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第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.4 二面角
课 标 解 读 课标要求 素养要求
1.理解二面角和二面角的平面角的概念. 2.会用几何法和向量法求二面角的大小. 1.数学抽象——能在具体的几何图形中识别和作出二面角的平面角.
⒉数学运算——能利用空间向量求二面角的大小.
要点一 二面角
1.二面角的定义
平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个①_________，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的②_____， 这两个半平面称为二面角的面.
半平面
棱
如图所示，在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的③_________大小来度量， 即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为④___________.
平面角
直二面角
2.二面角和两个平面相交所成角的范围
二面角及其平面角的大小不小于，不大于.而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于且不大于9的角的大小.
1. 作二面角的平面角时，所取一点的位置不同，得到的平面角的大小相同吗？为什么？
提示 相同.在棱上取的点虽然不同，但是得到的二面角的平面角的边都是对应平行的，由等角定理可以知道，这些角的大小都是相同的.
2. 二面角的棱与平面是什么位置关系？
提示 垂直.
要点二 利用空间向量求二面角的大小
如图（1）（2）所示，可以看出或，特别地，⑤ ____________.
3. 如图所示，若、分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线（垂足分别为、） ，则二面角的大小与的夹角有什么关系？
提示.
4. 设二面角的平面角为，平面的法向量分别为，则与，有什么关系？
提示.
1.与二面角有关的面积运算
如图，设为二面角的半平面上的一点，当二面角是一个锐角时，其大小为，过点作半平面的垂线，过（或）作棱的垂线（或），连接（或），则.
2.关于二面角大小的求法
（1）根据二面角的定义，需要在两个半平面内作棱的垂线，由此得到二面角的平面角，此时，可用两条垂线的方向向量的夹角来求二面角的大小；
（2）根据面积比来求，需要求出射影三角形和原三角形的面积，然后作商得到二面角的平面角的余弦值；
（3）利用二面角的两个半平面的法向量来求，需要求出两个半平面的法向量，然后根据它们之间的关系，结合图形判断二面角的大小.
3.利用向量法求空间角的注意事项
利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角的取值范围的区别，特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，具体情况要看二面角是锐角还是钝角.
探究点一 几何法求二面角
例 （1） [2021山东日照高二联考] 第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.
它有四根33.3米高的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 依题意得“斗冠”的高为60.3-33.3=27米，
如图，米，米，
为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，，
而，，且在上单调递增，
所以，
所以，故选C.
（2） [2020湖北荆州中学高二期末] 如图，正方形沿对角线折叠之后，平面平面，则二面角的余弦值为( )
A. 2 B. C. D.
C
[解析] 设正方形的边长为，取的中点，连接，过作的平行线交于，连接.
因为平面平面，平面平面，，所以
平面，所以，又，，所以平面，所以，则二面角的平面角就是，因为，，所以，又，，所以，即，
所以，故选C.
解题感悟
利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明（或说明）所作角为什么是二面角的平面角，最后计算出二面角的平面角大小.作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）垂线法；（3）垂面法.
如图，正方体的棱长为1，分别为棱、的中点，则平面与底面所成角的余弦值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 在正方体中，平面，
分别为棱的中点，所以，所以平面，
所以，，所以就是平面与底面所成角的平面角，所以.
探究点二 利用面积的比求二面角
例 在正方体中，棱长为，，分别为棱，的中点，求平面与平面所成角的余弦值.
[答案] 如图，易知四边形为菱形.
平面，平面，平面，
正方形为菱形在平面内的射影.连接，，
易知，，，.
设平面与平面所成角的大小为，则，
即平面与平面所成角的余弦值为.
解题感悟
利用射影面积与图形面积比求二面角时，公式的意义：为二面角的大小，为在二面角的一个面内的图形的面积，为图形在另一个面内的射影的面积.当二面角为钝角时，此时二面角的大小为.
已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为3，，分别是侧棱和上的点，且，，则截面与底面所成角的余弦值为______.
[解析] 如图，设，
由已知可得，在中，，即，解得.
，.
设截面与底面所成角的大小为，则.
截面与底面所成角的余弦值为.
探究点三 利用空间向量求二面角
例 如图,四棱柱的所有棱长都相等,．
（1） 证明：底面;
[答案] 证明：易知四边形和四边形均为矩形,所以,
又所以
因为底面,所以底面.
（2） 若,求二面角的余弦值．
[答案] 因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形为菱形,所以,
又底面,所以两两垂直．
如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．
设四棱柱的棱长为2,因为,所以,
所以,易知平面的一个法向量为,所以平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为,则由得,
取,则,所以,
所以.
由图形可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
解题感悟
利用向量法求二面角的解题步骤如下：
如图,直三棱柱中,分别是的中点,.
（1） 证明：平面;
[答案] 证明：连接,交于点,则为的中点,连接,如图,
因为为的中点,所以又因为平面平面
所以平面.
（2） 求二面角的正弦值.
[答案] 设,由得,则
所以,又因为三棱柱为直三棱柱,所以以点为坐标原点,分别以所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图,
则,
所以,
设平面的一个法向量为,则所以
则令,得平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,则
所以 则 令 ,
则,则,所以,
所以二面角的正弦值为.
1. 三棱锥中,平面与平面的法向量分别为若,则二面角的大小为( )
A. B.
C. 或 D. 或
C
2. 在正方体中,点为的中点,则平面与平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
B
3. [2020陕西榆林绥德中学高二期末] 如图,正三棱柱中,各棱长都相等,则二面角的平面角的正切值为( )
D
A. B. C. 1 D.
4. 如图,在底面是一个直角梯形的四棱锥中,,,平面,则平面与平面所成角的余弦值为_____.
逻辑推理、数学运算——与二面角有关的探索性问题
如图,已知长方形中,为的中点.将沿折起,使得平面平面.
[答案] 证明：在长方形中,,为的中点,
.
平面平面,平面平面,
平面,
平面,平面,.
（1） 求证：;
（2） 在线段上是否存在点,使二面角的余弦值为？若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
[答案] 存在.理由：假设存在点,使二面角的余弦值为.
取的中点,连接,则,
平面平面,平面,取的中点,连接,两两垂直.
以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则
,
设 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则
即
得,取,则
所以,易知平面的一个法向量为,
所以,解得,所以为的中点时,二面角的余弦值为.
素养探究：（1）本题为与二面角有关的探究性问题,解决此类问题的基本方法是假设结论成立或对象存在,然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明;否则不成立,即不存在.
（2）利用空间向量的坐标运算,可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题．体现了逻辑推理和数学运算的核心素养．
1. 若平面的一个法向量为,平面的一个法向量是,则平面与所成的角等于( )
A. B. C. D.
D
2. 已知平面内有一个以为直径的圆,,点在圆周上（异于点）,点分别是点在,上的射影,则( )
A. 是二面角的平面角
B. 是二面角的平面角
C. 是二面角的平面角
D. 是二面角的平面角
B
3. 在边长为的正三角形中,于点,沿折成二面角后,,这时二面角的大小为( )
A. B. C. D.
C
4. 如图,在直三棱柱中,,为上一点．若二面角的大小为,则的长为( )
A
A. B. C. 2 D.
5. （多选）在正方体中,下列说法中正确的是( )
A.
B. 与所成的角为
C. 二面角的平面角为
D. 与平面所成的角为
ABC
[解析] 如图,对于,连接,则,故A中说法正确;
对于连接与所成的角为
为等边三角形,与所成的角为故B中说法正确;
对于平面平面
,平面平面平面平面,
是二面角的平面角,
是等腰直角三角形,故C中说法正确;
对于平面平面
是与平面所成的角,
故D中说法错误．
6. 一圆柱形容器,底面半径为1,高为3,里面装有一个小球,小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一平面,使得与小球恰好相切,则与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为( )
A. B. C. D.
D
7. 如图,在正四棱锥中,若的面积与正四棱锥的侧面积的比为,则侧面与底面所成的二面角为____.
