2022版新教材高中数学第2章圆与方程本章达标检测（word版含解析）苏教版选择性必修第一册

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.方程x2+y2+2x+4y+1=0表示的圆的圆心坐标为 (　　)
A.(2,4)　　　　B.(-2,-4)
C.(-1,-2)　　　　D.(1,2)
2.若圆心坐标为(2,-1)的圆截直线x-y-1=0所得的弦长为2,则这个圆的方程是 (　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=2
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=8
D.(x-2)2+(y+1)2=16
3.如果实数x、y满足x2+y2-6x+4=0,那么的最大值是 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代,是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的圆拱桥,已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为 (　　)
A.10米　　　　B.10米　　　　
C.6米　　　　D.6米
5.若圆x2+y2-2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-2a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为 (　　)
A.y2-4x+4y+8=0　　　　B.y2+2x-2y+2=0
C.y2-2x-y-1=0　　　　D.y2+4x-2y+5=0
6.若圆M:x2+y2+ax+by-ab-6=0(a>0,b>0)平分圆N:x2+y2-4x-2y+4=0的周长,则2a+b的最小值为 (　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.16　　　　D.20
7.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为 (　　)
A.(2,0)　　　　B.(0,2)　　　　C.(1,0)　　　　D.(0,1)
8.已知实数x、y满足x2+(y-2)2=1,则ω=的取值范围是 (　　)
A.(,2]　　　　B.[1,2]　　　　
C.(0,2]　　　　D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知圆C1:(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=1与圆C2:x2+y2=1,则下列说法正确的是 (　　)
A.对于任意的θ,圆C1与圆C2始终相切
B.对于任意的θ,圆C1与圆C2始终有四条公切线
C.当θ=时,圆C1被直线l:x-y-1=0截得的弦长为
D.P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点,则PQ的最大值为4
10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列命题正确的是 (　　)
A.直线l恒过定点(3,1)
B.y轴被圆C截得的弦长为4
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得的弦长最长时,直线l的方程为2x-y-5=0
11.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是 (　　)
A.y-x的最大值为-2
B.x2+y2的最大值为7+4
C.的最大值为
D.x+y的最大值为2+
12.如果A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上一段圆弧,是以BC为直径的圆上一段圆弧,是以OA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线Ω,那么下面说法正确的是 (　　)
A.曲线Ω与x轴围成的图形的面积为
B.与的公切线方程为x+y--1=0
C.所在圆与所在圆的交点弦所在直线的方程为x-y=0
D.直线y=x截所在圆所得的弦长为
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为　　　　.
14.设集合A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|(x-t)2+y2=9},且A∩B≠ ,则实数t的取值范围是　　　　.
15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:(x-)2+(y-)2=8,若过第四象限的直线l是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线l的方程为　　　　　　.
16.如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1交于点P.
(1)当|MN|=2时,直线l的方程为　　　　　　　　;
(2)·=　　　.(第一个空3分,第二个空2分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+1=0.
(1)求圆C的圆心坐标及半径;
(2)若直线l经过(2,0),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
18.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2+mx+my-4=0关于直线x+y+1=0对称.
(1)求圆C的标准方程;
(2)是否存在直线与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等 若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)如图,已知△ABC的AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足=,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足·=0.
(1)求AC边所在直线的方程;
(2)求△ABC外接圆的方程;
(3)求过点N(-2,0)的△ABC外接圆的切线方程.
20.(本小题满分12分)已知圆C的圆心在x轴上,且圆C经过点A(-1,0),B(1,2).
(1)求线段AB的垂直平分线的方程;
(2)求圆C的标准方程;
(3)已知直线l:y=kx+1与圆C相交于M、N两点,且MN=2,求直线l的方程.
21.(本小题满分12分)已知圆C:(x+3)2+(y-4)2=16,直线l:(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0(m∈R).
