(共58张PPT)
第二章 平面解析几何
2.7 抛物线及其方程
2.7.2 抛物线的几何性质
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解抛物线的几何图形以及简单几何性质. 2.通过对抛物线的学习,进一步体会数形结合的思想. 1.直观想象——能依据抛物线的方程和图形研究其几何性质.
2.数学运算——能利用抛物线的简单几何性质求抛物线的方程,或根据抛物线的方程求其简单几何性质.
要点一 抛物线y2=2px（p>0）的几何性质
（1）范围
①____.除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的右侧.
（2）对称性
抛物线关于②_______对称,称轴是抛物线的对称轴（简称为轴）.
（3）顶点称③_______是抛物线的顶点.
（4）离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率,用表示.根据抛物线的定义可知,抛物线的离心率④____.
0
轴
原点
1
1. 抛物线的范围是吗
提示抛物线的方程不同,其范围就不同,如的范围是故此说法错误.
2. 抛物线有几条对称轴 它是中心对称图形吗
提示抛物线只有一条对称轴,不是中心对称图形.
要点二 抛物线y2=-2px（p>0）,x2=-2py（p>0）,x2=2py（p>0）的几何性质
（1）抛物线中，除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的⑤_______,抛物线的开口向左（或朝左）,抛物线关于轴对称.
（2）抛物线中,,除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的⑥_______,抛物线的开口向上（或朝上） ,抛物线关于轴对称
（3）抛物线中,,除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的⑦_______,抛物线的开口向下（或朝下）,抛物线关于轴对称
左侧
上方
下方
3. 影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的
提示参数影响抛物线的开口大小,值越大,抛物线的开口越大;值越小,开口越小.
抛物线的特征
（1）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
（2）抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
（4）抛物线的离心率是确定的,为1.
探究点一 由抛物线的性质求抛物线的方程
例
（1） 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点（-5,m）到焦点的距离是6,则抛物线的方程是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 由题意可设抛物线的方程为,其焦点为,准线方程为,
由抛物线的定义知,（-5,）到焦点的距离是6,即到准线的距离是6,
抛物线的方程为,故选B.
（2） 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交于两点,,求抛物线的方程．
[答案] 由已知得,抛物线的焦点可能在轴正半轴上,也可能在轴负半轴上．
故可设抛物线的方程为．
抛物线与圆都关于轴对称,
点与关于x轴对称,故设
且,
代入得
∴或,将其代入抛物线方程,得,.
所求抛物线的方程是或.
解题感悟
用待定系数法求抛物线方程的步骤：
已知边长为1的等边三角形,为原点,,则以为顶点且过两点的抛物线的方程是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 不妨设点A在轴的上方,当抛物线开口向右时,可设抛物线的方程为．
易知即．.
同理,当抛物线开口向左时,抛物线的标准方程为.综上,抛物线的方程是.
探究点二 由抛物线的方程求其几何性质
例 已知抛物线
（1） 求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量的范围;
[答案] 抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量的范围分别为轴,.
[答案] 设则
,
当且仅当时,的取值范围是
（2） 是抛物线上一点,点,求的取值范围.
[答案] 如图所示,由可知,设垂足为点,
由焦点是的重心可得
变式本例的抛物线方程不变,以坐标原点为顶点,作抛物线的内接等腰三角形,,若焦点是的重心,求的周长．
因为,所以所以．
故设,代入得.
所以,所以,则,
所以所以的周长为.
解题感悟
把握三个要点确定抛物线的几何性质：
（1）开口：由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负．
（2）关系：顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴．
（3）定值：焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为;离心率恒等于1.
若抛物线的焦点为,准线为,点A是抛物线上一点,且为坐标原点）,垂足为,则的面积是_______.
[解析] 由抛物线方程知,准线l的方程为
如图,设过作轴于在中
由得
所以点的坐标为代入抛物线方程可得
解得或（舍去）,所以点的坐标为故.
