(共54张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解空间直角坐标系. 2.会求空间中点的坐标，两点间的距离以及两点所连线段的中点坐标. 3.掌握空间向量坐标的简单应用. 1.直观想象——能根据具体的几何图形建立适当的空间直角坐标系，并能写出相关点的坐标.
2.数学运算——能应用空间向量坐标运算解决中点坐标、距离、夹角等问题.
要点一 空间直角坐标系的建立
1.空间直角坐标系
在空间中任意选定一点作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系，然后过作一条与平面① _______ 的数轴轴.这样建立的空间直角坐标系记作② ________.
垂直
2.空间直角坐标系的相关概念
在空间直角坐标系中，轴、轴、轴是两两互相③ _______ 的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为④ _______ 平面、⑤ _______ 平面、⑥ _______ 平面.
垂直
3.轴正方向的确定
轴的正方向一般按照如下方式确定：在轴的正半轴看平面，轴的正半轴绕点沿⑦ _________ 方向旋转能与轴的正半轴重合.
逆时针
要点二 空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标
1.点的坐标
空间一点的位置完全由有序实数组⑧ _________ 确定，因此将称为点的坐标，记作⑨ ___________ .此时，都称为点的坐标分量，且⑩ ____ 称为点的横坐标（或坐标）， ____ 称为点的纵坐标（或坐标）， ____ 称为点的竖坐标（或坐标）.
2.向量的坐标
在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量的 _______ 都在原点，且它们的方向分别与轴、轴、轴的 _________ 相同，则是单位正交基底，且向量的坐标与点的坐标相同，即；
反之，如果为 _______________ ，则任意选定一点作为原点，并使得轴、轴、轴的正方向分别与的方向相同，则可以建立空间直角坐标系，而且其中向量的坐标与点的坐标仍然相同.
单位正交基底
始点
正方向
要点三 空间向量坐标的应用
1.空间直角坐标系中向量的坐标与两点间的距离公式
事实上，设为空间直角坐标系中的两点，则，，所以 _________________________ ，因此.
2.空间直角坐标系中的中点坐标公式
设线段的中点为，则，又因为，所以的坐标为.这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式.
1. 如果点在轴的正方向上离原点的距离是2，那么点的横坐标是什么？
提示 2.
2. 如果点在轴的负方向上离原点的距离是2，那么点的纵坐标是什么？
提示 -2.
3. 如果点的坐标为(2,3,-3)，那么点到平面的距离是什么？
提示 3.
4. 空间直角坐标系中一个向量的坐标表示唯一吗？
提示 空间中一个向量的坐标因建系不同而不同，但只要坐标系确定了，向量的坐标表示一定唯一.
5. 已知空间两点，那么的中点的坐标是什么？
提示 (0,2,-1).
1.要确定空间中点的坐标，就必须先建立空间直角坐标系，确定空间中点的坐标常用的方法如下：找到点在三条坐标轴上的投影.即过点作三个平面分别垂直轴、轴、轴于三点（即为点在三条坐标轴上的投影），点在轴、轴、轴上的坐标分别为，则就是点的坐标.
2.空间中两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广，公式的推导方法就是通过构造辅助平面，将空间问题转化到平面中来处理.
探究点一 空间直角坐标系
例 设正四棱锥的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求点及的坐标.
[答案] 如图所示，建立空间直角坐标系，其中为底面正方形的中心，轴，轴，在轴上.
，而均在平面上，.
在平面内，与关于原点对称，与关于原点对称，
.
又，在中，，
.
解题感悟
如图，在直三棱柱中，，，，分别为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求点，，，，的坐标.
[答案] 由题意可设，以，即为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示.
点在轴上，且，，点的坐标为(0,1,0).
同理可得点的坐标为(0,0,2).
点在轴，轴，轴上的射影分别为，
点的坐标为(0,1,2).
同理可得点的坐标为，点的坐标为(1,0,1).
探究点二 空间向量坐标的应用
类型一 空间向量的坐标表示
例1 （1） 在空间直角坐标系中，已知点的坐标为(-1,2,1)，点的坐标为(1,3,4)，则( )
A. B.
C. D.
C
[解析] .
（2） 已知，若，则的坐标是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] ，，的坐标是.
（3） 已知点，则线段的中点坐标为___________.
(4,0,-1)
[解析] 设中点坐标为，则，，，所以线段的中点坐标为(4,0,-1).
类型2 空间向量坐标的应用
例2 在棱长为1的正方体中，分别是的中点.
（1） 求证：；
[答案] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，，，.
证明：因为，所以.
（2） 求与的夹角的余弦值；
[答案] 因为，
，，
所以.
[答案] .
变式 本例的条件不变，证明.
[答案] 证明 由本例的解析可知，，
所以，所以，所以.
（3） 求的长.
解题感悟
（1）若存在坐标系，则根据几何体的结构特征写出相关点的坐标，进而得向量的坐标，利用向量的坐标运算求夹角和距离问题.
（2）若不存在坐标系，则要结合几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后，按照（1）求解即可.
