(共15张PPT)
4.4 数学归纳法*
学习目标
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单的命题.
1 |数学归纳法
1.数学归纳法的概念
一般地,证明一个与① 正整数 n有关的数学命题,可按如下两个步骤进行:
(1)证明当② n=n0(n0∈N*) 时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当③ n=k+1 时命题也成立.
根据(1)(2)就可以断定命题对于从④ n0 开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法叫作数学归纳法.
2.数学归纳法的步骤
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
提示:与正整数n有关的数学命题的证明还能用其他方法.
2.证明与正整数n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确即可. ( )
提示:由n取前几个值命题正确,推不出与正整数n有关的命题正确.
3.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.
( )
提示:数学归纳法的两个步骤缺一不可.
4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. ( )
提示:有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角
和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立,所以不正确.
5.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的左边不一定只增加了一项.
( √ )
提示:如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”时,由n=k到n=k+1,
等式的左边增加了两项.
1 |利用数学归纳法证明等式
利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式两边
的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N*)时的假设.证明恒
等式的一个重要技巧就是两边“凑”.
用数学归纳法证明等式时的步骤:
第一步:弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况,验证两边相等;
第二步:弄清从n=k到n=k+1时等式两端的项是如何变化的,即增加了哪些项,减少
了哪些项;利用这些变化规律,设法将待证式与归纳假设建立联系,并向n=k+1时证
明目标的表达式进行变形,证明n=k+1时结论也成立.
第三步:由数学归纳法原理得到等式成立.
用数学归纳法证明:
+ +…+ = (n∈N*).
证明 (1)当n=1时,左边= = ,右边= = ,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即
+ +…+ = ,
则当n=k+1时, + +…+ +
= +
=
= ,
即当n=k+1时等式也成立.
由(1)(2)可知,对于任意的n∈N*,等式都成立.
2 |用数学归纳法证明不等式
1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式和证明与正整数有关的等式的方法
类似.
2.用数学归纳法证明不等式时需注意
在推证“当n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要将表达式作适当放缩变形,
便于应用归纳假设,变换出要证明的结论.
用数学归纳法证明:
1+ + +…+ ≤ +n(n∈N*).
思路点拨
分别确定当n=1,n=k,n=k+1时不等式的左边的值,找到它们之间的关系,运用数学
归纳法证明.
证明 (1)当n=1时,1+ = ,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,
即1+ + +…+ ≤ +k,
则当n=k+1时,
1+ + +…+ + + +…+ ≤ +k+ + +…+ < +k+2k·
= +(k+1),
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.
3 |归纳—猜想—证明,解决与递推公式有关的数列问题
1.在给出了已知数列的递推关系的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出
结论,然后用数学归纳法证明该结论.简单地说,用不完全归纳法归纳结论,用数学
归纳法证明结论.正确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是
归纳的桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.
2.“归纳—猜想—证明”的解题步骤
已知数列{an}满足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N*).
(1)用a表示a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.
思路点拨
利用递推公式求出a2,a3,a4,归纳出通项公式,再用数学归纳法证明结论.
解析 (1)由已知得,a2= = ,a3= = = ,a4= = =
.
(2)因为a1=a= ,
a2= ,……,所以猜想an= .
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,因为a1=a= ,所以当n=1时猜想成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想成立,
即ak= ,
所以当n=k+1时,
ak+1= = =
= = ,
所以当n=k+1时猜想也成立.
根据①与②可知,猜想对任意n∈N*都成立.(共21张PPT)
4.3.3 等比数列的前n项和
学习目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及其获取思路.
2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,会用等比数列的前n项和公式
解决与等比数列有关的问题.
3.理解等比数列前n项和公式的函数特征,应用等比数列前n项和公式的有关性质
解题.
1 |等比数列的前n项和公式
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,则
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比
选用公式 Sn= Sn=
2.(1)当公比q≠1时,设A= ,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指
数型函数.
(2)当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.
2 |等比数列前n项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其
前n项和公式可推得Sn有如下性质:
1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.
2.当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
3.设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1,
则 =q.
4.当q=1时, = ;当q≠±1时, = .
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=3·2n-3,则该数列是等比数列. ( √ )
提示:等比数列的前n项和公式可以写成Sn=Aqn-A(q≠1)的形式,所以该数列是等比数列.
2.已知数列{an}的通项公式是an=an,其前n项和为Sn,则Sn= . ( )
提示:当a=1时,Sn=n,结论不成立.
3.已知等比数列{an}的公比为 ,则该数列的前100项中,偶数项的和与奇数项的和
的比值为25. ( )
提示:当等比数列的项数为2n时, =q,所以 = .
4.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍构成等比数列.
( )
提示:当公比为-1时不成立.
