(共47张PPT)
第二章 平面解析几何
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第3课时 定点、定值与存在性问题
探究点一 定点问题
例 [2021山师大附中高二期中] 已知椭圆：的离心率为,且过点.
（1） 求椭圆的标准方程;
[答案] 由题意得解得,则椭圆的标准方程为.
[答案] 由,可知,从而直线与轴不垂直,
故可设直线l的方程为,
联立得整理得.
设,
则
（2） 若不过点的动直线与椭圆交于两点,且,求证直线过定点,并求该定点的坐标.
由得
由得
将代入,得,解得（舍去）或,所以直线的方程为,所以直线过定点.
解题感悟
圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示的变量,再研究变量与参数何时没有关系,找到定点．
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
[2021山东济南高二期末] 已知椭圆经过如下四个点中的三个,，.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意,点与点关于轴对称,
根据椭圆的对称性和题意可知,点和点都在椭圆上,
因为点与点不可能同时在椭圆上,
所以椭圆过点,所以
且
解得所以椭圆的方程为.
（2） 设直线与椭圆交于两点,且以线段为直径的圆经过椭圆的右顶点（均不与点重合）,证明:直线过定点.
[答案] 证明：由题意,可设直线l的方程为,
联立消去,得,
设则有
因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,所以,
又所以
将代入上式得
,
将①代入上式,得或（舍去）,所以直线的方程为,则直线恒过点.
探究点二 定值问题
例 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,2),且过点.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 设椭圆方程为,则有.又,
解得
椭圆的方程为.
（2） 过点作倾斜角互补的两条不同的直线分别交椭圆于另外两点求证：直线的斜率是定值.
[答案] 证明：依题意,直线都不垂直于轴,
设直线的方程为,则直线的方程为.
由得4=0.
同理可得
故直线AB的斜率是定值.
解题感悟
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
（1）代数式为定值问题：依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值．
（2）点到直线的距离为定值问题：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得．
（3）某线段长度为定值问题：利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
[2020江西吉安高二期末] 在平面直角坐标系中,已知抛物线上一点到其焦点的距离为4.过点的直线与抛物线相交于两点.
（1） 求抛物线的方程与准线方程;
[答案] 在抛物线上,
.
由抛物线的定义,得,
（当时,,舍去）,
抛物线的方程为,准线方程为.
[答案] 证明：设直线的方程为,由得.
设,
则.
为定值.
（2） 求证：为定值.
探究点三 存在性问题
例 在平面直角坐标系中,动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数.
（1） 求动点的轨迹方程;
[答案] 设,则化简得
故动点的轨迹方程为．
（2） 若过点作与坐标轴不垂直的直线,交动点的轨迹于两点,设点关于轴的对称点为,当直线绕着点转动时,是否存在定点,使得三点共线？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由．
[答案] 由题意知直线l的斜率存在,设为,则直线的方程为,
由得
设则
由椭圆的对称性知,若存在定点,则点必在轴上,
故假设存在定点,使得三点共线,则且.
即
化简得
将代入上式,得
解得,故存在定点,使得三点共线．
解题感悟
存在性问题的解决方法
（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素（点、直线、曲线或参数）存在,否则元素（点、直线、曲线或参数）不存在.
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
已知椭圆：的短轴长是2,离心率为.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意得又,
椭圆的方程为.
（2） 设直线与椭圆交于两点,点,则在直线上是否存在点,使得四边形是平行四边形？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由．
[答案] 若四边形是平行四边形,
则且.
∴直线的方程为,
则.
设,由得。
由得且
整理得解得或
经检验均符合,但当时不满足四边形是平行四边形,舍去．
或.
1. [2021山东济南高二检测] 已知是椭圆：上异于的一点,的离心率为,则直线与的斜率之积为( )
A. B. C. D.
C
2. 抛物线的内接（为坐标原点）的斜边过定点
( )
A. (4,0) B. (0,4) C. (2,0) D. (0,2)
B
3. [2020四川成都外国语学校高二期中] 过点的直线与椭圆交于点和,且.点满足,若为坐标原点,且,则的值为____.