1. 已知，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
A
[解析] 因为，
所以，
，
，
所以，所以是等腰三角形.
2. 已知，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 设与的夹角为，由题意，得，
，
又，.
3. 在长方体中，，，点在上，，点在上且为的中点，求两点间的距离.
[答案] 如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，设，由，可得，
即解得
则.由为的中点，可得.
.
1. 已知，若，则点的坐标为
( )
A. (-1,3,-3) B. (9,1,1) C. (1,-3,3) D. (-9,-1,-1)
B
2. 已知，则等于( )
A. B. C. D.
A
3. 在空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是___________.
(4,-1,0)
4. 已知，若，则____.
1
1. 如图，正方体的棱长为1，以棱所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则的中点坐标为( )
D
A. B.
C. D.
2. [2021山西大同高二期末] 在空间直角坐标系中，设A（1，2，a），B（2，3，4），若|AB|=3，则实数a的值是( )
A. 3或5 B. -3或-5 C. 3或-5 D. -3或5
A
3. 已知，为原点，则与的夹角是( )
A. 0 B. C. D.
B
4. [2020云南昆明高二检测] 已知空间四点共面，则的值为( )
A. 4 B. 1 C. 10 D. 11
D
[解析] ，
因为共面，所以共面，所以存在，使，
即，所以.
所以
5. [2021山东威海高二检测] 已知点是正方体的棱的中点，如图.给出以下结论：
①；②；③；④.
其中正确结论的序号是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
C
6. （多选）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是( )
A. 点(-2,1,4)关于轴对称的点的坐标为(2,1,4)
B. 到(1,0,0)的距离小于1的点的集合是
C. 点(1,2,3)与点(3,2,1)所连线段的中点坐标是(2,2,2)
D. 点(1,2,0)关于平面对称的点的坐标为(-1,2,0)
BCD
[解析] 由题意可得，且，
所以，
，所以，选C.
7. 已知向量，，，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
C
8. [2021辽宁沈阳高二期末] 在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，则，，由可得，
，从而可得，
当时，，
当时，，当时，，故的取值范围为.
9. 如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为( )
A
A. (1,1,1) B.
C. D. (2,2,2)
10. 已知正三棱柱，底面边长，，点，分别是边的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
（1） 求三棱柱的侧棱长；
[答案] 设侧棱长为，则，，，，，
所以，.
因为，所以，解得（负值舍去），故三棱柱的侧棱长为.
[答案] 因为为的中点，所以.
（2） 为的中点，试用基向量表示向量；
[答案] 由（1）知，，
因为，，
，所以.所以与的夹角的余弦值为.
（3） 求与的夹角的余弦值.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，在棱上是否存在一点，使得，同时成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
[答案]建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设，则，
因为，，所以，.
所以解得，即为的中点.所以存在点，使得同时成立.
命题分析 本题属于向量垂直的充要条件的逆用问题，即探索性问题，意在考查学生利用空间向量及空间坐标系分析问题、解决问题的能力.
答题要领 建立适当的空间直角坐标系，设出点的坐标，利用，构建方程组，若该方程组有解，则存在点；若无解，则不存在.
方法感悟 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.(共62张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标及运算
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解空间向量坐标的概念. 2.掌握空间向量的线性运算的坐标表示，掌握空间向量数量积的坐标表示. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题. 1.数学抽象——能利用空间向量基本定理及空间向量的正交分解得到空间向量坐标的概念.
2.数学运算——能利用空间向量的坐标解决空间向量的模、夹角，以及向量的平行和垂直问题.
要点一 空间向量的正交分解与坐标表示
一般地，如果空间向量的基底中，都是①___________，而且这三个向量②___________，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且如果，则称有序实数组③_________为向量的坐标，记作，其中都称为的坐标分量.
单位向量
两两垂直
1. 单位正交基底唯一吗？
提示 不唯一，只要都是单位向量，并且两两垂直，就是单位正交基底.
2. 若是单位正交基底，向量，则的坐标是什么？
提示 (2,-1,3).
要点二 空间向量的坐标运算
1.向量的线性运算
. 类似地，可以得出，如果，是两个④_______，那么.
2.向量的数量积
.
3.向量的模
实数
.
4.向量的夹角
当且时，由向量数量积的定义可知.
3. 已知向量，，则的坐标是什么？
提示 (-1,7,9).
4. 已知，则是什么？
提示.
5. 已知向量，，则与的夹角是多少？
提示.
要点三 空间向量的平行与垂直的坐标表示
当时，⑤_________
更进一步，当的每一个坐标分量都不为零时，有.
而且.
6. 已知，，若，则的值是什么？若呢？
提示时，；时，.
1.单位正交基底的特点
（1）位置：三个向量两两垂直.
（2）模长：每个向量的模都等于1.
（3）记法：一般记作等.
2.对空间向量坐标运算的两点说明
（1）类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算与平面向量的类似，学习中可以类比推广，推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即.而在空间中则表示为.
（2）运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.
