(共62张PPT)
第二章 平面解析几何
2.3 圆及其方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. ⒉能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 1.直观想象——能借助图形理解直线与圆的位置关系及切线、弦长问题
⒉数学运算——能利用代数运算解决直线和圆的方程问题
1. 如图
（1）所示，直线与圆有①_______公共点时，称直线与圆相交，且称直线为圆的②_______；如图（2）所示，直线与圆只有③_______公共点时，称直线与圆相切，且称直线为圆的④_______，称公共点为切点；如图（3）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆⑤_______.
两个
割线
一个
切线
相离
2. 几何法判断直线和圆的位置关系
如图所示，如果的半径为，圆心到直线的距离为，则：
直线与相交⑥_______；
直线与相切；
直线与相离⑦_______.
1. 若直线与圆有公共点，则直线与圆是什么位置关系？
提示 相交或相切.
2. 直线与圆的位置关系是什么？
提示 相交.
1.代数法判断直线与圆的位置关系
联立直线的方程与圆的方程组成方程组消去（或）得到关于（或）的一元二次方程的判别式，其判别式为.
①直线与圆相切；
②直线与圆相交；
③直线与圆相离.
2.判断直线与圆位置关系的注意点
（1）利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个变量，得到关于或的一元二次方程，由判断方程解的个数，利用解的个数判断直线与圆的位置关系.
（2）利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须求出圆心坐标，圆的半径和圆心到直线的距离，比较与的大小，进而进行判断.
（3）一般情况下，代数法运算比较烦琐，而几何法较简捷，是判断直线与圆位置关系的常用方法.
探究点一 直线与圆位置关系的判断
例
（1） [2021山东聊城高二期末] 直线与圆的位置关系是( )
A. 相切 B. 相交且直线过圆心
C. 相交但直线不过圆心 D. 相离
C
[解析] 圆的圆心为，半径.
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
（2） （多选）已知圆，直线.下列命题中正确的有( )
A. 对任意实数和，直线和圆有公共点
B. 对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切
C. 对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切
D. 存在实数与，使得圆上有一点到直线l的距离为3
AC
[解析] 易知圆与直线恒过原点，所以A正确；
设圆心到直线的距离为，则，
所以对于任意实数k，直线l与圆相交或相切，所以C正确，B不正确；
易知圆上的点到直线的距离最大值为，所以D不正确.
解题感悟
直线与圆的位置关系的判断方法：
（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
1. [2020宁夏青铜峡高级中学高二期中] 直线与圆的位置关系是 ( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法判定
A
[解析] 圆的圆心是(2,3)，半径，故圆心(2,3)到直线的距离，故直线与圆相交.
2. [2020山东济南高二月考] 直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 与的取值有关
C
[解析] 由知圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
探究点二 直线与圆相切问题
例
（1） [2021山东聊城高二期中] 已知圆与直线相切，直线始终平分圆的面积，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 在中，令，则，
则直线过定点(0,-1).由于直线始终平分圆的面积，则点(0,-1)是圆的圆心，
因为圆与直线相切，所以圆的半径
所以圆的方程为，即.
（2） 过点作圆的切线，求此切线的方程.
[答案] 因为，所以点在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，
则切线方程为，即.
设圆的圆心为，则，因为圆心到切线的距离等于半径1，
所以，即，
所以，解得.
所以切线方程为，即.
②若直线斜率不存在，圆心到直线的距离为1，
这时直线与圆相切，切线方程为.
综上，所求切线的方程为或.
变式 若本例（2）的条件不变，求其切线长.
[答案] 设圆的圆心为，则，设切点为，则为直角三角形，
，，
则，所以切线长为4.
解题感悟
1.求过一点的圆的切线方程问题时，首先要判断该点与圆的位置关系.若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式，用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况；若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.
2.一般地，圆的切线问题，若已知切点，则用（分别为切线和圆心与切点连线的斜率）列式；若不知切点，则用（为圆心到切线的距离，为半径）列式.
1. [2020山东潍坊高二月考] 若圆与直线相切，则( )
A. 3或-1 B. -3或1 C. 2或-1 D. -2或1
B
[解析] 易知圆的圆心坐标为(1,-2)，半径为，
因为圆与直线相切，
所以，可得，解得或.
2. [2021山西怀仁一中高二月考] 过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为( )
A. 22 B. 322 C. 102 D. 2
C
[解析] 圆的标准方程为，
若切线长最小，则直线上的点与圆心的连线与该直线垂直，
易知圆心到直线y=x的距离，
所以切线长的最小值为，故选C.
探究点三 直线和圆相交
例
（1） 求直线被圆截得的弦的长.
[答案] 解法一：由可得，解得交点，
弦的长为.
解法二：由消去得.