5.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列. ( )
提示:当a1<0,0
1 |等比数列的前n项和公式及其应用
1.等比数列的前n项和公式要分公比q=1和q≠1两种情况,因此,当公比未知时,要
先对公比进行分类讨论,再求和.
(1)若数列{an}的通项公式为an=an,其前n项和为Sn,则Sn=
(2)若已知a1,q(q≠1)和n,则用Sn= 求Sn较简便;
若已知a1,q(q≠1)和an,则用Sn= 求Sn较简便.
2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个基本量,已知其中三个量就可利用通项
公式和前n项和公式求出另外两个量.
(1)在14与 之间插入n个数组成等比数列,若各项总和为 ,则此数列的项数为
( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)(2021陕西汉中五校高二月考)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 =
,则公比q= .
思路点拨
(1)利用等比数列的求和公式Sn= ,先求出公比q,再求项数.
(2)利用等比数列前n项和的定义求解.
解析 (1)设该等比数列的公比为q.由题意,可知q≠1,
则 = ,
解得q=- ,
设此数列的项数为m,令 =14× ,解得m=5.故该数列共有5项.
(2)由数列前n项和的定义及等比数列的通项公式可得S10=(a1+a2+…a5)+(a6+a7+…+
a10)=S5+q5(a1+a2+…a5)=(1+q5)S5,
∴ =1+q5= ,
则q5=- ,
解得q=- .
答案 (1)B (2)-
设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn.
思路点拨
思路一:易知q≠±1,故设Sn=Aqn-A(A≠0) 由S4=1,S8=17,求出A,q 求出Sn.
思路二:易知q≠±1,由S4=1,S8=17及Sn= ,求出a1,q 求出Sn.
解析 解法一:设数列{an}的公比为q.
由S4=1,S8=17,知q≠±1,
故设Sn=Aqn-A(A≠0),
∴ 两式相除,化简得q4=16,
∴q=±2.
当q=2时,A= ,Sn= (2n-1);
当q=-2时,A= ,Sn= [(-2)n-1].
解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q,
由S4=1,S8=17,知q≠±1,
∴
两式相除并化简,得q4+1=17,
即q4=16,∴q=±2.
当q=2时,a1= ,Sn= = (2n-1);
当q=-2时,a1=- ,Sn= = [(-2)n-1].
2 |等比数列前n项和的性质及其应用
恰当使用等比数列前n项和的相关性质可以避繁就简,不仅可以使运算简便,还可
以避免对公比q的讨论.解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件,并结合
题设条件寻找使用性质的切入点.
(1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为1
70,则这个数列的项数为 ( )
A.2 B.4
C.8 D.16
(2)等比数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4=20,a5+a6+a7+a8=10,则数列{an}的前16项和S16
为 ( )
A.20 B.
C. D.-
(3)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于
( )
A.80 B.30
C.26 D.16
思路点拨
(1)利用等比数列前n项和的性质:若等比数列的项数为偶数,公比为q,奇数项之和
为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q直接求解.
(2)利用等比数列的性质:当q≠-1时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列直接求解.
(3)思路一:由Sn,S3n的值,求出a1,q 求出S4n.
思路二:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q 求出S4n.
思路三:易知q≠1,故可由Sn= 推出Sn,S3n,S4n之间的关系 求出S4n.
思路四:当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列 求出S4n.
解析 (1)设这个等比数列为{an},其项数为2k(k∈N*),公比为q,
则其奇数项之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85,
偶数项之和为S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q= = =2,
∴等比数列{an}的所有项之和S2k= =22k-1=170+85=255,∴22k=256,解得k=
4,∴这个等比数列的项数为8.故选C.
(2)由题意得S4=20,S8-S4=10,则 = ,根据等比数列的性质可知S4,S8-S4,S12-S8,S16
-S12构成公比为 的等比数列,所以S12-S8=5,S16-S12= ,所以S8=30,S12=35,S16= .
(3)解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.
由已知得,Sn= =2①,
S3n= =14②,
,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q= .
∴a1= =2( -1),
∴S4n= = =2×15=30.
解法二:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值,
∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1,
由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3= =14,
即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.
∵an>0,∴q=2,
∴S4= =2×15=30.
解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由解法一知,q≠1,
∴S4n= =
= +qn· =Sn+qnS3n.
这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,
要求S4n,只需求出qn即可.
∵S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+
q2n),
∴ =1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,
解得qn=2或qn=-3.
∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.
解法四:易知q≠-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,又Sn=2,S3n=14,∴(S2n-2)2=2×
(14-S2n),即 -2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵ = =2,
∴S4n-S3n=Sn·23=16,∴S4n=S3n+16=30.