[解析] 设正四棱锥的底面边长为,侧面与底面所成的二面角为,的高为,侧面的高为,
则即.
8. 如图,平面,则二面角的余弦值为_____.
9. 长方体中,.求：
（1） 二面角的大小;
[答案] 如图所示,过点作为垂足,连接,
由三垂线定理知,为二面角的平面角,
在中,,
.
又在中,二面角的大小为.
（2） 的面积．
[答案] 易知又
.
10. [2021辽宁朝阳高二月考] 如图,四棱锥中,,是的中点,平面.
（1） 求证：平面⊥平面;
[答案] 证明：,
由余弦定理得
,平面,
,平面,
平面,
平面,
平面平面.
（2） 求二面角的正弦值.
[答案] 以为坐标原点,过点且平行于的直线为轴,
]过点且平行于的直线为轴,所在直线为轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
由 , , 知 ,
则 ,
则
设平面的一个法向量为,则即
令可得,
设平面的一个法向量为,
则即
令可得
则二面角的正弦值为.
11. [2021北京四中高二期中] 分别是正三角形的边的中点,沿把正三角形折成的二面角（如图）,则的正切值为( )
A. B.
C. D. 以上答案均不对
B
[解析] 如图所示,取的中点,连接,交于点,连接.因为三角形为正三角形,所以,又点分别是的中点,
所以,所以,
因为平面,所以平面,则,所以.
所以二面角的平面角为,
又,所以为正三角形.
设正三角形的边长为,则,所以.
12. [2020山东德州第一中学高二月考] （多选）如图,在直三棱柱中,,是的中点,点在棱上且靠近若,则( )
BD
A.
B.
C.
D. 二面角的余弦值为
[解析] 依题意可知,所以以为原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则
,
所以
因为所以即
解得或（舍去）,
所以,则,故选项A不正确;
,故选项B正确;
因为
所以,故选项C不正确;
易知平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为又
则即
取,则,
所以,
显然二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为,故选项D正确.
13. 正三角形与正三角形所在平面垂直,则二面角的余弦值为_____.
[解析] 设是的中点,连接,根据面面垂直的性质定理可知平面,平面,所以两两垂直.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
设两个正三角形的边长为2,则,,.所以,.设平面的一个法向量为,则令,则,故.易知平面的一个法向量是.由图可知二面角为锐角,设为,则.即二面角的余弦值为.
14. 如图,在四面体中,.若为线段上的动点（不包含端点）,则二面角的余弦值的取值范围是___________．
[解析] 以的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
设点到平面的距离为,
则,
又,
∴ ,设 ,
易知平面 的一个法向量为 ,
设平面 的一个法向量为 ,
, , ,
则
令则平面的一个法向量为,
,
,即二面角的余弦值的取值范围是.
15. [2020江西景德镇一中高二期中] 已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中,四边形为边长等于2的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:
（1） 证明：平面平面;
[答案] 证明：设的中点为,连接.如图.
由题意,得,则.
因为在中,,为的中点,所以,
因为在,
所以.
因为,平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
（2） 若点在棱上运动,当直线BM与平面所成的角最大时,求二面角的余弦值.
[答案] 连接,由（1）知,,又,平面,所以平面,
所以是直线与平面所成的角,
且,
所以当最短,即是的中点时,最大,
因为平面,所以又,
于是以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
所以.
设平面的一个法向量为,
由得
令,得,即.
设平面 的一个法向量为 ,
由得
令,得,即.
则.
由图可知,二面角为锐角,故余弦值为.
16. [2020江苏扬州大学附属中学高二月考] 如图所示,正方形与梯形所在的平面互相垂直,,
（1） 当时,求证：平面;
[答案] 证明：取的中点,连接,如图.
当时,为的中点,又是的中点,且,
且,
且,
四边形是平行四边形,
,
平面平面,
平面.
（2） 若平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的值．
[答案] 四边形为正方形,
平面平面,平面平面平面,
平面,
又,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,
,
则,
设平面的一个法向量为,
则即
令,可得,
平面的一个法向量为,
易知为平面的一个法向量,
由题意可得,
即,
即,解得或,又,
.即当时,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
命题分析 本题以不规则几何体为载体,考查线面平行的证明和根据二面角的大小求参数值,同时考查学生运算能力和分析问题、解决问题的能力.
答题要领 （1）取的中点,连接、,证明出四边形为平行四边形,可得出,利用线面平行的判定定理可得出平面.
（2）证明平面然后以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,分别求出平面、平面的一个法向量,利用空间向量法可得出关于实数的等式,由此可解得实数的值.
方法感悟 利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应点的坐标;
（2）设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面,则直接取法向量即可）;
（3）计算两个法向量的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,
从而得到二面角的余弦(共62张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
第2课时 点到平面、直线到平面、平面到平面的距离
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离的概念. 2.能灵活运用向量方法求点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离. 1.数学抽象——能理解点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离的概念.
2.数学运算——会利用空间向量求解三种距离.
要点一 点到平面的距离
1.点到平面的距离
给定空间中一个平面及外一点,过可以作平面的一条垂线段,这条垂线段的长称为点到平面的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的①___________的长度.
最短连线
2.点到平面的距离的计算公式
一般地,若是平面外一点,是平面内一点,是平面的一个法向量,则点到平面的距离②_______.
要点二 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
1.相关概念
当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离;当平面与平面平行时,一个平面内③___________到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.一般地,与两个平行平面④___________的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
任意一点
同时垂直
2.计算公式
如图1所示,如果直线与平面平行,是平面的一个法向量,分别是上和内的点,则直线与平面之间的距离为⑤_______.
如图2所示,如果平面与平面平行,是平面的一个法向量（当然也是平面的一个法向量）,和分别是平面与平面内的点,则平面与平面之间的距离为⑥_______.
1. 棱长为2的正方体的顶点到平面的距离是多少
提示 2.
2. 当直线与平面平行时,直线上任意两点到平面的距离相等吗
提示 相等.
3. 棱长为1的正方体中,直线到平面的距离是多少 平面到平面的距离是多少
提示 都是1.
4. 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离有什么共同之处
提示 都是转化为点到平面的距离求解.
1.四种距离的关系
（1）定义法：这是常规方法,首先过点向平面作垂线,确定垂足的位置,然后将该线段放到一个直角三角形中,最后通过解三角形求得点到平面的距离.
（2）等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高,利用三棱锥转化底面求体积,从而求得点到平面的距离.
（3）向量法：这是我们常用的方法,利用向量法求解点到平面的距离的优点是不必经过严密的逻辑推理,只需借助空间向量计算即可.
2.点到平面的距离的三种求法
探究点一 点到平面的距离
例 [2021北京平谷第五中学高二月考] 已知四面体中,两两垂直,与平面所成角的正切值为,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示：
设,则,
.
所以.
设平面的一个法向量为,
则
令,得,故.
因为直线与平面所成角的正切值为,所以直线与平面所成角的正弦值为,即,解得. 所以平面 的一个法向量为 ,故B到平面 的距离 .
解题感悟
利用向量求点到平面的距离的一般步骤：
（1）建立空间直角坐标系.
（2）求出该平面的一个法向量.
（3）找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
（4）法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.
1. 已知平面的一个法向量为,点在平面内,则点到平面的距离为( )
A. B. C. 1 D.
A
[解析] 由题意知,则点到平面的距离,故选A.
2. [2021山东省实验中学高二期末] 如图所示,在长方体中,分别是的中点.
（1） 求证：平面;
[答案] 证明：分别取和的中点,连接,
则且且,
所以,且,
所以四边形是平行四边形,所以,
又平面平面
所以平面.
（2） 求到平面的距离.
[答案] 以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示：
则,
因为分别是的中点,
所以,
所以
.
设平面的一个法向量为,则
令,则,
所以,
设到平面的距离为,则.
探究点二 直线到平面的距离
例 在直棱柱中,底面为直角梯形,且是的中点,求直线与平面的距离.
[答案] 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 .
过点 作 的垂线交 于点 ,易得 ,
.
设平面 的一个法向量为 ,
则即,不妨取.