设两交点的坐标分别为，.
则由根与系数的关系得 ，
，
即弦的长为10.
解法三：圆可化为，其圆心坐标为(0,1)，半径，
点(0,1)到直线的距离，所以半弦长为，所以弦长.
（2） [2021山东滨州高二期中] 在①圆经过；②圆心在直线上；③圆截轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.
已知圆E经过点，且_____________
（i）求圆的方程；
（ii）已知直线经过点(-2,2)，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.
（i）设圆的方程为，依题意有
解得，所以圆的方程为，即圆E的标准方程为.选条件②，
（i）设圆的方程为，因为圆E经过点，且圆心在直线上，所以解得，所以圆的方程为.（ii）选条件①，设圆心到直线l的距离为，则弦长，当直线的斜率不存
在时，，所以直线的斜率存在，设其方程为，即，则，解得或，所以所求直线的方程为或.选条件②，
（ii）解析同条件①.选条件③，
（i）设圆的方程为，由圆经过点 ，得 因为圆截 轴所得弦长为8，
故方程的两个实数根的差的绝对值为8.所以，即，解方程组 得 或
，由于圆心 的坐标为整数，故圆 的方程为 .（ii）解析同条件①.
解题感悟
求直线与圆相交所得弦长的两种常用方法：
（1）几何法：直线与圆交于两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则.
（2）代数法：设直线与圆的两交点分别是，
则，其中为直线l的斜率.
1. 若直线被圆截得的弦长为4，则( )
A. 5 B. 5或-3 C. 3 D. 3或-5
B
[解析] 由题可知圆的圆心坐标为(1,2)，半径，
则圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为4，
，即，解得或.
2. [2021山东实验中学高二月考] 已知圆，则过点的圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A. B. C. D.
C
[解析] 圆的圆心，半径，易知最长弦为圆的直径10，最短弦所在的直线与最长弦垂直，且，
最短弦的长为，
故所求四边形的面积.
1. [2021辽宁抚顺第十二中学高二期中] 直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
B
2. [2020山东青州一中高二期中] 若圆心坐标为(2,-1)的圆被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是( )
A. B.
C. D.
B
3. 过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为( )
A. B. C. 4 D. -4
D
4. 直线截圆所得的弦长为____.
8
[2020江苏南通启东中学高二开学考试] 数学建模——直线与圆的实际应用
树林的边界是直线（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点和点处，（为正常数），若兔子沿方向以速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（为正常数），若狼到达处的时间不超过兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子.
[解析] 思：解答本题的关键是建立平面直角坐标系，把实际应用问题转化为直线和圆的问题，通过求出直线的斜率的取值范围，从而得到其倾斜角的范围.
（1） 求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积；
[答案] 如图，建立平面直角坐标系，设 由 得① .
在以为圆心，半径为的圆上及其内部，
.
（2） 若兔子要想不被狼吃掉，求的取值范围.
[答案] 设，若兔子要想不被狼吃掉，
则②，解得，可得，，即的取值范围是.
[解析] 审：本题的解题关键是掌握圆的基础知识和点到直线的距离公式，及其圆在实际问题中的应用，考查了分析能力和计算能力.
联：（1）兔子的不幸点满足，即，建立平面直角坐标系可求得所在区域的形状，即可求得.
（2）兔子要想不被狼吃掉，则兔子行进的路线与狼所在的区域不能有重叠，所以可转化为直线和圆的位置关系的问题，即利用圆心到直线的距离和圆的半径比较，可得结果.
1. 直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定
A
2. 若直线与圆相切，则实数的值为( )
A. 1或7 B. 2或-2 C. 1 D. -1
D
3. [2021山东聊城高二检测] 已知圆与直线相切于点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
4. [2021山东济宁邹城一中高二期末] 过点作圆的切线，切点为，则( )
A. 2 B. 5 C. 3 D. 5
B
5. [2021山东烟台高二月考] 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为 ( )
A. B.
C. D.
B
6. 直线与圆相交于点，则( )
A. B. C. D.
D
7. [2021山东滨州高二期中] 已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆C被直线截得的弦长为27，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 设圆心为，因为在圆上，所以圆的半径，易知圆心到直线的距离，
因为圆被直线截得的弦长为，
所以解得，
所以，因此，所求圆的方程为.
8. [2021山东潍坊高二期末] 已知圆，斜率为的直线过定点，且与圆相切，则的方程为_________________.
[解析] 圆，则圆心为，半径.
由直线过定点，设直线的方程为，则圆心到的距离，
，解得.
直线的方程为，即.
9. [2021山东济南济钢中学高二期末] 已知点是直线上的一点，过作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为____.