探究点一 空间向量的坐标运算
1. 已知向量，，则等于( )
A. (16,0,4) B. (8,-16,4) C. (8,16,4) D. (8,0,4)
D
[解析] .
2. 若向量满足，，则等于( )
A. 5 B. -5 C. 7 D. -7
B
[解析] ，，，，.
3. 已知，，求，，.
[答案] .
.
，.
解题感悟
1.空间向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则、数量积坐标公式解决.
（2）对已知条件中的向量等式转化而得到所求的向量等式，先将其坐标化，然后利用坐标运算列方程或方程组求解有关未知数.
2.数量积坐标运算的技巧
进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系：，，.
探究点二 空间向量的模、夹角
类型1 空间向量的模
例1 （1） 若向量，，则( )
A. B. C. 3 D.
D
[解析] 向量，，所以.
故.
（2） 已知，则的最小值为( )
A. B. C. 2 D. 不存在
B
[解析] 因为，
所以，
当时，有最小值，为.
类型2 空间向量的夹角
例2 （1） 已知，则向量与向量的夹角是( )
A. B. C. D. 不能确定
C
[解析] 由已知得，，
则，故两个向量的夹角为，故选C.
（2） [2020江西赣州高二期末] 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是___________________.
[解析] 由题意可知
且，
解得且，
即.
解题感悟
1.求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.
（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有.
2.利用数量积求两向量的夹角的步骤
1. [2021河南洛阳高二期末] 已知，若与的夹角为，则的值为( )
A. B. C. D.
B
[解析] ，，，，，，可得，解得.
2. （多选）已知向量，，，下列等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
BCD
[解析] .左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边，右边，左边=右边，正确；C.，左边，右边，左边=右边，正确；.由可得，左边，，，左边=右边，正确.故选BCD.
探究点三 空间向量的平行与垂直
例 （1） （多选）已知向量，则( )
A. B. C. D.
AD
[解析] 因为，
所以；
因为，所以.
（2） 已知.
① 若，分别求与的值；
[答案] ，，
解得.
[答案] ，解得或.①
，即，解得.②
由①②得，，故.
② 若，且与垂直，求.
[答案] 因为，所以，即，
所以.
所以的最大值为.
变式 在本例（2）中，若，求的最大值.
解题感悟
1.向量平行与垂直的判断
直接利用空间向量的坐标运算公式判定.
2.向量平行与垂直的应用
（1）适当引入参数（比如向量平行，可设），建立关于参数的方程.
（2）选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
1. 已知向量，且，那么( )
A. B. 6 C. 9 D. 18
A
[解析] 根据题意得，
则，则，
故.故选A.
2. 已知，，且，则为
( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 因为，，，
所以，
即，
所以，即.
1. （多选）与向量共线的向量坐标是( )
A. (2,0,-4) B. (0,3,-6)
C. (1,1,-2) D.
BD
2. 已知向量，且与垂直，则( )
A. B. C. D.
B
3. 已知向量，，则与的夹角为( )
A. 0 B. C. D.
C
数学运算——空间向量的坐标运算中的最值问题
已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.
D
[解析] ，，，
.
设，则，，.
设，则，即，，
∴当时，取得最大值，为.故选D.
素养探究：本题把向量的夹角的余弦值问题最终转化为三角函数的最值问题，其中对于较复杂的函数要通过换元法转化为简单的常规函数再求解，体现了数学运算的核心素养.
1. 已知为原点，，则等于( )
A. (2,-4,2) B. (-2,4,-2) C. (-2,0,-2) D. (2,1,-3)
A
2. 已知向量，则( )
A. 6 B. 7 C. 9 D. 13
C
3. [2020山东临沂高二期中检测] 若，则( )
A. B. C. D.
C
4. 已知空间向量，且，则( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
C
5. （多选）已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
ACD
6. [2021山东聊城二中月考] 已知，若与为共线向量，则( )
A. B.
C. D.
D
7. 向量，若，且，则的值为
( )
A. -3 B. 1 C. 3或1 D. -3或1
D
8. [2020四川成都石室中学月考] 已知向量，，，若，则的值为( )
A. -2 B. 2 C. -6 D. 6
C
9. 设，向量，且，，则的值为( )
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
A
10. （多选）已知向量，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 不存在实数，使得
D. 若，则
AC
11. 已知，若，，且，则实数分别为( )
A. ，，4 B. ，，4
C. ，-2，4 D. 4，，-15
B
[解析] ，解得..，，
即解得
.
12. [2021山东沂水一中高二检测] 已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C. 4 D. 8
B
[解析] 依题意得，则，因为，所以，则平行四边形的面积.
13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_____________________.
[解析] 由已知得，因为与的夹角为钝角，所以，
即，所以.
若与的夹角为，则存在，使，
即，
所以所以，故t的取值范围是.
14. [2020四川成都七中月考] 已知空间向量，若空间向量满足，且对任意，，则_______.
[解析] 设空间向量，空间向量，，，，
，
∴空间向量，
又对任意，，
则，故.
