(共19张PPT)
3.3.2 抛物线的几何性质
学习目标
1.了解抛物线的几何性质.
2.了解抛物线标准方程中p的几何意义.
3.能利用方程及数形结合思想解决与抛物线相关的问题.
1 |抛物线的几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
图形
顶点 ① (0,0)
离心率 ② e=1
对称轴 ③ x轴 ④ y轴
范围 ⑤ x≥0 , y∈R ⑥ x≤0 , y∈R ⑦ y≥0 , x∈R ⑧ y≤0 ,
x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
参数p 参数p表示⑨ 焦点到准线 的距离,p越大,开口⑩ 越大
2 |抛物线的焦点弦
1.焦点弦的概念:过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦
点弦.
2.通径:过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线
的通径,抛物线的通径长为2p,是所有焦点弦中长度最短的弦.
3.有关抛物线焦点弦的结论
如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),
AA',BB'均垂直于准线,直线AB的倾斜角为θ,则有
(1)AB=x1+x2+p= ;
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)AF= ,BF= ;
(4) + = ;
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(6)以AB为直径的圆与准线相切;
(7)A,O,B'共线,A',O,B共线;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上.
3 |圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)
的距离之比等于常数e的点的轨迹.
当0
1时,它是双曲线;当e=1时,它是抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.
根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在x轴
上的椭圆或双曲线,与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=- ,x= .
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.抛物线关于顶点对称. ( )
2.抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. ( √ )
3.抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( √ )
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. ( √ )
5.抛物线y=- x2的准线方程为x= . ( )
1 |抛物线的简单几何性质
1.确定抛物线的简单几何性质需把握三个要点
(1)开口:由抛物线标准方程看开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是
正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离
心率恒等于1.
2.抛物线与双曲线的一支都是有开口的不封闭的光滑曲线,但它们有本质的区别,
双曲线有渐近线,而抛物线没有.作图时通常用有无渐近线来区分它们.
(2)通径的几何意义:p越大,通径越长,抛物线的开口越大;反之,p越小,通径越短,抛
物线的开口越小.
(1)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,与抛物线交于A,B两点,O
为坐标原点,若△OAB的面积为4,求此抛物线的标准方程;
(2)已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若OA=OB,且△AOB的垂
心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程;
(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,AB
=2 ,求抛物线的方程.
解析 (1)由题意,可设抛物线方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F ,准线l:x=- ,
不妨设A ,B ,∴AB=2|a|.
∵△OAB的面积为4,∴ · ·2|a|=4,
∴a=±2 ,
∴抛物线方程为y2=±4 x.
(2)∵OA=OB,∴可设A(x0,y0),B(x0,-y0),其中x0>0.
∵△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F ,
∴kFA·kOB=-1,即 · =-1,
即 =x0 =2px0(x0>0,p>0),
∴x0= p,∴直线AB的方程为x= p.
(3)由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,故可设抛物
线方程为y2=ax(a≠0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴点A与点B关于x轴对称,
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 ,
∴|y1|=|y2|= ,代入x2+y2=4,得x2+3=4,
∴x=±1,∴A(±1, )或A(±1,- ),
代入抛物线方程,得( )2=±a,∴a=±3.
∴所求抛物线方程是y2=3x或y2=-3x.
2 |抛物线的焦点弦问题
1.解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论,并灵活运用.有关焦点
弦的诸多结论实质是利用抛物线的定义并结合相关知识推得的.
2.有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用
中,有些抛物线的方程可能不是这种形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套
用.
已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N
两点,且MF=3NF,则k= .
解析 解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂
足为S,设NF=m(m>0),则MF=3m,由抛物线的定义得MP=3m,NQ=m,所以MS=2m,MN
=m+3m=4m,则sin∠MNS= = ,即∠MNS=30°,
故直线l的倾斜角等于60°,所以k=tan 60°= .
解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
由于MF= ,NF= ,且MF=3NF,
所以 = ,
解得cos θ= ,所以θ= ,
所以k=tan θ= .
解法三:抛物线y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,又因为MF=3NF,
所以MF=4,NF= ,于是MN= .
设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
所以 = ,解得sin θ= (负值舍去),
所以θ= ,
故k=tan θ= .
答案
3 |抛物线的实际应用
利用抛物线的有关知识解决实际问题的步骤
(1)建:建立适当的直角坐标系.
(2)设:设出合适的抛物线标准方程.
(3)算:通过计算求出抛物线的标准方程.
(4)解:解出需要求的量.
(5)答:把解答结果还原到实际问题中,从而解决实际问题.
河道上有一抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8 m,拱圈内水面宽24
m,一条船在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程;
(2)近日水位暴涨了1.54 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞,试问:船
身至少应该降低多少 (精确到0.1 m)
思路点拨
(1)根据图形建立直角坐标系,设出拱桥所在的抛物线方程,设拱桥与水面两交点
分别为A,B,由坐标系可知A,B两点的坐标,将其中一个代入抛物线方程,即可得解;
(2)根据船顶宽6 m,可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h,再由6.5+1.54-(8-h),可
知船身应降低的高度.
解析 (1)设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A,B,以AB的垂直平分线为y轴,拱
圈最高点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图,
则A(-12,-8),B(12,-8),
设拱桥所在的抛物线方程为x2=-2py(p>0),
把点A(-12,-8)代入抛物线方程,解得p=9,故拱桥所在的抛物线方程是x2=-18y.