3
[解析] 由题意得，，所以要使切线长取最小值，则需取最小值，此时为切点，过圆心作直线的垂线，则点为垂足（图略），此时，直线的方程为，联立解得即的坐标为(3,3).
此时，
.
10. [2020山东潍坊高二期中] 一条光线从点(2,3)射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为___________.
或
[解析] 由题意可知点(-2,3)在反射光线上，
设反射光线所在的直线方程为，即.
圆的圆心坐标为(3,-2)，半径为1，
由直线与圆相切的性质可得，解得或.
11. [2020浙江台州临海中学高二月考] （多选）点是直线上的动点，由点向圆引切线（为切点），则下列关于切线长的说法中，正确的有( )
A. 切线长没有最大值 B. 切线长可能为4
C. 切线长有最小值 D. 切线长不可能为3
ABC
[解析] 设，则，
所以切线长没有最大值，切线长有最小值2，切线长可能为4或3.
12. [2021山东青岛高二期末] 已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在的直线和直线，则( )
A. 且与圆相交 B. 且与圆相离
C. 且与圆相离 D. 且与圆相交
C
[解析] 由可知，以为中点的弦所在的直线的斜率为，
则直线的方程为，直线的方程可化为，
由可知，，圆心到直线的距离，
因为是圆内一点，所以.
即，故直线l与圆相离，故选C.
13. [2021山东日照高二期末] 已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1） 求圆的方程；
[答案] 设圆的方程为，圆心坐标为，根据题意有解得故所求圆C的方程为.
（2） 若直线过点(0,5)且被圆截得的弦长为，求的方程.
[答案] 由题意得，，设是线段的中点，则，，
由（1）知.
在中，有，
当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为；
当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，
即，则点到直线的距离为，解得，此时直线的方程为综上，所求直线的方程为或.
14. 在①经过直线与直线的交点；②圆心在直线上；③被轴截得的弦长这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中的圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆，使点均在圆上，且圆_____________________
[解析] 存在.假设存在圆，使点均在圆上，则圆心在直线的垂直平分线上，易知直线的方程为，直线的垂直平分线所在直线的方
程为，则可设圆心的坐标为，圆的半径为.若选①，由解得
即直线和的交点坐标为，则圆过点，所以，解得，则，即存在圆，且圆的方程为.
15. [2020福建龙岩高二期中] 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是_______________________.
或
[解析] 命题分析 本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围，同时考查数形结合思想方法的应用.
答题要领 曲线，即表示一个半径为1的半圆，数形结合讨论直线与曲线的交点，从而确定的取值范围.
详细解析 曲线可化为，即该曲线表示圆的右半部分.如图.
当直线过点时，求得.
当直线过点时，求得.
当直线与半圆相切于点时，
由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或（舍）.由图可知，若直线 与曲线 恰有一个公共点，则 或 .
方法感悟 解决本题的关键是利用数形结合讨论直线与圆的交点个数问题，进而确定b的取值范围.(共50张PPT)
第二章 平面解析几何
2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. 1.直观想象、逻辑推理——能探究圆的标准方程及点与圆的位置关系.
2.数学运算——能根据已知条件求圆的标准方程.
要点一 圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中的圆心为，半径为，设为平面直角坐标系中任意一点，则点在上的充要条件是①___________，即，两边平方，得.（*）
上述充要条件表明，上任意一点的坐标满足方程（*） ；如果平面上一点的坐标满足方程（*） ，可得，则点②___________.因此方程（*）能表示以点③_________为圆心，为半径的圆，（*）式通常称为圆的标准方程.
在上
要点二 点与圆的位置关系
如果的圆心为，半径为，则点在外的充要条件是；点在内的充要条件是.
1. 圆C的方程为，那么其圆心坐标和半径分别是什么？
提示圆心坐标为(-2,-3)，半径为.
2. 若圆的方程为，则此圆的半径一定等于吗？
提示不一定.圆的半径应为.
3. 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
提示 关键是点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系.
对圆的标准方程的理解
（1）所谓圆的标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径，所以当题目中涉及圆的圆心、半径时，设圆的标准方程解决问题较为方便．
（2）圆的标准方程的右端，当方程的右端小于或等于0时，对应的方程不是圆的方程.
（3）圆的标准方程中有三个参变量，要求圆的标准方程，一般需要三个独立的条件，列方程组求解，然后写出圆的方程；还可根据圆的特点直接写出圆心坐标和半径，然后求出圆的方程．
（4）若圆心在坐标原点，此时，则圆的方程就是.
探究点一 求圆的标准方程
类型1 直接法求圆的标准方程
例1
（1） 已知点，则以线段为直径的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 易知线段的中点坐标为(1,-3)，所以圆心的坐标为(1,-3)，
半径，故所求圆的方程为.
（2） 已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的标准方程为__________________.