15. 已知向量，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直.
（1） 求向量的坐标；
[答案] 设，则由题意可知
解得或
所以或.
（2） 若向量与向量共线，求向量与的夹角的余弦值.
[答案] 因为向量与向量共线，所以.
又，
所以，
所以，且，，
所以与的夹角的余弦值为
.
16. （多选）设向量,其中，则下列判断正确的是( )
A. 是定值
B. 的最大值为
C. 与的夹角的最大值为
D. 的最大值为1
ACD
命题分析 本题考查空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识、基本技能方法，同时考查基本不等式的应用，考查运算求解能力.
答题要领 在中，根据向量的坐标计算即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确.
详细解析 由向量，，其中，知：
在中，，是定值，故A正确；在B中，，当且仅当时取等号，因此的最大值为1，故B错误；在C中，由可得，
，
，
与的夹角的最大值为，故C正确；
在中，，
的最大值为1.故D正确.
方法感悟 涉及空间向量坐标运算的综合性问题，要首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的数量积、夹角、模等坐标运算公式计算.(共60张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第2课时 空间向量的数量积
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握空间向量的夹角的概念及表示方法. 2.理解两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量的夹角和判断向量垂直. 1.数学抽象——能理解两个向量的数量积的定义及运算规律.
2.直观想象——能根据图形与数量积的定义计算两个向量的数量积.
3.数学运算——能根据向量的数量积判定两个向量垂直.
要点一 空间向量的夹角与垂直
1.向量的夹角
平面内，给定两个非零向量，①_______在平面内选定一点，作，，则大小在内的称为与的夹角，记作②______.
任意
2.向量的垂直
如果，则称向量与垂直，记作；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都③_______.
垂直
1. 若两个向量的夹角为0或，则这两个向量分别是什么关系？
提示 若两个向量的夹角为 0，则这两个向量方向相同；若两个向量的夹角为，则这两个向量的方向相反.
2. 若，为非零向量，且，则向量与的夹角的大小是什么？
提示.
要点二 空间向量的数量积
1.数量积的定义
平面内，两个非零向量与的数量积（也称为内积）定义为
2.数量积的几何意义
两个向量数量积的几何意义与④_______有关，如图所示，过的始点和终点分别向所在的直线作⑤_______， 即可得到向量在向量.上的投影，与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的⑥_______.特别地，与单位向量的数量积等于在上的投影的数量.规定零向量与任意向量的数量积为⑦____.
投影
垂线
乘积
0
3.向量在直线（或平面）上的投影
一般地，给定空间向量和空间中的直线（或平面），过的始点和终点分别作直线（或平面）的垂线，假设垂足为，则向量称为在直线（或平面）上的投影.
4.数量积的性质
空间向量的数量积具有以下性质：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（交换律）；
（6）（分配律）.
3. 两个向量的数量积是一个实数还是一个向量？若是一个实数，其符号是由什么确定的？
提示 两个向量的数量积是-一个实数，其符号由决定，即当是锐角时，；当是钝角时，；当是直角时，.
提示 向量在向量方向上的投影的数量为.
5. 若在上的投影的数量为1，且，则与的夹角是多少？
提示.
4. 已知，则向量在向量方向上的投影的数量是多少？
数量积运算的关注点
（1）数量积运算不满足消去律.若为实数，则；但对于向量不正确，即.由下图可以看出.
（2）数量积运算不满足结合律.数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即不一定等于.这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线.
（3）空间向量没有除法运算.对于三个不为零的实数，若，则或；但对于向量、，若，却没有或.
探究点一 空间向量的夹角
1. 如图所示，已知四面体的每条棱长都等于，点分别是棱、、的中点，求下列向量夹角的大小.
（1） ；
[答案] .
（2） ；
[答案] 因为且方向相同，所以.
（3） ；
[答案] 因为且方向相反，所以.
[答案] 因为是等边三角形，所以.
（5） ；
[答案] 因为与首尾相接，所以.
（6） .
[答案] 因为，所以.
（4） ；
2. 如图，在正方体中，分别求向量与向量、、、、的夹角.
[答案] 连接，如图，
则在正方体中，，，，
所以；
；
；
；
.
解题感悟
找向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角的大小，注意向量的夹角的范围是.
探究点二 数量积的计算
例 （1） 已知向量是两两垂直的单位向量，且，，则( )
A. 15 B. 3 C. -3 D. 5
B
[解析] 由题意可知.
（2） 已知棱长为的正方体中，为上底面的中心，求与的值.
[答案] 如图所示，连接交于点，连接，
在上的投影为，，
，.
取的中点，连接，
易知，在上的投影为，
又，，.
变式 若本例（2）的条件不变，求的值.
[答案] 因为，，
所以.
解题感悟
求数量积的两种情况及方法
（1）已知向量的模和夹角：利用并结合运算律进行计算.
（2）在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
1. （多选）设为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
AD
[解析] 由数量积的性质和运算律可知A、D正确；因为运算后是实数，没有这种运算，所以B不正确；所以C不正确.
