(共25张PPT)
2.2 直线与圆的位置关系
学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1 |直线与圆的位置关系
设直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0.如果直线l与圆C
有公共点,那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解;反之,如果这两个方程
有公共解,那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆C的公共点.
直线l与圆C的方程联立:
有如下结论:
方程组解的个数 无解 仅有一组解 两组不同的解
直线与圆公共点的个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个不同公共点
位置关系 ① 相离 ② 相切 ③ 相交
2 |圆的切线
1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线.
2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点.
3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
提示:直线与圆有公共点,它们可能相交,也可能相切,故结论不正确.
2.若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.
( √ )
提示:若直线与圆相交,则它们必有公共点,则直线与圆的方程联立消元后得到的
一元二次方程必有解,故结论正确.
3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次
方程一定无解. ( √ )
提示:若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,则直线与圆的方程联立消
元后得到的一元二次方程一定无解,故结论正确.
4.过点P和圆相切的直线有两条. ( )
提示:当点P在圆的外部时,有两条切线;当点P在圆上时,有一条切线;当点P在圆内
时,没有切线.因此结论错误.
5.设直线l:y=kx+m与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的交点为A、B,d为圆心C(a,b)到直线
l的距离,则弦长AB=2 . ( √ )
提示:设线段AB的中点为D,则CD=d,在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2,所以AB=
2AD=2 ,因此结论正确.
1 |直线与圆的位置关系的判定
直线与圆的位置关系的判断方法
设直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0,则判断直线l与圆C的
位置关系有如下方法:
(1)代数法
联立直线与圆的方程,得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得到关于x(或y)的一
元二次方程,其根的判别式为Δ,则
当Δ<0时,直线l与圆C没有公共点,即直线l与圆C相离;
当Δ=0时,直线l与圆C有且只有一个公共点,即直线l与圆C相切;
当Δ>0时,直线l与圆C有两个不同的公共点,即直线l与圆C相交.
(2)几何法
设圆心C到直线l的距离为d,圆的半径为r.则
当d>r时,直线l与圆C相离;
当d=r时,直线l与圆C相切;
当d(3)直线系法
若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关
系.但有一定的局限性,即必须是过定点的直线系.
已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆的位置关系满足下
列条件:
(1)相交 (2)相切 (3)相离
解析 解法一(代数法):联立
消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,
则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).
(1)当直线与圆相交时,Δ>0,即- (2)当直线与圆相切时,Δ=0,即k=± ;
(3)当直线与圆相离时,Δ<0,即k<- 或k> .
解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d= = .
由题意知,圆的半径r=1.
(1)当直线与圆相交时,d(2)当直线与圆相切时,d=r,即 =1,解得k=± ;
(3)当直线与圆相离时,d>r,即 >1,解得k<- 或k> .
2 |圆的切线相关问题的解法
过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
(1)当点P在圆上时,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜
率为- ;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.
(2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半
径r,解出k即可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).
切线长的求法
过圆外一点P,可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切线长.
切线长可由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的
切线,则切线长为 .
过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论:
(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;
(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)
(y0-b)=r2;
(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y
0y+D· +E· +F=0.
(1)已知圆的方程为x2+y2=13,它与斜率为- 的直线相切,则该切线方程为
;
(2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则其切线长为 .
解析 (1)解法一:设所求圆的切线方程为y=- x+b,即2x+3y-3b=0.
因为圆x2+y2=13与直线2x+3y-3b=0相切,
所以圆心(0,0)到直线2x+3y-3b=0的距离d= = ,解得b=± .
所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
解法二:设所求圆的切线方程为y=- x+b.
联立直线与圆的方程
消去y,整理得 x2- x+b2-13=0,
令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± .
所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
(2)由题意知圆心C的坐标为(3,1),半径为1.设切点为B,则△ABC为直角三角形,
易得AC= = ,BC=1,
所以AB= = =4,
所以切线长为4.
答案 (1)2x+3y-13=0或2x+3y+13=0 (2)4
3 |直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题
求圆的弦长的方法
(1)交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.
(2)弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方
程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:
AB= |x1-x2|= .