(2)因为x2=-18y,故当x=3时,y=-0.5,
故当水位暴涨1.54 m后,船身至少应降低6.5+1.54-(8-0.5)=0.54(m),
故船身应降低0.6 m,才能安全通过桥洞.(共14张PPT)
3.2.2 双曲线的几何性质
学习目标
1.了解双曲线的几何性质.
2.了解双曲线中a,b,c以及e的几何意义.
3.会利用双曲线的几何性质解决简单的问题.
1 |双曲线的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 - =1 (a>0,b>0) - =1
(a>0,b>0)
图形
几 何 性 质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
对称性 关于x轴,y轴,原点对称
中心 O(0,0)
顶点 A2(a,0),A1(-a,0) A2(0,a),A1(0,-a)
轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,长度为① 2a ,线
段B1B2叫作双曲线的虚轴,长度为② 2b
渐近线 直线③ y=± x 直线④ y=± x
离心率 e=⑤ ,e∈(1,+∞)
2 |等轴双曲线与共轭双曲线
1.实轴与虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线,其方程为x2-y2=a2或y2-x2=a2(a≠0).
等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,离心率等于 ,两条渐近线互相垂直.
2.以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.
例如,双曲线 - =1(a>0,b>0)与双曲线 - =1(a>0,b>0)互为共轭双曲线,它们
有共同的渐近线,它们的离心率e1,e2满足 + =1.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点. ( )
2.双曲线 - =1与 - =1(a>0,b>0)的形状相同.( √ )
3.双曲线 - =1与 - =1(a>0,b>0)的渐近线相同. ( )
提示:双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 ± =0,双曲线 - =1(a>0,b>0)
的渐近线方程为 ± =0,所以两双曲线的渐近线不相同.
4.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率e= . ( √ )
提示: 等轴双曲线中,a=b,渐近线方程为y=±x,所以两渐近线相互垂直,又c= a,
所以离心率e= .
5.双曲线的离心率越大,双曲线的开口越大. ( √ )
提示: 双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越大.
1 |根据双曲线方程研究几何性质
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式;
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c值,从而研究双曲线的几何性质.
提醒:研究性质时一定要注意焦点的位置.
求双曲线 - =1的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解析 由题意,得双曲线的焦点在x轴上,a=7,b=5,则c= ,
所以双曲线的实轴、虚轴的长分别为14,10,
顶点坐标为(7,0),(-7,0),
焦点坐标为(- ,0),( ,0),
离心率e= = ,渐近线y=± x.
2 |由几何性质求双曲线的标准方程
1.由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法.当双曲线的焦点
不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲
线的方程为mx2-ny2=1(mn>0).
2.常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y=± x的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近
线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).
(2)与双曲线 - =1或 - =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为 - =
λ或 - =λ(λ≠0).
(3)与双曲线 - =1(a>0,b>0)离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0)或
- =λ(λ>0),这是因为由离心率不能确定焦点位置.
(4)与椭圆 + =1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(b2<λ
(1)已知双曲线是等轴双曲线,且它的一个焦点为F1(-6,0),求双曲线的标准方程;
(2)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)与双曲线 - =1有相同的渐近线,且经过点
M( ,- ).求双曲线C的方程.
思路点拨
(1)由题可得a=b,再由c=6即可求出a,b.
(2)先求出双曲线 - =1的渐近线方程为y=± x,从而由题意可得 = ,所以双
曲线C: - =1(a>0,b>0)的方程可化为 - =1,再把M的坐标代入方程中求出
a的值,从而可得双曲线C的方程.
解析 (1)由题意可得a=b,c=6,焦点在x轴上,
∵a2+b2=c2,∴a2=b2=18,
故双曲线方程为 - =1.
(2)在双曲线 - =1中,a'=2,b'= ,则渐近线方程为y=± x=± x,
∵双曲线C: - =1与双曲线 - =1有相同的渐近线,∴ = ,∴方程可化为
- =1,
又双曲线C经过点M( ,- ),
∴ - =1,解得a=1,
∴双曲线C的方程为x2- =1.
3 |双曲线的渐近线与离心率
双曲线的渐近线与离心率是双曲线最重要的两个几何性质,需注意以下几点:
1.焦点在x轴上的双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,焦点在y轴上
的双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,注意区分.
2.双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数.
3.渐近线与离心率的关系: = ,e= .
4.求双曲线的渐近线与离心率的关键是通过给出的几何关系建立关于参数a,c(或
a,b或b,c)的关系式,结合c2=a2+b2进行求解.
(1)已知双曲线 - =1(b>0)上任意一点P到两条渐近线的距离之积等于3,
则该双曲线的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
(2)若双曲线 + =1的离心率等于3,则其渐近线方程为 ;
(3)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点
A,B,若点P(m,0)满足PA=PB,则该双曲线的离心率是 .
解析 (1)易知双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=± x,即bx± y=0,设
P(x0,y0),则P到两条渐近线的距离之积为 · = ,而 -
=1,所以|b2 -5 |=5b2,因此 =3,解得b2= ,故双曲线的离心率e= =
= = ,故选D.