2. 三棱锥中，，，，则等于( )
A. 0 B. 2 C. D.
A
[解析] 因为，，
所以，.
探究点三 数量积性质的应用
类型1 求向量的模
例1 如图，把边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则( )
A. 3 B. C. 4 D.
A
[解析] 取的中点，连接，如下图所示：
则，，因为，平面，所以平面，所以，所以.
又由题意可知平面，平面，所以，所以为直角三角形，
所以.
又，所以，所以.
类型2 求向量的夹角
例2 [2021山东滨州高二期中] 已知空间向量，，且与垂直，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 与垂直，，，
.，.
类型3 解决垂直问题
例3 设是互相垂直的单位向量，已知，，若，则实数的值为( )
A. -6 B. 6 C. 3 D. -3
B
[解析] 由，得，所以，
所以，所以.
解题感悟
利用数量积的性质可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.
（1）；
（2）；
（3）.
1. 已知，，则( )
A. B. C. D. 以上都不对
D
[解析] ，，，，
.
2. 在空间四边形中，，，求证：.
[答案] 证明 如图所示，
因为，所以.
1. （多选）对于向量和实数，下列命题中是真命题的是( )
A. 若，则或
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若，则是锐角
BC
2. 已知，则_______．
3. 已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为____.
数学运算——利用数量积求向量的夹角
如图，在直三棱柱中，，，，求向量的夹角的余弦值.
[答案] 解：① ，，
且
② =0，
.
又，
③ ，
故的夹角的余弦值为.
[解析] 审：在直三棱柱中，求向量的夹角的余弦值.
联：由已知得，所以用向量，和表示向量和，然后用数量积求的夹角的余弦值.
思：求两个空间向量夹角的方法类同于平面内两个向量夹角的求法，利用公式.
1. 在正四面体中，点分别是的中点，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
C
2. 已知向量和的夹角为，且，则
( )
A. 12 B. C. 4 D. 13
D
3. [2021山东烟台高二检测] 已知是两两垂直的单位向量，则等于( )
A. 14 B. C. 4 D. 2
B
4. （多选）设是空间中三个任意的非零向量，且两两不共线，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 不与垂直
D.
BD
5. 如图，在平行六面体中，，，，则( )
A. 1 B. 2 C. D.
D
6. [2021辽宁大连高二检测] 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数为( )
A
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7. 已知空间向量满足，则的值为______.
-13
8. [2021河北邯郸高二期末] 已知，，，，，则以为邻边的平行四边形的对角线的长为________.
[解析] 易知，，
，即.
9. 已知与垂直，且与垂直，求与的夹角.
[答案] 由题意知，
.两式相减得，
所以，代入上面两个式子中的任意一个，得，
所以，所以.
10. 如图所示，正四面体的棱长为1，为的中点，为的中点，则的长度为( )
A. B. C. D.
B
[解析] ，，由题意可知，，，
由空间向量数量积的定义可得，
所以，故.
11. 已知非零向量满足，，若，则实数的值为_____.
-4
[解析] ，，
即，
，解得.即实数的值为-4.
12. 已知空间向量满足，与垂直，若，，则_____.
13. 在四面体中，，若与互余，则的最大值为_____.
30
[解析] 设，可得，则为锐角，
在四面体中，，
则，其中为锐角，且.
因为，所以，
所以当时，取得最大值30.
14. 如图，长方体中，与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则的最小值为____.
命题分析 本题考查了长方体的结构特征，直线与平面所成的角，空间向量的数量积及其几何意义.
答题要领 因为平面，所以，，根据，求出，，，又可化为，所以只需求出的最小值，即求直角三角形的斜边上的高即可得解.
详析解析 如图：
因为平面，所以，，
设，则，，，，
因为，所以，所以，即，解得（负值舍去），
所以，，则，又平面，所以，所以，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为即的最小值为.
方法感悟 解决向量数量积的最小值问题需要恰当地利用平面几何的相关知识和数量积的几何意义求解.(共56张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 2.了解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题. 1.数学抽象——能理解共线向量基本定理、共面向量定理以及空间向量基本定理.
2.逻辑推理——能运用空间向量基本定理和共面向量定理证明空间向量共线和共面问题.
要点一 共面向量定理
1.共面向量定理
如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在①_______的实数对，使②__________.
唯一
2.判断空间中四点共面的方法
由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法:如果，，三点③_________，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使.
不共线
1. 为何要规定向量，不共线
提示 若向量，共线，则对于任意的向量，向量，，都共面.
2. 如何由共面向量定理得到判断空间中四点共面的方法
提示 若四点中的任意三点不共线，连接任意两点的有向线段表示的向量，其中一个都可以用另外两个线性表示，则四点共面.
要点二 空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
（1）空间向量基本定理
如果空间中的三个向量，，④_________，那么对空间中的任意一个向量，存在 唯一的有序实数组，使得.
（2）线性组合
空间向量基本定理中,用，，表示的表达式唯一 .特别地，当，，不共面时，可知.
