(共23张PPT)
5.3.3 最大值与最小值
学习目标
1.理解函数的最值的概念,了解函数的最值与极值的区别与联系.
2.会用导数求在给定区间上函数的最值.
3.通过函数最大(小)值存在性的学习,体会直观想象的核心素养,借助函数最值的
求解问题,提升数学运算的核心素养.
1 |函数最值的概念
1.最大值
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有① f(x)≤f(x0) ,那么f(x0)为
函数f(x)在定义域上的最大值.最大值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最
大值,那么最大值唯一.
2.最小值
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有② f(x)≥f(x0) ,那么f(x0)为
函数f(x)在定义域上的最小值.最小值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最
小值,那么最小值唯一.
2 |求函数的最大值与最小值的步骤
求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值可以分为两步:
第一步:求f(x)在区间(a,b)上的③ 极值 ;
第二步:将第一步中求得的④ 极值 与f(a), f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最
大值与最小值.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y
=- x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件. ( √ )
提示:由题意得y'=-x2+81=(9-x)(9+x),令y'=0,解得x=9(x=-9舍去),所以x∈(0,9)时,y'>
0,x∈(9,+∞)时,y'<0,所以x=9时y取得极大值,也是最大值.
2.从上午6时到9时,车辆通过某市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路
段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=- t3- t2+36t- ,则在这段时
间内,通过该路段用时最多的时刻是7时. ( )
提示:易得y'=- t2- t+36,令y'=0,解得t=8或t=-12(舍去),当0
0;当t>8时,y'<
0,所以t=8为函数的极大值点,也是最大值点.故当t=8时,车辆通过该路段用时最
多.
3.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面
半径为2. ( )
提示:设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为 ,所以S=πr2+
2πr× =πr2+ (r>0),求导数,得S'=2πr- (r>0),令S'=0,解得r=3.当0当r>3时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
4.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在区间端点处取得. ( )
提示:函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值可以是极大值和极小值,不一定在区间端点处取得.
5.开区间上的单调连续函数无最大(小)值. ( √ )
提示:若单调函数有最值,则一定在区间端点处取得,但要为闭区间.
6.在定义域内,若函数有最大(小)值与极大(小)值,则极大(小)值就是最大(小)值.
( )
提示:由最值的定义知,y最大值≥y极大值,y最小值≤y极小值,故结论错误.
1 |利用导数解决函数的最值问题
1.利用导数求函数的最大(小)值
求解函数在给定区间上的最大(小)值问题的步骤:
(1)对函数进行求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,确定极值和区间端点处的函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值.
2.含参函数的最大(小)值问题
有关含参函数的最大(小)值问题,一般有两类:一类是求含参函数的最大(小)值,对
于此类问题,由于参数的取值范围不同会导致函数的单调性变化,从而导致最大
(小)值变化,所以解决此类问题常常需要分类讨论,在分类讨论解决函数的单调性
的基础上,结合讨论极值与端点值的大小求解.
另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值
问题的逆向运用,求解此类问题的步骤如下:
(1)求导数f'(x),并求极值;
(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值,若参数的变
化影响着函数的单调性,则要对参数进行分类讨论;
(3)利用最值列出关于参数的方程(组),求解即可.
已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
思路点拨
求f'(x) 对a分类讨论 利用导数求函数的最值.
解析 由题意得,f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a).
令f'(x)=0,得x=- 或x=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3;
②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0;
③当a<0时,f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以f(x)min=f =
a3.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;
当a=0时,f(x)的最小值为0;
当a<0时,f(x)的最小值为 a3.解题模板
对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒
大于(小于)或等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在区间端点处取得;若
导函数可能等于0,则分类讨论求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
已知f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29
若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.
思路点拨
对函数求导,其导函数的最高次项系数是字母,所以需对该字母进行分类讨论,以
确定导函数在各区间上的正负,列表比较函数的极值及其在端点处的值的大小,
列方程组求a,b的值.
解析 由题设知a≠0.
易得f '(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f '(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0时,x,f '(x),f(x)的变化情况如表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f '(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b
由表可知,当x=0时, f(x)取极大值,也就是函数在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=3,即b=3.
又f(-1)=-7a+3, f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,
∴a=2.
②当a<0时,同理可得,当x=0时, f(x)取极小值,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=-29,即b=-29.
又f(-1)=-7a-29, f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,
∴a=-2.
综上可得,存在实数a=2,b=3或a=-2,b=-29满足题意.
方法总结 已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型,解决该类问题的基本
方法是待定系数法,首先用待求参数表示函数的最值,然后列出关于参数的方程
(组),从而求出参数的值.
2 |利用导数解决与函数最值有关的不等式恒成立问题
1.利用函数的导数求函数的最大(小)值,可以处理有关函数图象、不等式等综合
问题,特别是有关不等式的恒成立问题,是近几年来高考的重点、热点和难点,经
常以高考压轴题的形式出现.
2.处理不等式恒成立问题的方法
(1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最大(小)值或数形结
合解决有关不等式的恒成立问题.
(2)将主元与参数分离变量,将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题来解决.
在定义域内,对于任意的x,都有f(x)≥a成立,转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有f(x)
≤a成立,转化为f(x)max≤a.
3.证明不等式问题,可以将不等式问题转化为最大(小)值问题,利用函数的最大
(小)值加以证明.
(2021江苏南通高三上期中)已知函数f(x)=ex-ax-a(其中e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对任意x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N*,证明: + + +…+ < .
思路点拨
(1)易得f '(x)=ex-a,再分a≤0和a>0两种情况研究f(x)的单调性.