答案 (1)C (2)B (3)B
解题模板
通过对比(3)中的四种解题方法,可以发现:解法一思路简便,但运算量过大;解
法二采用特殊值法,使问题简单化;解法三思路略显复杂;解法四应用等比数列前n
项和的性质,简化运算,且思路清晰.
3 |与等比数列有关的数列求和
1.分组求和法
一般地,若{an},{bn}中一个是等差数列,一个是等比数列,则常用分组求和法求数
列{an±bn}的前n项和,即先分别求{an},{bn}的前n项和,再将两个和式合在一起.
2.错位相减法
已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为公比不为1的等比数列,由这两个数列中项
数相同的项的乘积组成的新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}
的各项乘{bn}的公比q,并向后错位一项,与{anbn}中q的同次项对应相减,即可转化
为特殊数列的求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则
需对其进行分类讨论.
求和过程如下:设数列{anbn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的首项是a1,公差是d,等
比数列{bn}的首项是b1,公比是q,则
当q=1时,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1· ;
当q≠1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn
=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,
qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn,
∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.
由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,
∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∵q≠1,∴Sn= +db1· .
(2021湖北四地七校联盟高三期中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2,an,Sn成等
差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
思路点拨
(1)由题意知2an=2+Sn,则2an-1=2+Sn-1(n≥2),两式作差可得an=2an-1(n≥2),从而得到数
列{an}的通项公式;(2)由(1)可得bn=n·2n,用错位相减法得到数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题意知2,an,Sn成等差数列,所以2an=2+Sn①,可得2an-1=2+Sn-1(n≥2)②,
①-②得an=2an-1(n≥2),又2a1=2+a1,所以a1=2,
所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为an=2n.
(2)由(1)可得bn=n·2n,
则{bn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+4×24+…+n×2n,③
2Tn=22+2×23+3×24+4×25+…+(n-1)×2n+n×2n+1,④
③-④可得-Tn=2+22+23+24+25+…+2n-n×2n+1
= -n×2n+1
=(1-n)×2n+1-2,
所以Tn=(n-1)·2n+1+2.(共17张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
学习目标
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应问题.
3.灵活应用等比数列的通项公式,体会等比数列与指数函数的关系.
1 |等比数列的概念
等 比 数 列 文 字 语 言 一般地,如果一个数列从第① 二 项起,每一项与它的前一项的比都等于② 同一个 常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示
数学符号 在数列{an}中,如果 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*)成立,则称该数列为等比数列,常数q为等比数列的公比
递推关系 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*)
2 |等比数列的通项公式
一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有③ an=a1qn-1 ,这就是等比数列{an}
的通项公式,其中a1为首项,q为公比.
3 |等比中项
若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项,此时G2=ab.
4 |等比数列的性质
1.单调性
a1的正负 a1>0 a1<0
q的 范围 01 01
{an}的 单调性 单调 递减 不具有 单调性 单调 递增 单调 递增 不具有 单调性 单调
递减
2.(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*).
(2)若{an}是等比数列,且m+n=p+q=2k,m、n、p、q、k∈N*,则am·an=ap·aq= .
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比
为qm,其中k,m∈N*.
(4)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ,{ },{an·bn}, 仍是
等比数列.
(5)若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}(a>0且a≠1)是公差为
logaq的等差数列.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若an+1=qan,n∈N*,且q≠0,则{an}是等比数列. ( )
提示:当a1=0时,an=0(n∈N*),{an}不是等比数列.
2.任何两个数都有等比中项. ( )
提示:当两个数a,b异号时,ab<0,G2=ab<0,无解,没有等比中项.
3.等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是单调数列.( √ )
提示:等比数列{an}中,若公比q<0,则各项正负相间,不是单调数列.
4.常数列既是等差数列,又是等比数列. ( )
提示:常数列0,0,0,…是等差数列,但不是等比数列.
5.若等比数列{an}的首项为正,则该数列的所有奇数项都为正. ( √ )
提示:等比数列{an}的奇数项为a2n-1=a1q2(n-1)=a1(q2)n-1(n∈N*),因此当a1>0时,a2n-1>0,一
般地,等比数列{an}的所有奇数项、偶数项的符号分别相同.
1 |等比数列的判定与证明
判定一个数列是等比数列的方法
1.定义法:
若数列{an}满足 =q(q为常数且不为零)或 =q(n≥2,q为常数且不为零),则数
列{an}是等比数列.
2.等比中项法:
对于数列{an},若 =an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.
3.通项公式法:
若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
其中,定义法和等比中项法可作为证明一个数列是等比数列的依据.
(2021陕西汉中五校高二月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,a1=1,a2= ,a3= ,
且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明: 为等比数列.
思路点拨
(1)令n=2,则4S4+5S2=8S3+S1,代入a1,a2,a3的值可求出a4.
(2)由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2)推出4an+2+an=4an+1(n≥2),再证 为等比数
列.