表达式一般称为向量，，的线性组合或线性表达式.
不共面
2.基底
空间中不共面的三个向量，，组成的集合，常称为空间向量的一组 基底.此时，，，都称为⑤_________；如果，则称为在基底下的⑥_________.
基向量
分解式
3. 若空间中的三个向量，，不共面，且，则，，的值分别是什么
提示，，.
4. 给出空间中的三个向量，，，空间中的任意一个向量都可以用这三个向量来表示吗
提示 只有这三个向量不共面时才可以.
5. 空间向量的基底唯一吗
提示 不唯一，只要是不共面的三个向量都可以作为空间向量的一组基底.
对基底的三点说明
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基底；
（2）基底中的三个向量不共面；
（3）一组基底是由三个不共面的向量构成，一个基向量是指基底中的某一个向量.
探究点一 空间向量的共面问题
例 （1） [2021山东枣庄八中高二检测] 已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是( )
A. 1 B. 0 C. 3 D.
D
[解析] 因为，且，，，四点共面，所以，解得，故选D．
（2） 对于任意空间四边形，，分别是，的中点，如图，则与，是否共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由.
[答案] 与，共面.证明如下：
在空间四边形中，，分别是，上的点，
则，，①
又，分别是，的中点，则，，②
将②代入①中，再将两式相加得，
所以，即与，共面.
解题感悟
证明空间向量共面或四点共面的方法
（1）向量共面：充分利用题干条件将其中一个向量表示成另两个向量的线性组合，即若，则向量，，共面.
（2）四点共面：若存在唯一的有序实数组使得对于空间任一点O和不共线的，，三点，有，且成立，则，，，四点共面.
1. （多选）若，，不共面，则( )
A. ，，共面
B. ，，共面
C. ，，共面
D. ，，共面
BCD
[解析] ，，，共面，故B正确；
，，，共面，故C正确；
，，，共面，故D正确；
对于A选项，若设，则，
解得无解，因此，，不共面，故A不正确.
2. （多选）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则，的值可能为( )
A. 1， B. ，1 C. ，-1 D. ，1
AC
[解析] ，且，，，共面，
，，和，符合.
探究点二 空间向量基本定理
例 （1） 已知是空间向量的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
D
[解析] 易知只有与，不共面，故可以与，构成一组基底．
，，
，，，，
（2） [2020山东青岛二中期末] 在平行六面体中，，则实数，，的值分别为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
C
解题感悟
用基底表示向量的步骤
（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底.
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
（3）下结论：利用空间向量的一组基底a，b，c可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
1. [2020河南鹤壁一中高二检测] 在四面体中，，分别是，的中点，是的三等分点（靠近点），若，，，则( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 如图所示：
2. 设，，是三个不共面的向量，现在从①；②；③；④；⑤中选出可以与，构成空间向量的一组基底的向量，则所有可以选择的向量为_________（填序号）.
③④⑤
[解析] 构成基底只要三个向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都可以选择.
探究点三 空间向量基本定理的应用
例 已知在平行六面体中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是.
（1） 求；
[答案] 如图，令，，，为一组基底．
，，
.
（2） 求的模．
[答案] ，
，
.
[答案] ，
所以向量与的夹角的余弦值为.
变式 本例的条件不变，求向量与的夹角的余弦值.
解题感悟
利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧
根据条件确定基底，一般用已知的向量（向量的长度已知，夹角已知等）作为一组基底，用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度．
1. [2021山东德州一中高二月考] （多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是( )
AB
A.
B.
C. 向量与的夹角是
D. 与的夹角的余弦值为
[解析] 由题意可设棱长为1，则.
，所以A中说法正确；
，所以B中说法正确；
易知向量，显然为等边三角形，所以，
所以向量与的夹角是所以向量与的夹角是所以C中说法不正确；
，
则，，
，
所以，所以D中说法不正确.
1. （多选）已知A，，，，是空间中的五点，若，，与，，均不能构成空间向量的一组基底，则下列结论正确的是( )
A. ，，不能构成空间向量的一组基底
B. ，，不能构成空间向量的一组基底
C. ，，不能构成空间向量的一组基底
D. ，，能构成空间向量的一组基底
ABC
2. 在下列条件中，使点与，，三点一定共面的是( )
A.
B.
C.
D.
C
3. 已知在四面体中，，，，的中点分别为点，，则______________.（用，，表示）
1. 为空间四点，且向量不能构成空间的一组基底，则下列说法正确的是( )
A. 共线 B. 共线
C. 共线 D. 四点共面
D
2. [2020河南长垣一中高二月考] 如图，在正方体中，若，则的值为( )
A. 3 B. 1 C. -1 D. -3
B
3. （多选）下列命题中是真命题的为( )
A. 若向量，则与，共面
B. 若与，共面，则
C. 若，则，，，四点共面
D. 若，，，四点共面，则
AC
4. （多选）若向量，，的始点和终点，，互不重合且三点不共线，则下列不能使向量，，成为空间的一组基底的是( )
A.