1
逻辑推理——动圆过定点问题
1. 已知抛物线的焦点坐标为.
（1） 求抛物线的标准方程;
[答案] 抛物线的焦点坐标为,所以,所以,故抛物线的标准方程为.
（2） 若过点(-2,4)的直线与抛物线交于两点,则在抛物线上是否存在定点,使得以为直径的圆过定点？若存在,求出点;若不存在,请说明理由.
[答案] 设易知直线l的斜率存在,故设
联立得,则,
由题意知即即
即将代入,得
当时等式恒成立,故存在满足题意的定点.
素养探究：本题考查圆过定点问题,利用抛物线的焦点坐标求得抛物线方程,由题意可知l的斜率存在,然后设出直线的方程,与抛物线方程联立,设而不求,利用判断.体现了逻辑推理的核心素养.
1. [2021山东淄博高二期中] 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,抛物线上一点到焦点的距离为．
（1） 求抛物线的标准方程;
[答案] 由题意,可设抛物线C：,则焦点,则,解得,因此,抛物线的标准方程为.
（2） 设点,过点的直线与抛物线相交于两点,记直线与直线的斜率分别为,证明：为定值．
[答案] 证明：设过点的直线：
联立消去,得,
则．
因此,为定值．
2. [2020江西南昌新建一中高二期中] 已知抛物线的焦点为为坐标原点,是抛物线上异于的两点.
（1） 求抛物线的方程;
[答案] 因为抛物线的焦点为,
所以,即,所以抛物线的方程为.
（2） 若直线的斜率之积为,求证：直线过定点,并求出定点坐标.
[答案] ①当直线的斜率不存在时,
设则因为直线的斜率之积为所以即
所以,此时直线的方程为,直线过定点(8,0).
②当直线的斜率存在时,设其方程为,
,
由得,则，
因为直线的斜率之积为所以
即即
解得（舍去）或,
所以,即,所以直线的方程为,即,所以直线过定点(8,0).
综上所述,直线过定点(8,0).
3. 已知点与都在椭圆：上,直线交轴于点.
（1） 求椭圆的方程,并求点的坐标;
[答案] 由题意得解得故椭圆C的方程为.
直线的方程为，即,
令,得所以的坐标为.
（2） 设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点,则在轴上是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
[答案] 存在.因为点与点关于轴对称,所以,
所以
所以直线的方程为,
令,得,所以点.
假设存在点,使得,则,
则,即,
则所以所以
故在y轴上存在点,使得,且点的坐标为(0,2)或(0,-2).
4. [2020山东潍坊高二期中] 已知椭圆的离心率为,且上顶点到直线的距离为3.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题可得,解得,故椭圆C的方程为.
（2） 设直线l过点(4,-2)且与椭圆相交于两点,不经过点.证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
[答案] 证明：易知直线的斜率小于0,
设直线的方程为且
联立
得
则
易知所以
,
所以直线的斜率与直线的斜率之和为定值-1.(共57张PPT)
第二章 平面解析几何
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第2课时 最值与范围问题
探究点一 参数的最值或范围问题
例 [2021山东聊城一中高二期中] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个焦点为(1,0)且与直线有公共点.
（1） 求椭圆长轴最短时的标准方程;
[答案] 设椭圆的左、右焦点分别为则
设点是椭圆与直线的公共点,关于直线的对称点为,
则解得,
即,则,
则椭圆长轴长,
椭圆长轴最短时的标准方程为.
（2） 在（1）的条件下,若椭圆上存在不同的两点关于直线对称,求实数的取值范围.
[答案] 设椭圆上两点关于直线对称,
则点在与直线垂直的直线上,设直线方程为,
由得令,则,①
又,则线段的中点坐标为,代入有,
代入①,解得,
故m的取值范围是.
解题感悟
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
（2）利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
（3）利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
（4）利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围．
如图,已知等腰直角三角形的一条直角边在轴上,点位于轴的下方,点位于轴的右侧,斜边的长为,且两点在椭圆上.