解析 (1)当n=2时,有4S4+5S2=8S3+S1,
即4× +5× =8× +1,解得a4= .
(2)证明:由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),得4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),即4an+2+an=
4an+1(n≥2).
当n=1时,有4a3+a1=4× +1=6=4a2,满足该递推公式,所以4an+2+an=4an+1,即an+2+ an=
an+1,
所以an+2- an+1= an+1- an= ,
又a2- a1= - =1≠0,
所以数列 是以1为首项, 为公比的等比数列.
2 |构造等比数列求通项公式
当已知数列不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数
列.利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型如下:
(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化为an+1- =c ,当a1- ≠0时,数列
为等比数列,从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题;也可消
去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2-a1
≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列.
(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化为an+1- =c 或将递推公式两边同除以
dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项.
(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化为an+1- =c +dn,即(2)型.
在数列{an}中,已知a1= ,an+1= an+ ,求数列{an}的通项公式.
思路点拨
用待定系数法构造等比数列求解.
解析 令an+1-A× = ,
得an+1= an+ × .
根据已知条件得 =1,即A=3,
所以an+1-3× = .
又a1-3× =- ≠0,
所以 是首项为- ,公比为 的等比数列.
所以an-3× =- × ,
所以an=3× -2× .
方法归纳 形如an=pan-1+kqn(n≥2,pqk≠0,p≠1,q≠1)的递推公式,除利用待定系数
法直接化为等比数列外,也可以两边同除以qn得 = · +k,进而化为等比数列,
还可以两边同除以pn得 = +k ,再利用累加法求出 ,进而求得an.
3 |等比数列的性质的应用
1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方
法,则需建立关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的
有关性质来求解,那么会起到化繁为简的效果.
2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
已知{an}为等比数列.
(1)若a2a4= ,求a1 a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
思路点拨
利用等比数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq求解.
解析 (1)等比数列{an}中,因为a2a4= ,
所以 =a1a5=a2a4= ,
所以a1 a5= .
(2)由等比数列的性质可得,
a2a4= ,a4a6= ,
∴ +2a3a5+ =25,
即(a3+a5)2=25,
∵an>0,
∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10
=log3(a1a2…a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
=log395
=10.(共18张PPT)
4.2.3 等差数列的前n项和
学习目标
1.探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系,在五个量(a1,d,n,an,Sn)中,会由
其中三个求另外两个.
3.能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题.
1 |数列的前n项和
一般地,对于数列{an},把a1+a2+…+an称为数列{an}的前n项和,记作Sn.
2 |等差数列的前n项和公式
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,则
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn=① Sn=② na1+ d
2.等差数列前n项和公式的函数特征
Sn=na1+ = n2+ n.
(1)该表达式中没有常数项;
(2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的
二次函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的
图象是抛物线y= x2+ x上横坐标为正整数的一系列孤立的点.
3 |等差数列前n项和的性质
性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公
差为k2d的等差数列
性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),S
偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0);
若等差数列的项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an
(an是数列的中间项),S奇-S偶=an, = (S奇≠0)
性质3 {an}为等差数列 为等差数列
性质4 若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,
则Sn、Tn 之间的关系为 = (bn≠0,T2n-1≠0)
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.等差数列{an}的前n项和Sn= (n≥3,n∈N*). ( √ )
提示:易知等差数列的前n项和公式为Sn= ,由等差数列的性质,得a1+an=a3+
an-2,所以Sn= (n≥3,n∈N*).
2.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数. ( )
提示:公差为0时,等差数列的前n项和是关于n的一次函数.
3.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列. ( )
提示:公差不为0的等差数列的前n项和公式是关于n的且不含常数项的二次函
数,题中Sn=n2+1有常数项,所以{an}不是等差数列.
4.已知{an}是等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,则数列 也是等差数列,且公差
为1. ( √ )
提示:由 Sn=na1+ 得, =a1+ =n-1+a1,所以数列 是公差为1的等
差数列.
5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6成等差数列. ( )
提示: 由等差数列前n项和的性质知,S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,只有当该等差数列
为常数列时,S2,S4,S6才成等差数列.
1 |等差数列前n项和的性质的应用
在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到
化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法:
(1)整体思路:利用公式Sn= ,先设法求出整体a1+an,再代入公式求解.
(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,
B即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用相关性质中的结论进行求解.
(1)已知一个等差数列的前10项和为30,前30项和为10,则它的前40项和为 ;
(2)若数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,且 = ,则 = .
解析 设该等差数列为{an},其前n项和为Sn.
(1)解法一:设该等差数列的公差为d,则
解得 故S40=40a1+ d=40× + × =-40.