(2)参变分离,转化为a< -1,x∈(0,2]恒成立,令g(x)= -1,x∈(0,2],进而转化为求函
数g(x)= -1,x∈(0,2]的最小值.
(3)由(1)易知x+1≤ex,通过换元得到 < ,即 式.
解析 (1)易得函数f(x)的定义域为R,f '(x)=ex-a.
①当a≤0时, f '(x)>0恒成立,函数f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,令f '(x)>0,得x>ln a,令f '(x)<0,得x所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)对任意x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,
即不等式(a+1)x即当x∈(0,2]时,a< -1恒成立.
令g(x)= -1(x∈(0,2]),则g'(x)= .
令g'(x)>0,得1所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.
所以当x=1时,g(x)取得极小值,也是最小值,为e-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,e-1).
(3)证明:在(1)中,令a=1,可知对任意实数x都有ex-x-1≥0,
即x+1≤ex(当且仅当x=0时,等号成立).
令x+1= (k=1,2,3,…,n),
则 < ,即 故 + + +…+ < (e1+e2+e3+…+en)= < .
方法总结 对于不等式恒成立问题,常通过分离参数,将问题转化为求函数的最
值;而对于不等式的证明,常利用函数的单调性及放缩法进行不断的转化,直到得
出所需证明的不等式.
3 |利用导数解决生活中的优化问题
1.实际生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称
为优化问题.导数是解决生活中优化问题的有力工具.
利用导数解决生活中的优化问题的步骤如下:
2.解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
(2)一般地,可通过求函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只
有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f '(x)=0,则只需根据实际意义
判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.
(2020江苏徐州一中一模)为了缓解城市交通压力,某市政府在市区一主要交通干
道修建高架桥,两端的桥墩现已建好,已知这两桥墩相距m米,余下的工程是修建
两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,相邻两桥墩
之间的距离为x米,且相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.将所有桥
墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出余下工程的费用y万元关于x的函数解析式;
(2)当m=640时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小 并求出其最小值.
信息提取
(1)相邻两桥墩之间的距离为x米.(2)一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的
相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.(3)求y关于x的函数关系式,并求
当m=640时,x的值及y的最小值.
数学建模
本题以生活中的优化问题——费用最小问题为背景,构建函数模型,并借助导数
求函数的最值,从而解决实际生活中的费用最小问题.
思路点拨
(1)由题意可知需建桥墩 个,余下工程的费用为桥墩的总费用加上相邻两桥
墩之间的桥面工程总费用,进而得到y关于x的函数关系式.
(2)把m=640代入到y关于x的函数关系式中,并求出y',令其等于0,然后讨论函数的
单调性,判断函数取得最小值时x的取值,并代入 -1中,即可求出桥墩个数.
解析 (1)由题意,相邻两桥墩之间距离为x米,故需建桥墩 个,则y=
256 +(2+ )x· =256· +m +2m-256(0(2)当m=640时,y=640× +1 024,0则f '(x)=640× =640× ,
令f '(x)=0,得x=26,当260, f(x)单调递增,
当0∴f(x)最小值=f(x)极小值=f(26)=8 704,
∴需新建桥墩 -1=9个.(共22张PPT)
5.3.2 极大值与极小值
学习目标
1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.通过极值与极值点概念的学习提升数学抽象的核心素养,借助函数极值的求法
提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
1 |函数极值、极值点的概念
1.极大值与极大值点
一般地,若存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有① f(x)≤f(x1) ,则称f(x1)为函数f(x)的
一个极大值,称x1为函数f(x)的一个极大值点.
2.极小值与极小值点
一般地,若存在δ>0,当x∈(x2-δ,x2+δ)时,都有② f(x)≥f(x2) ,则称f(x2)为函数f(x)的
一个极小值,称x2为函数f(x)的一个极小值点.
3.极值与极值点
函数的极大值、极小值统称为函数的极值,函数的极大值点、极小值点统称为函
数的极值点.
2 |函数的极值与导数的关系
1.极大值与导数之间的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f '(x) ③ f '(x)>0 f '(x)=0 ④ f '(x)<0
f(x) ↗ 极大值f(x1) ↘
2.极小值与导数之间的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f '(x) ⑤ f '(x)<0 f '(x)=0 ⑥ f '(x)>0
f(x) ↘ 极小值f(x2) ↗
3 |可导函数在某点处取得极值的必要条件与充分条件
1.必要条件
可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的必要条件是f '(x0)=0.
2.充分条件
可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的充分条件是f '(x)在x=x0两侧的附近区域内异
号.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若质点M的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=3t,则函数v(t)没有极值. ( √ )
提示:函数v(t)=3t在其定义域内单调递增,故v(t)无极值.
2.通过某导体的电量q(单位:C)关于时间t(单位:s)的函数为q=2t2+3t,则此函数无极
大值. ( √ )
提示:此函数为图象开口向上的二次函数,故只有极小值,无极大值.
3.函数的极大值一定大于极小值. ( )
提示:极值是函数的局部性质,若极大值和极小值不相邻,则极大值不一定大于极
小值.
4.在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合. ( √ )
提示:由极值的概念可知,可导函数在极值点x=x0处的切线的斜率k=f '(x0)=0,所以
切线与x轴平行或重合.
5.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调. ( √ )
提示:根据极值的概念,极值点两边导数不同号,所以函数不单调.
1 |利用导数解决函数的极值问题
情境 “横看成岭侧成峰,远近高低各不同”说的是庐山的高低起伏,错落有致.
在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最
高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢
1.函数的极大(小)值是不是函数在定义域中的最大(小)值呢
提示:极值是一个局部概念,由概念知极值只是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是大或小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极大(小)值是不是唯一的
提示:函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或其定义域内的极大值或
极小值可以不止一个.
