点，连接，如图，
则点为的中点.当为的中点时，在中，，又平面，平面，平面.
（2） 若是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
[答案] 以的中点为原点，所在直线为轴，在平面中，过点作的平行线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.
设，四棱锥的体积为，，解得．
，，
，，
.则，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
到平面的距离．
1. [2020课标Ⅲ理，19，12分] 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，.
（1） 证明：点在平面内；
[答案] 证明：在棱上取点，使得，连接、、、，如图.
在长方体中，且，且，
，，且，
四边形为平行四边形，，，四边形为平行四边形，则且，
同理可证四边形为平行四边形，
且，
且，则四边形为平行四边形，
点在平面内.
（2） 若，，，求二面角的正弦值.
[答案] 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由得，
取，得，则，
设平面的一个法向量为，
由，得取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为.
2. [2020课标Ⅰ理，18，12分] 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，.是底面的内接正三角形，为上一点，.
（1） 证明：平面；
[答案] 证明：设，由题设可得，，，.
因此，从而.
又故.
所以平面.
[答案] 过作交于点，因为平面，所以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，
，，
所以，，，
（2） 求二面角的余弦值.
设平面的一个法向量为，
由
得，
令，得，，
所以，设平面的一个法向量为
由，
得令，得，，
所以，故，
易知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
3. [2020新高考Ⅰ，20,12分] 如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为.
（1） 证明：平面；
[答案] 证明：在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以，所以，
因为平面，所以，所以，因为，平面，所以平面
（2） 已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
[答案] 如图，建立空间直角坐标系，
因为，所以，，，，，
设，则有，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值等于当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
4. [2020天津，17,15分] 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
（1） 求证：；
[答案] 证明：，，从而，所以.
[答案] 易知是平面的一个法向量，，.设为平面的一个法向量，则，
即.不妨设，可得.
则，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（2） 求二面角的正弦值；
（3） 求直线与平面所成角的正弦值.
[答案] 依题意，.由（2）知为平面的一个法向量，于是.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.