（1） 若点,求椭圆方程;
[答案] 由题意知,由是等腰直角三角形得,,
解得
椭圆方程为.
[答案] 由题意则,则,
在椭圆上解得，
首先则其次则
,即的取值范围是．
（2） 若,求两点在椭圆上时的取值范围.
探究点二 三角形面积的最值与范围问题
例 已知圆经过椭圆的左、右焦点且与椭圆在第一象限的交点为三点共线,直线交椭圆于两点,为坐标原点,且.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意可知令得
由三点共线,知为线段的中点,则故所求椭圆的方程为.
[答案] 由（1）易知直线的斜率为,
设直线的方程为由得,
则
（2） 当的面积取到最大值时,求直线的方程.
由,得,
又点到直线的距离,
当且仅当即时,等号成立.
综上,直线的方程为或.
解题感悟
解析几何中的三角形面积的最值问题是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形的面积,然后借助于函数的单调性或基本不等式求最值.
[2020山东威海第一中学高二期末] 已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3.
（1） 求抛物线的方程;
[答案] 抛物线的准线方程为到焦点的距离为.
抛物线方程为.
（2） 若过点的直线与抛物线相交于两点,求面积的最小值.
[答案] 设直线的方程为.联立得.
设,则.
.
又,
.
时,取得最小值.
探究点三 其他量的最值或范围问题
例 已知抛物线,过其焦点的直线与抛物线相交于两点,且.
（1） 求抛物线的方程;
[答案] 因为直线过焦点,所以设直线的方程为,
由消去得,
所以,因为,所以因此,抛物线的方程为.
（2） 已知点的坐标为(-2,0),记直线的斜率分别为求的最小值.
[答案] 由（1）知抛物线的焦点为,设直线的方程为,
与联立并消去得,所以
易知
所以
.
因此,当且仅当时,有最小值.
解题感悟
本题中有两个变量,所以引入变量（同时避免了对直线斜率是否存在的讨论）,转化为一个变量,将直线方程与抛物线方程联立,利用根与系数的关系和设而不求法进行计算,利用二次函数的最值求解.
[2021黑龙江大庆铁人中学高二期中] 已知双曲线是上的任意一点.
（1） 求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
[答案] 证明：设,到两准线的距离记为
两准线方程分别为,
又点在双曲线上（常数）,
即点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
[答案] 设,由平面内两点间的距离公式得,,
又点在双曲线上,当时,有最小值,.
（2） 设点的坐标为(5,0),求的最小值.
1. [2020山东聊城高二期末] 若点为椭圆上位于第一象限内的一点,过点作轴的垂线,垂足为为坐标原点,则面积的最大值为( )
A. B. C. 3 D.
A
[解析] 设,因为即
所以（当且仅当时取等号）,则面积的最大值为.
2. 已知点及抛物线,若抛物线上的点满足,则的最大值为( )
A. 3 B. 2 C. D.
C
[解析] 设,则,由,得．
则,当且仅当时取等号．的最大值为．
3. 已知抛物线,过点的直线与抛物线相交于两点,则的最小值为( )
A. 12 B. 24 C. 16 D. 32
D
[解析] 当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,
由得,所以．
当直线的斜率存在时,设其方程为,
由得,所以，
所以,综上,．
所以的最小值为32．
4. [2020福建莆田一中高二期中] 设是抛物线上的两点,直线是线段的垂直平分线,当直线的斜率为时,直线在轴上的截距的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 设直线的方程为,则线段的斜率为-2,设直线的方程为,与联立,化简得,
且
故线段AB的中点,由题意可知点在直线上,
,即,解得,
故直线m在轴上的截距的取值范围是.
数学运算——四边形面积的最值问题
1. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点是椭圆上的一点,若的面积为1.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意知所以.又,
所以.所以椭圆的方程为.
