2022版新教材高中数学第5章导数及其应用本章达标检测（word版含解析）苏教版选择性必修第一册

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.下列求导运算正确的是 (　　)
A.'=1+　　　　B.(log2x)'=
C.(5x)'=5xlog5x　　　　D.(x2cos x)'=-2xsin x
3.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=t3+1,设其在时间段[1,2]内的平均速度为v1,在t=2时的瞬时速度为v2,则= (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.函数f(x)=ln x-x的极大值点为 (　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.e　　　　D.1-e
5.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(0), f, f的大小关系是 (　　)
A. f(0)B. fC. fD. f(0)6.函数f(x)=2x2-ln|x|的图象大致为 (　　)
7.已知函数h(x)=+ex在区间[0,1]上不单调,则实数m的取值范围为 (　　)
A.[1,e]　　　　B.(1,e)　　　　C.[1,e2]　　　　D.(1,e2)
8.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是 (　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列结论中正确的有 (　　)
A.若y=sin ,则y'=0
B.若f(x)=3x2-f'(1)x,则f'(1)=3
C.若y=-+x,则y'=-+1
D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x
10.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　)
A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
11.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”.已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=-2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m的取值范围的子集有 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0, f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断正确的是 (　　)
A. f0
C. f>f　　　　D. f>f
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知f'(x0)=m,则=　　　　.
14.设函数f(x)=x+cos x,x∈(0,1),则满足不等式f(t2)>f(2t-1)的实数t的取值范围是　　　　.
15.若f(x)=x3-3x+m,当m=0时,f(x)的极大值为　　　　;关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是　　　　.(第一个空2分,第二个空3分)
16.已知函数f(x)=若存在x1≠x2,使得f(x1)+f(x2)=2,则x1+x2的取值范围是　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①f(x)的一个极值点为0;②曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直;③y=f(-x)-f'(x)为奇函数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答下列问题.
已知函数f(x)=ex+ax-1,且　　　　,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-b)x2-x-xln x.
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行,且f(1)=a,求a,b的值;
(2)若a=1, f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos x+xsin x-1.
(1)若x∈(0,π),求f(x)的极值;
(2)证明:当x∈[0,π]时,2sin x-xcos x≥x.
20.(本小题满分12分)如图,已知A、B两个城镇相距20千米,设M是AB的中点,在AB的中垂线上有一高铁站P,P、M的距离为10千米.为方便居民出行,在线段PM上任取一点O(点O不与P、M重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O处,再铺设快速路分别到A、B两个城镇.因地质条件等各种因素,其中快速路PO造价为1.5百万元/千米,快速路OA造价为1百万元/千米,快速路OB造价为2百万元/千米.设∠OAM=θ(rad),总造价为y(单位:百万元).
(1)求y关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-aln x(a>0).
(1)若a=1,求f(x)的极值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)+<0成立,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程;
(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2,求证:|x1-x2|<2-m.
答案全解全析
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一、单项选择题
1.B　因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为 ==1.故选B.
2.B　由导数的运算法则,知'=1-,(5x)'=5xln5,(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,A、C、D均错误,故选B.
3.B　由题意知,该质点在时间段[1,2]内的平均速度v1===,因为s'(t)=t2,所以s'(2)=4,即该质点在t=2时的瞬时速度v2=4,所以=,故选B.
4.A　因为f(x)=lnx-x(x>0),所以f'(x)=-1=,当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当00,函数f(x)单调递增,所以在x=1处取得极大值,
即函数f(x)=lnx-x的极大值点为1,故选A.
5.A　易知f(x)=x2-2cosx为偶函数,
∴f=f,
∵f'(x)=2x+2sinx,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上为增函数,
∴f(0)∴f(0)6.A　∵f(-x)=2(-x)2-ln|-x|=2x2-ln|x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除B.
当x→0时,f(x)→+∞,故排除D.
当x>0时,f(x)=2x2-lnx,f'(x)=4x-=,当x=时,f(x)取最小值,且f=-
ln>0,故排除C.
故选A.
7.D　因为h(x)=+ex,所以h'(x)=-+ex,又因为函数h(x)=+ex在区间[0,1]上不单调,所以h'(x)=-+ex在区间(0,1)上存在变号零点,所以h'(0)h'(1)<0,即(1-m)<0,解得18.D　由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)·(x-a),令f'(x)=0,得x=或x=a,当a>3时,所以f(x)在,[a,+∞)上单调递减,在上单调递增,
又当a>3时,>1,所以f(x)在(-∞,1]上为减函数.