探究点三 抛物线的焦点弦问题
例 [2020山东邹城一中高二月考] 已知抛物线：的焦点为,准线方程是.
（1） 求抛物线的方程;
[答案] 因为抛物线C的准线方程是所以即,
故抛物线C的方程为.
（2） 过点且倾斜角为的直线l与抛物线交于两点,求的值;
[答案] 因为直线l过点F,且倾斜角为所以直线的方程是
联立 整理得,
设,则,
故.
（3） 设点在抛物线上,且求的面积(为坐标原点).
[答案] 设,因为,所以,所以,
将代入方程,解得,
则的面积为.
解题感悟
1.抛物线的焦半径：
定义 抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式 为抛物线上一点,为焦点.
①若抛物线为则;
②若抛物线为 则;
③若抛物线为则;
④若抛物线为则
2.过焦点的弦长的求解方法：设过抛物线的焦点的弦的端点为,,则，然后利用弦所在直线的方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出即可.
设抛物线的焦点为是抛物线上的点.
（1） 求抛物线的方程;
[答案] 因为)是抛物线上的点,所以,
又,所以解得,则抛物线的方程为.
（2） 若过点(0,2)的直线与抛物线交于不同的两点且,求直线的方程.
[答案] 设,设直线的方程为
由得，
由抛物线的定义知，
则
解得,所以直线的方程为或.
1. 顶点在坐标原点,对称轴为轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. D.
D
2. 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
B
3. [2021山东莘县一中高二月考] 已知是抛物线的焦点,为抛物线上两点,且,则线段的中点到轴的距离为
( )
A. 3 B. 2 C. D.
B
4. 已知抛物线的准线经过点(-1,4),过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交该抛物线于两点,则等于( )
A. 4 B. C. 2 D. 1
A
1. 若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于1,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
D
2. [2020江苏南通高二月考] 设抛物线：的焦点为, 过点(-2,0)且斜率为的直线与交于两点,则( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
C
3. [2021山师附中高二月考] 已知F是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为( )
A. B. C. 1 D.
B
4. [2020山东郓城一中高二月考] 已知为抛物线的焦点,过点作垂直于轴的直线交抛物线于两点,以为直径的圆交轴于两点,且,则抛物线方程为( )
A. B.
C. D.
B
5. 设斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于两点,若,则( )
A. B. 1 C. 2 D. 4
C
[解析] 由题意得,直线的方程为
设,
联立得
整理得
所以,因此,又,所以,解得 .
6. [2020广东深圳红岭中学高二期中] 已知抛物线的焦点为,准线为是上一点且在轴下方,直线与抛物线交于两点,若,则( )
A. B. C. 3 D. 9
B
[解析] 由题意得,
因为,所以,
过点作于点(图略),则,
所以在直角三角形中,,所以,
所以直线的方程为,
联立整理得解得或.
7. 设是抛物线上两点,为原点,若,且的面积为16,则______.
[解析] 由,知抛物线上的点关于轴对称,设,则,解得
在中,,
为等腰直角三角形,
8. [2021广西梧州高级中学高二期中] 已知直线与抛物线交于两点,为抛物线的焦点,若|,则的值是( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由抛物线,知,设,
因为直线过点(2,0)且所以在轴两侧.又 ,所以，
且，即 .
由可得，
由根与系数的关系的代入 ,可得，又，故 .
9. 等腰直角三角形内接于抛物线为抛物线的顶点,,则的面积是( )
A. B. C. D.
B
[解析] 因为抛物线的对称轴为轴,内接为等腰直角三角形,
所以由抛物线的对称性知,直线与抛物线的对称轴垂直,从而直线与轴的夹角为
由方程组得（舍去 ） 或
所以A,B两点的坐标分别为．
所以所以.