解法二:易知S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等差数列,设该数列为{bn},其公差为d',
则{bn}的前3项和为3S10+ d'=S30=10,即S10+d'= ,又S10=30,所以d'=- ,
所以S40-S30=S10+3d'=30+3× =-50,
所以S40=-50+S30=-40.
解法三:设Sn=pn2+qn,则
解得 故Sn=- n2+ n,
所以S40=- ×402+ ×40=-40.
解法四:因为数列{an}是等差数列,所以数列 也是等差数列,则点 在一
条直线上,即 , , 三点共线,
于是 = ,
将S10=30,S30=10代入,解得S40=-40.
解法五:因为S30-S10=a11+a12+…+a30= =10(a1+a40)=10-30=-20,
所以a1+a40=-2,所以S40= =-40.
解法六:由等差数列前n项和公式易得Sm+n= ,其中m,n∈N*,m≠n,
则S40= =-40.
解法七:由解法六中所得公式知当Sm=n,Sn=m(m≠n)时,Sm+n=-(m+n).
由于S10=30,S30=10,因此S40=-(30+10)=-40.
(2)由等差数列前n项和公式易得 = = = .
答案 (1)-40 (2)
2 |等差数列前n项和的最值的求法
1.等差数列前n项和Sn存在最大(小)值的情形:
若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和;
若a1<0,d>0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和.
2.求等差数列(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下:
(1)用配方法转化为求解二次函数的最大(小)值问题,解题时要注意n∈N*;
(2)邻项异号法:可利用 或 来寻找正、负项的分界点.
3.一般地,在等差数列{an}中,当a1>0,且Sp=Sq(p≠q)时,若p+q为偶数,则当n= 时,
Sn最大;若p+q为奇数,则当n= 时,Sn最大.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.
解析 设等差数列{an}的公差为d.
解法一:∵S9=S17,a1=25,
∴9×25+ d=17×25+ d,解得d=-2,
∴Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,
∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为169.
解法二:同解法一,求出公差d=-2,
∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
∵a1=25>0,d=-2<0,
∴{an}是单调递减的等差数列.
由 得
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn有最大值,
最大值为S13=13×25+ ×(-2)=169.
解法三:同解法一,求出公差d=-2.
∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0,
由等差数列的性质得a13+a14=0,
∴a13>0,a14<0.
∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+ ×(-2)=169.
3 |与等差数列有关的数列求和方法
1.倒序相加法求和
在数列{an}中,如果与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,且此两项的
和为一个常数,可把正着写求和与倒着写求和的两个和式相加,通过求常数列的
和求数列{an}的前n项和,这一求和的方法称为倒序相加法.
2.裂项相消法求和
(1)若数列{an}为等差数列且公差为d,则数列 的前n项和Sn= + +…+
= = .
(2)常见的裂项技巧:
(i)已知{an}是等差数列,其公差为d,则bn= = × .
(ii)an=
= .
(iii)an= = - .
(iv)an=loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1.
(2021湖北宜昌高二月考)设n∈N*,正项数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=Sn+an+2,
.请在①4a3-1,2a4+3,a8成等差数列;② =S1S5这两个条件中任选一个补充
在题干中,并解答下面的问题.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn= ,记数列{bn}的前n项和为Tn,求T6.
思路点拨
(1)易得an+1-an=2(n∈N*),则数列{an}是以a1为首项,2为公差的等差数列,再根据所
选择的条件求出a1即可;(2)利用裂项相消法求和,再代入求值.
解析 (1)选①.
由Sn+1=Sn+an+2,得an+1-an=2(n∈N*),
所以数列{an}是以a1为首项,2为公差的等差数列.
由4a3-1,2a4+3,a8成等差数列,得(4a3-1)+a8=2(2a4+3),解得a1=1,
所以an=2n-1(n∈N*).
选②.
由Sn+1=Sn+an+2,得an+1-an=2(n∈N*),
所以数列{an}是以a1为首项,2为公差的等差数列,
由 =S1S5得(a1+4)2=a1(5a1+20),即 +3a1-4=0,解得a1=1(a1=-4舍去),
所以an=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)得an=2n-1,则bn= = ,
故数列{bn}的前n项和Tn= + +…+ = ,
故T6= × = .(共20张PPT)
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
4.2.2 等差数列的通项公式
学习目标
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应问题.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
1 |等差数列的概念
等 差 数 列 文字 语言 一般地,如果一个数列从① 第二项 起,每一项减去它的前一项所得的差都等于② 同一个常数 ,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的③ 公差 ,公差通常用d表示
数学 符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差
递推 公式 an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
2 |等差数列的通项公式
一般地,对于等差数列{an}的第n项an,有④ an=a1+(n-1)d .这就是等差数列
{an}的通项公式,其中a1为首项,d为公差.