[解析] 设圆心的坐标为，由题意知，，解得，，
则圆的半径.圆的标准方程为.
变式若本例（2）中把条件改为“圆经过点，且圆心在直线上”，求圆的标准方程.
[答案] 因为圆心在直线上，所以设圆心的坐标为，由题意知，，解得，所以圆心坐标为，半径，故圆C的标准方程为.
类型2 待定系数法求圆的标准方程
例2 求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的标准方程.
[答案] 设圆的标准方程为，
则解得圆的标准方程是.
解题感悟
（1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；当圆心和半径不易直接确定时，可用待定系数法求解，即先设出圆的标准方程，然后利用题目条件求解方程中的系数.
（2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
1. 与轴相切，且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为
__________________________.
[解析] 圆心坐标为(-5,-3)，且圆与轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为.
2. 求过三点的圆的标准方程.
[答案] 设由三点确定的圆的标准方程为，
∴解得
过点的圆的标准方程为.
探究点二 点与圆的位置关系
例
（1） [2021山东聊城二中高二月考] 点与圆：的位置关系是( )
A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定
B
[解析] 圆的圆心为，半径，则，所以点在圆外.
（2） 已知点不在圆：的内部，求实数的取值范围.
[答案] 由题意知，点A在圆上或在圆的外部，，
，，又，的取值范围是.
解题感悟
（1）判断点与圆的位置关系的方法：①计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较．②把点的坐标代入圆的标准方程中，判断式子两边的大小.
（2）若已知点与圆的位置关系，则可利用以上两种方法列出不等式或方程求解参数的取值范围.
1. 点与圆：的位置关系是( )
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆外 D. 不确定
C
[解析] 根据题意，圆C：的圆心为，半径为1，则，则点在圆C外，故选C.
2. 已知点在圆的内部，则的取值范围是_______.
[解析] 由题意知，
解得.
探究点三 与圆有关的最值问题
例 已知实数满足方程.
试求：
（1） 的最值；
[答案] 方程表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆，设，即.
当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，此时，解得.
故的最大值为，最小值为-3.
（2） 的最值；
[答案] 设，即.
当直线与圆相切时，截距取得最大值和最小值，
此时，即.
故的最大值为，最小值为.
（3） 的最值.
[答案] 表示圆上的点与原点距离的平方.
由平面几何知识知，在轴与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
故.
解题感悟
与圆有关的最值问题，常见的类型有以下几种：
（1）形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线的斜率的最值问题.
（2）形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.
（3）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
[2020福建宁德高二期中] 已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 2
A
[解析] 易知圆的圆心为(1,-2)，半径为1，
则圆心到直线的距离为，则.
1. [2021成都石室佳兴外国语学校高二期末] 圆的圆心和半径分别是( )
A. (-1,0)，2 B. (1,0)，2 C. (-1,0)，4 D. (1,0)，4
B
2. 若点不在圆的外部，则满足( )
A. B.
C. D.
D
3. 圆心在轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
A
数学建模——圆的标准方程的实际应用
苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测量，某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时，每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度约是（注意：取3.162）( )
A. 6.48米 B. 4.48米 C. 2.48米 D. 以上都不对
A
[解析] 审：本题为圆的方程的实际应用问题，应用坐标法求解，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和数学建模思想方法的应用.
联：以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求出的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点
的纵坐标，进而可计算出的长.
解：以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
详细解析：由题意可知，点A的坐标为(-50,-10)，设圆拱桥弧所在圆的半径为，由勾股定理可得① 即，解得，圆心坐标为(0,-130)，则圆的方程为②，将代入圆的方程得，解得，
，
（米）.
思：解答本题的关键是根据已知条件建立平面直角坐标系，求出圆的方程，然后利用圆的方程解决实际应用问题.
1. 圆的周长等于( )
A. B. C. D.
B
2. 圆关于直线对称的圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
C
3. 圆心为（0，1）且与直线相切的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
C
4. [2021北京延庆高二检测] 圆上一点到原点的距离的最大值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
[解析] 如图所示.半圆的方程为，
，设，
代入半圆的方程得，
解得．
因此这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过3.6米.
5. [2020山东烟台一中高二月考] 一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )
A. 1.8米 B. 3米 C. 3.6米 D. 4米
C
6. 已知点在圆上，则的最大值为_________.
7. [2021山东淄博四中高二期中] 圆上的点到直线的距离的最大值为____.
5
[解析] 的圆心坐标为(2,-1)，半径为2，
圆心(2,-1)到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最大值为2+3=5.
8. 已知实数满足，则的取值范围是________________________________.
[解析] 表示(0,0)为圆心，3为半径的上半圆，可以看作半圆上的动点与定点(-1,-3)连线的斜率.如图：
，则，
或.