10. 已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于两点,若求直线的方程．
[答案] 由题意得,,焦点,
当直线的斜率不存在时,,不符合题意,故直线AB的斜率一定存在．
设直线的斜率为且,
则直线的方程为,
联立整理得，
,解得
直线的方程为
11. [2021山东聊城高二期中] 在轴时,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答.
问题：已知抛物线的焦点为,点.
在抛物线上,且.
[答案] 若选①：
由抛物线的定义可得,因为,所以解得
若选②：
因为,所以,因为点在抛物线上,所以,
即,解得故抛物线C的标准方程为．
（1） 求抛物线的标准方程;
若选③：
因为轴,所以,因为,所以．故抛物线C的标准方程为
（2） 若直线与抛物线交于两点,求的面积．
[答案] 设,由(1)可知．
联立整理得
则,所以
故因为点到直线的距离
所以的面积为
12. (多选)在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,准线为与轴交于点,若点在上,点为抛物线在第一象限内的一点,直线与抛物线交于另一点,是正三角形,且四边形ABFC的面积是，则( )
A. 的方程为 B.
C. D. 的面积是
ABD
[解析] 命题分析 本题考查抛物线的定义、焦点弦的性质及应用,同时考查学生分析问题、解决问题的能力.
答题要领 根据题干条件及抛物线的定义,可求得的值,即可求得抛物线的方程及准线方程,联立直线的方程与抛物线的方程,即可求出的坐标,即可求得利用向量法可检验与是否垂直,利用三角形的面积公式即可求得的面积.
详细解析如图,因为为正三角形,所以|,则由抛物线的定义可知，又,所以．因为,所以
因为四边形的面积为,所以
所以(负值舍去),所以,的方程为,故A正确;
易知直线的方程为,代入抛物线中,得
解得,则,
所以,故B正确;
因为,所以,又
所以,所以BD,CD不垂直,故C错误;
的面积.故D正确.
方法感悟 解题的关键是根据正三角形及四边形的面积求得值,再联立方程,求得的坐标,进行分析和判断,在已知坐标的情况下,证明垂直时,可用向量法.本题属于中档题.(共52张PPT)
第二章 平面解析几何
2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义,标准方程. 3.了解抛物线的简单应用. 1.数学抽象,逻辑推理——能借助实验引入抛物线的概念并推导出抛物线的方程.
2.数学运算——能根据具体的题目条件求解抛物线的标准方程并能够应用.
要点一 抛物线的定义
一般地,设F是平面内的一个定点,是不过点的一条定直线,则平面上到的距离与到的距离相等的点的轨迹称为①_________.其中定点称为抛物线的②_______,定直线称为抛物线的③_______.
抛物线
焦点
准线
1. 到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线吗
提示 定点不能在定直线上,否则点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.
要点二 抛物线的标准方程
（1）焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程:④___________
,焦点:, 准线方程:.
（2）焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程:⑤_______________,焦点:, 准线方程:.
（3）焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程:⑥_____________,焦点:，准线方程：.
（4）焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程:⑦_______________,焦点:，准线方程：.
2. 抛物线的焦点到准线的距离为多少
提示,则,根据的几何意义,知焦点到准线的距离为4.
1.对抛物线定义的理解
（1）定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点,设为;一个定点（抛物线的焦点）;一条定直线（抛物线的准线）;一个定值（点到定点的距离与它到定直线l的距离之比等于1）．
（2）定点不在定直线上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点且垂直于直线l的一条直线．
（1）对称轴要看一次项,符号决定开口的方向．
（2）准线与焦点所在的轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的,即．
2.对抛物线方程的理解
探究点一 抛物线的定义
例
（1） [2020山东临清一中高二期中] 与圆外切,又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )
A.
B. 和
C.
D. 和
D
[解析] 圆可化为,则圆心为,半径为2,设动圆的圆心为,半径为r,根据题意得即,
当时,有
当时,有即则所求的轨迹方程是和.故选择D.