[答案] 由题意知线段AB不平行于轴,设直线：,将与联立,并消去得则解得
因为,所以四边形为平行四边形,又
（2） 过的直线与交于两点,设为坐标原点,若,求四边形面积的最大值.
则四边形的面积.
因为,当且仅当时取等号,所以四边形面积的最大值为.
素养探究：由勾股定理及椭圆的定义、三角形面积公式可求出,由,可得,由此能求出椭圆的方程.设出直线的方程,并代入椭圆方程,利用根与系数的关系、向量加法的意义以及三角形的面积公式,结合基本不等式求解即可.体现了数学运算的核心素养．
1. [2021山东潍坊诸城一中高二月考] 已知以两坐标轴为对称轴的椭圆的一个长轴端点及一个短轴端点在直线上.
（1） 求椭圆的离心率;
[答案] 在中,令,得,.令,得,.
椭圆的焦点在轴上,得,
故椭圆的离心率.
[答案] 由（1）得椭圆的标准方程为,
设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为,
由得,由16)=0,解得,
记到直线的距离为,则易知,要使
（2） 若是椭圆上一点（异于）,求面积的最大值.
最大,只需最大即可,此时,则直线的方程为,易知直线的方程为,所以直线与直线的距离,故.
2. 已知两点在椭圆：上,为椭圆上的动点,为坐标原点.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意可知,所以椭圆的方程为.
[答案] 由点在椭圆上,可得且.
则.
由得可得
所以,故的取值范围为.
（2） 将表示为的函数,并求的取值范围.
3. 已知直线：与抛物线：交于两点,为坐标原点,.
（1） 求直线和抛物线的方程;
[答案] 由得,
设,
则,
所以
(-4,-12),
所以解得
所以直线的方程为,抛物线的方程为.
（2） 抛物线上一动点从运动到时,求点到直线的距离的最大值,并求此时点的坐标．
[答案] 由得,
解得或,
设,
则到直线的距离
因为,所以当时,,此时点的坐标为(-2,-2).
4. [2020山东实验中学高二月考] 已知点为椭圆：的左焦点,且两焦点与短轴的一个端点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意,得,
则椭圆的方程为,由得,
因为直线与椭圆有且仅有一个交点,
所以,解得,所以椭圆的方程为.
（2） 设直线与轴交于点,过点的直线与椭圆交于不同的两点,若,求实数的取值范围.
[答案] 由题意知,由（1）易知,
所以.
当直线与轴垂直时,,
由,得;
当直线与轴不垂直时,设直线方程为,
联立得,
则即
所以,
所以,因为所以.
综上,实数的取值范围为.(共66张PPT)
第二章 平面解析几何
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
要点一 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系
当直线与椭圆有①_______公共点时，直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有②_______公共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆③_______公共点时，称直线与椭圆相离。
2.直线与圆锥曲线相切
（1）一般地，给定直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程④___________实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线相切。
两个
一个
没有
只有一个
（2）直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的⑤_______条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的⑥_______条件。
充分
充要
1. 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切吗？
提示 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线有可能相交，如平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个交点，但不相切。
2. 直线与圆锥曲线交点的个数与它们对应的方程联立成的方程组的解的个数有什么关系？
提示 直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立成的方程组的解的个数。
要点二 圆锥曲线的弦和弦长
一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，以这⑦___________________的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长。简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段。
两个公共点为端点
3. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点，则弦的长是多少？
提示
圆锥曲线弦长的求法
在相交弦问题中,一般不求出交点坐标,只是先设出交点坐标(设而不求思想),然后利用根与系数的关系求弦长.
设直线交圆锥曲线于两点,
则.
同理可得
探究点一 直线与圆锥曲线位置关系的判定
例 已知直线：,椭圆：,试问当取何值时,直线与椭圆：
[答案] 将直线的方程与椭圆的方程联立,得由,得.
将①代入②中,整理得，③
则.
所以当时,方程③有两个不同的实数根,即原方程组有两组不同的实数解,这时直线与椭圆有两个不重合的公共点.