3 |等差中项
如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=⑤ ,我们把A= 叫作a和b的等
差中项.
4 |等差数列的常用性质
性质1 通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*);d=
性质2 若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an
性质3 若{an}是等差数列,其公差为d,则{a2n}也是等差数列,且公差为2d
性质4 若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列
性质5 若{an}是等差数列,其公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列
性质6 若{an}是等差数列,其公差为d,则当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列
5 |等差数列与一次函数的关系
1.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*),可得an=dn+(a1-d).
当d≠0时,等差数列{an}的通项公式中等号右边是关于自变量n的一次式,一次项
系数就是等差数列的公差.因此从图象上看,表示数列{an}的各点均匀分布在一条
直线上.当d>0时,等差数列{an}是递增数列,当d<0时,等差数列{an}是递减数列.
当d=0时,an=a1,等差数列{an}为常数列,此时表示数列{an}的各点是平行于x轴(或
与x轴重合)的直线上的均匀分布的一群孤立的点.
总之,等差数列{an}对应函数的图象是直线y=dx+(a1-d)上均匀分布的一群孤立的
点.
2.关系列表
等差数列 一次函数
不同点 定义域为N*,图象是一系列孤立
的点 定义域为R,图象是一条直线
相同点 通项公式与一次函数解析式中,等号右边都是关于自变量的一次
整式
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列. ( )
提示:从第二项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数的数列才是等差数列.
2.等差数列的公差是相邻两项的差. ( )
提示:从第二项起,每一项与它的前一项的差是等差数列的公差.
3.在公差为d的等差数列{an}中,a2 020=a20+2 000d. ( √ )
提示:公差为d的等差数列{an}中,a2 020=a20+(2 020-20)d=a20+2 000d.
4.若数列{an}为等差数列,则其通项公式为n的一次函数.( )
提示:当公差为0时,其通项公式为常数函数,不是一次函数.
5.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍为等差数列,公差为kd. ( √ )
提示:公差为d的等差数列{an}中,ak=a1+(k-1)d,a2k=a1+(2k-1)d,a3k=a1+(3k-1)d,a4k=a1+
(4k-1)d,……,因此a2k-ak=a3k-a2k=a4k-a3k=…=kd,故结论正确.
6.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( √ )
1 |等差数列的判定与证明
判断一个数列是不是等差数列的方法
1.定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 数列{an}是等差数列.
2.定义变形法:验证数列的通项an是否满足an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*).
3.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
4.通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数
列.
注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.
(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;由an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*)无
法确定等差数列{an}的公差.
(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列
是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)若数列{bn}满足bn= (an+t)(n∈N*),是否存在一个实数t,使得{bn}为等差数列
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨
(1)代入n=3 求出a2 代入n=2 求出a1.
(2)假设存在t 计算bn-bn-1 令bn-bn-1=常数,求出t的值.
解析 (1)当n=3时,a3=3a2+26=95,∴a2=23;
当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5.
(2)假设存在满足题意的实数t.
由题易得an-3an-1=3n-1,
所以当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= ·(3n-1-2t)=1- .
要使{bn}为等差数列,则1+2t=0,即t=- .
所以存在满足题意的实数t,且t=- .
2 |等差数列通项公式的求解及应用
求等差数列通项公式的一般思路
1.方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通
项公式.
2.利用等差数列通项公式的变形:已知等差数列中的两项时,可利用an=am+(n-m)d
(n,m∈N*)求出公差d,进而写出等差数列的通项公式.
当已知数列不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列,利用等差数列的通项
公式,求出包含an的关系式,进而求出an.将题设中的递推关系式转化为等差数列的
常见形式如下:
(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列.
(2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列.
(3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列,其中c为常数.
(4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
(5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
(1)在公差为d的等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则其通项公式为an=
;
(2)已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1,求数列{an}的通项公式.
思路点拨
(1)思路一:由已知列方程组 求出a1,d 求出{an}的通项公式.
思路二:利用an=am+(n-m)d求出d 求出{an}的通项公式.
(2)将递推关系式的两边同时除以3n+1,通过观察发现数列 为等差数列,求其通
项公式后易得数列{an}的通项公式.
解析 (1)解法一:由题意可得
解得
∴an=2+(n-1)×2=2n(n∈N*).
解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d= =2,
∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n(n∈N*).
(2)由an+1=3an+3n,两边同时除以3n+1,
得 = + ,即 - = .
由等差数列的定义知,
数列 是以 = 为首项, 为公差的等差数列,
∴ = +(n-1)× = ,
故an=n·3n-1(n∈N*).
答案 (1)2n(n∈N*)
3 |等差数列的性质的应用
1.在解决等差数列中有关项的问题时,可以利用等差数列的性质来简化计算,若不
能应用性质,则化基本量求解.