即的取值范围是.
9. 已知圆经过点，圆心到直线的距离为10，则圆的方程为( )
A.
B. 或
C.
D. 或
B
[解析] 设圆的圆心为，半径为，线段的中点为，则.
因为，所以，即，①
又因为，所以，②
联立①②得或即或，所以，
故圆的方程为或.
10. [2021山东聊城高二期末] 在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆的两条切线，切点分别为，且使得四边形为正方形，则正实数的值为( )
A. 1 B. C. 3 D. 7
C
[解析] 由可知圆心为，半径为2，
因为四边形为正方形，且边长等于圆的半径2，所以，
即直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线l的距离为，所以，解得或（舍去）.
11. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是_______.
[解析] 由题意得，，
由圆知圆心坐标为(2,0)，半径，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离，即，
.
12. 已知圆过点.
（1） 若圆还经过点，求圆的标准方程；
[答案] 设圆的方程为，
代入三点的坐标有解得故圆的方程为.
（2） 若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
[答案] 易知的垂直平分线方程为，
圆心在的垂直平分线上，圆心，
，故圆的方程为.
13. 已知圆过点，求：
（1） 周长最小的圆的标准方程；
[答案] 当为直径时，过点的圆的半径最小，从而周长最小，即圆以的中点(0,1)为圆心，为半径.则圆的标准方程为.
[答案] 由题意知，圆心C为的垂直平分线与直线的交点.
易知直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程是，
即，联立解得
即圆心为.所以，
所以圆的标准方程是.
（2） 圆心在直线上的圆的标准方程.
14. [2020山东日照高二期中] 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是( )
A
A. 1 B. -7 C. 1或-7 D. 2或-7
[解析] 命题分析 本题考查点的坐标的求解，圆的方程的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
答题要领 根据米勒问题的结论，点应该为过点的圆与轴的切点，可设圆心坐标为，写出圆的方程，并将点的坐标代入可求出点的横坐标.
详细解析 如图，设圆心的坐标为，则圆的方程为，
将点的坐标代入圆的方程得解得或（舍去），因此，点的横坐标为1，故选A.
方法感悟 解答本题的关键：
（1）建立恰当的平面直角坐标系；
（2）设出圆的标准方程并利用圆的方程求解.(共48张PPT)
第二章 平面解析几何
2.3 圆及其方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题. 1.直观想象——能借助图形理解圆与圆的位置关系及公共弦长问题.
2.数学运算——能利用代数运算解决与圆有关的数学问题.
根据两个圆的半径，以及两个圆的圆心距来判断两个圆位置关系的方法：
两个圆外离_____；
两个圆外切____；
两个圆相交______________________；
两个圆内切；
两个圆④_______.
=
内含
1. 若两圆的圆心距小于两圈的半径之和，则两圆相交吗？
提示 不一定，也可能内含.
2. 若两圆有公共点，则成立吗？
提示 成立.
1.代数法判断圆与圆的位置关系
设两圆的方程分别为，，联立两方程，方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2 1 0
两圆的公共点个数 2 1 0
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
（1）判断圆与圆的位置关系，主要是判断圆心距与半径的和、差的绝对值的大小.
（2）判断两圆的位置关系一般用几何法，因为用代数法判断时，有时得不到确切的位置关系，如有内切与外切两种关系，具体是哪一种相切，这是用代数法无法判断的.
2.判断两圆位置关系的注意点
3.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆与圆相交，则两圆公共弦所在的直线方程为.
探究点一 判断两圆的位置关系
例 [2021山东威海高二期中] 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
C
[解析] 由，得，即，整理得，则其圆心为(-1,0)，半径，易知圆的圆心坐标为(1,0)，半径，
故两圆的圆心距为2，满足，所以两个圆相交.
解题感悟
判断两圆的位置关系的步骤：
①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．
②计算两圆圆心的距离.
③通过，，的关系来判断两圆的位置关系，必要时可借助数形结合的思想求解.
[2020四川成都七中高二期中] 圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 内含
A
[解析] 由可化为，则，，
由可化为，则，，
则，
则，所以圆与圆相交.
探究点二 与两圆相切有关的问题
例
（1） [2020山东济南历城二中高二月考] 圆和圆的公切线的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
[解析] 圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径.
所以，
所以，所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线.
（2） 求与圆外切且与直线相切于点的圆的方程.
[答案] 设所求圆的方程为，
已知圆的方程可化为，其圆心坐标为(1,0)，半径为1，
则，①
，②
.③
联立①②③，解得，，或，，，
故所求圆的方程为或.
解读感悟
两圆相切时常用的性质：
（1）设两圆的圆心分别为，，半径分别为，，则两圆
（2）两圆相切时，两圆圆心的连线过切点.
