(共63张PPT)
第二章 平面解析几何
2.6 双曲线及其方程
2.6.2 双曲线的几何性质
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解双曲线的简单几何性质. 2.通过双曲线的学习，进一不体会数形结合的思想. 1.直观想象——能依据双曲线的方程和图形研究其几何性质.
2.数学运算——能利用双曲线的简单几何性质求其方程，或根据双曲线的方程求其简单几何性质.
1.双曲线的几何性质
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
性质 焦距 范围 ①_________________ 或
对称性 对称轴：②____________，对称中心：③___________ 顶点 ， ，
轴长 实轴长=④_____，虚轴长=⑤_____ 离心率 渐近线
轴、轴
或
坐标原点
标准方程
续表
1. 双曲线的焦点在哪个坐标轴上？
提示 轴.
2. 双曲线的离心率是多少？
提示.
2.等轴双曲线
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐进线方程是⑥_________，离心率为.
3. 等轴双曲线的渐进线方程与双曲线的方程有关吗？
提示没有关系，所有等轴双曲线的渐进方程都是.
1.对双曲线渐近线的四点说明
（1）随着和趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．
（2）由渐近线方程可确定与或与的比值，但无法确定焦点位置．
（3）由双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形．
（4），故当的值越大，渐近线的斜率越大，双曲线的开口越大，也越大，所以反应了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
2.等轴双曲线的性质
（1）①渐近线方程为；②渐近线互相垂直；③离心率．
（2）等轴双曲线可以设为，当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．
探究点一 双曲线的几何性质
例
（1） [2021山东济宁高二期中] 点为双曲线上的任意一点，点是坐标原点，则的最小值是( )
A. 1 B. C. 2 D.
B
[解析] 设，则，
点在双曲线上，
，，
，
的最小值是.
（2） 求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
[答案] 将方程化为标准方程为，
，，
，，.
∴双曲线的实轴长，虚轴长，
焦点坐标为(0,-4),(0,4)，顶点坐标为(0,-2),(0,2)，
渐近线方程为，离心率.
解题感悟
由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤：
1. [2021山东威海高二期中] 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点(2,6)，则双曲线的实轴长为
( )
A. 4 B. C. 12 D.
B
[解析] 双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线的方程为，
将(2,6)代入可得，双曲线的方程为，双曲线的实轴长为.
2. [2020山师附中高二月考] （多选）关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是( )
A. 它们有相同的渐近线 B. 它们有相同的顶点
C. 它们的离心率不相等 D. 它们的焦距相等
CD
[解析] 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，故A中说法错误；双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B中说法错误；
双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C中说法正确；
双曲线的焦距，双曲线的焦距，故D中说法正确.
探究点二 由双曲线的性质求方程
例
（1） 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，则该双曲线的方程为( )
B. 或
C.
D. 或
D
[解析] 解法一：当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为，
由，解得，此时双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为，
由，解得，此时双曲线的方程为，.
所以双曲线的方程为或.
解法二：因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线的方程为，即，
因为双曲线的实轴长为8，所以当时，，解得，所以双曲线的方程为；
当时，，解得，所以双曲线的方程为.
所以双曲线的方程为或.
（2） 若双曲线过点，离心率，则双曲线的方程为_____________.
[解析] 由，得，设，则，.
所以所求双曲线的方程为①或②.
把代入①，得，与矛盾，舍去；
把代入②，得，故所求双曲线的方程为.
解题感悟
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法.
（1）当焦点位置明确时，直接设出双曲线的标准方程即可；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论，直接把双曲线方程设成.
（2）当双曲线的渐近线方程为时，可以将双曲线方程设为
1. [2020江西临川一中高二期中] 已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线过点，则该双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，
则渐近线方程为，即，
所以双曲线的方程为，所以，解得，
所以双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，
则渐近线方程为，即，
所以双曲线的方程为，所以，无解.
所以该双曲线的标准方程为.
2. 已知双曲线的右焦点坐标为(2,0)，直线与双曲线的一个交点为，若点到双曲线的两条渐近线的距离之和是，则双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 由题意可知双曲线C的渐近线方程为，，
将代入双曲线方程，可得，则，
则点到两条渐近线的距离之和为，
，，，
因此双曲线的方程为.
探究点三 双曲线几何性质的应用
例
（1） [2021陕西宝鸡高二期末] 若双曲线的离心率，则的取值范围是( )
A. (0,5) B. (5,10) C. (0,15) D. (-15,0)
C
[解析] 双曲线的方程为，，
，
，∴，
，.即的取值范围是(0,15).