2.常见的设项技巧
(1)若有三个数成等差数列,则一般设为a-d,a,a+d.
(2)若有四个数成等差数列,则一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
(3)若有五个数成等差数列,则一般设为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d.
(4)当等差数列的项数n为奇数时,可设中间的一项为a,再以d为公差向两边分别设
项,即设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当等差数列的项数n为偶数时,可设中间两项
分别为a-d,a+d,再以2d为公差向两边分别设项,即设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….
已知等差数列{an}的公差d大于零,且a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn= ,是否存在非零实数c,使数列{bn}为等差数列 若存
在,求出实数c的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨
(1)由已知求出a1,d 求出{an}的通项公式.
(2)假设存在c 列出等式2b2=b1+b3 求出c的值.
解析 (1)因为数列{an}为等差数列,
所以a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,
所以联立
解得 或
因为公差d>0,所以a3所以
所以 解得
所以数列{an}的通项公式为an=4n-3.
(2)假设存在非零实数c,使数列{bn}为等差数列,则必有2b2=b1+b3.
由题意,得b1= ,b2= ,b3= ,其中c≠0,
所以 ×2= + ,
即2c2+c=0,解得c=- 或c=0(舍去).
将c=- 代入bn= ,整理得bn=2n,此时{bn}为等差数列,即存在非零实数c=- ,使
数列{bn}为等差数列.(共19张PPT)
4.1 数列
学习目标
1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的有关概念.
2.了解数列的表示方法(列表、图象、通项公式).
3.了解数列是一种特殊的函数.
1 |数列的相关概念
1.(1)数列的概念
按照① 一定次序 排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫作这个数列的
② 项 .
(2)数列的表示方法
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中a1称为数列{an}的第1
项或首项,a2称为第2项……an称为第n项.
2.数列的分类
类别 含义
有穷数列 项数③ 有限 的数列
无穷数列 项数④ 无限 的数列
2 |数列的通项公式
1.一般地,如果数列{an}的第n项与序号⑤ n 之间的关系可以用一个公式来表
示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.
2.数列与函数的区别和联系
数列 函数
区 别 数列的定义域是正整数集 函数的定义域可能是其他数集
数列的图象是孤立的点 函数的图象可能是光滑的曲线
联 系 在数列{an}中,对于每一个正整数n(或n∈{1,2,…,k}),都有一个数an
与之对应,因此,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,
…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次
取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,
2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…
3 |数列的递推公式
一般地,如果已知一个数列{an}的⑥ 第1项 (或前几项),且任一项an与它的
⑦ 前一项an-1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫
作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数列的一种方法.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. ( )
提示:数列的项数为2n,不是无穷数列.
2.如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列. ( )
提示: 数列1,-1,1,-1既不是递增数列,也不是递减数列.
3.数列1,3,5,7,…,2n+1,…的一个通项公式是an=2n+1.( )
提示: 数列的一个通项公式为an=2n-1.
4.数列{an}中,若an+1=2an,n∈N*,则数列{an}的所有项都能确定. ( )
提示: 数列{an}中的首项不确定,则其他项也不能确定.
5.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1= an+ ,则此数列的第3项是 . ( √ )
1 |数列的通项公式、递推公式的求解及其应用
数列的通项公式可以由它的前几项直接写出.要由数列的前几项写出数列的一个
通项公式,只需观察分析数列中各项的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而
变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,进而将an
表示为n的函数关系.
1.由数列的前几项写出它的一个通项公式的方法
首先从下面4个角度观察数列的前几项:
(1)各项的符号特征;
(2)各项能否拆分;
(3)分式的分子、分母的特征;
(4)相邻项的变化规律.
其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:
(1)熟记一些特殊数列的通项公式,熟悉它们的变化规律,并灵活运用;
(2)将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如分式
形式的数列,可分别求分子、分母的通项公式;
(3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或
(-1)n+1来实现;
(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,可以考虑用分段的形式给出,也可以
将给出的各项统一化成某种形式.
2.由递推公式求通项公式的常用技巧
(1)形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈
N*)求出通项公式,这种方法叫累加法;
(2)形如 =f(n)(an≠0)的递推公式,可以利用a1· · ·…· =an(n≥2,n∈N*)求出
通项公式,这种方法叫累乘法.
(1)已知数列{an}满足a1= ,an+1=an+ ,则an= ;
(2)(多选)(2020江苏南通如皋中学高一段考)已知数列{an}满足a1=1,a2=4,nan+1=λ(n
+1)an,n∈N*,若存在正整数p,q,r(p≥2,q结论正确的有 ( )
A.λ=2 B.an=(n+1)·2n-1
C.an=n·2n-1 D.4p-2r=4
思路点拨
(1)由已知可得an+1-an= = - ,利用累加法求an.