3.函数的极大值是否一定大于函数的极小值
提示:一个函数的极大值未必大于其极小值,如图所示,x1是函数f(x)的极大值点,x4
是函数f(x)的极小值点,但f(x1)小关系.
1.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求函数的导数f'(x);
(3)令f'(x)=0,求出此方程全部的根;
(4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据
参数的范围分类划分区间),把x, f'(x), f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格
内;
(5)判断得结论:若导数在根x0附近左正右负,则函数在x0处取得极大值;若左负右
正,则取得极小值.
2.有关含参函数的极值问题,一般有两类:
(1)求含参函数的极值,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通常要考虑
以下几个方面:
①方程f'(x)=0有无实数根;
②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内;
③方程f'(x)=0的实数根之间的大小.
进而列表得到函数的极值.
(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的
导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导函数f'(x);
②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
(2020江苏扬州部分高中高二下期中联考)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
思路点拨
(1)求f '(x) 求切线的斜率k 由点斜式得切线方程.
(2)对a分类讨论 确定f '(x)的符号 结合f(x)的单调性写出其极值.
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=2时, f(x)=x-2ln x,
f '(x)=1- (x>0),
因为f(1)=1, f '(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)f '(x)=1- = ,x>0,故
①当a≤0时, f '(x)>0恒成立,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值.
②当a>0时,令f '(x)=0,解得x=a,
当x∈(0,a)时, f '(x)<0;
当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
求函数的极值时的注意事项:
(1)要注意运用分类讨论思想和数形结合思想;
(2)区间内的单调函数没有极值;
(3)导数为零的点不一定是极值点.
(1)(2020湖北襄阳一中高二下月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极小
值10,则a+b= .
(2)(2020江苏淮安六校联盟高三三模)若函数f(x)= 在区间(0,2)上有极值,则实
数a的取值范围为 .
思路点拨
(1)由题意知f '(1)=0且f(1)=10,由此可求得a,b,注意检验极值的存在条件.
(2)f(x)在(0,2)内有极值,等价于f '(x)=0在(0,2)内有实根.
解析 (1)因为f(x)=x3+ax2+bx+a2,
所以f '(x)=3x2+2ax+b,x∈R,
又函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极小值10,
所以f '(1)=3+2a+b=0且f(1)=1+a+b+a2=10,
解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.
当a=4,b=-11时,
f '(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),
此时x=1是函数f(x)的极小值点;
当a=-3,b=3时, f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,
此时x=1不是函数的极小值点,舍去,
∴a=4,b=-11,∴a+b=-7.
(2)由f(x)= 得f '(x)=- ,x∈R.
当x>a+1时, f '(x)<0,
所以函数f(x)单调递减;
当x0,
所以函数f(x)单调递增,
要使函数f(x)= 在区间(0,2)上有极值,
只需0所以实数a的取值范围为(-1,1).
答案 (1)-7 (2)(-1,1)
解决利用极值求函数中的参数问题时,要注意f '(x0)=0是x0为极值点的必要不充分
条件,由f '(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意检验极值的存在条件,防止漏掉检验
导致解题错误.
2 |利用函数的极值解决函数的综合问题
比较复杂的函数的综合问题,常常在高考压轴题中出现,涉及函数的图象与
性质,例如:函数的单调性、奇偶性、函数的零点等等.解决与极值有关的函数综
合问题时,可通过极值的正用和逆用、分类讨论、数形结合等思想方法,进行有
效处理.但需要注意已知与未知的转化.解题的关键是掌握求单调区间和极值的
方法.
(2021江苏连云港高三上期中调研)已知函数f(x)= +x+ln x-3,a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的极值;
(2)求函数f(x)的零点个数.
思路点拨
(1)求导,根据函数的单调性可得极值.
(2)令f(x)=0,分离参数得a=3x-xln x-x2,令g(x)=3x-xln x-x2,利用导数判断g(x)的单调
性,进而画出图象,结合图象求解.
解析 (1)当a=2时, f(x)= +x+ln x-3(x>0),
f '(x)=- +1+ = = ,
令f '(x)>0,得x>1,
令f '(x)<0,得0所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=2+1-3=0,无极大值.
(2)令f(x)= +x+ln x-3=0,得a=3x-xln x-x2,
设g(x)=3x-xln x-x2(x>0),则g'(x)=2-ln x-2x,
设M(x)=2-ln x-2x(x>0),则M'(x)=- -2<0,
所以M(x)在(0,+∞)上单调递减,即g'(x)在(0,+∞)上是减函数,
令g'(x)=0,得x=1,所以在x∈(0,1)上有g'(x)>0,在x∈(1,+∞)上有g'(x)<0,
所以g(x)在x=1处取得极大值,极大值为g(1)=3-1=2,当x→0时,g(x)→0,当x→+∞时,
g(x)→-∞,所以g(x)的图象如图所示:
由图象知,当a=2或a≤0时,g(x)的图象与直线y=a有一个交点,即函数f(x)的零点个
数为1,
当a∈(0,2)时,g(x)的图象与直线y=a有两个交点,即函数f(x)的零点个数为2;
当a>2时,g(x)的图象与直线y=a没有交点,即函数f(x)的零点个数为0.
解题模板
对于方程f(x)=a的根的个数问题,我们可将问题转化为函数y=f(x)的图象与直
线y=a的交点个数问题.在解题时,可遵循以下步骤:
第一步:利用导数判断函数y=f(x)的单调性及极值等情况,综合各种信息画出函数y
=f(x)的大致图象.
第二步:研究函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数.
