(共60张PPT)
第二章 平面解析几何
2.5 椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
第2课时 椭圆几何性质的综合问题
探究点一 椭圆中的最值与范围问题
例
（1） [2021山东聊城三中高二月考] 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
[解析] 由椭圆方程得，设，则，
为椭圆上一点，，即，且，
.
，当时，取得最大值6.
（2） 椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
B
[解析] 易知，设点坐标为，
则，，，于是，
.
.故选B.
解题感悟
求解椭圆的最值问题的基本方法：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解.
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用的方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等.
1. [2020山东潍坊高二期末] 已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为( )
A. B. 2 C. D. 3
C
[解析] 由题意可得，解得，
则椭圆的方程为，设椭圆上点的坐标为，则，
故，
当时，.
2. [2020江苏南通高二月考] 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的动点的坐标为，且为锐角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 易知，，
由为锐角，得，
由点在椭圆上，可得，即，
代入可得，整理得，即，
当时，，不符合题意，舍去，
所以的取值范围是.
探究点二 椭圆上的点与直线的距离有关的问题
例 已知椭圆，直线：，求椭圆上的点到直线的最短距离.
[答案] 由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交.设直线平行于直线且与椭圆相切，如图，则直线的方程可以设成.
由方程组消去，得.
由，
解得或.
由图可知，当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最近，
此时直线的方程为.
则直线与直线间的距离，即为切点到直线的距离.所以，所求的最短距离是.
解题感悟
本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为平行线间的距离问题，即已知直线与和它平行且与椭圆相切的直线间的距离.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去（或）得到关于（或）的一元二次方程，利用直线与椭圆相切解决问题.
在椭圆上求一点，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离.
[答案] 设与椭圆相切并与平行的直线方程为，与联立，
整理得，则，
，故两切线方程为和，易知直线，即距直线最近，距离，
即为切点到直线的最短距离.
由可得故点的坐标为，最短距离为.
探究点三 椭圆的实际应用问题
例 某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米.要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）.
（1） 若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？
[答案] 建立平面直角坐标系，如图，则点，设椭圆方程为.
将米与点的坐标代入椭圆方程，得，
此时米，因此隧道的拱宽约为33.26米.
（2） 若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？并求出最小土方量.（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1立方米；；；）
[答案] 根据题意，将(11,4.5)代入椭圆方程可得.
因为（当且仅当时取等号），
所以，
所以，当取最小值时，，得，
此时米，米，
故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小.
最小土方量为立方米.
解题感悟
本题考查椭圆的实际应用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题.
1. [2020福建厦门国祺中学高二月考] 某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是近似椭圆的曲线，曾有渔船在与岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群.以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图.
（1） 求曲线的标准方程；
[答案] 由题意知曲线C是以为焦点且长轴长为8的椭圆，设该椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，
则，则，，故，所以曲线的方程是.
（2） 某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为5:3，则能否确定处的位置（即点的坐标）？
[答案] 因为两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为5:3，
所以鱼群此时距两岛的距离比为5:3，即鱼群与A，B两岛的距离分别为5海里和3海里.
设，易知，由得，
联立解得，所以点的坐标为(2,3)或(2,-3).
1. 在椭圆中，分别为椭圆的左、右顶点，为左焦点，是椭圆上的点，则面积的最大值为( )
A. 16 B. 32 C. D.
A
2. 已知点是椭圆上任意一点，则点到直线：的最大距离为( )
A. B.
C. D.
A
3. 如图所示，“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的半长轴长分别为，半焦距分别为，则以下四个关系：①，②，③，④中正确的是_______.
②③
数学运算——换元法在求与椭圆有关的最值中的应用
1. 已知点是椭圆上的一个动点.
（1） 定点，求的最小值；
[答案] 由点在椭圆上，可设.，
所以当时，最小，为.
（2） 求点到直线的距离的最大值.
[答案] 点到直线的距离
，其中，取锐角.
当时，，即点到直线的距离的最大值为.
素养探究：本题考查与椭圆有关的最值问题，因为点是椭圆上的一个动点，所以可设，求出和点到直线距离的表达式，结合三角函数知识即可求解.体现了数学运算的核心素养.