(2)由题意得2m(m-4)<0,解得0 = =2 ,所以 = ,故双曲线的渐近线方程为y=± x.
(3)双曲线的渐近线方程为y=± x,分别与x-3y+m=0联立,解得A、B两点的坐标,不
妨令A - ,- ,B ,设AB中点为D,则D ,
因为点P(m,0)满足PA=PB,所以PD⊥AB,所以kPD=-3,即 =-3,整理得a=2b,
于是a2=4(c2-a2),故e= .
答案 (1)D (2)y=± x (3) (共20张PPT)
3.3.1 抛物线的标准方程
学习目标
1.了解抛物线的实际背景,经历从具体情境中抽象出抛物线的过程.
2.掌握抛物线的定义及抛物线的标准方程.
3.了解抛物线的定义及方程的简单应用.
1 |抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作
抛物线,定点F叫作抛物线的① 焦点 ,定直线l叫作抛物线的② 准线 .
2 |抛物线的标准方程
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
图形
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
焦点 坐标 ③ ④ ⑤ ⑥
准线 方程 ⑦ x=- ⑧ x= ⑨ y=- ⑩ y=
开口 方向 向右 向左 向上 向下
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.抛物线的方程都是y关于x的二次函数. ( )
2.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离是p. ( √ )
3.平面内到一定点的距离与到一定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.
( )
4.以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y. ( √ )
5.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 ,准
线方程是x=- . ( )
提示:方程y=ax2化为标准形式为x2= y(a≠0),表示焦点在y轴上的抛物线,其焦点
坐标为 ,准线方程是y=- .
1 |求抛物线的标准方程
1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系;
(2)当抛物线的位置没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以
减少讨论不同情况的次数;
(3)注意p与 的几何意义.
根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
(1)准线方程为y= ;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;
(3)经过点(-3,-1);
(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的一个交点.
解析 (1)由题意,抛物线的准线方程为y= ,可得抛物线的准线交y轴于正半轴,
设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则 = ,则p= ,
故所求抛物线的标准方程为x2=- y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),
由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5,
所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
(3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=
-2p2y(p2>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;
若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),则由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .
故所求抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y.
(4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,所以抛物线的焦点为(0,
-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时, =3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时, =4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
2 |抛物线定义的应用
抛物线定义的两种应用:(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点
到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线
距的相互转化,从而简化问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两
点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最
值问题.
(1)动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程;
(2)若点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线
的距离之和的最小值.
思路点拨
(1)设动圆圆心P(x,y),过点P作PD⊥l于点D,作直线l':x=2,过点P作PD'⊥l'于点D',连
接PA,由题意可得PA=PD',从而可知点P的轨迹是以A为焦点,l'为准线的抛物线,进
而可求出圆心P的轨迹方程.
(2)先求出抛物线的焦点为F ,准线l的方程为x=- ,设M(0,2),过点P作PH⊥l于
点H,利用抛物线的定义可得所求距离之和为PM+PH=PM+PF≥MF,当且仅
当M,P,F三点共线时等号成立,即可求解.
解析 (1)如图,设动圆圆心P(x,y),过点P作PD⊥l于点D,作直线l':x=2,过点P作PD'
⊥l'于点D',易知P、D、D'共线,连接PA.
设动圆P的半径为R,由题知圆A的半径为1.
∵圆P与圆A外切,∴PA=R+1.
又∵圆P与直线l:x=1相切,
∴PD'=PD+DD'=R+1.
∴PA=PD',即动点P到定点A的距离与到定直线l'的距离相等,
∴点P的轨迹是以A为焦点,l'为准线的抛物线.设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),可
知p=4,
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2=-8x.
(2)由y2=2x可知抛物线的焦点为F ,准线l的方程为x=- ,
设M(0,2),过点P作PH⊥l于点H,
由抛物线的定义可得PH=PF,
所以点P到点M(0,2)的距离与P到l的距离之和为PM+PH=PM+PF≥MF,当且仅当
M,P,F三点共线时等号成立,
所以距离之和的最小值为MF= = = .
2 |直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线位置关系的判断方法
通常使用代数法:将直线的方程与抛物线的方程联立,整理成关于x的方程ax2+bx+
c=0.
(1)当a≠0时,利用判别式解决:
Δ>0 相交;Δ=0 相切;Δ<0 相离.
(2)当a=0时,方程只有一个解x=- ,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系
直线与抛物线相切时,只有一个公共点,但是不能把直线与抛物线有且只有一个
公共点统称为相切,这是因为平行(或重合)于抛物线的对称轴的直线与抛物线只
有一个公共点,而这时抛物线与直线是相交的.
3.抛物线的相交弦
若直线(斜率为k,且k≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则AB=
·|x1-x2|= ·|y1-y2|.
(1)若直线AB过抛物线的焦点F,则AB=x1+x2+p,x1x2= ,y1y2=-p2.
(2)若直线AB过抛物线的焦点F,且垂直于对称轴,则AB=2p.
(3)若直线AB过抛物线的焦点F,且直线的倾斜角为α(α≠0),则AB= .
已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐
标原点.
(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(2)设FA=2BF,求直线l的方程.
思路点拨
(1)写出直线l的方程,与抛物线方程联立,由根与系数的关系求出AB的中点坐标.
根据焦点弦公式求出AB的长,从而求出圆的方程.