直线与平面的距离.
解题感悟
（1）求直线到平面的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.
（2）选择直线上任意一点时,一般选取相关线段的端点或已知的其他的点.
如图,已知长方体中,,则直线到平面的距离是( )
A. 5 B. C. D. 8
C
[解析] 且平面平面平面
从而点到平面的距离即为所求的距离.
以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则设则则设平面的一个法向量为
由得,
,
令则为平面的一个法向量.
又点到平面的距离.
探究点三 平面到平面的距离
例 已知正方体的棱长为1,求平面与平面间的距离.
[答案] 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,则.
设平面的一个法向量为,
则即
令,得.
点到平面的距离. 平面 与平面 间的距离等于点 到平面 的距离,
平面 与平面 间的距离为 .
解题感悟
（1）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可;
（2）求空间的各种距离的关键点是合理转化和准确计算.
[2020山东济南高二检测] 如图,在棱长为2的正方体中,是线段上的动点.
（1） 证明：平面;
[答案] 证明：在正方体中,平面平面平面.
[答案] 在正方体中,两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图所示,则 ,
,设向量
分别为平面 和平面 的一个法向量,
（2） 若点是的中点,求二面角的余弦值;
由取 则
同理 取 ,
则.
,又二面角的平面角为锐角,
二面角的余弦值为.
（3） 判断点到平面的距离是不是定值.若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
[答案] 由（1）知平面且在上,点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离,取点为的中点,由（2）知,平面的一个法向量为点到平面的距离点到平面的距离为定值.
1. 已知正方体的棱长为2,则到平面的距离为( )
A. B. 2 C. D.
A
2. 如图,正方体的棱长为1,是底面的中心,则点到平面的距离是( )
B
A. B. C. D.
3. 已知直线平面 ,平面的一个法向量为,平面内一点的坐标为(0,0,1),直线上一点的坐标为(1,2,1),则直线到平面的距离为_____．
4. 两平行平面分别经过坐标原点和点,且两平面的一个法向量都为,则两平面间的距离是_____.
1. 已知平面的一个法向量为,点在内,则到的距离为( )
A. 10 B. 3 C. D.
D
2. [2021北京四中高二期中] 在棱长为的正方体中,是的中点,则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
A
3. 四棱锥中,,则四棱锥的高为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
[解析] 设平面的一个法向量为.
则 即 不妨令 ,则 ,可得 .
易知点到平面的距离就是四棱锥的高,
则.
4. 若直线平面,则直线到平面的距离为_______．
5. [2021江苏江浦高级中学高二月考] 在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,则点到平面的距离为______.
[解析] 由题意,以C为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图.设 ,则 ,
所以 ,
因为点 在平面 上的射影是 的重心 ,
所以 平面 ,
所以,即,解得（负值舍去）,即,
则点到平面的距离．
6. 如图,空间几何体由两部分构成,上部分是一个底面半径为1,高为2的圆锥,下部分是一个底面半径为1,高为2的圆柱,圆锥和圆柱的轴在同一直线上,圆锥的下底面与圆柱的上底面重合,点是圆锥的顶点,是圆柱下底面的一条直径,是其中点,是圆柱的两条母线,是弧的中点.
（1） 求异面直线与所成角的余弦值;
[答案] 以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图.则 ,
则 ,
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
（2） 求点到平面的距离.
[答案]
设平面的一个法向量为,则
取,得,
点到平面的距离.
7. （多选）已知正方体的棱长为1,点分别是的中点,在正方体内部且满足,则下列说法正确的是( )
A. 点到直线的距离是
B. 点到平面的距离为
C. 平面到平面的距离为
D. 点到直线的距离为
BC
[解析] 如图,建立空间直角坐标系,则
.
所以 .
设 ,则 则 ．
故点A到直线的距离,故A中说法错误;
易知平面 的一个法向量为
则点 到平面 的距离 ,故B中说法正确;
.
设平面的一个法向量为,则所以
因为平面 平面 ,
所以平面 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,
所以平面到平面的距离为,故C中说法正确;
因为所以,又 ,所以 ,所以点 到直线 的距离 故D中说法错误.
8. 如图,在三棱柱中,底面为正三角形,且侧棱底面,底面边长与侧棱长都等于2,分别为的中点,则平面与平面间的距离为______.
[解析] 如图,连接,根据题意,底面,
则以为坐标原点,分别以所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
平面 平面
平面 与平面 间的距离即为点
到平面 的距离.
,
设为平面的一个法向量,则即
令,则.
点到平面的距离记为则,
平面与平面间的距离为.
9. 如图,棱长为4的正方体的顶点在平面内,平面与平面所成的二面角为,求顶点到平面的距离的最大值.
[答案] 详细解析 以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图.易知平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ,因为平面 与平面 成 角,
所以 ,所以
设则顶点 到平面 的距离
,
则顶点 到平面 的距离的最大值是 .
命题分析 本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离,考查空间向量夹角的余弦公式,同时考查了辅助角公式的应用和空间想象能力.
答题要领 建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,设出平面的一个法向量,根据三角换元,由空间中点到平面的距离公式,结合辅助角公式可得结果.
方法感悟 解答本题的关键有两个：
（1）观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;
（2）利用换元法把距离的最值问题转化为三角函数的最值问题.(共79张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.3 直线与平面的夹角
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念. ⒉能用向量语言表述直线与平面的夹角. 3.能用向量法求线面角. 1.数学抽象——能够在具体的几何图形中识别和作出直线与平面的夹角.
⒉数学运算——能用向量法求直线与平面的夹角.
要点一 直线与平面的夹角的概念
1.直线与平面的夹角的定义
如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为①______；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为②_____.
平面的斜线与它在平面内的③_______所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.
直线与平面所成的角也称为它们的夹角.
射影
2.直线与平面的夹角的性质
如图所示，设是平面的一条斜线段，为斜足，为在平面内的射影，而是平面内的一条射线，. 记，则④_____________.
平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
1. 一条直线和一个平面所成的角的余弦值可以是负值吗
提示 不可以.因为直线和平面所成的角的范围是，所以直线和一个平面所成的角的余弦值不能是负值.
2. 直线与平面所成的角的性质中的“最小”说明了什么
提示 说明了一条直线与一个平面所成的角是唯一确定的.
要点二 用空间向量求直线与平面的夹角
如图（1）（2）所示，可以看出或⑤___________.
特别地，.
3. 向量分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角是多少
提示 设与所成的角为，则..
1.直线与平面所成角的作法
已知斜线和平面（如图），过作，交平面于点，连接，令，则锐角就是直线与平面所成的角.
2.对直线与平面所成角的几点认识
（1）设在平面内的射影为，且直线与平面的夹角为，则．
（2）平面的法向量与所成的锐角的余角就是直线与平面所成的角.
探究点一 利用定义求直线与平面的夹角
例 如图，平面是矩形，平面，，，是线段上的点，是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
[答案] 过点作交于点.连接，如图.
平面，平面.
则为直线与平面所成的角.
，，，. ，，
，.
在中，，
.
解题感悟
利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：
①过斜线上的点向平面作垂线，连接垂足与斜足得射影，但要注意垂足的位置；
②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影.
如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小是____.
[解析] 如图所示.
取的中点连接，，易得，，
，，平面，
平面，
故为与平面所成的角.
易知在中，，，
，
.
探究点二 公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用
例 若，则与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 如图，设在平面内的射影为，连接，
，点在的平分线上，
，为与平面所成的角.
，
即，
.
解题感悟
公式在解题时经常用到，可用来求线面角.在应用公式时，一定要分清分别对应图形中的哪个角.
如图所示，已知平行六面体的底面是边长为的菱形，为菱形的中心，，，求证：平面.
[答案] 由题意可知，AC为的平分线，，且.，
直线在平面上的射影为直线，记，则.
，即点在平面上的射影为点，
平面.
探究点三 利用空间向量求直线与平面的夹角
例 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，分别为，的中点.