1. [2020吉林一中高二期中] 设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是( )
A. B. 1 C. 3 D. 9
D
2. 椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点.若为钝角，则点横坐标的取值范围为( )
A. B.
C. D.
B
3. [2021山东日照高二期中] 已知点是椭圆上的动点，当点到直线的距离最小时，点的坐标是( )
A. B.
C. D.
C
4. 设点分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的值可以是( )
A. B. 3 C. 5 D. 8
B
5. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上的一个动点，则的最小值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
C
6. “神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面，远地点距地面，地球半径为，则这个椭圆的焦距为________.
7. [2020山东淄博四中高二月考] 在平面直角坐标系中，动点在椭圆：上运动，则点到直线的距离的最大值为_______.
8. 一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.
[答案] 以椭圆部分与矩形部分的分界线为轴，以隧道的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则椭圆长轴长，即，所以椭圆的标准方程为.
（1） 建立适当的平面直角坐标系，求隧道上半部分所在椭圆的标准方程；
（2） 一辆卡车运载一个长方体集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计，箱宽为，若要求通过隧道时，车体不得超过中线，则这辆卡车是否能通过此隧道？请说明理由.
[答案] 能通过.理由：由题意，将代入椭圆方程中，得，
此时隧道的高为.
因为车与箱的高度共计，
所以当卡车靠近中线行驶时，能够通过此隧道.
9. [2021山东济南实验中学高二期中] 平面内任意一点到两定点、的距离之和为4.
[答案] 因为，所以由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，，所以点的轨迹方程为.
设点的坐标为，所以，，，
因为，所以，与联立，
解得.因为，，
所以，则点的坐标为.
（1） 若点是第二象限内的一点，且满足，求点的坐标；
（2） 设平面内有关于原点对称的两定点、，判断是否有最大值和最小值，请说明理由.
[答案] 有最大值和最小值.理由如下：
设，则，
则，，
则，又，即，
所以，因为，所以，
.
10. 椭圆有一条光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过椭圆的另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆的一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
[解析] 由题意可得，，，所以.
①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点（较近的）再反射，则所经过的路程为.
②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点（较远的）再反射，则所经过的路程为.
③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向出发，则所经过的路程为.故选B.
11. 某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为，短轴长为的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，如图，则船只已进入该浅水区的判别条件是__________________.
[解析] 依题意知，.故答案为.
12. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了小明的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径万米）的中心F为右焦点的椭圆.已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2 500万米.
（1） 如图，求给定的平面直角坐标系下的椭圆的标准方程；
[答案] 由题意知，则，所以椭圆的方程为.
（2） 若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的半长轴长、半短轴长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”.若地球与木星不会发生碰撞，求“变轨系数”的取值范围. （精确到小数点后一位）
万米时所在的位置为，，则
[答案] 设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为
，
设直线：，
若地球与木星不会发生碰撞，则点到直线的距离大于木星半径，
即.即的取值范围为(-1.8,1.1).
13. 如图，小明想将短轴长为2，长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形，且梯形内接于半椭圆，，为短轴，为半长轴.
[答案] 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系（图略）.
易知半椭圆的方程为，设椭圆上的点，
所以，且，
所以.
（1） 求梯形上底边长与高的关系式；
（2） 若半椭圆上到点的距离最小的点恰好为点，求底边的长度的取值范围.
[答案] 设为半椭圆上一点，由（1）可知点，
所以，，
又函数的图像的对称轴方程为，
所以，解得，所以，
由（1）知.
所以底边|DE|的长度的取值范围为.
14. 如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上任意一点，给出下列三个命题：
①到四点的距离之和为定值；
②曲线关于直线均对称；
③曲线所围成的区域面积必小于36.
上述所有正确命题的序号为_______.
②③
[解析] 命题分析 本题考查了椭圆的相关知识，判断命题的正误，意在考查学生的计算能力和推断能力.
答题要领 利用点既在椭圆上，也在椭圆上，结合椭圆的定义与几何性质求解.
详细解析 ①不考虑交点的情况，当在椭圆上时，，不为定值，错误；
②两个椭圆均关于直线对称，故曲线C关于直线均对称，正确；
③曲线C在边长为6的正方形内部，故面积小于36，正确.