1. 已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与圆相外切，则圆的方程为___________________.
[解析] 由题意知圆心，其到已知圆的圆心(2,3)的距离，设圆的半径为，
由两圆相外切可得，则圆的半径，故圆C的标准方程为.
2. 求圆与圆的公切线的条数.
[答案] 由题意可得两圆的圆心分别为，半径分别为，则，所以，可得圆相交，所以两圆共有两条公切线.
探究点三 与两圆相交有关的问题
例 [2020山东实验中学高二月考] 如图，在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线对称.
（1） 求直线的方程;
[答案] 把圆的方程化为，所以圆心，半径为，因为，所以的中点坐标为.易知所求的直线与直线垂直，且经过的中点，即直线经过点(-2,1)，且斜率，所以所求直线的方程为，即.
（2） 设圆与圆交于点，点为圆上的动点，求面积的最大值.
[答案] 由（1）得，直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，圆心到直线的距离，因为圆和圆关于直线对称，所以圆的半径与圆的半径相等，为，所以弦长，要使的面积最大，则点到直线的距离最大，结合题图可知，当的延长线垂直于时，的面积最大，此时，点到直线的距离为，此时，的面积为.所以面积的最大值为.
解题感悟
公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，已知圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，再根据勾股定理求解.
已知两圆和相交.
（1） 求两圆公共弦所在直线的方程;
[答案] 将两圆方程相减得，即两圆公共弦所在的直线方程为.
[答案] 易知，则，设到的距离为，则，弦长，即两圆公共弦的长度为.
（2） 求两圆公共弦的长度.
1. [2021辽宁沈阳高二检测] 已知两圆分别为圆和圆.这两圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
D
2. 若圆与圆有公共点，则的取值范围是( )
A. (3,6) B. C. D.
C
3. 两圆的公共弦长为( )
A. 5 B. C. D. 10
D
数学运算——圆系方程的应用
求圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程．
[答案] 设所求圆的方程为，
即，所以圆心坐标为.
又圆心在直线上，所以，即.
所以所求圆的方程为.
素养探究：当经过两圆的交点时，圆的方程可设为，，然后用待定系数法求出即可.体现了数学运算的核心素养．
1. [2021山东淄博一中高二期中] 圆与圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含
A
2. [2020重庆西南大学附中高二期中] 已知圆与圆相交，则实数的取值范围是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
C
3. [2020山东聊城高二月考] 圆圆的公切线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
B
4. [2020湖北武汉外国语学校高二期中] 圆与圆的公共弦所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
C
5. 圆与圆的公共弦的长为( )
A. B. C. D.
C
6. [2021山东滨州高二期中] 已知圆的方程为，圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于，两点，且，则圆的方程为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
C
7. 以圆与圆的公共弦为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 把两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除，D选项；圆的方程可化为，圆的方程可化为，画图（图略）可知，所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
8. [2021山东德州一中高二期末] 已知圆，圆，则两圆公切线的方程为___________.
[解析] 圆，圆心坐标为(0,0)，半径为1；圆，圆心坐标为(4,0)，半径为5.易知两圆内切，切点为(-1,0)，又两圆的圆心都在轴上，所以两圆公切线的方程为，即.
9. 经过直线与圆的交点，且过点(1,2)的圆的方程为___________________________.
[解析] 由已知可设所求圆的方程为，将(1,2)代入，可得，故所求圆的方程为.
10. [2020山东潍坊诸城第一中学高二期中] 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为____.
2
[解析] 将两圆方程相减可得，即，当时，，当时，，公共弦所在的直线与两坐标轴的交点坐标为(0,2)与(-2,0)，
．
11. 点在圆上，点在圆上，则的最小值是( )
A. 5 B. 1 C. D.
C
[解析] 圆，即，圆心为；，半径；圆，即，圆心为半径，所以，则两圆外离，的最小值为
12. [2020山东济宁高二期末] 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是
______________________________.
[解析] 圆的方程可化为，则，，其圆心到直线的距离.过点且垂直于直线的直线方程为，即，所以所求的最小圆的圆心在直线上，如图所示，圆心到直线的距离为，则圆的半径为.设的坐标为，则，解得（舍去），所以圆心的坐标为(2,2)，
所以所求圆的标准方程为.
13. [2021天津河西高二期末] 已知圆，圆，且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上.
（1） 求圆的方程;
[答案] 圆的圆心为，由已知可得直线经过圆心，所以，解得，所以圆的方程为.
[答案] 证明：易知因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以
因为，所以圆和圆相交，
又由两式相减得两圆的公共弦所在的直线方程为，
（2） 证明圆和圆相交，并求两圆公共弦的长度.
所以M到直线的距离，
所以，解得，
则圆M和圆N的公共弦的长度.