(2)将线段关系转化为向量关系,联立直线与抛物线的方程,消元后应用根与系数
的关系和向量相等的条件求出两交点的横坐标,进而求出直线的斜率,写出直线
方程.
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因为y2=4x,所以F(1,0),又因为直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y=x-1,
联立 消去y得x2-6x+1=0,
由根与系数的关系,得x1+x2=6,则y1+y2=x1+x2-2=4,故AB的中点为(3,2),
即圆心的坐标为(3,2).
又AB=x1+x2+p=8,所以圆的半径r=4,
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)因为FA=2BF,所以 =2 ,
又 =(x1-1,y1), =(1-x2,-y2),
所以
易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),
联立 消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由根与系数的关系,得
因为x1-1=2(1-x2),
所以 (舍去)或
所以k=±2 ,
所以直线l的方程为y=±2 (x-1).(共26张PPT)
3.1.2 椭圆的几何性质
学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆中a,b,c,e的几何意义.
2.会根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质.
3.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
1 |椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
范围 ① -a≤x≤a ,-b≤y≤b ② -b≤x≤b ,-a≤y≤a
对称性 对称轴为③ x轴 、y轴,对称中心为④ 原点
顶点 A1⑤ (-a,0) , A2⑥ (a,0) , B1(0,-b),B2(0,b) A1⑦ (0,-a) ,
A2⑧ (0,a) ,
B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 长轴长为2a,短轴长为2b
离心率 e=⑨ (02 |点与椭圆的位置关系
点P(x0,y0)与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系:
1.点P在椭圆上 + =1;
2.点P在椭圆内部 + <1;
3.点P在椭圆外部 + >1.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.椭圆既是轴对称图形,也是中心对称图形. ( √ )
2.椭圆 +y2=1的长轴长为2. ( )
3.已知椭圆25x2+9y2=225,它的离心率为 . ( )
提示:椭圆的方程可化为 + =1,由椭圆的定义知a=5,b=3,∴c=4,∴离心率e= .
4.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( )
提示:如图所示,在Rt△BF2O中,e=cos∠BF2O= ,因此0椭圆越扁;e越小,∠BF2O越大,椭圆越圆.
5.若F为椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则MF的最大值为a+c
(c为椭圆的半焦距). ( √ )
提示:由图形知,a-c≤MF≤a+c,因此MF的最大值为a+c,最小值为a-c.
1 |椭圆的简单几何性质及其应用
已知椭圆的标准方程,确定椭圆的几何性质
(1)由椭圆的标准方程,确定椭圆的焦点位置,进而得到椭圆的图形;
(2)根据椭圆的标准方程,得到a、b的值,从而定量地求出所要求的性质.
利用椭圆的性质,确定椭圆的标准方程
(1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为 + =k1(k1>0,a>b>0)
或 + =k2(k2>0,a>b>0).
(2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为 + =1(k 椭圆的通径
过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径,通径长为 .
(2021安徽滁州定远育才学校高二上学期第二次月考)已知中心在原点的椭圆C的
右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则椭圆C的方程是 ( )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
解析 由椭圆C的右焦点为F(1,0)知c=1,且焦点在x轴上.
又e= = ,∴a=2,b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的方程为 + =1.
答案 D
2 |求椭圆的离心率或其取值范围
椭圆的离心率是椭圆中最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取
值范围)的两种常见方法:
(1)求出a,c,代入公式e= ;
(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,
然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等
式)即可得e的值(取值范围).
(1)若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,求椭圆的离心率;
(2)椭圆C: + =1(a>b>0),点F1,F2分别为椭圆C的左,右焦点,在椭圆C上存在点P,
点P在以原点O为圆心, c为半径的圆上,求椭圆离心率的取值范围.
思路点拨
(1)根据题意得椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成等边三角形,则 = ,再由a2
=b2+c2=3c2+c2=4c2,可得出答案.
(2)根据题中圆与椭圆的几何关系,列出不等式求解即可.
解析 (1)根据题意得椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成等边三角形,如图,
则∠BF1F2=60°,tan∠BF1F2= = = ,
所以b= c,由a2=b2+c2=3c2+c2=4c2,得e= = .
(2)由题知P在以原点为圆心, c为半径的圆上,所以b≤ c≤a,
由 c≤a e≤ ,b≤ c ≤3 ≤3 ≤2 e≥ ,所以 ≤e≤ .
3 |椭圆在实际问题中的应用
情境 某海面上有A,B两个观测点,点B在点A正东方向4海里处.研究人员经过多
年观察研究,发现某种鱼群(将鱼群视为点)洄游的路线具有如下特点:鱼群洄游的
过程中,到A,B两个观测点的距离之和始终等于8海里.
1.鱼群洄游的路线在一条怎样的曲线上
提示:在以A,B为焦点的椭圆上.
2.在鱼群洄游的平面上,如果以A,B所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴
建立平面直角坐标系,那么这条曲线的方程是什么
提示: + =1.
3.某一次,研究人员在A,B两个观测点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探
测过程中,信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计),如果A,B两个观测点收
到鱼群的反射信号所用时间之比为5∶3,那么能否确定此时鱼群的位置
提示:设鱼群所在位置为点P,依题意可知PA∶PB=5∶3,又因为PA+PB=8,所以PA
=5,PB=3,即此时鱼群距离A观测点5海里,且距离B观测点3海里.也可进一步求得
点P的坐标为(2,3)或(2,-3).