（1） 有两个不重合的公共点;
（2） 有且只有一个公共点;
[答案] 由,得.
所以当时,方程③有两个相同的实数根,即原方程组有一组实数解,这时直线与椭圆有且只有一个公共点.
[答案] 由,得或.
所以当或时,方程③没有实数根,即原方程组没有实数解,这时直线与椭圆没有公共点.
（3） 没有公共点.
解题感悟
在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,要先讨论得到的方程的二次项系数为
零的情况,再考虑Δ的情况,而且不要忽略直线斜率不存在的情况.
设抛物线的准线与轴交于点,若过点的直线与抛物线有 公共点,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由题意知,设过点的直线的方程为.直线与抛物线有公共点,方程组有解,
即有解.
即
,故选C.
探究点二 中点弦问题
例 [2020深圳红岭中学高二期中] 已知椭圆与双曲线的焦点相同,且它们的离心率之和等于.
（1） 求椭圆方程;
[答案] 由题意知,双曲线的焦点坐标为(0,4),(0,-4),离心率,
设椭圆方程为
则,
椭圆方程为.
（2） 过椭圆内一点作一条弦,使该弦被点平分,求弦所在直线的方程.
[答案] 设,
为弦的中点,
由题意得①-②得
则
弦所在直线的方程为, 即.
解题感悟
解决中点弦问题有两个思路：
（1）联立直线方程和椭圆方程并消去一个未知数后,得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;
（2）采用点差法,在求解圆锥曲线时,如果题目中交代了直线与圆锥曲线相交所截得的线段中点坐标,那么可把两个交点坐标分别代入圆锥曲线的方程,表示出直线的斜率和中点坐标,要注意验证得到的直线是否符合题意
1. [2021山东德州高二期中] 已知椭圆：的右焦点是,过点的直线交椭圆于两点,若的中点的坐标为(1,-1),则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 设,则将的坐标分别代入椭圆方程中,得,
①-②得
又
又,
椭圆方程为,故选B.
2. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标为( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 设直线与椭圆的交点为,弦的中点为,
则
两式相减得到,
故易知所以
故,所以所求弦的中点坐标为.
探究点三 弦长问题
例 [2021天津塘沽第十三中学高二期中] 设椭圆中心在坐标原点,焦点在轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为.
（1） 求这个椭圆的方程;
[答案] 设椭圆的方程为,由题意得,又椭圆的方程为.
[答案] 由（1）知左焦点,右焦点设
则直线的方程为,联立得
消去得,则
（2） 若这个椭圆的左焦点为,右焦点为,过且斜率为1的直线交椭圆于两点,求弦的长及的面积.
则
点到直线的距离.
解题感悟
直线和圆锥曲线相交问题的解法就是利用“设而不求”的思想方法,将两个方程联立后消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用弦长公式和根与系数的关系解决（要考虑特殊情形）,这类问题运算量较大,计算时确保其正确性.
[2020北京昌平一中高二期中] 已知椭圆：的左焦点为,且经过点.
（1） 求椭圆的标准方程;
[答案] 依题意可知,所以,
所以椭圆的标准方程为.
（2） 过点的直线与椭圆交于两点,若,求直线的方程.
[答案] 当直线的斜率不存在时,,所以,不满足题意,所以直线l的斜率存在,
设直线的方程为,由消去并化简得
因为直线和椭圆相交,所以恒成立,
设则所以即
化简得,所以.
所以直线的方程为.
1. [2020山东临沂一中高二期中] 已知抛物线内一点,过点的直线交抛物线于两点,且点为弦的中点,则直线的方程为
( )
A. B.
C. D.
B
2. 倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于两点,则弦长( )
A. B. C. D.
B
3. 已知双曲线过点且其渐近线方程为,则下列结论中错误的是( )
A. 双曲线的方程为
B. 左焦点到一条渐近线的距离为1
C. 直线与双曲线有两个公共点
D. 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条
C
数学运算——弦长的最值问题
1. 设抛物线：的焦点为,过的直线与交于两点.