第三步:根据交点个数写出方程根的情况.(共19张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
学习目标
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数
的单调性,对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的单调区间.
3.借助利用导数研究函数的单调性问题,提升学生的数学运算及逻辑推理的核心
素养.
|函数的单调性与其导数正负的关系
1.定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):
f'(x)的正负 f(x)的单调性
f'(x)>0 单调① 递增
f'(x)<0 单调② 递减
特别地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有③ f '(x)=0 ,那么函数y=f(x)在这
个区间内是常数函数.
注意:
(1)若在某区间上有有限个点处f '(x)=0,在其余的点处恒有f '(x)>0,则f(x)仍为增函
数(减函数的情形完全类似).
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f ‘(x)≥0,且在(a,b)内的任一
非空子区间上f ’(x)不恒为0.
2.导数与函数图象间的关系
(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间,导函数图象在x轴下方的
区间为原函数的单调减区间.
(2)一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围
内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”;反之,函数的图象就“平缓”一些.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.记质点M的运动方程为s=s(t),若函数s(t)在某区间内单调递增,则一定有s'(t)>0.
( )
提示:可能存在部分t的值,使s'(t)=0.
2.记运动的质点M的速度与时间的函数为v=v(t),若在区间(a,b)上恒有v'(t)<0,则质
点M在t∈(a,b)时,速度逐渐减小. ( √ )
提示:由函数的单调性与其导数的正负的关系知,结论正确.
3.函数在某一点处的导数越大,函数的图象在该点处的切线越“陡峭”.( )
提示:切线的“陡峭”程度与|f '(x)|的大小有关,故错误.
4.函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大. ( √ )
提示:函数在某个区间上变化的快慢和函数导数的绝对值的大小一致.
5.若函数f(x)在区间(1,2),(3,4)上都有f '(x)>0,则f(x)在(1,2)∪(3,4)上单调递增.
( )
提示:函数的单调区间应分别写,不能用“∪”连接.
1 |导函数与原函数图象的关系
1.利用导函数的正负研究原函数图象的变化时,要遵循“符号为正,图象上升;符
号为负,图象下降”的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或
负.解决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象.
2.“导函数的正负看(原函数)增减;绝对值大小定快慢.”一般地,如果一个函数在
某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的
图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就比较“平缓”.
(1)f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是下
列选项中的 ( )
(2)已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个选项中,
y=f(x)的图象大致是 ( )
思路点拨
找出f'(x)的零点 判断f'(x)图象在x轴上方或下方 确定f(x)的单调区间
利用排除法得解.
解析 (1)当x∈(-∞,0)时,导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上原函数的图象
呈上升趋势,可排除B、D.当x∈(0,2)时,导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上
原函数的图象呈下降趋势,可排除A.故选C.
(2)当01时,
xf'(x)>0,∴f'(x)>0,∴y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,∴D错误.故选C.
答案 (1)C (2)C
名师点睛 将题目改为由y=f(x)的图象判断f'(x)的图象,思维方式正好相反,由原
函数图象的单调性确定导函数的正负,进而得到导函数的图象在x轴的上方还是
下方,最后选择适当的图象.解题时要注意分清所给的是原函数图象还是导函数
图象.
2 |利用导数研究函数的单调性
1.利用导数求函数f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0,解集与定义域的交集为函数f(x)的单调递增区间;
(4)解不等式f'(x)<0,解集与定义域的交集为函数f(x)的单调递减区间.
2.含参函数的单调性问题
含参函数的单调性问题主要以两种形式呈现,一是判断含参函数的单调性,二是
求含参函数的单调区间.这两种形式实质上是一致的,只不过是换了一种说法.解
决此类问题时,通常归结为求含参不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要
针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域及分类讨论的标准.
(2020河北邢台高二下期中联考改编)某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万
元,并且每生产1百台该产品需增加投入0.5万元.已知月销售收入R(x)(单位:万元)
满足R(x)=- x3+ x2+ x(其中x是该产品的月产量,单位:百台,0产品都能卖掉,记月销售利润为g(x)(单位:万元).试求g(x)的解析式,并研究其单调
性.
解析 依题意可得,
g(x)=R(x)-1- x
=- x3+ x2+ x-1- x
=- x3+ x2-1,x∈(0,8),
则g'(x)=- x2+ x=- x(x-6),x∈(0,8),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,
当x∈(6,8)时,g'(x)<0,
即g(x)在x∈(0,6)上单调递增,在x∈(6,8)上单调递减.
导函数的定义域可能比原函数的定义域大,利用导数解决函数的单调区间类问题
要注意原函数的定义域,用原函数的定义域与导函数不等式的解集求交集得到原
函数的单调区间.解题时一定注意不要忘记求原函数的定义域.
已知函数f(x)=(x-3)ex+a(x-2)2,其中e为自然对数的底数,a∈R.讨论f(x)的单调性.
思路点拨
求f '(x) 对a分类讨论 确定f '(x)的符号 得到f(x)的单调性.
解析 易得f(x)的定义域为R,f '(x)=ex+(x-3)·ex+2a(x-2)=(x-2)(ex+2a).
(1)当a≥0时,令f ‘(x)>0,得x>2,令f ’(x)<0,得x<2,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在
(-∞,2)上单调递减.
(2)当a<0时,令f '(x)=0,得x=2或x=ln(-2a),
①当ln(-2a)<2,即- 令f '(x)>0,得x2,
令f '(x)<0,得ln(-2a)所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(2,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),2)上单调递减;
②当ln(-2a)=2,即a=- 时, f '(x)≥0恒成立, f(x)在R上单调递增;
③当ln(-2a)>2,即a<- 时,
令f '(x)>0,得x<2或x>ln(-2a),
令f '(x)<0,得2所以f(x)在(-∞,2)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-2a))上单调递减.