方法感悟 解答本题的关键是抓住椭圆的定义和椭圆的对称性，涉及椭圆上一点到两焦点的距离时，要考虑椭圆的定义的应用，椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形.(共63张PPT)
第二章 平面解析几何
2.5 椭圆及其方程
2.5.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
课 标 解 读 课标要求 素养要求
1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用. 1.直观想象——能依据椭圆的方程和图形研究其几何性质.
2.数学运算——能利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程，或根据椭圆的方程求其简单几何性质.
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程
图形
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
焦点
焦距 范围 ①________________________ ②__________________________
对称性 对称轴：③_______________________________， 对称中心：(0,0) 顶点
且
且
续表
轴和轴
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
轴长 长轴长④_______，短轴长⑤______ 离心率 ⑥____________， 当越趋近于1时，椭圆越扁， 当越趋近于0时，椭圆越接近于圆
(0,1)
续表
1. 椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？
提示椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为.
2. 若椭圆的长轴长和短轴长已经确定，则椭圆的标准方程是否能够确定？
提示 不确定，因为椭圆的焦点位置不确定.
3. 在不变的情况下，随的变化，椭圆的形状如何变化？若不变，随的变化，椭圆的形状又如何变化呢？
提示不变，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁.
不变，越大，椭圆越圆；越小，椭圆越扁.
椭圆几何性质的应用
（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点.
（2）明确的几何意义，是半长轴长，是半短轴长，不要与长轴长、短轴长混淆.
（3）椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线，围成
的矩形内，即，.椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及.
（4）如图，若椭圆的标准方程为，则椭圆与轴的交点到焦点的距离分别最大和最小，且.
（5）如图所示的椭圆中，，，，.
探究点一 椭圆的几何性质
1. [2021山东济南高二月考] 若点在椭圆：的内部，则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
B
[解析] 由题意得，解得，
所以的取值范围是.
2. （多选）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面的距离为100千米，远月点与月球表面的距离为400千米，已知月球的直径约为3 476千米，对于该椭圆，下述四个结论正确的是( )
A. 焦距约为300千米 B. 长轴长约为3 976千米
C. 两焦点坐标约为 D. 离心率约为
ABD
[解析] 设该椭圆的半长轴长为千米，半焦距为c千米.依题意可得月球半径约为（千米），易知，，，，，椭圆的焦距约为150×2=300（千米），长轴长约为3 976千米，离心率约为，可得结论A、B、D正确，没有给坐标系，焦点坐标不确定，结论C错误.
3. 求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
[答案] 由已知得，
.
椭圆的焦点在轴上，半长轴长，半短轴长，半焦距，
∴椭圆的长轴长，短轴长，
焦点坐标为，
顶点坐标为，
离心率.
解题感悟
若所给的椭圆方程不是标准方程，则先把其化为标准方程，然后分清焦点的位置，求出，再求相应的性质.
探究点二 根据椭圆的几何性质求椭圆的方程
例
（1） 已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 易知直线与轴的交点为(-5,0)，
由题意得椭圆的左顶点为(-5,0).
所以椭圆的半长轴长，由椭圆的离心率为，知.则，
所以椭圆的方程为.
（2） [2020山东淄博高二期中] 阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆：的面积为，直线过椭圆的两个顶点，且椭圆的中心到直线的距离为，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 依题意，，故①，
不妨设直线：，即，
则椭圆的中心到直线的距离为，解得②，
联立①②，解得，，
故椭圆C的方程为.
变式. 把本例（1）的条件改为“椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为”，求椭圆的标准方程.
[答案] 由题意得
.
所求椭圆的标准方程为或.
解题感悟
在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程（组）确定.
1. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 由长轴长是短轴长的2倍，得，即，
焦距等于，所以，即.
由，解得，，所以椭圆的标准方程为.
探究点三 椭圆几何性质的应用
例
（1） [2020山东济南月考] 2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星的运行轨道（椭圆）的离心率是( )
A. B. C. D.
D
[解析] 以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴建立平面直角坐标系（图略），
令地心为椭圆的右焦点，设椭圆的标准方程为，
则地心的坐标为，由题意，得，
解得，所以.
（2） 已知椭圆的离心率是，则的最小值为( )
A. B. 1 C. D. 2
A
[解析] 由题意可得，，即，
，
则，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为.
解题感悟
求椭圆离心率的方法：
①直接求出和，再求，也可利用求解.