B.
C.
D.
ABD
[解析] 对于，由结论四点共面知，，，共面；
对于，，易知，，共面；只有中，，不共面，只要，，共面，就不能作为一组基底，故选ABD.
5. 点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，，则满足的实数，，的值分别为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
D
[解析] 如图所示，取的中点，连接，则，所以，，故选D.
6. 已知是空间的一组基底，若，则____.
0
7. 已知为空间的一组基底，若，，，，且则，，分别为___________.
,-1,
8. 在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与、共线的的值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
A
[解析] 易知，，
假设，，三点共线，则存在实数使得，
所以解得，.
9. [2021山东蒙阴一中高二月考] 已知正方体的棱长为1，设，，，则
（1） ____，____；
1
[解析] .
，
，
，
．
（2） ____．
1
[解析] ．
10. 如图，在直三棱柱中，，，棱，点为的中点．
（1） 求的长；
[答案] 令，，，则，，.
，
所以
.
（2） 求的值．
[答案] ，，
所以，
.
所以.
11. 如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点.
求证：，.
[答案] 证明 设，，则，，，.
，.
，
.
.同理可证.
命题分析 本题是以正方体为载体，证明向量垂直，考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
答题要领 在正方体中选定一组基底，表示向量，，，然后利用向量和，的数量积为0来证明.
方法感悟 证明向量垂直时,常常将所求向量用某个基底表示,然后根据空间向量运算求解.(共55张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
课标解读 课标要求 素养要求
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的相关概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.了解向量加法的交换律和结合律. 4.掌握数乘向量的意义及运算律. 1.数学抽象——能快速形成空间向量的概念及相关概念.
2.直观想象——能理解向量加法与减法的三角形法则和平行四边形法则.
3.数学运算——能利用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的线性运算.
要点一 空间向量的概念
1.空间向量的定义
空间中既有①_______又有②_______的量称为空间向量（简称为向量）.
大小
方向
2.空间向量的有关概念
始点和终点③_______的向量称为零向量，零向量的方向是④_________的.零向量在印刷时，通常用表示；书写时，用表示，零向量的模为0，即.
模等于1的向量称为单位向量.因此，是单位向量的充要条件是.大小⑤_______、方向⑥_______的向量称为相等的向量.向量和相等，记作.
相同
不确定
相等
相同
要点二 共线向量与共面向量
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.
两个向量和平行，记作.两个向量平行也称为两个向量⑦_______.
一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的⑧___________通过平移之后，都能在⑨_____________， 则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.
共线
有向线段
同一平面内
1. 国庆期间，某游客从上海世博园游览结束后乘车到外滩观赏黄浦江，然后抵达东方明珠游玩，如果游客要登上东方明珠顶端俯瞰上海美丽的夜景，那他发生的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示位移？
提示 游客的实际位移是，可以用空间向量来表示这个位移.
2. 在正方体中，和向量方向相同或相反的向量有哪些？
提示 向量.
3. 任意两个向量都共面吗？任意三个向量呢？
提示 任意两个向量都共面，任意三个向量不一定共面.
要点三 空间向量的线性运算
1.向量加法的三角形法则
我们知道，给定两个平面向量，，在该平面内任取一点，作，，作出向量，则是向量与的和（也称为向量与的和向量）.向量与的和向量也记作，因此.
当平面向量与⑩_________时，，，正好能构成一个 _________，如图所示，因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.
不共线
三角形
2.向量加法的平行四边形法则
空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个 _________的向量，，在空间中任取一点，作，以为 _______作一个平行四边形，作出向量，则.
3.向量的加法满足的运算律
空间向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意的向量都有，.
不共线
邻边
4.向量减法的三角形法则
在空间中任取一点，作，，作出向量，则向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即.
当与不共线时，向量，，正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.
5.相反向量
给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它
的相反向量，向量的相反向量记作 ______.因此 ，的相反向量是，而且.因为零向量的始点与终点 _______，所以.
6.数乘向量
给定一个实数与任意一个空间向量，规定它们的乘积是一个空间向量，记作，其中：
相同
（1）当且时，的模为，而且的方向：
当时，与的方向 _______；
当时，与的方向 _______.
（2）当或时， ____.
上述实数与空间向量相乘的运算简称为数乘向量.
相同
相反
4. 根据向量加法的三角形法则，化简的结果是什么？
提示.
5. 在正方体中，向量与的和是什么？
提示.
6. 的运算结果是什么？
提示.
8. 在正方体中，向量的相反向量有哪些？
提示.
9. 向量与向量共线吗？
提示 共线.
7. 的运算结果是什么？
提示.
1.对空间向量的理解
空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性.形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等.空间向量的数形双重性使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决.
2.几类特殊向量
（1）零向量和单位向量均是从向量的模的角度进行定义的，，单位向量的模.
（2）零向量不是没有方向，它的方向是任意的.
（3）注意零向量的书写，必须是这种形式.
（4）两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，则称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关.