综上所述,当a≥0时, f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减;
当- 当a=- 时, f(x)在R上单调递增;
当a<- 时, f(x)在(-∞,2)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-2a))上单调递减.
名师点睛 对于含参函数的单调性问题,常常需要利用分类讨论思想对参数进行
分类讨论,讨论时一是要注意做到不重不漏,二是要注意结合函数的定义域研究
其单调性,此外还需特别强调的是,如果一个函数具有相同单调性的区间不止一
个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
3 |已知函数的单调性求参数的取值范围
1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)上恒
成立,且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.
2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的取值范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应
单调区间的子集;
(2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f‘(x)≥0(f’(x)≤0)在
(a,b)内恒成立,注意验证等号能否取到.
已知关于x的函数f(x)=x3-ax+b.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值.
思路点拨
(1)求f'(x) 由f'(x)≥0分离参数a 确定实数a的取值范围.
(2)思路一:f'(1)=0 确定实数a的值.
思路二:对参数a进行分类讨论 得到实数a的值.
解析 (1)由题意得f(x)的定义域为R,且f'(x)=3x2-a.
若函数f(x)=x3-ax+b在(1,+∞)上是增函数,
则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,
即a≤3x2在x∈(1,+∞)上恒成立,
则a≤(3x2)min.
因为x>1,所以3x2>3.
所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].
(2)解法一:由题意可知,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,
a=3满足条件,所以a=3.
解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ .
若a≤0,则x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0恒成立,
此时,f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.
若a>0,由f'(x)≥0,得x≥ 或x≤- .
因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解题意时,要注意“(1)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数”与“(2)函数
f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞)”的区别,其中(2)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的
一个最大的递增区间,而(1)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的一个递增区间的子区间.(共21张PPT)
5.2 导数的运算
学习目标
1.能根据定义求基本初等函数的导数.
2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能
求简单的复合函数的导数.
3.通过求导提升数学运算的核心素养,通过导数的应用提升逻辑推理的核心素养.
1 |基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=kx+b(k,b为常数) f '(x)=k
f(x)=C(C为常数) f '(x)=0
f(x)=xα(α为常数) f '(x)=① αxα-1
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=② axln a
f(x)=ex f '(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)=③
f(x)=ln x f '(x)=
f(x)=sin x f '(x)=cos x
f(x)=cos x f '(x)=④ -sin x
2 |函数的和、差、积、商的导数运算法则
设两个函数f(x),g(x)可导,则
和的导数 (f(x)+g(x))'=f '(x)+g'(x)
差的导数 (f(x)-g(x))'=f '(x)-g'(x)
积的导数 (Cf(x))'=Cf '(x)(C为常数),
(f(x)g(x))'=⑤ f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
商的导数 '
=⑥ (g(x)≠0)
3 |简单复合函数的导数
1.复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数,称为复合函数.
2.复合函数的求导法则
一般地,若y=f(u),u=ax+b,则y'x=y'u·u'x,即y'x=⑦ y'u·a .
4 |函数与导数的奇偶性、周期性间的关系
1.奇函数的导数是偶函数
例如,y=sin x是奇函数,y'=cos x是偶函数.
2.偶函数的导数是奇函数
例如, y=x2是偶函数,y'=2x是奇函数.
3.周期函数的导数还是周期函数
例如,y=sin x是周期函数,周期是2π,其导数y'=cos x也是周期函数,周期是2π.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.如果质点A的运动方程为y=3x+2,那么它在任一时刻的瞬时速度均相等.( √ )
提示:y'=3,故它在任一时刻的瞬时速度都相等.
2.火车开出车站一段时间内的速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系为
v(t)=0.4t+0.6t2,则火车开出4秒时的加速度为4 m/s2. ( )
提示:v'(t)=0.4+1.2t,令0.4+1.2t=4,得t=3.
3.如果物体在某时间段内的瞬时加速度恒为0,那么该物体在此时间段内静止不
动. ( )
提示:该物体在此时间段内的速度函数还可能为常数函数.
4. '
= =1. ( )
提示: '
= = .
5.f '(x)=2x,则f(x)=x2. ( )
提示:若f '(x)=2x,则f(x)=x2+C(C为任意常数).
6. '
=cos . ( )
提示: '
=-2cos =-2sin 2x.
1 |利用导数的四则运算法则求导
利用导数的四则运算法则求导的策略
1.对于分式中分子、分母齐次结构的函数,可考虑通过裂项化为和、差形式;
若待求导的函数是两个函数商的形式,则可先对函数进行适当变形,再求导,这样
会大大减少运算量.
2.对于根式型函数,可考虑进行有理化变形:
有理化变形通常有两种形式:一是分子中含有根式,则进行分子有理化;二是分母
中含有根式,则进行分母有理化.如果所给两“项”的分母是互为有理化因式的
结构形式,则直接通分就能达到分母有理化的效果,从而使化简过程更为简捷.
3.对于多个整式乘积形式的函数,可以考虑展开,化为和、差形式:
若待求导的函数为多个整式乘积的形式,则可以利用多项式的乘法法则,化为
和、差的形式,再求导,其运算过程将会简化,运算量将会减小.
4.对于三角函数,可考虑恒等变形
对含有三角函数式的函数求导,往往需要利用三角恒等变换公式,对函数式进行
化简,使函数的种类减少,次数降低,结构尽量简单,从而便于求导.
(2020江苏常熟高二下期中联考)设函数f(x)满足f(x)=x2+3f '(1)x+1,则f(3)的值为
.