(2)令n=1,结合a1,a2的值可求得λ的值,进而得到an+1与an之间的递推公式,利用累乘法可求得an;先假设存在满足条件的p,q,r,再通过整理得到有关p,r的关系式.
解析 (1)因为an+1=an+ ,
所以an+1-an= = - ,
则当n≥2,n∈N*时,a2-a1=1- ,a3-a2= - ,……,an-an-1= - ,将这(n-1)个式子左右
分别相加可得an-a1=1- + - +…+ - =1- ,
因为a1= ,所以an=1- + = - ,
当n=1时,a1= - = 符合该式,
所以an= - ,n∈N*.
(2)n=1时,a2=2λa1,而a1=1,a2=4,所以λ=2,故A选项正确;
易知{an}的各项均不为0,由nan+1=2(n+1)an,可得 = ,
所以an=a1· · ·…· =1× × ×…× =n·2n-1,
故B选项错误,C选项正确;
假设存在正整数p,q,r(p≥2,q则 + = + ,
化简,得4p-2r=2q+2,
令2q+2=4,解得q=1,取p=2,r=2,则4p-2r=4成立,
故D选项正确.故选ACD.
答案 (1) - ,n∈N* (2)ACD
写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,- , ,- ;
(2) ,2, ,8;
(3)7,77,777,7 777;
(4)- , ,- , .
思路点拨
分析式子的结构特征,找出规律,进而得到数列的一个通项公式.
解析 (1)这个数列的前4项的绝对值的分母就是序号,并且奇数项为正,偶数项为
负,
所以它的一个通项公式为an= ,n∈N*.
(2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数: , , , ,…,
观察发现各项的分母均为2,分子为序号的平方,
所以它的一个通项公式为an= ,n∈N*.
(3)这个数列的前4项可以化为 ×9, ×99, ×999, ×9 999,
即 ×(10-1), ×(102-1), ×(103-1), ×(104-1),
所以它的一个通项公式为an= ×(10n-1),n∈N*.
(4)将这个数列的前4项的分母因数分解得,- , ,- , ,其分母都是序号
乘比序号大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,
所以它的一个通项公式为an= ,n∈N*.
2 |利用数列与函数的关系解决相关问题
数列是一种特殊的函数,可以通过研究函数的性质来研究数列的性质.
1.数列单调性的判断方法和应用
(1)数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an和an+1的大小来判断
的,常用方法是定义法、图象法和函数法.
(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围.解决此类问题常利用以下的等价关
系:
数列{an}递增 an+1>an(n∈N*);
数列{an}递减 an+1数列{an}为常数列 an+1=an(n∈N*).
2.求数列{an}的最大(小)项的常用方法
(1)当 (n≥2,n∈N*)时,an是数列中的最大项;当 (n≥2,n∈N*)时,an
是数列中的最小项.
(2)利用函数的单调性求最大(小)项.
3.数列的周期性
数列的周期性可由函数的周期性得到.首先归纳出数列的周期,再利用其周期性
求值.
(1)(2020浙江丽水高二期末)已知数列{an}满足a1=a(a∈R),an+1= +2an-2(n∈N*),则
下列说法中错误的是 ( )
A.若a>1,则数列{an}为递增数列
B.若数列{an}为递增数列,则a>1
C.存在实数a,使数列{an}为常数列
D.存在实数a,使|an+1|≤2恒成立
(2)已知数列{an}的通项公式为an= (n∈N*),这个数列是否存在最大项 若存在,
请求出其最大项;若不存在,请说明理由.
思路点拨
(1)可通过比较数列中任意相邻两项an+1和an的大小来判断其单调性.
(2)首先用作商法判断数列{an}的单调性,再求其最大项.
解析 (1)对于A选项,若a>1,则an+1>0,且an+1-an= +an-2= - > - =0,
∴an+1>an,即数列{an}为递增数列,故A中说法正确;对于B选项,若数列{an}为递增
数列,则an+1-an= +an-2= - >0,∴an+ <- 或an+ > ,即an<-2或an>1,∴a<-2
或a>1,故B中说法错误;对于C选项,要使数列{an}为常数列,则an+1-an= +an-2=(an-
1)(an+2)=0,∴an=1或an=-2,即存在实数a=1或a=-2,使数列{an}为常数列,故C中说法
正确;对于D选项,由C选项中分析可知,当a=1时,数列{an}为常数列,此时|an+1|=|1+
1|=2,则存在实数a=1,使|an+1|≤2恒成立,故D中说法正确.故选B.
(2)存在最大项.a1= ,a2= =1,a3= = ,a4= =1,a5= = ,……,
∵当n≥3时, = × = = <1,
∴an+1又∵a1∴这个数列存在最大项,最大项为a3= .
答案 (1)B