（2） [2021山东枣庄高二期中] 已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于，的一点，若直线与直线的斜率都存在，且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. 2 D.
B
[解析] 根据题意，设点，，则，，，，，所以，所以双曲线的离心率.
解题感悟
求双曲线离心率的常见方法：
（1）依据条件求出，，再计算.
（2）依据条件建立参数，，的关系式，一种方法是消去转化成关于离心率的方程求解；另一种方法是消去转化成含的方程，求出后，利用求解.
1. [2020山东济南高二期末] 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 2或 C. D.
D
[解析] 易知直线的方程为，化为一般式得，
原点到直线的距离为，
，即，将代入得，
，即，
解得或，，（舍去）.
2. [2021广东珠海斗门第一中学高二月考] 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，则( )
A. 22 B. 23 C. 4 D. 6
B
[解析] 因为椭圆的离心率为，
所以双曲线的离心率为，解得.
1. [2021天津河东高二期末] 双曲线的渐近线方程是( )
A. B.
C. D.
B
2. [2020山东聊城二中高二月考] 已知双曲线 的实轴长是一条渐近线的斜率的4倍，则双曲线的虚轴长为( )
A. 4 B. C. 2 D.
A
3. [2021陕西西安长安一中高二期末] 某双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点坐标为，则该双曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
D
4. 已知双曲线，其中为其一条渐近线方程，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 3
C
1. [2021山东临沂高二期中] 双曲线的渐近线方程是( )
A. B.
C. D.
C
2. 已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线C的说法正确的是( )
A. 顶点坐标不变 B. 焦距不变
C. 离心率不变 D. 渐近线不变
D
3. [2020山东济南期末] 以椭圆的焦点为顶点，左、右顶点为焦点的双曲线方程为( )
A. B.
C. D.
B
4. 若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
B
5. [2021广东深圳高级中学高二期中] （多选）已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. 焦点为 B. 渐近线方程为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为
BC
6. 已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为16，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则该双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
7. [2020黑龙江大庆实验中学高二月考] 已知圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，若四边形的面积为，则____.
2
[解析] 易知双曲线的渐近线方程为，
不妨设点位于第一象限，则，
根据圆与双曲线的对称性可得，四边形为矩形，
且，，
又四边形的面积为，所以，解得，则，
又点在圆上，则解得.
8. 设点，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点．若的面积为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 设，，则，
，，．
又，，
，．双曲线的渐近线方程为.故选D.
9. [2021山东潍坊诸城一中高二期末] 已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线分别交于，两点.若，，且，则双曲线的离心率为( )
A. 5 B. 3 C. 2 D.
A
[解析] 由题意及余弦定理可得，即，解得．
设为双曲线的右焦点，连接，．根据对称性可得四边形是矩形．如图.
，.，，解得，．
10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线与椭圆有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
[答案] 椭圆方程为，则椭圆的焦距为.
①当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，
，解得，∴双曲线的标准方程为.
②当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，
，解得，∴双曲线的标准方程为
由①②可知，双曲线的标准方程为或.
11. 双曲线的右焦点为．
（1） 若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；
[答案] 由题意，知，，因为，
所以，所以双曲线的方程为.
（2） 以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过点作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．
[答案] 设，由题意知，，从而，又，所以，，所以，将代入双曲线方程中得，
，所以，又，
所以，所以，
即，所以，所以，又，所以，即双曲线的离心率为.
12. 已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 命题分析 本题综合考查椭圆、双曲线的定义，离心率以及余弦定理，综合考查学生分析问题，解决问题的能力.
答题要领 设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得出，，从而得，，又由余弦定理可得，进而得再由，可求得的取值范围.
详细解析 设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，焦点坐标为，不妨设为第一象限的点，作出示意图如图所示，
由椭圆与双曲线的定义得，，所以，，
由余弦定理得，
所以，即，即，所以，
因为，所以，所以，，
所以，所以，所以，所以，故选D.
方法感悟
解题的关键在于得出椭圆的半长轴长、双曲线的半实轴长和半焦距之间的关系，进而得出椭圆、双曲线的离心率之间的关系.(共67张PPT)
第二章 平面解析几何
2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用， 2.了解双曲线的定义、标准方程. 1.数学抽象、逻辑推理——借助试验引入双曲线的概念并推导出椭圆的方程.
2.数学运算——能根据具体的题目条件求解双曲线的标准方程并能够应用.