思路点拨
对函数求导 令x=1,求出f '(1)的值 代入原函数中 令x=3可求出f(3).
解析 由f(x)=x2+3f '(1)x+1,
得f '(x)=2x+3f '(1),
令x=1,则f '(1)=2+3f '(1),解得f '(1)=-1,
所以f(x)=x2-3x+1,令x=3,则f(3)=9-9+1=1.
答案 1
求下列函数的导数.
(1)y=x-2+x2;
(2)y=3xex-2x+e;
(3)y= ;
(4)y=x2-sin cos .
思路点拨
将原式化为便于求导的形式 利用导数的四则运算法则求导.
解析 (1)y'=2x-2x-3.
(2)y'=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.
(3)y'= = .
(4)∵y=x2-sin cos =x2- sin x,
∴y'=2x- cos x.
陷阱分析 此类问题出错的原因主要有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆
不准确;二是求导法则掌握不准确,尤其是对积与商的求导法则中的符号出现混
淆,导致运算结果错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注
意化简过程中变换的等价性.
2 |复合函数的导数
1.复合函数求导的步骤
2.求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数;
(2)求导时分清是对哪个变量求导;
(3)计算结果尽量简单.
求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;(2)y= ;
(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.
思路点拨
选定中间变量u,确定基本初等函数y=f(u),u=g(x) 由外向内求导 变量回代
相乘.
解析 (1)函数y=e2x+1可看成函数y=eu和u=2x+1的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函数y= 可看成函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4
=-6(2x-1)-4=- .
(3)函数y=5log2(1-x)可看成函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(1-x)'
= = .
(4)函数y1=sin3x可看成函数y1=u3和u=sin x的复合函数,函数y2=sin 3x可看成函数y2=
sin v和v=3x的复合函数,
∴y'x=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'
=3u2cos x+3cos v
=3sin2xcos x+3cos 3x.
解题模板
确定复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开
始,由外及内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数,逐
步确定复合过程.
3 |利用导数的运算解决切线问题
1.利用导数的四则运算法则解决切线问题,有以下几种常见题型:
(1)求函数的图象在某点处的切线方程;
(2)已知切线的方程或斜率求切点;
(3)与切线有关的综合问题.
2.切线问题的处理方法
(1)对函数进行求导;
(2)若已知切点,则求出切线斜率、切线方程;
(3)若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.
在解决此类问题时,求函数的导数是基础,找出切点是关键.
(1)(2020江苏张家港高二下期中)若直线y=ex+m是曲线y=ln x的一条切线,则实数m
的值是 .
(2)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .
思路点拨
(1)先设切点为(x0,y0),根据导数的几何意义结合条件求出切点,再代入y=ex+m,即可
得出结果.
(2)设点P(x0,y0)在曲线y=ln(2x-1)上,由y' =2求出点P的坐标,则点P到直线2x-y+3
=0的距离即为所求的最短距离.
解析 (1)由题意,设直线y=ex+m与曲线y=ln x的切点为(x0,y0)(x0>0),由y=ln x得y'=
,
因为直线y=ex+m是曲线y=ln x的一条切线,
所以切线斜率k=e=y' = ,因此x0= ,
所以y0=ln x0=-1,即切点为 ,
又切点在直线y=ex+m上,
所以-1=e× +m,解得m=-2.
(2)设曲线y=ln(2x-1)在点P(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
易得y'= ,∴y' = =2,
解得x0=1,
∴y0=ln(2-1)=0,
即P(1,0).
∴切点P(1,0)到直线2x-y+3=0的距离d= = ,
即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .
答案 (1)-2 (2)
解题模板
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他
的条件可以转化为这三个元素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出原函数的导函数是解决此类问题的关键,务必做
到计算准确.(共23张PPT)
5.1.2 瞬时变化率——导数
学习目标
1.通过实例分析,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表
达,体会导数的内涵与思想.
2.会求简单函数在某点处的导数及其图象在该点处的切线方程.
3.通过导数的概念培养数学抽象素养,借助导数的几何意义提升数学运算素养.
1 |曲线上一点处的切线
如图,设Q为曲线C上不同于P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线.随着点Q
沿曲线C向点P运动,割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q① 无限逼近
点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l称为② 曲线在点P处的切线 .
2 |瞬时速度与瞬时加速度
1.瞬时速度
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率③ 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速
度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
2.瞬时加速度
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率④
无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加
速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.
3 |导数
1.函数在一点处的导数
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值 =
⑤ 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处⑥ 可导 ,并称常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x0).通常又可表示为f '(x0)= .
函数y=f(x)在x=x0处的导数还可以记作y' .
2.导数的几何意义
导数f ‘(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的⑦ 斜率 .
3.导函数
若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变
化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f '(x).f(x)在x=x0
处的导数f '(x0)就是导函数f '(x)在x=x0处的⑧ 函数值 .
在不引起混淆时,导函数f '(x)也简称为f(x)的导数.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.如果质点A的运动方程为y=3t2,则它在t=1时的瞬时速度为6. ( √ )
提示: = =6 +3Δt.当Δt→0时, →6,即质点在t=1时的瞬时速度为
6.
2.运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0,那么该时刻物体一定停止运动. ( )
提示:瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻变化的快慢,瞬时加速度为0,并不是速
度为0.
3.汽车在行驶时的平均速度与瞬时速度一定不相等. ( )
提示:当汽车的位移与时间的关系式为常数函数或一次函数时,平均速度与瞬时
速度相等.
4. f '(x0)=(f(x0))'. ( )
提示:f '(x0)是函数f(x)在点x= x0处的导数,不一定为0,而(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,
它一定为0.