(1)若圆C截直线l所得的弦AB的长为2,求m的值;
(2)若圆C与直线l相离,设MN为圆C的动直径,作MP⊥l,NQ⊥l,垂足分别为P,Q,当m变化时,求四边形MPQN面积的最大值.
22.(本小题满分12分)为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流,已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向即∠AOB=.现准备修建一条城市高架道路L,L在MO上设一出入口A,在ON上设一出入口B.假设高架道路L在AB部分为直线段,且要求市中心O到直线AB的距离为10 km.
(1)求两站点A,B之间距离的最小值;
(2)公路MO段上距离市中心30 km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,设立一个以C为圆心,5 km为半径的圆形保护区,问如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)
答案全解全析
基础过关练
一、单项选择题
1.C　由x2+y2+2x+4y+1=0可得(x+1)2+(y+2)2=4,所以圆心坐标为(-1,-2).故选C.
2.B　设圆的半径为r,
∵圆心到直线x-y-1=0的距离d==,
∴2=2=2,解得r2=4,
∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
故选B.
3.D　x2+y2-6x+4=0即(x-3)2+y2=5,它表示圆心为(3,0),半径为的圆,
的几何意义是圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率,
当过原点的直线与圆相切时,斜率最大,即最大,
令此时直线的倾斜角为α,则tan α=,
即的最大值为,
故选D.
4.C　根据题意,建立圆拱桥模型,如图所示.
设圆O半径为R米,当水面跨度是20米,拱顶离水面4米时,水面为AB,M为线段AB的中点,即AB=20米,OM=(R-4)米,
利用勾股定理可知,AM2==OA2-OM2,即100=R2-(R-4)2,解得R=,
当水面上涨2米后,即水面到达CD,N为线段CD的中点,此时ON=(R-2)米,
故CD=2CN=2=6(米).
故选C.
5.D　由条件可知x2+y2-2ax+2y+1=0的半径为1,并且两已知圆圆心连线的斜率是-1,
由x2+y2-2ax+2y+1=0得(x-a)2+(y+1)2=a2,其圆心为(a,-1),半径为|a|,
所以解得a=1,即C(-2,1).
设P(x,y),由条件可知PC=|x|,即=|x|,
两边平方后,整理得y2+4x-2y+5=0.
故选D.
6.A　两圆方程相减得(a+4)x+(b+2)y-ab-10=0,此为相交弦所在直线的方程,
圆N的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1,圆心为N(2,1),代入相交弦所在直线的方程,
得2(a+4)+b+2-ab-10=0,则+=1,
因为a>0,b>0,
所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=2,b=4时,等号成立.故选A.
7.A　依题意得圆C的半径r==4,所以圆C的方程为x2+y2=16.
因为PA,PB是圆C的两条切线,
所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+=42+,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).
8.B　如图所示:
设P(x,y)为圆x2+(y-2)2=1上的任意一点,
则点P到直线x+y=0的距离PM=,
点P到原点的距离为PO=,
所以ω===2sin∠POM,
设圆x2+(y-2)2=1与直线y=kx相切,
则=1,解得k=±,
所以∠POM的最小值为30°,最大值为90°,
所以≤sin∠POM≤1,
所以1≤ω=2sin∠POM≤2.
故选B.
二、多项选择题
9.ACD　由已知得C1(2cos θ,2sin θ),C2(0,0),C1C2==2,两圆半径之和为1+1=2,故两圆始终外切,始终有三条公切线,A正确,B错误;
当θ=时,C1(,1),C1到已知直线l的距离d==,则弦长为2=,C正确;
由于两圆外切,且C1C2=2,因此PQmax=C1C2+1+1=4,D正确.
故选ACD.
10.ABC　直线l的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,由解得所以直线l恒过定点(3,1),A正确;
在圆C的方程中,令x=0,得1+(y-2)2=25,解得y=2±2,则y轴被圆C截得的弦长为4,B正确;
(3-1)2+(1-2)2=5<25,故P(3,1)在圆内,所以直线与圆一定相交,C正确;
直线l被圆C截得的弦长最长时,直线过圆心(1,2),则2m+1+2(m+1)-7m-4=0,解得m=-,故直线l的方程为x+y-=0,即x+2y-5=0,D错误.