（1） 求与平面所成的角；
[答案] 如图所示，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，
则，，
设平面的一个法向量为，
由得取，则，，，
. 又，.
（2） 在线段上是否存在一点，使直线与平面的夹角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
[答案] 存在.设在线段上存在一点，使直线与平面的夹角为，
不妨设，，则，
所以解得即点的坐标为，所以，
又是平面的一个法向量，
所以，
化简可得，解得
（不符合题意，舍去），
即点的坐标为，
故在线段BD上存在一点，使直线与平面的夹角为.
解题感悟
用空间向量求直线与平面所成的角的步骤：
在正方体中，与平面所成角的大小为______.
[解析] 如图所示，连接，交于点，连接.
设正方体的棱长为.易证平面，
为在平面上的射影.
为与平面所成的角.
在中，，，
，，
即与平面所成角的大小为.
1. 已知向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则与所成的角为( )
A. B. C. D.
B
2. 正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
C
3. 正四面体中，棱与平面所成角的余弦值为_____.
数学运算——直线与平面夹角的最值或范围问题
1. [2020湖南师大附中高二月考] 如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是，的中点，点在棱上移动.
[解析] 思：解答本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立线面角的关系，从而通过数量关系进行说明，解题的难点是求直线和平面夹角的最值，常用的方法是利用函数的单调性或基本不等式求解.
（1） 证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；
[答案] 证明：连接，
底面为菱形，，为正三角形，
是的中点，∴①，又，，
平面，平面，，
，平面，②平面，
平面，平面平面.
（2） 当直线与平面所成的角最大时，确定点的位置.
[答案] 由（1）知，两两垂直，故以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
.
设，则，
则③.
设平面的一个法向量为，
则令，则，.
设直线与平面所成的角为，
则
，
当④时，最大，此时为的中点.
[解析] 审：本题中的几何体为底面是菱形的四棱锥，以此为载体证明面面垂直，以及求直线与平面夹角的最值.
联：（1）连接，得出和，即可证明平面，从而得出平面平面；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
1. [2021山东曲阜一中高二月考] 已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
B
2. 若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是( )
A. B.
C. D.
D
3. [2021辽宁瓦房店实验高级中学高二月考] 在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
D
4. [2020四川泸州高二联考] 如图，在三棱锥中，平面，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
A
5. 正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
C
6. （多选）正三棱柱中，，则( )
A. 与平面所成角的正弦值为
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 与侧面所成角的正弦值为
D. 与侧面所成角的正弦值为
BC
[解析] 取的中点，的中点，连接，则三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则.
.易知平面的一个法向量为，
与平面所成角的正弦值为
，错B对.
设的中点为，连接，易知，
易知侧面的一个法向量为，
与侧面所成角的正弦值为
，故C对D错.
7. 等腰直角三角形的斜边在平面内，若与成角，则斜边上的中线与平面所成角的大小为______.
[解析] 如图，过作平面，为垂足，连接，则为与平面所成的角，
由题意知.设，则，，易知，
，，即与平面所成角的大小为.
8. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，，.
求与平面所成角的大小.
[答案] 平面，为与平面所成的角，
在中，由余弦定理知，.
又，
.
又，.即与平面所成的角为.
9. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的动点.
（1） 证明：平面平面；
[答案] 证明：垂直于所在的平面，所在的平面，
，为直径，，
，平面，平面，平面.
又平面，平面平面.
（2） 若，，求直线与平面所成角的正弦值.
[答案] 如图，过作于点，连接，
由（1）知平面平面，平面平面，
平面，是直线与平面所成的角.
在中，，，，
在中，.
即直线与平面所成角的正弦值为.
10. 在正四棱锥中，侧棱与底面所成的角为，则侧棱所在的直线与底面的边所在的直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 如图，连接相交于点，连接，则平面，
记，，.
依题意得，，，
与所成角的余弦值为，
即侧棱所在的直线与底面的边所在的直线所成的角的余弦值为.
11. [2020山东临沂高二检测] （多选）将正方形沿对角线BD折成直二面角，下列结论中正确的有( )
A. 与所成的角为
B. 与所成的角为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 与平面所成角的大小为
BD
[解析] 取的中点，连接，则，
将正方形沿对角线折成直二面角，平面平面，
又平面平面，平面ABD，故平面.
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，.
则，
异面直线与所成的角为，故A中结论错误；
，，故B中结论正确；
设平面的一个法向量为，
则取，得，，
设与平面所成的角为，
则，故C中结论错误；
易知平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，则，，故D中结论正确.
12. 如图，在长方形中，，，是的中点，沿将向上折起，使成为，且平面平面.则直线与平面所成角的正弦值为_____.
[解析] 由题意得为等腰直角三角形，平面平面，
在平面内的射影在直线上，为直线与平面所成的角，，其正弦值为.
13. 如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，.若直线与平面所成的角为，则____.
2
[解析] 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.
则，设，则，
所以.
设平面的一个法向量为，
则即
则，令，得，所以，
所以.
因为直线与平面所成角的大小为，所以，
解得或（舍去），所以.
14. [2021山东德州一中高二期末] 如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，.
（1） 证明：平面；
[答案] 证明：连接，，如图，易知侧面为矩形，
为的中点，为的中点，
为的中点，.
平面，平面，
平面.
[答案] 连接，易知平面ABCD，故以D为原点，垂直于的直线为轴，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，，.
设平面的一个法向量为，
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
由得解得
令，得，.
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
15. [2020湖南衡阳第二十六中学高二期中] 如图所示，在直三棱柱中，，，，，点在线段上.
命题分析 本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角和直线与平面的夹角，以及空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.
（1） 若，求异面直线和所成角的余弦值；
[答案] 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，
，
，，
则，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
[答题要领] 建立空间直角坐标系.算出向量的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线与所成角的余弦值.
（2） 若直线与平面所成的角为，试确定点的位置.
[答案] 由（1）得，
，，
设是平面的一个法向量，则
取，得，，，
由直线与平面所成的角为，可得与所成的角为或，
，设点的横坐标为，则，
即
，
解得或，由在上可得，
即点为线段的中点.
[答题要领] 求出平面的一个法向量，结合题意可得与所成的角为或，设点的横坐标为，则，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，解出x的值，即可得到满足题意的点.
方法感悟 利用向量法求异面直线所成角和直线与平面所成角的两个注意点：
（1）求解过程中注意向量的坐标、向量的夹角公式、平面法向量的求法等运算的准确性；
（2）设动点的坐标时，要利用向量的共线.(共51张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
第1课时 两点间的距离、点到直线的距离、异面直线间的距离
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解点到直线的距离的概念. 2.能灵活运用向量方法求两点间的距离和点到直线的距离. 1.数学抽象——能理解点到直线的距离的含义.
2.直观想象——能利用空间向量求两点间的距离和点到直线的距离.
要点一 两点间的距离
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长,因为向量的长度表示的是向量的始点与①_______之间的距离,所以可通过向量来求空间中两点之间的距离.
终点
要点二 点到直线的距离
给定空间中一条直线及外一点,因为与能确定一个平面,所以过点可以作直线的一条垂线段,这条垂线段的长称为点到直线的②_______.点到直线的距离也是这个点与直线上点的③___________的长度.
距离
最短连线
1. 在空间中怎样求两点之间的距离
提示 利用向量法转化为求向量的模.
2. 如何求垂线段的长
提示（1）设为直线外一点,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,在已知直线上取一点,点满足两个条件:①,②.
（2）利用（1）中的两个等量关系求出的值,进而求出点的坐标,求出向量的模,即为点到直线的距离.
1.点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间中点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
2.异面直线间的距离可以转化为两点间的距离（公垂线段的长）或点到直线的距离.
3.用空间向量求点到直线的距离的方法：设出点在直线上的射影,利用垂直关系求出射影的坐标,转化为求向量的模,若设到直线的距离为,向量在向量上的投影的数量为则.
探究点一 空间中两点间的距离
1. 已知点和点,且,则实数的值是( )
A. 5或-1 B. 5或1 C. 2或-6 D. -2或6
A
[解析] ,解得或.