4.若将问题3中A,B两个观测点收到鱼群的反射信号所用时间之比改为1∶7,你认
为有可能吗
提示:设鱼群所在位置为点P',依题意可知P'A∶P'B=1∶7,又因为P'A+P'B=8,所以
P'A=1,P'B=7,这是不可能的,因为由椭圆的几何性质可知a-c≤P'A≤a+c,而a=4,c=2,
所以P'A∈[2,6],显然P'A=1不满足这一条件,故在A,B两个观测点收到鱼群的反射
信号所用时间之比不可能为1∶7.
在利用椭圆知识解决实际应用问题时,应注意结合实际问题,弄清椭圆的焦点、
顶点等关键位置以及焦距、长轴长、短轴长等关键数量,从而可通过建立平面直
角坐标系得到椭圆的标准方程,然后借助方程研究相关问题.同时还要灵活运用
椭圆的几何性质解决实际问题.
人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律.如图,卫星在以地球的
中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从
面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相
等.设该椭圆的长轴长,焦距分别为2a,2c.某同学根据所学知识,得到下列结论:
①卫星向径的取值范围是[a-c,a+c];
②卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁;
③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间;
④卫星运行速度在近地点时最小,在远地点时最大.
其中正确的结论是 ( )
A.①② B.①③ C.②④ D.①③④
解析 依题意,卫星的向径即椭圆上的点到焦点的距离,因此其最大值为a+c,最小
值为a-c,即卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故结论①正确;由于 = =-1+
,其中e为椭圆的离心率,显然,当比值 越大时,1+e越小,从而e越小,椭圆轨
道越圆,因此结论②错误;由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等,显然
当卫星在左半椭圆弧运行时,扫过的面积大于其在右半椭圆弧运行时扫过的面
积,所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间,结论③
正确;卫星在近地点时,向径最小,其运行速度最大,故结论④错误.故选B.
答案 B
4 |与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题具有较强的综合性,涉及多个知识点,思维能力要求比较高.
解这类问题常用的方法有如下三种:
(1)定义法:利用定义转化为常见问题来处理.
(2)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性
质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何
意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解.
(3)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可先建立目标函数,再
根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判
别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
已知椭圆M: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-2,0)、F2(2,0).在椭圆M中有
一内接三角形ABC,其顶点C的坐标为( ,1),AB所在直线的斜率为 .
(1)求椭圆M的方程；
(2)当△ABC的面积最大时,求直线AB的方程.
思路点拨
(1)由椭圆的定义求出2a的值,进而得到a2的值,再利用b2=a2-c2得出b2的值,由此得
出椭圆M的方程.
(2)设直线AB的方程为y= x+m,联立直线AB和椭圆M的方程,得到关于x的一元
二次方程,根据根与系数的关系用m表示出AB,根据点到直线的距离用m表示出点
C到直线AB的距离,进而用m表示出S△ABC,再利用均值不等式求出S△ABC的最大值,并
得到此时m的值,即可得到直线AB的方程.
解析 (1)由椭圆的定义知2a= + = + +
- =2 ,所以a2=6,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆M的方程为 + =1.
(2)由题意,设直线AB的方程为y= x+m,
由 消去y,得2x2+2 mx+3m2-6=0,
因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A,B,且点C不在直线AB上,
所以
解得-2设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=- m,x1x2= ,y1= x1+m,y2= x2+m.
所以AB=
= =2 .
点C( ,1)到直线y= x+m的距离d= .
于是△ABC的面积S= AB·d= · |m|≤ · = ,
当且仅当|m|= ,即m=± 时,“=”成立.
所以m=± 时,△ABC的面积最大,此时直线AB的方程为y= x± ,即x- y± =0.
主编点评 求椭圆中最值问题的基本策略:
(1)求解形如PA+PB的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅
当三点共线时PA+PB取得最值.
(2)形如PA的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的
取值范围.
(3)形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
5 |与椭圆有关的定值、定点问题
1.解决定点问题,需要注意两个方面:
一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜
率为0的特殊情况入手找出定点,为解题指明方向.
二是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,所以要抓住问题的核心,
实质就是求解直线方程中参数之间的关系,所以要熟悉直线方程的特殊形式,若
直线的方程为y=kx+b,则直线y=kx+b恒过点(0,b),若直线方程为y=k(x-a),则直线恒
过点(a,0).
2.解决定值问题的常用方法:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
3.定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思路是使用参数表示要解
决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常
关键的.
已知椭圆C: + =1,设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于异于N的A,B两点,
直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.
思路点拨
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,将k1+k2用斜率k表示,通过运算消去k,得
到定值;当直线l的斜率不存在时,可求得A、B两点坐标,进而得到k1,k2的值,从而得
k1+k2为定值.
证明 当直线l的斜率存在时,设斜率为k,显然k≠0,又直线l不过点N,所以k≠4,则
其方程为y+2=k(x+1)(k≠0且k≠4),
由 得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
由Δ=56k2+32k>0得k<- 或k>0,
故k∈ ∪(0,4)∪(4,+∞).
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- ,x1x2= .
从而k1+k2= + = =2k-(k-4)· =4.