14. k为何值时，两圆，的圆心距最短？并判断两圆此时的位置关系.
[答案] 两圆的标准方程分别是，，
圆心分别是，，两圆的半径均为1.
则圆心距
所以当时，.因为，所以此时两圆相交.
15. [2020浙江杭州高二检测] 已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，当四边形的面积最小时，直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 命题分析 本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
答题要领 由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆的知识即可求出直线的方程．
详细解析 圆的方程可化为，到直线的距离，所以直线与圆相离．
根据圆的知识可知，点共圆，且，
所以，易知，
当直线时，，此时最小．所以，即，由解得
所以以为直径的圆的方程为，
即，两圆的方程相减可得，即直线AB的方程为 .
方法感悟 本题在解题过程中涉及四边形面积的最小值，其方法是先把四边形的面积转化为三角形的面积，最终转化为点到直线的距离问题求解，在此过程中充分运用了化归的思想方法.(共53张PPT)
第二章 平面解析几何
2.3 圆及其方程
2.3.2 圆的一般方程
课标解读 课标要求 素养要求
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程. 1.直观想象、逻辑推理——能根据给定条件探究圆的一般方程.
2.数学运算——能根据已知条件求圆的一般方程并解决相关问题.
1.圆的一般方程
一般地，圆的标准方程为可以化为.在这个方程中，如果令①______________，则这个方程可以表示成的形式，其中都是常数。形如式的圆的方程称为圆的一般方程.
2.二元二次方程表示圆的条件
（1）当时，方程是以②____________为圆心，为半径的圆的方程；
（2）当时，满足方程的实数只有③______，，所以原方程不是圆的方程；
（3）当④_____0时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程.
1. 方程表示圆吗？
提示不表示圆，方程可化为，故不表示圆，表示点(1,-2).
2. 若二元二次方程表示圆，需满足什么条件？
提示①，②，③.
1.圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点
①和的系数相等且不为0；
②没有xy项；
③．
2.圆的一般方程中有三个系数，且必须满足的条件，确定圆的一般方程，需要确定三个未知数，这说明确定一个圆需要三个独立的条件.
3.在求圆的方程时，尽量运用圆的几何性质求解，这样可以大大减少计算量．
一般地，圆心的重要几何性质为：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在某条弦的中垂线上.
探究点一 圆的一般方程的概念
例 判断方程能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
[答案] 解法一：由方程可知，，
，
当时，它表示一个点；
当时，它表示圆，此时，圆的圆心为，半径．
解法二：原方程可化为，
当时，它表示一个点；
当时，它表示圆，此时，圆的圆心为，半径.
解题感悟
形如的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：
①由圆的一般方程的定义判断是否大于零．若，则方程表示圆，否则不表示圆；
②将方程配方变形成标准形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.
1. 若方程表示圆，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
B
[解析] 方程表示圆，
，解得.
2. （多选）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是( )
A. 圆的圆心坐标为(-4,3)
B. 圆被轴截得的弦长为8
C. 圆的半径为5
D. 圆被轴截得的弦长为6
BCD
[解析] 圆的方程可化为，故圆心坐标为(4,-3)，半径为5，故A中说法错误，C中说法正确；
令，得或，则圆被x轴截得的弦长为8，故B中说法正确；
令，得或，则圆被y轴截得的弦长为6，故D中说法正确.
探究点二 求圆的一般方程
例 已知点.
（1） 求的外接圆的一般方程；
[答案] 设的外接圆的一般方程为，
由题意，得解得即的外接圆的一般方程为.
（2） 若点在的外接圆上，求的值.
[答案] 由（1）知，的外接圆的方程为，
点在的外接圆上，
，
即，解得或.
变式若本例中将“点”改为“圆过两点且圆关于直线对称”，其他条件不变，求圆的方程.
[答案] 易知，线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线方程为.
联立解得
即圆心的坐标为，
半径 ，
圆 的方程为 .
解题感悟
应用待定系数法求圆的方程时应注意：
（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标、半径列方程，那么一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出.
（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，那么一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数.
1. 已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 因为线段的中点坐标为(2,4)，所在直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，与直线的方程联立，解得圆心坐标为(3,3).又圆的半径，所以圆的方程为，即.
2. 在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________________.
[解析] 设圆的方程为，代入三点坐标，
得解得，即圆的方程为.
探究点三 圆的一般方程的综合应用
例 已知一圆过，两点，且在轴上截得的弦长为，求圆的方程.
[答案] 设圆的方程为，①
将的坐标分别代入①，
得
令，由①得，④
由题意得，其中是方程④的两根.则，，
.⑤
由②③⑤，解得 或 经检验均符合题意，故所求的方程为 或 .