故选ABC.
11.CD　对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z的纵截距,当此直线与圆x2+y2-4x+1=0,即(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得--2≤z≤-2,所以y-x的最大值为-2,故A中说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是圆上的点与原点的距离的平方,易知原点与圆心的距离为2,则原点与圆上的点的最大距离为2+,所以x2+y2的最大值为(2+)2=7+4,故B中说法正确;对于C,的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,则的最大值为tan 60°=,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m的纵截距,当此直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得-+2≤m≤+2,所以x+y的最大值为+2,故D中说法错误.故选CD.
12.BC　连接BC,交y轴于点Q,过点B作BN⊥x轴于点N,过点C作CM⊥x轴于点M,连接QN,如图.
各段圆弧所在圆的方程分别为
:(x+1)2+y2=1;:x2+(y-1)2=1;:(x-1)2+y2=1.
由题意知曲线Ω与x轴围成的图形是一个半圆,一个矩形和两个四分之一圆,所以围成的图形的面积为2×++2=π+2,故A错误;
易知直线QN的方程为y=-x+1,公切线l平行于直线NQ,且两直线间的距离为1,设直线l:y=-x+b(b>0),则=1,解得b=+1,所以直线l:x+y--1=0,故B正确;
将所在圆与所在圆的方程相减,得交点弦所在直线的方程为x-y=0,故C正确;
所在圆的圆心为(-1,0),(-1,0)到直线y=x的距离d=,所以直线y=x截所在圆所得的弦长为2=,故D错误.
故选BC.
三、填空题
13.答案　
解析　因为点A(a,2)在圆的外部,
所以
所以2所以a的取值范围为.
14.答案　[-,-]∪[,]
解析　圆(x-t)2+y2=9的半径大于圆x2+(y-1)2=1的半径.
当两圆外切时,有=3+1,解得t=±;
当两圆内切时,有=3-1,解得t=±.
当t>0,即圆(x-t)2+y2=9的圆心在原点右侧时,实数t的取值范围为[,];
当t<0,即圆(x-t)2+y2=9的圆心在原点左侧时,实数t的取值范围为[-,-].
故实数t的取值范围为[-,-]∪[,].
15.答案　3x-5y-2=0
解析　由圆的方程可知圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=,圆C2的圆心为C2(,),半径r2=2,则=1,C1C2=.
由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,直线l与圆C1,C2的切点分别为A,B,连接C1C2,AC1,BC2,过C1作C1D∥AB交BC2于点D,如图.
∵l为圆C2的切线,∴BC2⊥AB,
又C1D∥AB,∴C1D⊥C2D,
∴tan∠DC1C2==
=,
∴k=tan(45°-∠DC1C2)==,
∴直线l的方程为y=x+b,即3x-5y+5b=0,
又直线l与圆C1相切,∴=,解得b=±,
又直线l过第四象限,∴b=-,
∴直线l的方程为3x-5y-2=0.
16.答案　(1)x=-2或3x-4y+6=0　(2)-5
解析　(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,∴R==2,∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
①当直线l的斜率不存在时,易知直线l的方程为x=-2,此时MN=2,符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,则AQ⊥MN.
∵MN=2,∴AQ==1.
∴AQ==1,解得k=,
∴直线l的方程为3x-4y+6=0.
综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
(2)∵AQ⊥BP,∴·=0,∴·=(+)·=·+·=·.
当直线l的斜率不存在时,
P,则=,
又=(1,2),
∴·=·=-5.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k'(x+2).
由得P,
∴=.
∴·=·=-=-5.
综上所述,·为定值,其定值为-5.