5.函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. ( √ )
提示:在导数的概念中,若Δx的符号改变,则Δy的符号也相应改变,故函数y=f(x)在x
=x0处的导数值与Δx的正、负无关.
6.若直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点. ( )
提示:参照正弦曲线可知,直线与曲线相切时,交点可以有多个.
1 |求瞬时速度与瞬时加速度
1.求运动物体瞬时速度的步骤
(1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(2)求平均速度 = ;
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于的常数v即为瞬时速度,即v=
.
2.求运动物体瞬时加速度的步骤与求其瞬时速度的步骤相仿,不同的是求瞬时速
度时函数值的改变量是位移s(t)的改变量,而求其瞬时加速度时,函数值的改变量
是速度v(t)的改变量.
3.物体的瞬时速度与平均速度是不同的概念,解题时要注意区分.
(2020江苏淮阴中学、泰州姜堰中学期中联考)一物体做直线运动,其位移s (单位:
m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=5t-t2,则该物体在t=3 s时的瞬时速度是 ( )
A.-1 m/s B.1 m/s C.2 m/s D.6 m/s
解析 =
=
= =-1-Δt,
当Δt→0时,-1-Δt→-1,即该物体在t=3 s时的瞬时速度为-1 m/s.故选A.
答案 A
方法总结 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的改变量与时间改变量的
比值”.
(2)平均速度与瞬时速度是两个不同的概念,但可以用平均速度的值来估算瞬时
速度的值,当Δt无限趋近于0时,平均速度无限趋近于的常数即为瞬时速度.
已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v(t)=3t2+2(速度单位:cm/s,时间单
位:s).
(1)当t=2,Δt=0.01时,求 ;
(2)求质点M在t=2时的瞬时加速度.
解析 =
= =6t+3Δt.
(1)当t=2,Δt=0.01时, =6×2+3×0.01=12.03(cm/s2).
(2)当Δt无限趋近于0时,6t+3Δt无限趋近于6t,则质点M在t=2时的瞬时加速度为12
cm/s2.
方法总结 求瞬时加速度的步骤:(1)求平均加速度 ;(2)令Δt→0,求出瞬时加速
度.
2 |多角度理解导数的概念
导数的概念是高中数学中的重要概念之一,我们需要从以下几个方面加以理解:
1.函数y=f(x)在x=x0处可导,必须满足两个条件:
(1) f(x)在x0处及其附近有定义;
(2)当Δx→0时, 的极限存在.
2.Δx是自变量x的改变量,且Δx≠0;Δy是函数值y的改变量,可以为0.
3.导数定义的等价形式:
y'= ;
y'= ;
y'= .
4.Δx与Δy要相互对应,即自变量的改变量与函数值的改变量要相互对应,例如,若
2Δx=x1-x0,则Δy=f(x1)-f(x0)=f(x0+2Δx)-f(x0).
设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 =1,求f'(x0).
解析 ∵
=
=-3f'(x0)=1,
∴f'(x0)=- .
陷阱分析 利用导数的定义解题时,要注意自变量x的改变量Δx的形式是多种多
样的,但无论Δx是哪种形式,Δy必须是与之对应的形式.解题时容易因不能准确分
析和把握给定的极限式与导数定义的关系,盲目套用导数的定义导致解题错误,
解决这类问题的关键就是等价变形,使问题转化.
3 |求函数在某点处的导数
1.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 = ;
(3)求极限 .
以上三个步骤可简称为“差、商、极限”.
2.求函数在某一点处的导数,还可以先求出函数的导数,再计算这点的导数值.
(1)已知函数y=f(x)=x- 在x=1处的导数f'(1)=2,求a的值;
(2)已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0的值.
思路点拨
利用导数的概念,求出函数在某点处的导数,进而利用条件求出未知数的值.
解析 (1)∵Δy=(1+Δx)- -
=Δx+a- =Δx+ ,
∴ = =1+ ,
∴f'(1)= = =1+a=2,∴a=1.
(2)∵f'(x0)=
=
= (6x0+3Δx)=6x0=6,∴x0=1.
4 |求曲线的切线
1.曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程:
(1)点P(x0, f(x0))为切点;
(2)切线斜率k=f'(x0);
(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.曲线y=f(x)过点P(x0, f(x0))的切线方程:
(1)该点可能是切点,也可能不是切点;
(2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,切线条数与切点个数有关;
(3)求切线方程的一般步骤:
①设出切点(x1, f(x1));
②求出函数f(x)在点(x1, f(x1))处的导数f'(x1);
③写出切线方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),将(x0,f(x0))代入,求得x1;
④将x1代入切线方程,化简得切线方程.
3.注意:
(1)直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l不一定是曲线的切线,如图中的直线l1.
(2)当直线l与曲线C有不止一个公共点时,直线l也可能是曲线C的切线,如图中的
直线l2,N是切点.
已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在x=1处的切线方程;
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.
思路点拨
(1)求y'|x=1 求切点 利用点斜式求切线方程.
(2)设切点(x0,y0) 求y' 由y' = 求(x0,y0) 写出切线方程.
解析 (1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,
∴切点的坐标为(1,1).
∵y'|x=1= =
= [3+3Δx+(Δx)2]=3,
∴曲线C在x=1处的切线的斜率k=y'|x=1=3.
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)设切点为Q(x0,y0),
由(1)可知y' =3 ,
由题意可知切线斜率k'=y' ,
即 =3 ,又y0= ,
所以 =3 ,
即2 -x0-1=0,解得x0=1或x0=- .