(3)几何法:如图,半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+ ,
即弦长l=2 .
圆的中点弦问题
(1)如讲解1中的图,线段AB是圆C的弦,D是弦AB的中点,则在解题中可应用以下性
质:
①AB⊥CD,若斜率kAB,kCD都存在,则kAB·kCD=-1;
②设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x0= ,y0= .
(2)解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法:
①利用根与系数的关系求出中点坐标;
②设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程,利用作差法求出斜率,此法即为点差
法;
③利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直.
已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方程.
思路点拨
思路一:根据斜率是否存在分类讨论,结合一元二次方程根与系数的关系列方程
求解.
思路二:根据中点坐标公式,采用“设而不求,整体代换”的策略求解.
思路三:利用圆的几何性质,即弦的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解.
解析 解法一:当斜率存在时,设直线的斜率为k,
则过点A的直线方程为y+2=k(x-4),
代入圆的方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.
因为1+k2≠0,Δ>0,所以可设两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2= =4×2,解得k=-2.
所以所求直线的方程为2x+y-6=0.
当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求.
综上,所求直线的方程为2x+y-6=0.
解法二:易知直线斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求.设两个交点的坐标分别
为B(x1,y1),C(x2,y2),x1≠x2,
则x1+x2=8,y1+y2=-4,直线AB的斜率k= .
把B,C两点的坐标代入圆的方程,
得
①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2) -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.
故所求直线的方程为2x+y-6=0.
解法三:当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求.
设圆心为M,所求直线的斜率为k.
因为圆心M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2.
所以所求直线的方程为2x+y-6=0.
(2020河北石家庄一中高二期末)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:
AM·AN为定值.
解析 (1)①若直线l1的斜率不存在,则直线l1的方程是x=1,符合题意.
②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,
即 =2,解得k= ,所以直线l1的方程是3x-4y-3=0.
综上,所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)证明:直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0
.
由 得N .
因为直线CM与l1垂直,所以直线CM的方程为y-4=- (x-3),由 得
M ， .
所以AM·AN= ·
= · =6,为定值.
解题模板
在解决直线和圆相交的问题时,首先要考虑半径、弦长、弦心距之间的关
系.
4 |如何解决与圆有关的最大(小)值问题
利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析
几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:
①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;
②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;
③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.
(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
(3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参
数),代入目标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.
已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析 (1)令4x-3y=m,则 可以看作直线在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需
直线在x轴上的截距最大(或最小).由此可知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m
分别取得最大值和最小值.
如图1,由圆心(0,0)到4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,即|m|=
10,故m=±10.
故mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值为10,最小值为-10.
(2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点(x,y)与点(-2 ,-2)的连线的斜率.
由图2知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值.
由 =2,得|2 k-2|=2 ,
即3k2-2 k+1=k2+1,
解得k=0或k= .故kmax= ,kmin=0,
即 的最大值为 ,最小值为0.
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点P(x,y)与点(4,-3)的距离.如图3,由点(4,-3)
到圆心(0,0)的距离为5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2
+(y+3)2的最大值为49,最小值为9.
图3(共12张PPT)
2.3 圆与圆的位置关系
学习目标
1.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法,能够利用上述方法判
定两圆的位置关系.
2.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.
|圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系
外离、外切、相交、内切和内含.
2.两圆的位置关系的判定
(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),C2:x2+y2+
D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0),联立得方程组 消元后得到一
元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别
式Δ的值,按下表中的标准进行判断.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点 个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0
d与r1,r2 的关系 d>r1+r2 ① d=r1+r2 |r1-r2|< d|r1-r2|
公切线 条数 ③ 4 3 ④ 2 1 ⑤ 0
(2)几何法:设两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,按下表中标准进行判断.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.两圆方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( √ )
2.若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( )
提示:两个圆没有公共点,可能外离,也可能内含,故结论不正确.
3.若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.( )
提示:若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆可能外切,也可能内切,故结论不正确.
4.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若C1C2提示:当|r1-r2|5.若两圆没有公共点,则d>r1+r2. ( )
提示:若两圆没有公共点,则两圆外离或内含,即d>r1+r2或d<|r1-r2|.