探究点一 空间向量的有关概念
1. （多选）下列说法中正确的是( )
A. 若，则的长度相等，方向相同或相反
B. 若向量是向量的相反向量，则
C. 若空间向量满足，则
D. 在平行四边形中，一定有
BC
[解析] ，说明的长度相等，但方向不确定，故A中说法不正确；的相反向量，故，故B中说法正确；C中说法显然正确；与长度相等，但方向不同，所以不是相等向量，故D中说法不正确.
2. 如图，在平行六面体中，下列四对向量：与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有对，则等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
[解析] 对于①，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于③，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②，与长度不一定相等，方向不相反，不互为相反向量；对于④，与长度相等，方向相同，为相等向量.故互为相反向量的有2对.
解题感悟
解答空间向量有关概念问题的注意点
（1）空间向量的两大要素：大小和方向；两向量相等的充要条件：大小相等，方向相同.
（2）两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，方向任意；
②单位向量：长度为1的向量，方向不确定.
探究点二 空间向量的加法、减法运算
例 已知长方体，化简下列向量表达式：
（1） ______；
[解析] .
（2） ______；
[解析] .
（3） _______；
[解析] .
（4） ______；
[解析] .
（5） ____.
[解析] .
解题感悟
（1）利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点.
（2）平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算.注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差.
1. 在直三棱柱中，若，则_____________.（用表示）
[解析] 如图，.
探究点三 空间向量的数乘运算
例 如图所示，在平行六面体中，设，，，分别是的中点，试用表示以下各向量：
（1） ；
[答案] .
（2） ；
[答案] .
（3） .
[答案].
变式 若把本例中的“是的中点”改为“在线段上，且”，其他条件不变，如何表示？
[答案] .
解题感悟
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则将目标向量转化为已知向量.
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
1. 如图，在正方体中，分别为的中点.用表示向量，则____________________.
[解析] .
1. 下列四个命题中正确的是( )
A. 方向相反的两个向量是相反向量
B. 若满足且同向，则
C. 不相等的两个空间向量的模必不相等
D. 对于任意向量，必有
D
2. 在空间四边形中，若是正三角形，且点为其重心，则的化简结果是( )
A. B. C. D.
C
3. 在四面体中，，为的中点，为的中点，则_______________.（用表示）
直观想象——空间向量的线性运算
如图所示，已知空间四边形中，分别是的中点，连接，化简：
（1） ；
[答案] ，如图中向量.
（2） ，并标出化简结果的向量.
[答案] 如图，连接，，
如图中向量.
素养探究：对空间向量表达式进行化简，一般要借助所涉及的几何体，在几何体中根据三角形法则或平行四边形法则进行空间向量的线性运算，在此过程中体现了直观想象的核心素养.
1. 空间向量互为相反向量，已知，则下列结论正确的是( )
A. B. 为实数0
C. 与方向相同 D.
D
2. 在平行六面体中，下列各组向量一定共面的组数为
( )
①；②；③；④.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
3. [2021山东聊城高二期中] 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A
A. B.
C. D.
4. （多选）下列关于空间向量的命题中正确的是( )
A. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
B. 长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量
C. 由于零向量的方向不确定，故零向量不能与任意向量平行
D. 对于任意向量，有
BD
[解析] 对于A，其终点构成一个球面，故A错误；对于B，由共线向量的概念知，长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量，故B正确；对于C，规定的方向是任意的，与任意向量平行，故C错误；对于D，由向量模的性质知，对于任意向量，有，故D正确.
5. （多选）如图，在长方体中，下列各式中运算结果为向量的是( )
A. B.
C. D.
AB
6. 如图，在正方体中，点分别是面对角线与的中点，若，，，则__________.
[解析].
7. [2021山东武训高中月考] 在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
C
[解析].故选C.
8. 设棱长为的正方体中的八个顶点所构成的集合为，向量的集合，则集合中长度为的向量有____个.
8
[解析] 集合是由长度为的向量的元素组成的，所以本题转化为求棱长为的正方体中长度为的对角线的条数，每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线，所以长度为的向量有8个.
9. 对于空间中的非零向量有下列各式：①；②；③；④.其中一定不成立的是_____.
②
[解析] 根据空间向量的加法、减法运算，对于①：恒成立；对于③：当方向相同时，有；对于④：当共线且与、方向相反时，有；只有②一定不成立.
10. 已知平行六面体.求证：.
[答案] 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
，，，
.
又，，
，
.
11. 如图所示，在正六棱柱中.
命题分析 本题是以正六棱柱为载体的向量的线性运算问题，考查数学运算与直观想象的核心素养.
答题要领 利用向量运算的三角形法则，其关键是利用结合律，找到首尾相接的两个向量求解.
（1） 化简，并在图中标出表示化简结果的向量；
[答案] .
化简结果的向量如图所示.
（2） 化简，并在图中标出表示化简结果的向量.
[答案].
化简结果的向量如图所示.
方法感悟 在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可以利用多边形法则求解.如图，
，即首尾相接的若干个向量的和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.则求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