（1） 若直线的斜率为1,且,求抛物线和直线的方程;
[答案] 由题意得的方程为.
设,由消去可得,故.
所以.
由题意知,解得.因此抛物线的方程是,直线的方程为.
（2） 若,求线段长的最小值.
[答案] 若,则抛物线.
由题可知直线的斜率不为0,设直线的方程为.
与抛物线方程联立,得消去,整理得.
设方程的两根为,则.
所以
所以线段长的最小值为4.
素养探究：本题考查抛物线的弦长及其最值问题,考查数学运算的核心素养,解题需将直线l的方程与抛物线方程联立,利用抛物线弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解即可.
1. [2020广东汕尾田家炳中学高二期中] 已知抛物线的方程为,直线过定点,斜率为,问为何值时,直线与抛物线
（1） 只有一个公共点;
[答案] 设直线的方程为,即.
联立
直线与抛物线只有一个公共点,
等价于方程只有一个根.
当时,,符合题意.
当时,,
整理得,解得或.
综上可得,或或
（2） 有两个公共点;
[答案] 直线与抛物线有两个公共点,
等价于方程有两个根.
所以
即,解得且.
[答案] 直线与抛物线没有公共点,
等价于方程无根.
所以
即,解得或.
（3） 没有公共点.
2. 已知椭圆的短轴的上端点与两个焦点构成一个等边三角形.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意得所以,
所以椭圆的方程为.
[答案] 由（1）得,所以直线的斜率为,
所以直线的方程为,
联立得,
设,则,
所以,所以弦长.
（2） 若过点的直线与椭圆的另一个交点为,求弦长.
3. 设椭圆的短轴长为4,离心率为.
（1） 当直线与椭圆有公共点时,求实数的取值范围;
[答案] 因为离心率所以
又因为椭圆的半短轴长,
所以即椭圆方程为
联立整理得,
因为直线与椭圆有公共点,
所以
即,解得.所以实数的取值范围是.
（2） 设点是直线被椭圆所截得的线段的中点,求直线的方程.
[答案] 设,由题意可知,在椭圆内,过点的直线与椭圆有两个交点,根据椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.
则
整理得.
所以斜率,所以直线的方程为,即.
4. [2021山东滨州高二期中] 已知点,椭圆的离心率为是椭圆的右焦点,直线的斜率为2,为坐标原点.
（1） 求的方程;
[答案] 离心率,则,设,
则直线的斜率为,则,
椭圆的方程为.
[答案] 由题意得直线,设
联立整理得，
则即
（2） 设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,且,求的值.
即,解得或（舍去）,.
5. [2021天津红桥高二期中] 已知分别是椭圆的左、右两个焦点,,长轴长为6,分别是椭圆上位于轴上方的两点,且满足.
（1） 求椭圆的方程;
[答案] 由题意知所以所以，所以椭圆的方程为.
[答案] 设,
易知所以
由可得所以.
延长交轴于,如图.
（2） 求四边形的面积.
因为所以且
所以线段为的中位线,即为线段的中点,所以
设直线的方程为,
联立消去并整理得,
解得或.
由根与系数的关系可得则,
所以可得,结合题意可得
,
所以.
6. 如图,圆是圆内的一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和圆的半径相交于点,当点在圆上运动时,点的轨迹为曲线.
（1） 求曲线的方程;
[答案] 由题意可知,点在线段的垂直平分线上,
所以,因为,
所以，
所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆,且,即,
由题意可知,所以,所以曲线的方程为.
（2） 已知抛物线,是否存在直线与曲线交于两点,使得线段的中点落在直线上,并且与抛物线相切？若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
[答案] 存在.
若直线的斜率存在,设,则两式作差可得
若线段的中点落在直线上,
则有代入可得
则直线的方程可以设为,联立
消元可得,因为直线与抛物线相切,所以,所以,
则直线的方程为,与椭圆方程联立
消元可得则
所以直线满足题意.
若直线的斜率不存在,则直线,满足题意.
综上,直线存在,方程是或.