当直线l的斜率不存在时,将x=-1代入椭圆C的方程可得y=± ,
不妨设A ,B ,
此时k1=2- ,k2=2+ ,从而k1+k2=4.
综上,k1+k2为定值.(共22张PPT)
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
学习目标
1.了解双曲线的实际背景,经历从具体情境中抽象出双曲线的过程.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
3.通过双曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
1 |双曲线的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离之差的① 绝对值 等于常数(小于F1F2的正数)的
点的轨迹叫作双曲线.两个定点F1,F2叫作双曲线的② 焦点 ,两个焦点间的距
离叫作双曲线的③ 焦距 .
2 |双曲线的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ④ - =1 (a>0,b>0) ⑤ - =1 (a>0,b>0)
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 ⑥ c2=b2+a2
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.方程 - =1(mn>0)表示的曲线一定是双曲线. ( √ )
2.在双曲线方程 - =1中,必有a>0,b>0,且a≠b. ( )
提示:在方程 - =1(a>0,b>0)中,a=b时,也表示双曲线.
3.双曲线x2- =1的焦点在y轴上. ( )
提示:根据双曲线标准方程的特点知双曲线x2- =1的焦点在x轴上.
4.已知点A(1,0),B(-1,0),若AC-BC=2,则点C的轨迹是双曲线. ( )
提示:因为AC-BC=2=AB,所以点C的轨迹是一条射线,而不是双曲线.
5.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线. ( )
提示:设平面内任一点P,则|PF1-PF2|=6迹为双曲线的一支.
6.若焦点在x轴上的双曲线方程为 - =1,则a2>b2.( )
提示:焦点在x轴上的双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),a,b的大小没有限制.
1 |如何运用双曲线的定义解决双曲线问题
1.定义中的限制条件:“小于F1F2”“绝对值”.
(1)当2a变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若将其改为“大于F1F2”,其余
条件不变,此时动点轨迹不存在.
(2)若定义中没有绝对值,则当2a时,动点的轨迹是一条射线;当2a>F1F2时,动点的轨迹不存在.
2.设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,若点M在双曲线的右支上,则MF1>MF2,MF1-
MF2=2a(a>0);若点M在双曲线的左支上,则MF10),因此得到
MF1-MF2=±2a.这与椭圆的定义中MF1+MF2=2a是不同的.
3.解决与焦点三角形F1MF2有关的问题(M(x,y)为双曲线上任意一点,且y≠0,F1,F2
分别为双曲线的左,右焦点):
(1)焦点三角形中,常用的关系式:
MF1-MF2=±2a;
= MF1·MF2·sin∠F1MF2;
F1 =M +M -2MF1·MF2·cos∠F1MF2.
(2)由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三
角形的面积、周长问题,及有关角、变量的范围等问题.
(1)设F1,F2分别是双曲线x2- =1的左,右焦点,P是双曲线上的一点,且3PF1=4PF2,
则△PF1F2的面积为 ( )
A.4 B.8 C.24 D.48
(2)双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为
( )
A.1或21 B.14或36
C.1 D.21
解析 (1)由题意得
解得
∵F1F2=2 =10,
∴△PF1F2是直角三角形,
∴ = PF1×PF2=24.故选C.
(2)设点P到另一个焦点的距离为m(m>0),
∵点P到一个焦点的距离为11,
∴由双曲线的定义得|11-m|=10,
∴m=1或m=21.
∵a=5,c=7,m≥c-a=2,∴m=1不符合题意,舍去.故选D.
答案 (1)C (2)D
2 |双曲线的标准方程及其应用
1.在双曲线的标准方程中,可用x2,y2项的系数的正负来判断双曲线的焦点在哪一
个坐标轴上.假如某曲线的方程为 + =1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若
则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若 则方程表示焦点在y轴上的双
曲线.
2.待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤:
(1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上,还是二者都有可能.
(2)设方程:根据焦点位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦
点位置不定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0).
(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b或m,n的方程组.
(4)得方程:解方程组,将a,b或m,n的值代入所设方程即可.
求经过点P ,Q 的双曲线的标准方程.
解析 解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
由于点P 和Q 在双曲线上,
所以 解得 (舍去).
若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
将P,Q两点的坐标代入,可得
解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的方程为 + =1(mn<0).
因为P ,Q 两点在双曲线上,
所以
解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
3 |双曲线的实际应用问题
情境 如图,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向,且距离B
地2千米处.一条河流的沿岸为曲线PQ,且曲线上任意一点到A的距离比到B的距
离远2千米.
1.河流沿岸所在的曲线PQ是何种曲线 能否求出其方程
提示:是双曲线的一支.以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点建立平面直角
坐标系,由双曲线的定义可知曲线是以A,B为焦点的双曲线的右支,此时2a=2,2c=
4,可得b2=3,故曲线PQ的方程为x2- =1(x>0).
2.根据问题1中所建立的坐标系,是否能求得C点的坐标
提示:能.设C(x0,y0),则x0=2+2sin30°=3,y0=2cos30°= ,所以C点坐标为(3, ).
3.现在要在曲线PQ上选一处M建一座码头,同时修建公路向B,C两地运送货物,已
知从M到B,C两地修建公路的费用为每千米a万元,那么修建这两条公路的最低费
用是多少万元
提示:由于MB+MC=MA-2+MC,所以当M,A,C三点共线时,MB+MC取最小值,且最小
值为AC-2=2 -2,因此修建这两条公路的最低费用是(2 -2)a万元.