因为k∈[-1,0],sinθ∈[-1,1],所以-2≤-k-sinθ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,
由不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sinθ-1≤k2+k=-对任意的k∈[-1,0]恒成立,
所以sin2θ-sinθ-1≤-恒成立,
解得-≤sinθ≤,即-≤sinθ≤1,
结合选项知,θ的可能取值是.
故选D.
易错警示
　　利用单调性解决相关问题时,要注意单调区间的判定,当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性,解题时防止漏证导致解题错误.
二、多项选择题
9.ABC　选项A中,若y=sin=,则y'=0,故A正确;选项B中,若f(x)=3x2-f'(1)·x,则f'(x)=6x-f'(1),令x=1,则f'(1)=6-f'(1),解得 f'(1)=3,故B正确;选项C中,若y=-+x,则y'=-+1,故C正确;选项D中,若y=sinx+cosx,则y'=cosx-sinx,故D错误.故选ABC.
10.ABD　由y=f'(x)的图象知,当-0,因此f(x)在上单调递减,在(0,4)上单调递增,故A、B正确;f(x)在x=1附近单调递增,在x=1处不取极大值,故C错误;由f(x)在上单调递减,在(0,4)上单调递增,得f(x)在x=0处取得极小值,故D正确.故选ABD.
11.BD　f'(x)=-2lnx=(x>0),
若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则m=2xlnx在(0,+∞)上有2个不同的实数根,
令g(x)=2xlnx,则g'(x)=2(1+lnx),
令g'(x)>0,解得x>;令g'(x)<0,解得0∴g(x)在上单调递减,在上单调递增,
故g(x)的极小值是g=-,也是最小值,当x→0时,g(x)→0,故-12.CD　令g(x)=,x∈,
则g'(x)=,
因为f'(x)cosx+f(x)sinx<0,
所以g'(x)=<0在上恒成立,
因此函数g(x)=在上单调递减,因此g>g,即>,即f>f,故A错误;
又f(0)=0,所以g(0)==0,所以g(x)=≤0在上恒成立,
因为ln∈,所以f<0,故B错误;
又g>g,所以>,即f>f,故C正确;
又g>g,所以>,即f>f,故D正确.故选CD.
解题模板
　　通过构造函数,利用函数的单调性比较大小.构造函数时,利用含导函数的不等式分析其结构,结合求导法则构造函数.平时要积累构造函数的方法.
三、填空题
13.答案　-3m
解析　∵f'(x0)=m,
∴原式=-3
=-3f'(x0)=-3m.
14.答案　
解析　因为f'(x)=1-sinx>0,所以f(x)为增函数,
因为f(t2)>f(2t-1),
所以t2>2t-1,即t≠1,
因为f(x)的定义域为(0,1),
所以解得15.答案　2;[-2,2]
解析　当m=0时,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,
令f'(x)>0,得x>1或x<-1;
令f'(x)<0,得-1故函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
所以f(x)的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2.
关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,令g(x)=-x3+3x,即m=g(x)在[0,2]上成立,
由于g'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(1,2)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,而g(0)=0,g(1)=2,g(2)=-2,
所以g(x)的值域为[-2,2],即实数m的取值范围是[-2,2].
16.答案　[3-2ln2,+∞)
解析　因为x1≠x2,所以不妨设x1lnx2=2,故x1=1-2lnx2,所以x1+x2=x2-2lnx2+1.记g(x2)=x2-2lnx2+1(x2>1),则g'(x2)=,于是易得g(x2)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x2)≥g(2)=3-2ln2,又当x2→+∞时,g(x2)→+∞,所以g(x2)的值域是[3-2ln2,+∞).
所以x1+x2的取值范围是[3-2ln2,+∞).
解后反思
　　分段函数问题要根据自变量的取值范围选择函数解析式,找到x1、x2的关系,进而构造函数,利用导数解决函数的值域,从而得到取值范围.
四、解答题
17.解析　选择①,由题意得f'(x)=ex+a,
则f'(0)=1+a=0,故a=-1, (2分)
故f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=所以f(x)的最大值为f(1)=e-2. (10分)
选择②,由题意得f'(x)=ex+a,
所以f'(1)=e+a,由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直,
得f'(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1, (2分)
则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=所以f(x)的最大值为f(1)=e-2. (10分)
选择③,由题意得f'(x)=ex+a.