2. 从出发的光线,经平面反射后到达点,则光线所走过的路程为( )
A. 3 B. 4 C. D.
C
[解析] 由对称性知关于平面的对称点为,则光线所走过的路程为,故选C.
3. 在三棱锥中,平面平面,,,,,,则的长为( )
A. 8 B. 9 C. 11 D. 12
C
[解析] 建立以为原点的空间直角坐标系,如图. 则 , , ,
,故选C.
4. 如图,在三棱柱中,与相交于点,,则线段的长度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 易知四边形是平行四边形,
.
由题意可知, , ,即 .
解题感悟
计算两点间的距离的两种方法：
（1）利用,通过向量运算求,如求两点间的距离,一般用求解.
（2）用坐标法求向量的模（或两点间的距离）,求解的图形适宜建立空间直角坐标系时常用此方法.
探究点二 点到直线的距离
例
（1） 已知,则点到直线的距离为( )
A. B. 1 C. D.
A
[解析] ,
,
点到直线的距离
.
（2） 已知直三棱柱中,,求点到直线的距离.
[答案] 以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则所以.
设满足且
则 ,
又 ,
,
.
,点到直线的距离为.
变式. 若将本例（2）中的条件改为“正三棱柱的所有棱长均为2”,求点到直线的距离.
[答案] 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则
则
设 满足 且 ,
则
又,
, .
点 到直线 的距离为 .
解题感悟
用向量法求点到直线的距离的一般步骤：
方法一：利用空间向量找垂线段,再求模即可.
方法二：（1）建立空间直角坐标系;
（2）求直线的方向向量;
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的数量;
（4）利用勾股定理求点到直线的距离.
1. 在长方体中,,点分别是的中点,则点到直线的距离为______.
[解析] 以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
则
设点满足
且所以则,
由解得所以,
所以即点到直线的距离为.
2. 设为矩形所在平面外的一点,直线平面,,求点到直线的距离.
[答案] 因为平面,所以,
所以
因为四边形为矩形,所以,
所以
因为
所以在上的投影的数量为, 又 ,
所以点 到直线 的距离 .
探究点三 异面直线间的距离
例 已知四棱锥中,四边形为正方形,平面,且,求异面直线与间的距离.
[答案] 以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 ,从而
, 设向量满足
即所以可取.
在上取点,在上取点,,
所以异面直线与间的距离.
解题感悟、
求异面直线间的距离的方法：
（1）利用几何法,找两条异面直线的公垂线,通过解三角形求公垂线段的长.
（2）在两异面直线与上各取一点为与直线,都垂直的直线的方向向量,得到异面直线与间的距离.
在菱形中,,将菱形沿对角线折成直二面角,折起后,直线与间的距离为_______.
[解析] 设,在菱形中,,
折起后,,
二面角为直二面角,平面平面,
平面平面
平面
平面,
.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
在原菱形 中, ,
,
则
设,令 则
令,则.
又直线与间的距离.
1. 若为坐标原点,,则线段的中点到点的距离为( )
A. B. C. D.
D
2. 已知直线经过点,且向量所在直线与垂直,则点到的距离为_____.
3. 在正三棱柱中,若,则点到直线的距离为______.
1. [2020福建宁德一中高二月考] 已知空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为点,关于原点的对称点为点,则间的距离为( )
A. B. C. D.
C
2. [2021天津武清第三中学高二月考] 在棱长为1的正方体中,为的中点,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
C
3. [2020天津第五十五中学高二月考] 在单位正方体中,直线与之间的距离是( )
A. B. C. D.
B
4. 如图,平面平面与平面成角,则间的距离为____.
[解析] ,
.即间的距离为.
5. 已知正方体的棱长为,则直线与的距离为______.
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
设的公垂线的一个方向向量为
由得
令,则.
.
6. 四棱锥中,底面为矩形,平面,且与底面所成的角为,求点到直线的距离.
[答案] 平面即为与平面所成的角,
.
以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.
.
设存在点,使,且,
设,
.
,解得.
,故点B到直线的距离为.
7. [2021山东滕州第一中学新校高二月考] 在四棱柱中,底面是正方形,侧棱底面.已知为线段上的一个动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则
为线段 上的一个动点,
设 ,
则
故问题转化为求 的最小值问题,
即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题,如图所示.
由图可知,当 三点共线时, ,
故选B.
8. 已知正方体的棱长为1,动点在线段上,动点在平面上,且平面则线段长度的取值范围为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则
设
则
由 平面 知 且
所以 ,且 ,得 .
所以
当时,当或时,
所以.
9. 的顶点分别为,则边上的高的长为_______.
[解析] 由题意得,
,
边上的高
.
10. 如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小正方体构成）,正方形是上底面正中间的一个正方形,正方形是下底面最大的正方形,已知点是线段上的动点,点是线段上的动点,求线段长度的最小值.
[答案] 详细解析 以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.
则 所以 ,
设
则
.
则
当且时,取到最小值,所以线段长度的最小值为.
命题分析 本题以具体的几何体——三阶魔方为载体,考查空间中两点间的距离公式的应用,同时考查学生利用已有知识分析问题、解决问题的能力以及数学建模的核心素养.
答题要领 建立空间直角坐标系,写出点的坐标,求出的表达式,从而可得长度的最小值.
方法感悟 本题主要考查空间向量的应用,利用空间向量求解距离的最值问题时,一般是把目标式表示出来,结合目标式的特征,选择合适的方法求解最值.(共68张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.2 空间中的平面与空间向量
第1课时 平面的法向量及线面位置关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用向量语言描述平面,理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量. 2.能用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直. 1.数学抽象——能理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.
2.逻辑推理——会用向量法证明直线与平面平行、垂直.
要点一 平面的法向量
1.法向量的概念
如果是空间中的一个平面,是空间中的一个非零向量,且表示的有向线段所在的直线与平面①_______,则称为平面的一个法向量.此时,也称与平面垂直,记作②________.
垂直
2.法向量的性质
根据定义可知,平面的法向量有如下性质:
（1）如果直线垂直平面,则直线的③___________方向向量都是平面的一个法向量;
（2）如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个④_________都平行;
（3）如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即⑤____________,从而可知平面的位置可由和唯一确定.
任意一个
法向量
1. 零向量为什么不能作为平面的法向量
提示 因为平面的法向量是用来描述空间中平面的位置的,而零向量的方向是任意的,所以无法用零向量来描述空间中平面的位置,即零向量不能作为平面的法向量.
要点二 直线、平面垂直、平行的判定
如果是直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,则⑥_______;⑦_______________.
,或
2. 如果与平面共面且,那么就是平面的一个法向量吗
提示 当共线时,不一定是平面的一个法向量.
3. 若直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线与平面的关系是什么 若呢
提示 当时,,所以.
当时,因为,所以,所以,或.
1.平面法向量的确定通常有两种方法
（1）直接寻找：当几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.
（2）待定系数法：当几何体中没有具体的直线可以作为法向量时,根据已知平面内的两条相交直线的方向向量,可以建立空间直角坐标系,运用待定系数法求解平面的法向量.
2.求平面的法向量时,只需构建两个方程求解即可.这是因为根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意一条直线,所以法向量的坐标只要满足两个方程就可以了,从这个角度也可以说明一个平面的法向量有无数个,并且这些法向量都是平行的.
探究点一 求平面的法向量
1. [2021山东青岛二中高二月考] （多选)已知直线过点,且平行于向量,平面过直线与点,则平面的法向量可能是( )
A. (1,-4,2) B.
C. D. (0,-1,1)
ABC
[解析] 由题意可知,平面的法向量垂直于向量和向量,
.
选项A,,满足垂直,故正确;
选项B,,满足垂直,故正确;
选项C,,满足垂直,故正确;
选项D,,但,故错误.
2. 在三棱锥中,两两垂直,,,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面的一个法向量的是( )
A
A. B.
C. (1,1,1) D. (2,-2,1)
[解析] ,,设平面的一个法向量为
由得解得
．
又,平面的一个法向量为.
3. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,是的中点,求平面的一个法向量.
[答案] 建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意可得,则
.设平面的一个法向量为,则,所以取,则,故平面的一个法向量为.
解题感悟
利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量:设平面的一个法向量为.
（2）选向量:在平面内选取两个不共线的向量.
（3）列方程组:由列出方程组.
（4）解方程组:
（5）赋非零值:取其中一个为非零值（常取）.
（6）得结论:得到平面的一个法向量.
探究点二 利用空间向量证明线面平行
例 如图,在长方体中,,,点分别是的中点,求证：平面.
[答案] 证明 如图,以为原点,的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则
,
设平面的一个法向量为,则
令,解得.
又,
.
又平面平面.
解题感悟
利用向量证明线面平行问题的方法
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
（2）证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
（3）证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示,即用平面向量基本定理证明线面平行.
如图所示,正方体的棱长为分别为和上的点,且,证明：平面.
[答案] 证明 以为原点,的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
由于,故
则.
又平面所以为平面的一个法向量.
因为,所以,
又平面所以平面
探究点三 利用空间向量证明线面垂直
例 如图所示,在正方体中,分别是的中点.求证：平面.
[答案] 证明 设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
.
设平面的一个法向量为,
则令,得,
平面的一个法向量为,显然,
平面.
解题感悟
利用向量证明线面垂直的方法
1.证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量分别垂直.步骤：（1）求直线的方向向量;（2）求出平面内两相交直线的方向向量;（3）分别计算两组向量的数量积,得数量积为0.
1. 若直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则( )
A. B.
C. D. 与斜交
B
[解析] ,即.
2. 如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,底面,,分别为的中点.求证：平面.
[答案] 证明 以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设,其中,
则.
则.因为,所以.
又平面,平面,,所以平面.
1. [2021北京大兴第一中学高二期中] 若向量,,则平面的一个法向量为( )
A. (-1,2,-1) B. (1,2,1) C. (1,2,-1) D. (-1,2,1)
A
2. 如图,在正方体中,下列直线与平面平行的是( )
A. B. C. D.
B
3. 如果直线的一个方向向量是,且直线上有一点不在平面内,平面的一个法向量是,则( )
A. 直线与平面垂直
B. 直线与平面平行
C. 直线在平面内
D. 直线与平面相交但不垂直
B
4. [2020山东烟台一中高二检测] 已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,若,则______．
-16
逻辑推理—利用空间向量解决线面关系的探索性问题
1. 在四棱锥中,底面,底面为正方形,分别是的中点.
（1） 求证：;
[答案] 证明：由题意知,两两垂直.
所以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图.设,
则,所以,,
因为,所以,从而得.
（2） 在平面内是否存在一点,使平面？若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
[答案] 存在.
假设存在满足条件的点,
设,则,
若使平面,则,解得,
,解得,
所以点的坐标为,故存在满足条件的点,且点为的中点.
素养探究：本题考查应用空间向量解决线面的垂直问题,考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养（1）可建立空间直角坐标系,求的坐标,根据数量积等于0可证得结论;（2）要首先假设存在满足条件的点,用向量法证明线面垂直可得答案.
1. [2021江苏南京第十四中学高二月考] （多选）已知,则下列各向量中是平面（是坐标原点）的一个法向量的是( )
A. B.
C. (-15,4,36) D. (15,4,-36)
BD
2. 若直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则( )
A. B.
C. D. 与相交
C
3. 已知平面的一个法向量为,直线与平面相交但不垂直,则向量的坐标可以是( )
A. (-2,2,-2) B. (1,3,2) C. (2,1,-1) D. (1,2,3)
D
4. （多选）在正方体中,分别为的中点,则下列结论中正确的是( )
A. B. 平面
C. D.
BCD
[解析] 设正方体的棱长为1,以为原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
则.
,所以与不垂直,故A错误;
显然平面的一个法向量为,
所以平面故B正确;
,所以,故C正确;
,所以故D正确.
5. 平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,若,则_______.
0或2
6. 如图,在直三棱柱中,分别是的中点.
（1） 求向量的模;
[答案] 由题意知,两两垂直,以为原点,的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
分别为的中点,
,
则.
（2） 点是线段上一点,且,求证：平面.
[答案] 证明：由题意可知,,
设平面的一个法向量为,
则
令,
又平面.
7. 在三棱柱中,,是的中点,若是线段上一点,且平面,则点的坐标为( )
A. (0,1,2) B.
C. D.
A
[解析] 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,
则
由,得点的坐标为,
则 设平面的一个法向量为由可得
令 ,得 ,
所以 ,所以 ,解得 ,故点 的坐标为(0,1,2).
8. 如图,正方体的棱长为分别是上的点,如果平面,则与的长度之和为____．
1
[解析] 以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系（图略),设,则所以.又平面,所以,则,所以.
9. 如图所示,在直角梯形中,是的中点,分别为的中点,将沿折起,使得平面.请用向量法证明平面.
[答案] 证明 如图,以为原点,的方向为轴正方向建立空间直角坐标系,
则.
.
设平面的一个法向量为.
令,.
.又平面平面.
10. 如图,在底面是正方形的四棱锥中,平面是的中点.
（1） 求证：平面;
[答案] 证明：因为四棱锥的底面是正方形,且平面,所以两两互相垂直.
以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
因为分别是的中点,所以,
所以,
所以,且.所以,又平面,
所以平面.
（2） 在线段上是否存在点,使得平面？若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
[答案] 存在.理由：如图,假设在线段上存在点,使得平面.
设,则.
因为平面平面,
所以.所以.
所以在线段上存在点,使得平面.其中.
命题分析 本题以四棱锥为载体,应用空间向量解决线面垂直问题以及线面平行的探索性问题,体现了数与形的灵活转化,体现了向量在解决立体几何问题中的工具性.
答题要领 （1）以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,证出,且,根据线面垂直的判定定理证明.
（2）假设存在,利用线面垂直的定义证出即可.
方法感悟 本题重点考查了空间向量法求解立体几何中的位置关系问题,处理存在性问题的关键是假设成立,利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程,求得未知量.(共71张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.2 空间中的平面与空间向量
第2课时 面面的位置关系、三垂线定理及其逆定理
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用空间向量证明两平面的平行和垂直. 2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用. 1.数学运算——会利用空间向量证明平面与平面的平行和垂直关系.
2.逻辑推理——会利用三垂线定理及其逆定理解决线面、线线垂直问题.
要点一 平面与平面垂直、平行的判定
如果是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,那么① __________; 或与②_______.
重合
要点二 三垂线定理及其逆定理
1.射影的概念
已知空间中的平面以及点,过作的③_______,设与相交于点,则就是点在平面内的射影（也称为投影）.不难看出,当不是平面内的点时,如果的射影为,则与都是平面的一个④_________.
空间中,图形上所有点在平面内的射影所组成的集合,称为图形在平面内的射影.
垂线
法向量
2.三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：如果⑤_________的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影⑥_______.
垂直
平面内
1. 若平面的法向量分别为,则平面和有什么位置关系？若呢？
提示 当时,,所以,所以.
当时,所以或与重合.
2. 若直线是平面的斜线,直线垂直于在平面内的射影,则直线与垂直吗？
提示 不一定垂直.
3. 三垂线定理及其逆定理中共有哪些垂直关系？
提示 线面垂直,平面内的直线和平面的斜线垂直,平面内的直线和斜线的射影垂直.
1.对三垂线定理的说明
（1）三垂线定理描述了斜线、射影、平面内的直线之间的垂直关系;
（2）定理中的直线和斜线可以相交,也可以异面;
（3）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.
2.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足、斜足来确定的,应用三垂线定理证明线线垂直的一般步骤：
（1）找平面及其垂线;
（2）找射影;
（3）证明射影和直线垂直,从而得到直线与直线垂直.
探究点一 利用空间向量证明平面与平面平行
例 在三棱柱中,侧棱垂直于底面,在底面中,,是上一点,且平面为的中点,求证：平面平面.