6.过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共
圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. ( √ )
1 |两圆位置关系的判断
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进
而判断出两圆的位置关系,这是在解析几何中常用的方法.
(2)代数法:将两圆的方程联立,得到方程组,解方程组,根据方程组解的个数判断两
圆的位置关系.
已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.
(1)当圆C1与圆C2外切时,求m的值;
(2)当圆C1与圆C2内含时,求m的取值范围.
思路点拨
计算两圆的圆心距,与两圆的半径之差的绝对值、半径之和比较,列出方程或不等式,求出参数的值或取值范围.
解析 易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心
C2(-1,m),半径r2=2.
(1)若圆C1与圆C2外切,
则C1C2=r1+r2,即 =3+2,
所以m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.
(2)若圆C1与圆C2内含,
则C1C2<|r1-r2|,即 <|3-2|,
所以m2+3m+2<0,解得-22 |两圆的公共弦问题
两圆的公共弦所在直线方程的求法
设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>
0),
联立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
设两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此
方程③就是经过两圆交点的直线方程.
故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦
所在直线的方程.
当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.
当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.
若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平
分线的方程.
两圆公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求出弦
长.
(2)几何法:用几何法解两圆的公共弦问题常用的步骤:①将两圆的方程作差,求出
公共弦所在的直线方程;②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离;③利用勾股
定理求出公共弦长.
求圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程
及公共弦长.
解析 联立两圆的方程
两式相减并化简,得x-2y+4=0,
即两圆的公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.
解法一:设两圆相交于A、B两点,则A、B两点的坐标满足方程组
解得 或
所以AB= =2 ,
即公共弦长为2 .
解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径为5 ,
圆心到直线x-2y+4=0的距离为 =3 ,
设公共弦长为2l(l>0),
则50=(3 )2+l2,
解得l= ,
故公共弦长为2l=2 .
只有在两圆相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圆C1:x2+y2+D1x+E1y
+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)的公共弦所在直
线的方程.(共24张PPT)
2.1 圆的方程
学习目标
1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般
方程.
2.能根据已知条件求圆的方程.
3.能利用圆的方程解决有关问题.
1 |圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.定点就是圆心,定长就是
半径.
2 |圆的标准方程
1.圆的标准方程的概念
方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点① (a,b) 为圆心,② r 为半径的圆的标准
方程.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2(r>0),表示以③ 原点 为圆心,r为半径的圆.
2.圆的标准方程的两个基本几何要素
④ 圆心 和⑤ 半径 分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,
b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.
3.几种特殊位置的圆的标准方程
位置 圆的标准方程
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2(r>0)
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心在x轴上且过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)
3 |圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(⑥ D2+E2-4F>0 )叫作圆的一般方程.
(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以⑦ 为圆心,
⑧ 为半径的圆.
2.圆的一般方程在代数结构上的特征
(1)x2,y2的系数相同,且不等于0;
(2)不含xy这样的二次项.
3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
条件 方程表示的图形
D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点
D2+E2-4F>0 表示以点 为圆心, 为半径
的圆
4 |点与圆的位置关系
已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设所给点为M(x0,y0),则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 MC=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内 MC点在圆外 MC>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )
提示:当m=0时,方程表示一个点,当m≠0时,方程表示圆.
2.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2,2),半径为 . ( )
提示:圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(-2,-2).
3.圆(x-1)2+(y-2)2=4的半径是4. ( )
提示:圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是2.
4.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2,0),半径为b. ( )
提示:圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2,0),半径为|b|.
5.方程(x-2)2+(y+3)2=0表示的圆的圆心为(2,-3). ( )
提示:方程(x-2)2+(y+3)2=0不表示圆,它表示点(2,-3).
6.若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( √ )
提示:由圆的一般方程的定义知正确.
7.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. ( √ )
提示:方程可化为x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因为D2+E2-4F=2a2>0,所以结论正确.
1 |圆的方程的求解
直接代入法
已知圆心坐标和半径,直接代入圆的标准方程即可.
(1)利用条件确定圆心C(a,b)及半径r.