（2） [2021山东潍坊高密一中高二月考] 已知动点的坐标满足方程,则动点的轨迹为( )
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 以上都不对
A
[解析] 由题意,得,易知上式表示动点到定点（0,0）的距离与到定直线的距离相等,且定点不在定直线上,
结合抛物线的定义可知,动点的轨迹是以定点为焦点,定直线为准线的抛物线.故选A.
解题感悟
解决轨迹为抛物线问题的方法
找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
1. 动点到点（0,2）的距离比它到直线的距离小2,则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 动点到点的距离比它到直线的距离小2,动点到点的距离与它到直线的距离相等,根据抛物线的定义可得,动点的轨迹为以点为焦点,直线为准线的抛物线,其标准方程为,故选D.
探究点二 求抛物线的标准方程
例 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1） 焦点为;
[答案] 焦点在轴负半轴上,且,抛物线的标准方程为.
[答案] 焦点在轴正半轴上,且抛物线的标准方程为.
（3） 过点（2,3）;
[答案] 由题意知,抛物线的方程可设为或
将点代入所设方程中,得或,解得或.
所求抛物线的标准方程为或.
（2） 准线方程为;
（4） 焦点到准线的距离为.
[答案] 由焦点到准线的距离为,可知.
所求抛物线的标准方程为或或或.
解题感悟
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤:
注意：当抛物线的类型没有确定时,可设方程为或,这样可以减少讨论情况的个数．
1. [2021湖北武汉高二期末] 已知抛物线,点,过抛物线的焦点作垂直于轴的直线,与抛物线交于两点,若的面积为24,则以直线为准线的抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 因为轴,且过点,所以是焦点弦,且,，
所以,解得或（舍去）,所以直线的方程为,
所以以直线为准线的抛物线的标准方程为.
2. [2021山东淄博高二期末] 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则抛物线的方程为___________．
[解析] 抛物线的焦点为,双曲线的渐近线方程为,
则到渐近线的距离为,所以抛物线的方程为.
探究点三 抛物线定义的实际应用
例 若喷灌的喷头装在直立管柱的顶点处,喷出水流的最高点高,且与所在的直线相距,水流落在以为圆心,半径为的圆上,则管柱的长是多少？
[答案] 如图所示,建立平面直角坐标系,则.
设水流所形成的抛物线的方程为
因为点在抛物线上,所以,所以,
所以抛物线的方程为设点,因为点在抛物线上,
所以
所以的长为.
所以管柱的长为
解题感悟
在抛物线的实际应用中,常以抛物线的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为一条坐标轴建立平面直角坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用 .
如图为一个抛物线形拱桥,当水面经过抛物线的焦点时,水面的宽度为,则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船,其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过( )
D
A. B. C. D.
[解析] 以抛物线的顶点为坐标原点,过顶点且平行于水面的直线为轴,抛物线的对称轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系,设水面宽度为时,水面与抛物线的交点分别为A,B.水面宽度为时,水面与抛物线的交点为.（图略）
由题意及抛物线的定义可知则抛物线的方程为,则,
当宽度为时,设,代入抛物线的方程可得,解得,
设直线与直线的距离为,则,
即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过.
1. [2021陕西长安一中高二期末] 抛物线的焦点坐标为 ( )
A. B. （1,0） C. D.
D
2. 若抛物线的准线为,则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
C
3. 若动圆经过双曲线的左焦点且与直线相切,则圆心的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
B
4. 如图所示,抛物线形拱桥的跨度是20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需要用一支柱支撑,则其中最长的支柱的长度为_____米.
数学运算——求解与抛物线的定义有关的最值问题
1. [2020山东实验中学高二检测] 若抛物线的焦点为,点,为抛物线上一点,且不在直线上,则的周长的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. D.
C
[解析] 审：本题条件为抛物线上的动点与两定点组成的三角形,求三角形周长的最小值是抛物线定义的具体应用,即把到定点的距离转化为到定直线的距离.