要点一 双曲线的定义
一般地，如果是平面内的两个定点，是一个①_________，且，则平面上满足的动点的轨迹称为双曲线，其中，两个定点称为双曲线的焦点，两个焦点的距离称为双曲线②_______.
正常数
焦距
1. 点，若，则点的轨迹是双曲线吗？
提示不是. 因为，所以点的轨迹是一条射线.
要点二 双曲线的标准方程
1.焦点在轴上的双曲线的标准方程：，其中. 此时，双曲线的焦点为.
2.焦点在轴上的双曲线的标准方程：③_________________________，其中. 此时，双曲线的焦点为.
2. 双曲线的焦点在轴上，且，对吗？
提示不对. 双曲线的焦点在轴上，但是不一定.
1.对双曲线定义的两点说明
（1）定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支，设分别表示双曲线的左、右焦点.若，则点M在右支上；若，则点在左支上.
（2）双曲线定义的双向运用：
①若，则动点的轨迹为双曲线；
②若动点M在双曲线上，则.
2.双曲线的标准方程的说明
（1）只有当双曲线的两焦点在坐标轴上，并且线段的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程.
（2）标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状，是双曲线的定形条件，这里，与椭圆中相区别，且椭圆中，但的大小关系不确定，而双曲线中，的大小关系不确定.
探究点一 求双曲线的标准方程
例 分别根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1） 经过点；
[答案] 设双曲线的方程为.
两点在双曲线上，
解得
所求双曲线的标准方程为.
[答案] 依题意可设双曲线的方程为，
则解得所求双曲线的标准方程为.
（2） ，经过点(-5,2)，焦点在轴上.
解题感悟
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出的值. 若焦点位置不确定，可按焦点在轴和轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为，通过解方程组即可确定的值，避免了讨论.
求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1） 焦距为26，且经过点；
[答案] 双曲线经过点为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，则设双曲线的方程为，且.
又.
双曲线的标准方程为.
（2） 与双曲线有公共焦点，且过点.
[答案] 设双曲线的标准方程为.由题意，知.
双曲线过点.
又.
故双曲线的标准方程为.
探究点二 双曲线的定义
例 如图所示，已知定圆，定圆动圆M与定圆都外切，求动圆圆心的轨迹方程.
[答案] 圆，圆心，半径.
圆，圆心，半径.
设动圆M的半径为，则有，
.
点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，且.
轨迹方程为.
解题感悟
（1）求解与双曲线有关的点的轨迹问题常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
（2）求解轨迹为双曲线的问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
1. [2021河北保定第二中学高二期末] 圆的半径为，是圆外一个定点，是圆上任意一点. 线段的垂直平分线和直线相交于点，当点P在圆上运动时，点的轨迹是( )
A. 直线 B. 圆
C. 椭圆 D. 双曲线（一支）
D
[解析] 连接，因为是线段的垂直平分线，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以点为焦点的双曲线的一支，故选D.
2. 平面内动点到定点的距离比它到定点的距离大6，则动点的轨迹方程是__________________.
[解析] 由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.
易知，所以，
所以动点的轨迹方程是.
探究点三 双曲线的定义和标准方程的应用
例
（1） [2021天津南开高二月考] 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是( )
A. (-1,3) B.
C. (0,3) D.
A
[解析] 由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以，解得，即，因为方程 表示双曲线，所以解得所以的取值范围是(-1,3)，故选A.
（2） [2020湖南衡阳田家炳实验中学高二期中] 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交双曲线的右支于两点，若是等腰三角形，且，则的周长为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 由双曲线可得. 设. 因为，所以.
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，所以，
在中，由余弦定理得，，
即，
所以，解得，
的周长.
（3） [2020山东聊城一中高二月考] 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使得，则的面积为( )
A. B. C. D.
C
[解析] ，所以，
点在双曲线上，设①.
，
在中，根据余弦定理可得
，故②.
由①②可得，
的面积.
解题感悟
（1）求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积.
（2）由双曲线的方程求参数的值或取值范围的关键是将方程化为标准方程，找到，利用的关系即可解决问题.
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由题意可得，则，
由为双曲线右支上一点，可得，
因为，
所以，则的周长为，故选C.
2. [2021山东济南历城二中高二期中] 已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的面积是
( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
C
[解析] 由双曲线可知，
所以，两边平方可得.
因为，所以，
因此可得，所以.
1. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左，右焦点，若，则( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
D
2. [2021北京昌平一中高二期中] 已知双曲线的一个焦点坐标是(2,0)，则的值为( )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 5
C
3. [2020山东滨州高二期中] 已知双曲线的焦距为10，且，则的方程为( )
A. B.
C. D.
A
4. 设分别是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )
A. B. C. 6 D. 10
C
数学运算——利用双曲线的定义求最值
1. 已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上的动点，则的最小值为( )
C
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
[解析] 审：已知定点，双曲线的方程及双曲线上的动点，求的最小值.
联：设双曲线的右焦点为，作出图形，根据双曲线的定义可得，则，利用三点共线时，取得最小值即可得解.
解：是双曲线的左焦点，
如图，设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得①，则，
所以，
当且仅当②三点共线时，等号成立，因此，的最小值为9. 故答案为C.
思：求解双曲线有关的线段长度和、差的最值时，都可以通过双曲线的定义分析问题，当三点共线时，可得到最值.
1. 已知两定点，在平面内满足下列条件的动点的轨迹中，是双曲线的是( )
A. B.
C. D.
A
2. 若双曲线的焦距为8，则实数的值是( )
A. B. C. 15 D. 17
C
3. [2021山东德州一中高二月考] 已知点为双曲线左支上一点，分别为的左、右焦点，则( )
A. 1 B. 4 C. 6 D. 8
B
4. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. (-1,2)
D
5. 与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
C
6. [2020黑龙江哈尔滨三中高二期中] 已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是9，则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
7. [2020山东济南一中高二月考] 若椭圆和双曲线有相同的焦点是两曲线的交点，则的值是( )
A. B.
C. D.
D
8. 经过点的双曲线的标准方程为_____________.
[解析] 设双曲线的方程为，因为所求的双曲线经过点，所以解得故所求双曲线的标准方程为.
9. 方程化简后的曲线方程为
_____________________.
[解析] 设，
，所以的轨迹就是以为焦点的双曲线的下支，其方程为.
10. [2020吉林一中高二期中] 若动圆过定点且和圆外切，则动圆圆心P的轨迹方程是_____________________.
[解析] 定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为两圆外切，
所以，即，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，
则，所以轨迹方程为.
11. （多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若为双曲线，则焦距为4
D. 若为焦点在y轴上的椭圆，则
BD
[解析] 对于，当时，方程表示圆，所以A中命题不正确；
对于，当时，，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以B中命题正确；
对于，当时，方程，表示双曲线，其焦距为，所以C中命题不正确；
对于，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足解得，
故选BD.
12. [2021福建泉州高二期中] （多选）在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是( )
A. 两个椭圆 B. 两支双曲线
C. 一支双曲线和一条直线 D. 一个椭圆和一支双曲线
BC
[解析] 由题意得，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为，已知圆与圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切. ①若均内切，则，此时，当时，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支；
当时，点在线段的垂直平分线上.
②若均外切，则，此时，
当是，点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支；
当时，点在线段的垂直平分线上.
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则
.
同理，当与圆内切，与圆外切时，.
此时点P的轨迹是以为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上.
[答案] 由椭圆方程可知，，
，
，双曲线的方程为.
（1） 求双曲线的方程；
[答案] 设点在双曲线的右支上，并且设，
由题意及余弦定理得，即，又，
.
（2） 已知点在双曲线上，且，求的面积.
14. 已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆有相同的焦点.
（1） 求双曲线的标准方程；
[答案] 椭圆方程可化为，易知椭圆的焦点在轴上，且，
故设双曲线的方程为，则有解得，所以双曲线的标准方程为.
（2） 若点在双曲线上，分别为左、右焦点，且|. 求的面积.
[答案] 因为点在双曲线上，且，所以点在双曲线的右支上，
则有，故，又，所以在中，由余弦定理得
，
所以，所以.
15. 已知分别是双曲线的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是( )
A. 1 B. C. D. 2
B
[解析] 命题分析 本题为双曲线中焦点三角形面积的最值问题，是双曲线定义的具体应用.
答题要领 利用双曲线的定义求得，过作，设，则，进而利用勾股定理求得，，运用二次函数的性质，可得面积的最大值.
详细解析 由题意可得，
由双曲线的定义可得，
，
因为，所以，
，
过作，垂足为，如图.
设，则，
由勾股定理可得
，解得，则的面积为，当且仅当，即时，取得等号.
则面积的最大值是.
方法感悟 根据勾股定理和三角形面积公式得到面积关于的函数是解题关键.