解题感悟
解决圆与坐标轴相交的有关题目时，分别令，，就可求得圆与轴、轴的交点的纵坐标、横坐标，但一般不直接求解，而是利用根与系数的关系解决问题.
已知圆过点，，且在轴上截得的弦长为6，则圆的方程是_______________________________________________________.
或
[解析] 设圆的方程为，
①，
②，
令，得.
设圆与轴的两个交点的横坐标分别为，，则，，
，即③，
由①②③，解得，，或，，，
圆的方程为或.
1. 圆的圆心坐标是( )
A. (2,3) B. (-2,3) C. (-2,-3) D. (2,-3)
D
2. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
D
3. 已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，则，的值分别为________.
2，-4
逻辑推理——与圆有关的轨迹问题
已知一曲线是与两个定点的距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状.
[答案] 设是曲线上的任意一点，由题意及两点间的距离公式知，
化简得.当，即或时，，
.
，
所求曲线的方程是，则曲线表示以 为圆心，以 为半径的圆.
当 ，即 时，方程 变为 ，即 ，表示线段 的垂直平分线.
素养探究：本题考查与圆有关的轨迹问题，可直接利用条件列出动点满足的关系式，化简即可.体现了逻辑推理的核心素养.
1. 以下直线中，将圆平分的是( )
A. B.
C. D.
A
2. 若方程表示圆，则实数的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
C
3. 圆心为，半径为2的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
A
4. 当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
B
5. 圆心在轴上，且过点(3,1)的圆与轴相切，则该圆的方程是( )
A. B.
C. D.
B
6. 已知圆与轴交于两点，圆心为.若，则实数的值为( )
A. -3 B. C. 3 D. 8
A
[解析] 设圆的方程为，将
代入，得
，圆的方程为，
令，可得，解得，则.
7. 过三点的圆交轴于两点，则( )
A. 2 B. C. 4 D.
B
8. 对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为_____________.
[解析] 由得，故解得或故定点坐标为.
9. 已知三角形的三边所在直线的方程分别为，，，则三角形的外接圆方程为__________________________.
[解析] 由解得
由解得
由解得
根据题意，可得所求圆的方程过点(0,-1),(4,-5),(1,1)，
设所求圆的方程为，
则解得即所求圆的方程为.
10. 已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为____.
2
[解析] 将化成标准方程为，
则圆心坐标为(1,-1)，半径，
因为，，所以，
若的面积最小，则圆上的动点到直线的距离最小，易知圆心到直线的距离为，所以，所以的最小值为。故答案为2.
11. 若直线始终平分圆，则的最小值为( )
A. B. 5 C. D. 10
B
[解析] 由知圆心为.
由题意知直线l过圆心，
则，则，
所以，
所以的最小值为5.
12. （多选）已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则满足条件的的值可能为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
BCD
[解析] 把化为，则圆心的坐标为(3,4)，半径，且.根据题意，画出示意图，如图所示，连接 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 的最大值为6.
，即 的最小值为4.
所以 的取范围为 ，故选BCD.
13. 光线从点出发，经轴反射到圆的最短路程为__________.
[解析] 可化为，
故圆心为，半径.易知关于轴的对称点的坐标为(-1,1)，
所求的最短路程为，又，所求的最短路程为.
14. 一圆经过，两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求该圆的方程.
[答案] 设所求圆的方程为.
令，得，所以.
令，得，所以.
由题意知，即.①
又圆过点，，所以，②
.③
由①②③组成的方程组解得，，（满足）.
故所求圆的方程为.
15. 已知方程表示的图形是圆.
（1） 求实数的取值范围；
[答案] 已知方程可化为，
，解得.故t的取值范围为.
（2） 求其中面积最大的圆的方程；
[答案] 由（1）知，
当时，，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是.
[答案] 当且仅当时，
点恒在圆内，，.
故t的取值范围为.
（3） 若点恒在所给圆内，求实数的取值范围.
16. 已知平面直角坐标系上有一动点，，为坐标原点，若分别与线段所成的角相等，求动点的轨迹方程，并说明该方程表示的是什么图形.
[答案] 详细解析 设，由分别与所成的角相等，得，由角平分线定理得，，整理得，该方程表示圆，且该圆过原点，但当和原点重合时无意义，所以，故所求方程为.
又由题意可知当点落在轴上除线段以外任何点处均有，所以又有轨迹方程（或），该方程表示直线.
[解析] 命题分析 本题考查动点的轨迹方程的求解，即圆的一般方程的识别与求解，考查学生的运算能力.
答题要领 因为分别与所成的角相等，所以考虑角平分线定理.
方法感悟 求轨迹方程时经常遇到“去”或“补”的问题，当所求方程含不符合题意的点时，必须去掉；当所求方程不含其他符合条件的点时，必须补上.