②若和不能直接求出，则看是否可利用条件得到和的齐次等式，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率的方程，进而求解.
1. [2021山东聊城高二期末] 某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率.设黄金椭圆的半长轴长，半短轴长，半焦距分别为，则满足的关系是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 椭圆为黄金椭圆，，
，
，
故选B.
2. [2021山东东营广饶一中期末] 已知椭圆：的左，右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
A
[解析] 因为为正三角形，所以，取线段的中点，连接，如图.
易知，，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
1. 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点为，则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
D
2. [2021山东聊城高二月考] （多选）已知椭圆：，则下列结论正确的是( )
A. 长轴长为 B. 焦距为
C. 焦点坐标为 D. 离心率为
CD
3. [2020山师附中高二月考] 某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星，信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星的图片和其轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约（是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，千米），若将太阳看成一个质点，哈雷彗星的轨迹可以近似看成以太阳为一个焦点的椭圆，则该椭圆的离心率约是( )
A. 1.03 B. 0.97 C. 0.83 D. 0.77
B
1. 点(1,1)与椭圆的位置关系为( )
A. 点在椭圆上 B. 点在椭圆内 C. 点在椭圆外 D. 不能确定
B
2. [2020山东聊城高二检测] 已知椭圆左，右焦点的坐标分别是，，离心率是，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
A
3. [2021山东淄博高二检测] 已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
D
4. 比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是( )
A. B.
C. D.
B
5. [2021山东烟台高二月考] （多选）若椭圆：的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是( )
A. B. 的长轴长为
C. 的短轴长为 D. 的离心率为
ACD
6. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
D
7. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 因为椭圆：的离心率为，
所以，所以，所以椭圆的方程为，
所以椭圆的上顶点为，右顶点为，
所以经过两点的切线方程分别为，
所以两条切线的交点坐标为，易知过的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，则圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
8. [2021山东济宁高二期末] “九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目.“嫦娥四号”探测器实现了历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道的示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴端点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴端点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为_____千米.
85
[解析] 设椭圆的半长轴长为千米，半焦距为千米，月球半径为千米，
由题意，可得解得，即椭圆形轨道的焦距为85千米.
9. 在椭圆中，为一个焦点，为两个顶点.若，，则的所有可能值为____________.
[解析] 由，，得两点不可能同时是短轴上的两个端点，
若三点均在长轴上，则解得，所以；
若与在长轴上，且分布在轴两侧，在短轴上，
则解得，则，所以；
若均在长轴上，且分布在轴同一侧，在短轴上，则
解得，，则，所以.
10. 已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点和轴上的较近顶点的距离为，求椭圆方程，并求出长、短轴长，离心率.
[答案] 椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，，
又焦点和轴上的较近顶点的距离为，，
解得，
椭圆的标准方程为，长轴长，短轴长，
离心率.
11. [2020福建龙岩一中高二检测] 天文学家开普勒的行星运动定律可表述为绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴长的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，其中为中心天体的质量，为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取，则冥王星的公转周期约为( )
A. 157年 B. 220年 C. 248年 D. 256年
C
[解析] 设地球椭圆轨道的半长轴长为，公转周期为，冥王星椭圆轨道的半长轴长为，公转周期为，则两式相除并化简得，所以（年）.
12. （多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，是C上的动点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
AD
[解析] 由椭圆的定义可知，所以A中结论正确；
依题意知，所以，所以B中结论错误；
，当为椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值，为，所以C中结论错误；
以线段为直径的圆的圆心为(0,0)，半径，圆心到直线的距离为，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D中结论正确.
13. 把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线，分别交椭圆的上半部分于点，是椭圆的左焦点，则等于( )
A. 21 B. 28 C. 35 D. 42
C
[解析] 设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义得，
由椭圆的对称性，知，
.
同理，可知.
又.
14. 已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[答案] 椭圆方程可化为.
，
设椭圆的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，则，，.
由，得.
椭圆的标准方程为.
椭圆的长轴长和短轴长分别为和，焦点坐标为
，
四个顶点的坐标分别为.
15. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 离心率是，长轴长是6；
[答案] 设椭圆的标准方程为或.
由题意知，则.
.
椭圆的标准方程为或.