①当x0=1时,切点坐标为Q(1,1),相应的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0;
②当x0=- 时,切点坐标为Q ,相应的切线方程为y+ = ,即3x-4y+1=
0.
综上,曲线C过点(1,1)的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
求曲线的切线方程时,首先要区分是“在某点处”还是“过某点”.如果是“过
某点”,那么应先设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐
标,进而求出切线方程.(共15张PPT)
5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
学习目标
1.通过实例,了解平均变化率的概念,并会求具体函数的平均变化率.
2.了解平均变化率概念的形成过程,会在具体的情境中,说明平均变化率的实际意
义.
3.通过具体的平均变化率问题,培养数学建模素养,借助平均变化率的求解,提升
数学运算素养.
1 |平均变化率
函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为① .
我们利用函数的平均变化率来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
2 |平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是经过曲线y=f(x)上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线PQ的
斜率.因此平均变化率是曲线陡峭程度的②“ 数量化 ”,或者说,曲线陡峭程
度是平均变化率的③“ 视觉化 ”.
3 |函数f(x)在点x0附近的平均变化率
对于函数f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0, Δy=f(x1)-f(x0),则得
函数y=f(x) 在点x0附近的平均变化率为 = = .其中Δx
称作自变量的改变量,Δy称作函数值的改变量.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.圆的半径r从0.1变化到0.3时,圆的面积S的平均变化率为0.4π. ( √ )
提示:圆的面积S的平均变化率为 = =0.4π.
2.已知某质点的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=5t2,则在1 s到3 s
这段时间内,该质点的平均速度为20 m/s. ( √ )
3.在雨季潮汛期间,某水文观测员观察千岛湖水位的变化,发现在24 h内水位从10
2.7 m上涨到105.1 m,则水位涨幅的平均变化率是1 m/h. ( )
提示:水位涨幅的平均变化率是 =0.1(m/h).
4.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为零,说明函数值在此区间上没有发生变
化. ( )
提示:函数f(x)在区间[x2,x2]上的平均变化率为零,只是说明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在
区间(x1,x2)内可以有变化.
5.自变量的改变量x2-x1取值越小,越能准确体现函数的变化率. ( √ )
提示:x2-x1取值越小,刻画函数的变化趋势越精确,故越能准确体现函数的变化率.
6.已知某弯曲山路的上、下两点A(x1,y1),B(x2,y2),则 可以近似刻画此弯曲山
路的陡峭程度. ( √ )
提示:因为 表示A,B两点所在直线的斜率,所以可近似地刻画曲线段AB的陡
峭程度.
1 |求函数在某区间上的平均变化率
1.求函数f(x)在区间[x1,x2]上平均变化率的三个步骤:
第一步,求自变量的改变量x2-x1;
第二步,求函数值的改变量f(x2)-f(x1);
第三步,求平均变化率 .
2.求平均变化率的一个关注点:
求点x0附近的平均变化率,可用 求解.
已知函数f(x)=x2-x图象上两点P(1, f(1))和Q(t, f(t)),且直线PQ的斜率为2,则t的值为
.
思路点拨
直线PQ的斜率也就是函数f(x)在区间[1,t]上的平均变化率 利用平均变化率的
计算公式列出关于t的方程 解方程求出t.
解析 自变量x从1变到t时,函数f(x)的平均变化率为
= =2,
解得t=2.
答案 2
方法总结 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率表示连接函数f(x)图象上两点(x1,
f(x1)),(x2,f(x2))的直线的斜率,这也正是平均变化率的几何意义.
(1)已知函数f(x)=x+ ,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化
率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快;
(2) 已知函数f(x)=x2+1,求f(x)在区间[2,2+Δx]上的平均变化率.
思路点拨
(1)求x2-x1 求f(x2)-f(x1) 计算 .
(2)求 f(2+Δx)-f(2) 计算 .
解析 (1)自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为
= = ;
自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为
= = .
因为 < ,
所以函数f(x)=x+ 在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
(2) f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+1-(22+1)=4Δx+(Δx)2,
所以f(x)在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
= =4+Δx.
方法总结 函数的平均变化率的绝对值反映了函数在某区间上变化的快慢.平均
变化率的绝对值越大,函数在该区间上变化得越快;平均变化率的绝对值越小,函
数在该区间上变化得越慢.
2 |实际问题中的平均变化率
函数的平均变化率在实际的生产生活中有着广泛的应用,如求平均速度、平均劳
动生产率、面积和体积的变化率等.解决这类问题的关键是能从实际问题中引出
数学模型并列出函数关系式,需注意是相对什么量变化的.
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)
之间的函数关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内的平均速度;
(2)求运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度.
信息提取
①h与t间的函数关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10;②求函数h(t)在区间[0,0.5]上的平均
变化率;③求函数h(t)在区间[1,2]上的平均变化率.
数学建模
本题以高台跳水这一体育运动项目为背景,构建函数模型,将实际问题中的平均
速度转化为函数的平均变化率求解.运动员在某时间段内的平均速度就是高度h
在相应区间上的平均变化率.
解析 (1)运动员在第一个0.5 s内的平均速度即高度h在区间[0,0.5]上的平均变化
率,即 =4.05,
故运动员在第一个0.5 s内的平均速度为4.05 m/s.
(2)运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度即高度h在区间[1,2]上的平均变化率,
即 =-8.2,
故运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度为-8.2 m/s.
规律总结 结合物理知识可知,在第一个0.5 s内,高度h的平均变化率为正值,表示
此时运动员在起跳后处于上升过程;在1≤t≤2这段时间内,高度h的平均变化率为
负值,表示此时运动员已开始向水面下降.事实上,平均变化率的值可正、可负,也
可以是0.