四、解答题
17.解析　(1)圆x2+y2-2x+4y+1=0可化为(x-1)2+(y+2)2=4, (3分)
所以圆心坐标为(1,-2),半径为2. (5分)
(2)由题意及(1)得圆心到直线l的距离d==1.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为2,符合题意; (8分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,
由题意得=1,解得k=, (9分)
所以直线l的方程为x-y-=0,即3x-4y-6=0.
综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y-6=0. (10分)
18.解析　(1)由题意知圆C的圆心为C,∴--+1=0,解得m=1,(3分)
∴圆C的方程为x2+y2+x+y-4=0,其标准形式为+=. (5分)
(2)存在.由(1)知圆心为C,半径为,因此原点在圆内,
则截距相等的切线不过原点. (8分)
设截距相等的切线的方程为x+y+a=0,
则=,解得a=-2或a=4,
经检验均符合题意, (10分)
∴切线方程为x+y-2=0或x+y+4=0. (12分)
19.解析　(1)∵·=0,∴⊥,
∴AT⊥AB,又T在直线AC上,∴AC⊥AB,
∴△ABC为直角三角形.
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,
∴直线AC的斜率为-3,
又∵点T(-1,1)在直线AC上,∴AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. (4分)
(2)由解得则点A的坐标为(0,-2), (6分)
∵=,
∴M(2,0)为Rt△ABC斜边上的中点,即为Rt△ABC外接圆的圆心,
又AM==2,
∴△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. (8分)
(3)易知切线的斜率存在.设切线方程为y=k(x+2),
则=2,解得k=1或k=-1, (11分)
∴切线方程为x-y+2=0或x+y+2=0. (12分)
20.解析　(1)设线段AB的中点为D,则D(0,1).
由圆的性质,得CD⊥AB,所以kCD×kAB=-1,所以kCD=-1,
所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-x+1. (3分)
(2)设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2,其中C(a,0),半径为r(r>0).
由圆的性质,得圆心C(a,0)在直线CD上,则0=-a+1,解得a=1, (6分)
所以圆心C(1,0),r=CA=1-(-1)=2,
所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4. (8分)
(3)设F为线段MN的中点,则CF⊥l,FM=FN=.设圆心C到直线l的距离为d,则d=CF==, (10分)
又d=,所以k=1,所以直线l的方程为y=x+1. (12分)
21.解析　(1)圆C的圆心为C(-3,4),半径r=4,
由弦AB的长为2,得点C到直线l的距离d===, (2分)
又d==,
所以=,
解得m=-. (4分)
(2)直线l的方程(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0可化为(2x+y-3)m+x-2y-4=0,
由解得 (6分)
则直线l过定点(2,-1),记D(2,-1),
当m变化时,直线l绕点D转动,
作CE⊥l,垂足为E,
由已知得,四边形MPQN为梯形(或矩形),PQ为高,CE为中位线,
故S四边形MPQN=(MP+NQ)·PQ=CE·PQ≤CE·MN=8CE≤8CD=40, (9分)
当且仅当MN∥l且CD⊥l时,等号全部成立,
由CD⊥l得kl·kCD=-1,
即=-1,
解得m=,
故当m=时,四边形MPQN的面积取得最大值,最大值为40. (12分)22.解析　(1)过点O作OE⊥AB于点E,则OE=10 km,
设∠AOE=α,则<α<,
所以∠BOE=-α,
所以AB=AE+BE=10tan α+10tan-α=(km). (2分)
因为cos αcos
=sin-,<α<,
所以当α=时,AB取得最小值,最小为20(+1) km. (4分)
(2)以O为原点,建立平面直角坐标系,如图所示:
则圆C的方程为(x+30)2+y2=25,
设直线AB的方程为y=kx+t(k>0,t>0),
则=10,>5, (6分)
解得t<20k或t>60k(舍去),故OA<20 km,(8分)
又当AB∥ON时,OA=10 km,
所以10 km综上,当10 km16