（2） 在轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[答案] 设椭圆的标准方程为.
设为椭圆的一个焦点，分别为短轴的两个端点，
则为等腰直角三角形，为斜边的中线，
且，，，
故所求椭圆的标准方程为.
16. [2020山东德州高二月考] 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点非左、右顶点）使，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 命题分析 本题条件涉及椭圆的焦点坐标和，所以注意应用椭圆的定义解题.
答题要领 由椭圆的定义和题设条件，可求得，根据，得到，即可求解.
详细解析 由椭圆的定义知，因为，
所以，解得，
因为在椭圆上，且不是左、右顶点，所以，即，化简得，解得或，又因为，所以.
方法感悟 求椭圆的离心率（或取值范围）的常见方法有两种：①求出，代入公式；②根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值（或取值范围）.(共60张PPT)
第二章 平面解析几何
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
课 标 解 读 课标要求 素养要求
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方 程. 1.数学抽象、逻辑推理——能借助实验引入椭圆的概念并推导出椭圆的方程.
⒉数学运算——能根据具体的题目条件求解椭圆的标准方程并能够应用.
要点一 椭圆的定义
如果，，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足①___________________的动点的轨迹称为椭圆，其中，两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的②_______.
焦距
1. 已知，，平面内到，，两点的距离之和等于8和等于6的点的轨迹是椭圆吗？
提示因为，所以动点的轨迹是线段，不是椭圆；因为，所以动点不存在，因此轨迹不存在.
要点二 椭圆的标准方程
1.焦点在轴上的椭圆的标准方程：③_______________________，其中.此时椭圆的焦点为，.
2. 焦点 在轴上的椭圆的标准方程：④_______________________，其中.此时椭圆的焦点为，.
2. 由椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示判断椭圆焦点在哪个坐标轴上就要判断椭圆的标准方程中项、项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
1.对椭圆定义的三点说明
（1）椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
（2）定义中到两定点的距离之和是常数，不能是变量.
（3）常数（）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是不是椭圆的限制条件.
（1）标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴或轴上.
（2）标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与或与的平方和，并且分母为不相等的正值.
2.对椭圆标准方程的三点认识
（3），，三个量的关系：椭圆的标准方程中，表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.长为，，（都是正数）的线段恰构成一个直角三角形的三条边，是斜边长，所以，，且.（如图所示）
探究点一 椭圆的定义
（1） 如图所示，是圆内一定点，是圆周上一个动点，的垂直平分线与交于点，则点的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 射线
B
例
[解析] 连接（图略），垂直平分，，设圆的半径为，
则，故点的轨迹是以，A为焦点的椭圆，故选B.
（2） 若动点满足，则动点的轨迹是( )
A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 直线
A
[解析] 动点满足， 设，，
可得，，
动点的轨迹为线段.
解题感悟
椭圆的定义具有双向作用，即若（），则动点的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和必为.
点是圆：内一定点，动圆与已知圆内切且过点，判断圆心的轨迹.
[答案] 方程化成标准形式为，则，半径.因为动圆与已知圆内切且过点，所以，根据椭圆的定义知，圆心到两定点，的距离之和为定值8，且，所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.
探究点二 用待定系数法求椭圆的方程
例
（1） 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-4,0)(4,0)，并且经过点，求椭圆的标准方程；
[答案] 椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为.依题意得解得
所求椭圆的标准方程为.
[答案] 设椭圆的方程为.
椭圆过(2,0)和(1,0)两点，
所求椭圆的标准方程为.
（2） 若椭圆经过(2,0)和(0,1)两点，求椭圆的标准方程.
解题感悟
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.
（1）当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在轴上和焦点在轴上进行分类讨论，但要注意这一条件.
（2）当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成的形式，有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
1. 已知椭圆的右焦点为，点(0,-3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由题意可得解得故椭圆的方程为.
2. 与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 化为标准方程为，
可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，
故可设所求椭圆的方程为，
又，即，，所以，故所求椭圆的标准方程为.
探究点三 椭圆的定义及方程的应用
例
（1） [2021山东聊城高二期中] （多选）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则( )
BCD
A. 的周长为12
B.
C. 点到轴的距离为
D.