联：将问题转化为求的最小值,过作准线的垂线,垂足为根据抛物线的定义可知,则转化为求的最小值,当三点共线时,最小,由即可求解.
解：由抛物线可得焦点,准线方程为．
由题可知,求的周长的最小值即求的最小值．
过点作准线的垂线,垂足为（图略）,则根据抛物线的定义可知．
因此
根据平面几何知识,当三点共线时最小．
所以②.
又因为③,所以的周长的最小值为．故选C.
思：抛物线的定义在解题中的作用就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线中垂线段最短等．
1. [2020山东济宁高二期末] 抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
D
2. [2020哈尔滨第一中学高二期末] 已知抛物线上的一点到此抛物线的焦点的距离为3,则点的纵坐标是 ( )
A. 0 B. C. 2 D.
C
3. 过点(1,-2)的抛物线的标准方程是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
C
4. 已知抛物线的焦点为,过点且垂直于轴的直线与抛物线在第一象限内的交点为,若,则抛物线的方程为
( )
A. B. C. D.
A
5. 平面直角坐标系中,动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等,则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
A
6. [2021湖南长郡中学高二期中] 苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是“东方之门”的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线型,如图1,两栋建筑第八层由一条长的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户,两窗户的水平距离为,如图2,则此抛物线顶端到连桥的距离为( )
B
A. B. C. D.
7. 已知抛物线的焦点为,为上一点,且为坐标原点,则的面积为____.
2
[解析] 根据题意,抛物线的焦点为,
设,则.
8. [2020江西南昌高二期中] 已知圆的方程为,若抛物线过点,且以圆的某一条切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是___________________.
[解析] 设抛物线的焦点为,过作准线的垂线（图略）,
则有,由抛物线的定义得，
,故点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆（去掉长轴两端点）,抛物线的焦点的轨迹方程是.
9. 已知直线过抛物线的焦点,交抛物线于点,交其准线于点,若位于之间）,且,则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 分别过点作垂直于准线,如图,
结合抛物线的定义,可得,易知
,所以,代入数据,得到,所以,易知,所以,则,故,所以抛物线的方程为,故选C.
10. [2021山东枣庄八中高二月考] （多选）已知抛物线的焦点为,圆与抛物线交于两点,点为劣弧上不同于的一个动点,过点作平行于轴的直线交抛物线于点,则下列四个命题中正确的是( )
A. 点的纵坐标的取值范围是
B. 等于点到抛物线准线的距离
C. 圆的圆心到抛物线准线的距离为2
D. 周长的取值范围是（8,10）
BCD
[解析] 圆的圆心为,半径与轴正半轴的交点为（0,5）,抛物线的焦点为,准线为直线,
联立圆的方程和抛物线的方程可得两点的纵坐标为3,
所以点的纵坐标,故A错误;
由抛物线的定义可得等于点到抛物线准线的距离,故B正确;
圆的圆心到抛物线准线的距离为2,故C正确;
的周长为,故D正确.
11. 如图所示,抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,准线与圆相切．
（1） 求抛物线的方程;
[答案] 依题意,可设抛物线C的方程为,则准线的方程为.
准线与圆相切,圆心（0,0）到准线的距离,
解得.故抛物线C的方程为.
（2） 若点都在抛物线上,且,求点的坐标．
[答案] 设,则
由题意得
∴
代入②得
又所以解得即点的坐标为或.
12. 如图,圆上有一动点,抛物线上有一动点,则的最小值为( )
A
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
[解析] 命题分析 已知圆上的动点和抛物线上的动点,求的最小值.
答题要领 利用抛物线的定义求出,再利用的最小值为求解即可．
详细解析 易知抛物线的焦点为,准线方程为
圆的圆心为,半径,
设到准线的距离为,则,
所以,
当三点共线时,取最小值,所以的最小值为2,
所以的最小值为.
方法感悟 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离;
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.