在利用双曲线的知识解决实际应用问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,
即把题目给出的文字、数据、图形、现象等各种信息,用数学语言表达出来;其
次利用双曲线的定义,弄清楚双曲线的焦点位置,通过建立平面直角坐标系得到
双曲线的标准方程,借助方程研究相关问题;最后对解答结果进行说明并验证其
是否符合实际.
已知A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km处,C在B北偏西30°方向,与B相距4
km,P为敌方炮兵阵地,某时刻A处发现敌方炮兵阵地发出的某种信号,由于B,C两
地比A距P地远,因此4 s后,B,C才同时发现这一信号,已知此信号的传播速度为1
km/s,若在A处炮击P地,求炮击的方向角.
解析 如图,以BA所在直线为x轴,线段BA的中垂线为y轴,以1 km为一个单位长
度,建立平面直角坐标系,设敌方炮兵阵地P的坐标为(x,y),BC的中点为D,
则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2 ).
因为PB=PC,所以点P在线段BC的垂直平分线上.
易求得kBC=- ,D(-4, ),
所以直线PD:y- = (x+4).①
又PB-PA=4故其方程为 - =1(x≥2).②
联立①②,得x=8,y=5 ,
所以P的坐标为(8,5 ).
因此kPA= = .
故若在A处炮击P地,则炮击的方向角为北偏东30°.
4 |直线与双曲线的位置关系
1.直线与双曲线位置关系的判定方法
一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0),①
双曲线C: - =1(a>0,b>0).②
把①代入②,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线与双曲线C相交于一点.
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点;
Δ=0 直线与双曲线有一个公共点;
Δ<0 直线与双曲线没有公共点.
2.弦长公式
斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
则AB= |x1-x2|= ·|y1-y2|.
已知曲线C:x2-y2=1和直线l:y=kx-1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A、B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为 ,求实数k的值.
思路点拨
(1)联立直线和双曲线方程,利用判别式可求k的取值范围.
(2)利用弦长公式和面积公式可得关于k的关系式,进而求解.
解析 (1)由 得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴ 解得- ∴k的取值范围为(- ,-1)∪(-1,1)∪(1, ).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=- ,x1x2=- ,
∴AB= |x1-x2|=2 × ,
∵点O到直线l的距离d= ,
∴S△OAB= AB·d= = ,
即2k4-3k2=0,解得k=0或k=± ,经检验,均符合.
故实数k的值为0, ,- .(共25张PPT)
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
学习目标
1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.
2.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
3.了解椭圆的定义及方程的简单应用.
1 |椭圆的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于① 常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫
作椭圆.两个定点F1,F2叫作椭圆的② 焦点 ,两个焦点间的距离叫作椭圆的
③ 焦距 .
2 |椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ④ + =1(a>b>0) ⑤ + =1(a>b>0)
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 ⑥ a2=b2+c2
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆.
( )
提示:F1F2=4>2,动点轨迹不存在.
2.椭圆 + =1(m>0,n>0,m≠n)的焦点在x轴上.( )
提示:哪一个变量对应的分母大,焦点就在哪一个坐标轴上,即x2对应的分母m大,
焦点就在x轴上;y2对应的分母n大,焦点就在y轴上.
3.椭圆C1: + =1与C2: + =1(a>b>0)的焦距相同,焦点也相同. ( )
提示:椭圆C1的焦点在x轴上,椭圆C2的焦点在y轴上,它们的焦距相等,都等于2c(c>
0).
4.椭圆的两种标准方程 + =1(a>b>0)和 + =1(a>b>0)中,虽然焦点位置不
同,但都满足a2=b2+c2(c为半焦距).( √ )
5.已知椭圆的方程为 + =1,则椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于2 .
( √ )
提示:因为10>6,所以a2=10,a= ,根据椭圆的定义可知,点P到两焦点的距离之和
等于2a,即2 .
1 |如何利用椭圆的定义解决求曲线方程的问题
利用椭圆定义求动点轨迹方程
(1)解题步骤:
(2)易错警示:
条件 结论
2a>F1F2 动点的轨迹是椭圆
2a=F1F2 动点的轨迹是线段F1F2
2a 相关点法求动点轨迹方程
有些与椭圆有关的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所
求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问
题,这种方法称为相关点法.
求动点的轨迹方程时,应充分挖掘图形的几何性质,看是否能确定轨迹的类型,而
不要开始就代入坐标.若符合某种图形(如圆、椭圆等)的定义,则可直接利用定义
确定轨迹,再结合已知条件确定轨迹的方程即可.
求过点A(2,0)且与圆B:x2+4x+y2-32=0内切的圆的圆心M的轨迹方程.
思路点拨
两圆内切确定圆心距与半径的关系 建立等式 圆心M的轨迹方程.
解析 将圆B的方程化成标准形式为(x+2)2+y2=36,则圆心坐标为B(-2,0),半径为6.
易知点A(2,0)在圆x2+4x+y2-32=0的内部,如图所示.
设动圆圆心M的坐标为(x,y).