所以f(-x)-f'(x)=e-x-ex-ax-1-a,(1分)
因为y=f(-x)-f'(x)为奇函数,
所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x),可得a=-1. (3分)
则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,
令f'(x)=ex-1=0,得x=0. (4分)
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)
因为f(-1)=所以f(x)的最大值为f(1)=e-2. (10分)
18.解析　(1)由f(x)=(a-b)x2-x-xlnx,
得f'(x)=2(a-b)x-lnx-2, (2分)
由得 (4分)
(2)由题意得f(x)=(1-b)x2-x-xlnx. (5分)
f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立等价于b≤1--对任意x∈(0,+∞)恒成立, (6分)
令g(x)=1--,则g'(x)=. (8分)
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减, (9分)
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增, (10分)
所以g(x)min=g(1)=0,
所以b∈(-∞,0]. (12分)
19.解析　(1)∵f(x)=cosx+xsinx-1,
∴f'(x)=xcosx, (2分)
当x∈时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0. (4分)
当x发生变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
因此,当x=时,f(x)有极大值,并且极大值为f=-1,没有极小值. (6分)
(2)证明:令g(x)=2sinx-xcosx-x,
则g'(x)=cosx+xsinx-1=f(x),
由(1)知f(x)在上单调递增,在上单调递减. (8分)
又f(0)=0,f=-1>0,f(π)=-2<0,
所以f(x)在(0,π)上存在唯一零点,设为x0,则g'(x0)=f(x0)=0. (9分)
当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,
所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,π)上单调递减,
又g(0)=0,g(π)=0,
所以当x∈[0,π]时,g(x)≥0, (11分)
故2sinx-xcosx≥x. (12分)
20.解析　(1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M为AB的中点,
∴OA=OB=,OM=10tanθ,OP=10-10tanθ, (2分)
∴y=×1+×2+(10-10tanθ)×1.5=-15tanθ+15
=15+15. (5分)
(2)设f(θ)=-tanθ
=,
则f'(θ)=
=. (7分)
令f'(θ)=0,得sinθ=,
又0<θ<,∴θ=. (8分)
当0<θ<时,sinθ<,f'(θ)<0,f(θ)单调递减; (9分)
当<θ<时,sinθ>,f'(θ)>0,f(θ)单调递增. (10分)
∴f(θ)的最小值为f=,此时总造价最小. (11分)
∴当θ=时,总造价最小,最小值为(15+15)百万元. (12分)
21.解析　(1)a=1时,f(x)=x-lnx,函数f(x)的定义域是(0,+∞), (1分)
f'(x)=1-=, (2分)
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值. (5分)
(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)+<0成立,等价于<0(x0∈[1,e])成立, (6分)
设h(x)=x-alnx+,
则h'(x)=,
令h'(x)=0,解得x=-1(舍)或x=1+a. (8分)
①当1+a≥e时,h(x)在[1,e]上递减,
∴h(x)的最小值为h(e)=e-a+,
令h(x)min<0,即e-a+<0,解得a>; (10分)
②当1+a∴h(x)的最小值为h(1+a)=1+a-aln(1+a)+1=a[1-ln(a+1)]+2>2,与h(x)min<0矛盾.
综上,a>. (12分)
22.解析　(1)由f(x)==0,得x=±1,
∴函数f(x)的零点x0=±1. (2分)
易得f'(x)=,f'(-1)=2e,f(-1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y=2e(x+1).
f'(1)=-,f(1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-(x-1). (5分)
(2)证明:由(1)知f'(x)=.
令f'(x)=0,得x=1±.
当x∈(-∞,1-)∪(1+,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1-,1+)时,f'(x)<0.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1-),(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).
由(1)知,当x<-1或x>1时,f(x)<0;
当-10. (7分)
下面证明:当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x).
当x∈(-1,1)时,
2e(x+1)>f(x) 2e(x+1)+>0 ex+1+>0.
设g(x)=ex+1+,易知g(x)在x∈(-1,1)上单调递增,
∴g(x)>g(-1)=0对任意x∈(-1,1)恒成立,
∴当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x). (9分)
由得x=-1.记x'1=-1.
不妨设x1∴|x1-x2|<|x'1-x2|=x2-x'1=x2-. (10分)
要证|x1-x2|<2-m,只需证x2-≤2-m,即证x2≤1-m.
又∵m=,∴只需证x2≤1-,
即(x2-1)·[-(x2+1)]≤0.
∵x2∈(1-,1),
∴x2-1<0,∴只需证-(x2+1)≥0.
令φ(x)=ex-(x+1),则φ'(x)=ex-1.
当x∈(1-,0)时,φ'(x)<0,φ(x)为单调递减函数;
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)为单调递增函数.
∴φ(x)≥φ(0)=0,∴-(x2+1)≥0,
∴|x1-x2|<2-m. (12分)
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