(2)利用几何性质确定圆心C(a,b)及半径r.
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;
②圆心到切线的距离等于圆的半径r;
③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;
④圆的弦的垂直平分线过圆心;
⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不
重合)与直线l的交点为圆心.
待定系数法
(1)根据题意,设所求圆的标准方程或一般方程;
(2)根据已知条件,建立关于参数的方程组;
(3)解方程组,求出参数的值;
(4)将参数代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.
求符合下列条件的圆的方程:
(1)圆心是(4,-1),且过点(5,2);
(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5);
(3)经过A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三点.
解析 (1)解法一 (几何法):由题意知,圆的半径为 = ,
又圆心是(4,-1),故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=10.
解法二 (待定系数法):设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把点(5,2)代入可得
r2=10,故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=10.
(2)解法一:设C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).
由于该圆经过A,B两点,所以CA=CB,
所以 = ,解得a=-2,
因此圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= ,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题设条件知 解得 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+
2)2=10.
解法三:易得线段AB的中点坐标为(0,-4),直线AB的斜率kAB= = ,
所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,
因此弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0.
又圆心在直线x-2y-3=0上,所以圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点,
联立 解得
所以圆心坐标为(-1,-2),因此圆的半径r= = ,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(3)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A,B,C在圆上,所以
解得
故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.
解法二:因为直线AB的斜率kAB= = ,直线AC的斜率kAC= =-3,所以kAB·kAC=-1,
所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形,
其外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),其外接圆半径r= BC=5.
故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
2 |与圆有关的轨迹问题
1.求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:根据已知条件,直译为关于动点间的几何关系,再利用解析几何有关公
式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即
把这种关系“翻译”成含x,y的等式.
(2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设方程,再确定其中的基本量,求
出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一
动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析
的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求
得动点的轨迹方程.
2.用直接法求与圆有关的轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)};
(3)用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
简记为:建系、设点、列式、化简、证明.
直接法求点的轨迹方程的关键是找到一个能体现该动点运动特征的等量关系,再
将该等量关系坐标化并化简,最后得动点的轨迹方程.
已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.
解析 (1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
则
∴
又点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
∴(2x-2)2+(2y)2=4,
整理得(x-1)2+y2=1.
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y).
在Rt△PBQ中,PN=BN.
设O为圆x2+y2=4的圆心,连接ON,则ON⊥PQ,
所以OP2=ON2+PN2=ON2+BN2,
所以4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,
整理得x2+y2-x-y-1=0.
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
方法技巧 对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动,而求另一动
点的轨迹方程,则通常用代入法,即用动点坐标表示相关点的坐标,再把相关点的
坐标代入相关点的曲线方程,就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程
了.
3 |求与圆的方程有关的实际问题
1.平面直角坐标系建立的一般原则
(1)原点取在某一定点,坐标轴为某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴;
(2)尽量充分利用图形的对称性;
(3)设出各点的坐标,使用字母尽量少.
2.用坐标法解决与圆的方程有关的实际问题的步骤
某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成
(如图所示).已知隧道总宽AD为6 m,行车道总宽BC为2 m,侧墙面高EA,FD
为2 m,弧顶高MN为5 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆弧所在圆的标准方程;
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之
差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.
思路点拨
(1)建立平面直角坐标系,设出圆的标准方程,根据点E,F,M的坐标解出参数.(2)根
据题意求出圆上横坐标等于C点横坐标的点的纵坐标,由在竖直方向上的高度之
差至少要有0.5 m得车辆通过隧道的限制高度.
解析 (1)以EF所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,1 m为单位长度建立平面直角
坐标系,
则E(-3 ,0),F(3 ,0),M(0,3).
由于所求圆的圆心在y轴上,
所以设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2(r>0).
因为点F,M在圆上,
所以 解得 所以圆的标准方程为x2+(y+3)2=36.
(2)设限制高度为h m,作CP⊥AD交圆弧于点P,则CP=h+0.5.
将点P的横坐标x= 代入圆的标准方程,
得 +(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍去),
所以h=CP-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).
所以车辆通过隧道的限制高度是3.5 m.