由于动圆与已知圆内切,设切点为C,所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之
差等于两圆圆心的距离,即BC-MC=BM.因为BC=6,所以BM+CM=6.
又因为CM=AM,所以BM+AM=6>AB=4.
根据椭圆定义知点M的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆,所以所求圆
心M的轨迹方程为 + =1.
解题模板 与圆有关的轨迹问题,通常先由圆的几何性质得到几何条件,再判断
几何条件是否满足椭圆的定义,最后利用椭圆的定义求轨迹方程.
2 |如何解决椭圆的焦点三角形问题
焦点三角形及其解法
(1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.关于椭圆
的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,并结合正弦定理、余弦定理等知
识求解.
(2)焦点三角形的常用公式:
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在△PF1F2中,由余弦定理可知F1 =P +P -2PF1·PF2·cos∠F1PF2.
③设P(xP,yP),焦点三角形的面积 =c|yP|= PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan .
(1)已知P为椭圆 + =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面
积;
(2)设P是椭圆 + =1上一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求cos∠F1PF2的最小值.
思路点拨
(1)已知∠F1PF2=60°,结合椭圆的定义,利用余弦定理解决问题.
(2)将cos∠F1PF2用PF1、PF2表示出来 利用基本不等式求最值.
解析 (1)由已知得a=2 ,b= ,
所以c= = =3,
从而F1F2=2c=6.
在△PF1F2中,
由余弦定理得F1 =P +P -2PF1·PF2·cos 60°,
即36=P +P -PF1·PF2.①
又由椭圆的定义得PF1+PF2=4 ,
所以48=P +P +2PF1·PF2.②
由①②得PF1·PF2=4.
所以 = PF1·PF2·sin 60°= .
(2)由题意得a=3,b=2,c= .
因此PF1+PF2=2a=6,F1F2=2c=2 ,
所以cos∠F1PF2=
=
= -1.
因为PF1·PF2≤ =9,当且仅当PF1=PF2时取等号,
所以cos∠F1PF2≥ -1=- ,
所以cos∠F1PF2的最小值为- .
方法技巧 (1)关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义PF1+PF2=2a(2a>
F1F2)求出结果.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用策略.
(2)在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3 |椭圆标准方程的求法
定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.
待定系数法求椭圆的标准方程
(1)求椭圆的标准方程,一般是先“定性”,即判断焦点所在的坐标轴,再“定量”,
即确定a、b的值.
(2)求a、b的值,一方面可利用条件直接求出,另一方面可用待定系数法设出相应
的标准方程,然后计算.
如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);
如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);
如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以
设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.
求符合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 ;
(2)焦点在坐标轴上,且经过A( ,-2)和B(-2 ,1)两点.
思路点拨
(1)定性:设 + =1(a>b>0) 定量:求a、b的值 求椭圆的方程.
(2)设mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 待定系数法求椭圆的方程.
解析 (1)由题意知,椭圆的焦点在y轴上,
∴设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
由椭圆的定义,知2a= + =2 ,即a= .
又c=2,∴b2=a2-c2=6.
∴所求椭圆的标准方程为 + =1.
(2)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
∵A( ,-2)和B(-2 ,1)两点在椭圆上,
∴
即 解得
∴所求椭圆的标准方程为 + =1.
4 |直线与椭圆的相交弦问题
1.求相交弦的弦长的两种方法:
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间的距离公式求弦长.
(2)联立直线与椭圆的方程,消元,得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长
公式:AB= |x1-x2|= |y1-y2|(k≠0),其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程
的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后可求得弦长.
2.与椭圆中点弦有关的三种题型及解法:
(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去
一个未知数得到一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标
公式解决.
(2)利用点差法求直线斜率或方程:弦的端点在曲线上,端点坐标满足椭圆方程,将
端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,得到中点坐标和斜率的关系,即若椭圆方
程为 + =1,直线与椭圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且弦AB的中点为M(x,y),则
①-②,整理得a2( - )+b2( - )=0,
∴ =- · =- · .
这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系,从而使问题得以解决.
(3)利用共线法求直线方程:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其中一
交点为A(x,y),则另一交点为B(2x0-x,2y0-y),则有 + =1, + =1,两
式作差即可得所求直线方程.
这三种方法中点差法最常用,点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称
问题,因为这类问题也与弦中点和斜率有关.
已知椭圆 + =1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.
(1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度;
(2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
思路点拨
(1)求出直线方程 联立直线与椭圆方程,得方程组 解方程组得交点坐标
求得弦长.
(2)设A,B的坐标 利用“点差法”求出kAB 得出直线l的方程.
解析 (1)由已知可得直线l的方程为y-2= (x-4),即y= x.
由 得x2-18=0,解得x=±3 .
设A(x1,y1),B(x2,y2),
不妨令x1=3 ,x2=-3 ,
则A ,B ,
所以AB= =3 .
所以线段AB的长度为3 .
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
两式相减,得 + =0,
整理,得kAB= =- .
又P(4,2)是线段AB的中点,
所以x1+x2=8,y1+y2=4,
于是kAB=- =- ,
于是直线l的方程为y-2=- (x-4).
即y=- x+4.
方法技巧 (1)解答直线与椭圆的综合题目时,常把直线与椭圆的方程联立,消去x
(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参
变量的等量关系.
(2)涉及直线方程求解问题,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊
情形.