[答案] 证明 如图所示,以点为原点建立空间直角坐标系,设,
则,设
所以,
设平面的一个法向量为,
则且
取则则
又因为平面所以
解得,
设平面的一个法向量为则且
取则则,
所以,所以,所以平面平面.
解题感悟
向量法证明面面平行
设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则.
如图,在四棱锥中,平面平面分别为的中点,证明：平面平面.
[答案] 证明 连接是等边三角形,
为的中点,,,为的中点,,
又平面平面,平面平面,平面平面,则以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
设,则,,,
设是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,
由得则,令,则,,
由得令,可得,,,
平面平面.
探究点二 利用空间向量证明平面与平面垂直
例 [2020山东日照高二期中] 如图,在四棱锥中,四边形为矩形,是以为直角的等腰直角三角形,平面平面.证明：平面平面.
[答案] 证明 取的中点,的中点,连接,则,
又平面平面,平面平面,
所以平面,又,所以.
则以点为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则,
所以,
设是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,
则由,得则,
令,则,即,
同理,则,令,可得,即.
因为,所以,所以平面平面.
解题感悟
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题;二是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.
如图所示,在直三棱柱中,为的中点,证明：平面平面.
[答案] 证明 由题意得两两垂直,所以以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
则.
设平面的一个法向量为,则即
令得
设平面的一个法向量为,
则即
令得
平面平面.
探究点三 三垂线定理及其逆定理的应用
例 如图,三棱锥中,平面,若分别是和的垂心,求证：平面.
[答案] 证明 如图,连接并延长交于点,则,连接.
连接并延长交于点,则.
连接并延长交于点,则.连接.
平面
（三垂线定理),点在上.
平面PAE,
平面,又平面,.①
平面（三垂线定理).
平面,
平面,又平面,
.②
又平面,
由①②,知平面.
解题感悟
（1）在证明线面垂直时,常常应用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直,可以使其过程简化.
（2）利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影.
如图所示,已知四棱锥的底面是直角梯形,,平面平面.求证：.
[答案] 证明 如图,取的中点,连接交于点,连接.
因为,所以.
又平面平面,平面平面平面,
所以平面,所以在平面内的射影为.
在直角梯形中,由,易知,
所以,即.
由三垂线定理的逆定理,得.
1. 若两个不同平面的法向量分别为,则
( )
A. B.
C. 相交但不垂直 D. 以上均不正确
A
2. [2020浙江温州第五十一中学高二期中] 平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则下列命题正确的是( )
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 以上都不对
B
3. 已知平面和平面的法向量分别为,且,则等于( )
A. -4 B. -8 C. 4 D. 8
A
4. 下列命题中正确的是( )
A. 若直线与平面外的一条直线在平面内的射影垂直,则
B. 若直线与平面外的一条直线垂直,则与在平面内的射影垂直
C. 若向量和直线在平面内的射影垂直,则
D. 若非零向量和平面平行,且和直线垂直,直线不与平面垂直,则垂直于在平面内的射影
D
1. 若平面平行,则下列可以是这两个平面的法向量的是( )
A.
B.
C.
D.
D
2. 已知两个不重合的平面与平面,若平面的一个法向量为,向量,则( )
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面、平面相交但不垂直
D. 以上均有可能
A
3. 已知平面的一个法向量是(2,3,-1),平面的一个法向量是,若,则的值是( )
A. B. -6 C. 6 D.
C
4. [2020山师附中高二检测] （多选）下列命题中是真命题的有( )
A. 直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则与垂直
B. 直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则
C. 平面的法向量分别为,则
D. 平面经过三点,向量是平面的一个法向量,则
AD
[解析] ,则,
直线与m垂直,故A正确;
,则,
则或,故B错误;
与不共线,不成立,故C错误;
点.
向量是平面的一个法向量,
即解得,故D正确.
5. [2021山东青州第一中学高二月考] 设平面与向量垂直,平面与向量垂直,则平面与的位置关系是_____________.
平行或重合
6. 如图,在直三棱柱中,是的中点.
求证：.
[答案] 证明 如图,连接,
易知
为直三棱柱,
又平面
平面由三垂线定理知.
7. 已知平面内的两向量且.若为平面的一个法向量,则的值分别为( )
A. -1,2 B. 1,-2 C. 1,2 D. -1,-2
A
[解析] ,
由为平面的一个法向量,
得解得
8. 如图,在长方体中,为的中点,为的中点.则与的位置关系为( )
A. 平行 B. 异面 C. 垂直 D. 以上都不对
C
[解析] 取的中点,连接,,（图略）,易知平面,
所以为在平面内的射影．
由题意得,所以,所以
由三垂线定理知.
9. 若正三棱锥的侧面互相垂直,则棱锥的高与底面边长之比为_______.
[解析] 设棱锥的高为,底面边长为1,为的中心,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
设平面的一个法向量为,
则即
令,则
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为,
则
即令,则,所以平面的一个法向量为,
由平面平面知
即解得（负值舍去）,
故高与底面边长之比为.
10. [2020山东济南高二期末] 如图,在三棱锥中,已知平面是边长为2的正三角形,分别为的中点.
（1） 若,求直线与所成角的余弦值;
[答案] 取的中点,连接,则.
以为坐标原点,过且与平行的直线为轴,所在直线分别为轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
易知,.
.
设直线所成角的大小为,则.
所以直线所成角的余弦值为.
（2） 若平面平面,求的长.
[答案] 设,则,.设平面的一个法向量为,
则令,则,则.
.
设平面的一个法向量为,
则
令则
则.
若平面平面,则,
即,解得（负值舍去）.
所以.
11. 如图1,在直角三角形中,.分别是的中点.现将三角形沿边折起,记折起后的点位于点的位置,且平面平面,如图2所示,点为边上的一点,且.
（1） 若平面,求的值;
[答案] 折叠前,直角三角形中,,是的中点,
所以.
折叠后,三角形为等边三角形,,
因为点为的中点,所以.
由平面,知,
直角三角形中,,所以,所以.
（2） 是否存在,使平面平面？若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
[答案] 不存在.理由：由平面平面,平面平面,知平面.
由（1）知,当时,,记此时点的位置为.
以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,作垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则.
故,
设平面的一个法向量为,
则
所以
令则.
设平面的一个法向量为,
则
所以
令,则.
要使平面 平面 ,则 ,即 ,化简得, ,由于 ,该一元二次方程无实数解,所以不存在 ,使平面 平面 .
命题分析 本题为立体几何中的折叠问题,体现了平面与空间的辩证统一,考查学生的运算求解能力和直观想象的核心素养,难度稍大.
答题要领 （1）根据题意,得到折叠前,折叠后,得出,求出,即可得出.
（2）先由平面平面,得到平面,由（1）得到,当时,,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,要使面面垂直,只需法向量的数量积乘积为零,列出方程求解,即可得出结果.
方法感悟 解答折叠问题时,要先充分地认识平面图形,并注意平面图形与立体图形的对照使用,分析折叠前后哪些位置关系发生了变化,哪些没有变化;哪些数量关系发生了变化,哪些没有变化,不变的要在平面图形中处理,变了的在立体图形中处理.(共67张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用向量语言描述直线,理解空间中直线的方向向量的意义及求法. 2.了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空间两条直线所成的角. 3.了解空间中两条异面直线的公垂线段. 1.数学抽象——能判定并求解直线的方向向量.
2.数学运算——会求两异面直线所成的角.
要点一 空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点的①___________，特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的②_______唯一确定.
位置向量
坐标
1. 点的位置为什么可以由向量唯一确定？
提示 因为一个向量和其起点、终点,三者中有两个确定了，第三个就确定了.
2. 直线的方向向量是唯一的吗？
提示 不唯一.
要点二 空间中的直线与空间向量
一般地，如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线的一个方向向量.此时,也称向量 与直线平行，记作③_______.