[解析] 由椭圆方程知，，所以，，
所以的周长为，故A选项错误；
在中，由余弦定理可得，
所以，
解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，
则，
所以，故C选项正确；
，故D选项正确.
（2） 已知分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，，且，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 设，则，
，，
由椭圆的定义可得，，则，
，，
即，解得，
则与的面积之比.
解题感悟
（1）在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于.
（2）在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）来求解.
设为椭圆上的一个点，，为椭圆的焦点，，则的面积为( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 33
D
[解析] 因为椭圆的方程为，所以，，，
设，，则，
由余弦定理得
，又，所以，
又，
所以，即，
所以.
1. [2020山东潍坊高二月考] 若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 不存在
C
2. 已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是( )
A.
B.
C.
D. 或
D
3. 已知椭圆，分别是其左、右焦点，过点作一条斜率不为0的直线交椭圆于两点，则的周长为( )
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
C
逻辑推理——利用椭圆的定义求解最值问题
1. [2020山东临沂高二期中] 点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为______.
解：记椭圆的左焦点为，则①，所以，可化为，即圆 的圆心为②(-3,4)，半径 ，作出图形如下：
由圆的性质可得，，所以（当且仅当③，，，四点共线时，等号成立），所以的最小值为.
[解析] 审：已知椭圆的方程，求椭圆上的动点到圆上的动点与定点距离差的最小值.
联：记椭圆的左焦点为，则，由圆的方程，得到圆的圆心和半径，画出图形，结合图形，得到，即可求出结果.
思：求一动点到两点的距离差的最小值时，一般根据动点的轨迹方程，结合定义，将差转化为距离和的问题，结合图形，即可求出结果.
1. [2021山东东营一中高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，且，则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
2. 椭圆的焦距是2，则( )
A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 2
C
3. [2020山东临沂高二月考] 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. 且
C. 且 D. 且
C
4. 已知的周长是20，且顶点的坐标为(0,-4)，顶点的坐标为(0,4)，则顶点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
C
5. [2020北京首都师范大学附属中学高二期中] 已知椭圆的焦点为，.过点的直线与交于，两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
C
6. 椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由已知得，，，所以，
所以解得，.所以椭圆的方程为.
7. [2020山东日照高二期中] 设椭圆的两个焦点分别为，，是上一点，若，且，则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 因为，所以，是上一点，由椭圆的定义得，又，
所以，，
又，
所以，
所以在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得，则，
所以椭圆的方程为.
8. [2021海南海口海南中学高二期中] （多选）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，B两点，则下述结论正确的是( )
A. 为定值
B. 周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形
D. 当时，的面积为
AD
[解析] 设椭圆的左焦点为，
则，
为定值，A中结论正确；
的周长为，
为定值6，
的取值范围是(0,6)，周长的取值范围是(6,12)，B中结论错误；
将与椭圆方程联立，可解得交点坐标为，，不妨取，.
，，为钝角，
不是直角三角形，C中结论错误；
将与椭圆方程联立，不妨取，.
，D中结论正确.
9. 已知椭圆的焦点为，，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由，得，
可设，，
在中，由，得，根据椭圆的定义得，
所以，故，即，
所以，设点到轴的距离为，则，又，故.
10. 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 焦点在轴上，焦距是4，且经过点；
[答案] 由焦距是4可得，
且焦点坐标为(0,-2)，(0,2).
由椭圆的定义知，，
所以，所以.
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.
（2） ，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.
[答案] 由题意知，，即，因为，所以，所以，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为或.
11. 已知，为椭圆的两个焦点，在椭圆上，且的面积为，求.
[答案] 根据题意及余弦定理得，
，
整理得.
的面积为，
，
.
，
，（负值舍去），
（负值舍去），
.
12. [2020山东淄博高二月考] 已知为椭圆的下焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为(1,1)，则当的值最大时，点的坐标为__________.
[解析] 命题分析 本题为椭圆的定义与方程的具体应用，考查化归的思想方法.
答题要领 设椭圆的上焦点为，由椭圆的定义可得，根据三角形的性质可得，当，，共线时，有最大值，利用直线与椭圆的交点可得结果.
设椭圆的上焦点为，如图.
则，
当，，共线时，有最大值5，
易知此时直线的方程为，与椭圆方程联立，
可得或（舍去），故.
方法感悟 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是应用几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