按照空间中直线的方向向量的定义可知：
（1）如果是直线上两个不同的点，则 就是直线的一个④___________
（2）如果是直线的一个方向向量，则对任意的实数，空间向量⑤_____也是直线的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量都⑥_______；
（3）如果为直线的一个方向向量，为直线上一个已知的点，则对于直线上任意一点，向量一定与非零向量平行，从而可知存在⑦_________实数，使得，这就是说，空间中直线的位置可由和点唯一确定；
方向向量
平行
唯一的
（4）如果是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则，或与重合.
3. 如果两直线的方向向量，那么这两直线重合的条件是什么？
提示 两直线有公共点
要点三 空间中两条直线所成的角
1.直线的方向向量的夹角与所成角的关系如图（1）（2）所示，可以看出或.
特别地，,.
2.两直线垂直的充要条件
⑧____________.
4. 若直线所成的角为，则直线的方向向量的夹角的值是什么？
提示或
5. 如何判断不共面？
提示 不满足共面向量定理.
要点四 异面直线与空间向量
1.直线,异面的充要条件
如果分别是空间中直线的方向向量，那么“不共面”是“与异面”的充要条件.
2.两条异面直线的公垂线段
一般地，如果与是空间中两条异面直线,,则称为与的公垂线段,空间中任意两条异面直线的公垂线段都⑨_______________.两条异面直线的公垂线段的⑩_____，称为这两条异面直线之间的距离.
存在并且唯一
长
1.在空间中,一个向量成为直线的方向向量,必须具备以下两个条件：
（1）是非零向量;（2）向量所在的直线与直线平行或重合.
2.与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量,且直线的方向向量有无数个.
3.求直线的方向向量,就是找与平行的任意非零向量,因此可以在直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量就是直线的一个方向向量,也可以在与直线平行的直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量也是直线的一个方向向量.
探究点一 求直线的方向向量
1. （多选）如图,在正方体中,为棱上不与,重合的任意一点,则能作为直线的方向向量的是( )
A. B. C. D.
ABD
[解析] 由定义知,一个向量对应的有向线段所在的直线与直线平行或重合,则这个向量就称为直线的一个方向向量.
2. 若,在直线上,则直线的一个方向向量为( )
A. (1,2,4) B. (1,4,2) C. (2,1,4) D. (4,2,1)
A
[解析] 由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,是直线的一个方向向量.
3. 已知直线的一个方向向量,且过和,则______，____.
[解析] 由题意可得,,
,
解得.
解题感悟
对直线方向向量的两点说明
（1）方向向量的选取：在直线上任取两点,可得到直线的一个方向向量.
（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量．解题时,可以选取坐标最简的方向向量.
探究点二 利用直线的方向向量解决平行、垂直问题
类型1 利用直线的方向向量解决平行问题
例1 如图,在平行六面体中,是的中点,求证：平面.
[答案] 证明 设,,，
则,,.
设存在实数,使得成立，
则.
不共线,∴
解得
,即向量共面.
向量不在所确定的平面内,平面.
类型2 利用直线的方向向量解决垂直问题
例2 已知正三棱柱的各棱长都为1,若侧棱的中点为,求证：.
[答案] 证明设的中点为,作,连接,以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,,
,
,即.
变式 在本例2中，若为的中点,连接,证明:直线.
[答案] 证明 由例2的解析,易知.
所以,所以,所以,即.
解题感悟
向量法判定直线平行.
分别为与的一个方向向量.
（1）或与重合.
（2）与不平行与不平行.
（3）.
（4）与不垂直与不垂直.
1. 已知三条直线的一个方向向量分别为,则( )
A. ,但与不垂直
B. ,但与不垂直
C. ,但与不垂直
D. ,两两互相垂直
A
[解析] 因为
所以与不垂直,.
所以,但不垂直于，故选A.
2. 如图,在平行六面体中,分别是的中点.
求证：平面平面.
[答案] 证明 设,,,则,,,故,即,
平面，平面，平面.
又，
即,平面，平面,平面.
又平面,
平面平面.
探究点三 异面直线所成角及其应用
例 （1） [2021山东聊城一中期中] 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图）,其中四边形为矩形,,若,和都是正三角形,且,则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 如图,以矩形的中心为原点,的方向分别为轴、轴正方向,作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系,
由题意可知,平面,且直线是线段的垂直平分线.设,则则,所以,所以,所以,所以异面直线与所成的角为.
（2） 在三棱锥中,平面,点分别为的中点,,为线段上的点,使得异面直线与所成角的余弦值为,则为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 如图，在三棱锥中，
,
平面,以为原点,所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系,
可知
，
，则,设,且,,则,
可知,
,
异面直线与所成角的余弦值为,解得或（舍去）,.
解题感悟
异面直线夹角的计算问题,常用以下方法
（1）向量法：建立空间直角坐标系,结合向量的夹角公式求解;
（2）平移法,将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解;
（3）补形法：通过补形（一般是补一个相同的几何体）将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解.
1. [2020江苏徐州高二期中] 在长方体中,,,设交于点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
因为,所以
设直线与所成角的大小为，则
.
2. 如图,在直三棱柱中，，点是棱上一点,且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为____.
1
[解析] 设，则,
易知.
，
因为异面直线与所成角的余弦值为，所以.解得 .
所以 .
1. 设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则实数的值为( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
B
2. 设都是直线l的方向向量,则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 与同向
D. 与有相同的位置向量
A
3. [2020重庆一中高二期末] 在三棱锥中,底面,是的中点,已知,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
A
1. 若两条不重合直线和的方向向量分别为,则和的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
A
2. 若异面直线 的方向向量与的方向向量的夹角为，则与 的夹角为 ( )
A. B.
C. 或 D. 以上均不正确
A
3. [2021天津第四十二中学高二月考] 已知向量分别是直线、的方向向量,若,则( )
A. B.
C. D.
D
4. 如图,是正方体的棱的中点.是上一点，若，则( )
A. B.
C. D. 与重合
A
5. [2020江西临川一中高二期中] 已知在正方体中,点为棱的中点,则直线与体对角线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D. 0
A
6. 已知向量.若
平面,则的值是____.
5
7. [2020江苏如皋中学高二月考] 在直三棱柱中，,
，则异面直线与所成角的余弦值为_____.
8. 在长方体中，是面对角线上一点，且.
（1） 求证：；
[答案] 如图,建立空间直角坐标系,
依题意得
证明：设,则,
.
.
（2） 设异面直线与所成角的大小为，求的值.
[答案]
.
9. 已知点点满足条件,则点的坐标为( )
A. (2,1,-1)
B. (-1,-1,-1)或
C.
D. (1,1,1)或
D
[解析] 设则
.①
.②
,
.③
由①②③，解得或.
10. 已知四面体的各棱长均为1,是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
C
[解析] ，且，故异面直线BD与所成角的余弦值为.
11. （多选）如图所示,在正方体中，分别在上，且，则( )
至多与其中之一垂直
B.
C. 与相交
D. 与平行
BD
[解析] 如图,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为3,则，
，
,
.
,
.
12. 已知空间四边形中,点为的中点,点为的中点,点为的中点,点为的中点,若.求证：.
[答案] 证明 设.
因为,,
所以,
.
所以
因为，所以，所以.即.
13. 在正方体中，动点在线段上（包括，两端点）,分别为中点.若异面直线与所成的角为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
A
命题分析 本题以正方体为载体,考查利用空间向量法解决异面直线所成角的取值范围问题,同时考查学生的运算求解能力.
答题要领 建立恰当的空间直角坐标系,根据动点在线段上（包括，两端点），利用共线向量的性质设出动点的坐标，可得的函数表达式，进而可求的取值范围.
详细解析 以为原点,的方向分别为轴，轴,轴正方向建立空间直角坐标系（图略）,
设,则,
所以．设，则
则,即,
当时,取到最大值,当时,取到最小值,
又，
所以的取值范围为.
方法感悟 求解异面直线所成角的范围有两个关键点：
一是利用共线向量基本定理设出动点的坐标;
二是根据异面直线所成角的余弦值的范围求解,其方法一般应用函数的性质或应用基本不等式.
