2022版新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程本章达标检测（word版含解析）苏教版选择性必修第一册

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点A(5,t)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点A与抛物线焦点F之间的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于 (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.12
2.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且PF1+PF2=10,那么椭圆C的短轴长是 (　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
3.若椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则PF1·PF2的值是 (　　)
A.-　　　　B.(a2-m)
C.a2-m　　　　D.a2-m2
4.已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足PA-PB=2,且P为函数y=3图象上的点,则满足题意的点P的个数为 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p= (　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
6.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则AF2+BF2的最小值为 (　　)
A.20　　　　B.21　　　　C.22　　　　D.23
7.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,C是点A关于原点的对称点,若CF⊥AB,CF=AB,则椭圆的离心率e为 (　　)
A.-1　　　　B.2-
C.-　　　　D.
8.设A、B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点,设过P的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且=2,则△BST的面积为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,且短轴长为2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线,交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是 (　　)
A.椭圆方程为+x2=1　　　　B.椭圆方程为+y2=1
C.PQ=　　　　D.△PF2Q的周长为4
10.设抛物线y=ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则 (　　)
A.点P的坐标为
B.直线AB的方程为y=
C.PA⊥PB
D.AB=
11.已知F1、F2是双曲线C:-x2=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的有 (　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2
C.点M的横坐标为±
D.△MF1F2的面积为
12.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴交于点M,点P,Q是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是 (　　)
A.若直线PQ过焦点F,则以线段PQ为直径的圆与准线l相切
B.过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多两条
C.对于抛物线内的一点T(1,1),有PT+PF≥3
D.若直线PQ垂直于x轴,则直线PM与直线QF的交点在抛物线C上
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则实数p的值为　　　　.
14.一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是　　　　　　.
15.如图,在△ABC中,AB=4,点E为AB的中点,D为线段AB垂直平分线上的一点,且DE=3,AB是固定边,在平面ABD内移动顶点C,使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点,且C、D在直线AB的异侧,在移动过程中,当CD-CA取得最大值时,△ABC的面积为　　　　.
16.已知F是抛物线y2=2px(p>1)的焦点,N(p,1),M为抛物线上任意一点,MN+MF的最小值为3,则p=　　　　;若过F的直线交抛物线于A、B两点,且=2,则AB=　　　.(第一个空2分,第二个空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(1)求与双曲线-=1有相同焦点,且经过点(3,2)的双曲线的标准方程;
(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值.
18.(本小题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的一个顶点坐标为(-2,0),离心率为,直线y=-x+m与椭圆交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设点C(-2,2),是否存在实数m,使得△ABC的面积为1 若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分12分)已知椭圆+=1内有一点P(1,1),F为椭圆的右焦点,M为椭圆上一点.
(1)求MP-MF的最大值;
(2)求MP+MF的最大值;
(3)求使得MP+MF的值最小时点M的坐标.
20.(本小题满分12分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),离心率为,短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设左、右顶点分别为A、B,点M在椭圆上(异于点A、B),求kMA·kMB的值;
(3)过点F2作一条直线与椭圆C交于P,Q两点,过P,Q作直线x=的垂线,垂足分别为S,T.试问:直线PT与QS是否交于定点 若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线,垂足为M,且·=-4.记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点A的直线l交曲线E于不同的两点B,C.
①若B为线段AC的中点,求直线l的方程;
②设B关于x轴的对称点为D,求△ACD的面积S的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知半椭圆+=1(y>0,a>b>0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成曲线L.如图所示,半椭圆内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的任意一点.当点P位于点M处时,△AGP的面积最大.
(1)求曲线L的方程;
(2)连接PC,PD,分别交AB于点E,F,求证:AE2+BF2为定值.
答案全解全析
基础过关练
一、单项选择题
1.C　由抛物线的定义可知,点A与抛物线焦点F之间的距离为5+=8,解得p=6,
因此,抛物线的焦点到准线的距离为6,故选C.
2.C　设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意得,2a=10,∴a=5,又c=3,
∴b2=a2-c2=16,即b=4,
因此椭圆的短轴长是2b=8,故选C.
3.D　由题意得PF1+PF2=2a,|PF1-PF2|=2m,两式平方后相减,得4PF1·PF2=4a2-4m2,∴PF1·PF2=a2-m2,故选D.
4.B　由已知得点P的轨迹是以A(-2,0),B(2,0)为焦点的双曲线的右支,其中2a=2,即a=1,c=2,则b=,所以点P是双曲线x2-=1的右支上的一点.
又P为函数y=3图象上的点,
所以联立方程
解得或(舍去),
所以P,
故选B.
5.A　由抛物线x2=2py(p>0)可知其焦点为,所以b=,又a=2,所以双曲线方程为-=1,渐近线方程为y=±x.直线y=kx-1与双曲线的一条渐近线平行,不妨设k=,由可得x2=2p=x-2p,即x2-x+2p=0,则Δ=-8p=0,解得p=4.故选A.
6.C　由题意得,a=4,b=2,由双曲线的定义可得AF2-AF1=2a=8,BF2-BF1=2a=8,所以AF2+BF2-(AF1+BF1)=16,由于过双曲线的左焦点F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,可得AF1+BF1=AB,当AB是双曲线的通径时,AB最小,即有AF2+BF2-(AF1+BF1)=AF2+BF2-AB=16,所以AF2+BF2=AB+16≥+16=+16=22,故选C.
7.C　设另一焦点为F',连接AF',BF',CF',则四边形FAF'C为平行四边形,
∴AF'=CF=AB,且AF'⊥AB,则△ABF'为等腰直角三角形.
设AF'=AB=x,则x+x+x=4a,即x=(4-2)a,∵AF'+AF=2a,∴AF=(2-2)a.
在△AFF'中,由勾股定理得AF'2+AF2=(2c)2,
则(9-6)a2=c2,即e2=9-6,
∴e=-,故选C.
8.A　双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),又P,∴直线PA的方程为x=-1,PB的方程为x=-+1,联立可得y2-=0,解得y=0或y=,将y=代入x=-1可得x=,
即M,
联立可得y2-y=0,
解得y=0或y=,将y=代入x=-+1,可得x=,
即N.
设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,
即有=,
将M,N的坐标代入,化简可得=,解得s=2,即Q(2,0),
设过Q的直线方程为x=my+2,
联立得(3m2-1)y2+12my+9=0,
设S(x1,y1),T(x2,y2),可得y1+y2=-,y1y2=,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立,
又=2,∴y1=-2y2,∴y1+y2=-y2=-,可得y2=,y1y2=-2=-2·=,解得m2=,
可得S△BST=BQ·|y1-y2|=|y1-y2|=
=3×=3×=.
故选A.
二、多项选择题
9.ACD　由已知得,2b=2,即b=1,=,
又a2=b2+c2,∴a2=3,
∴椭圆方程为+x2=1,
则PQ===,△PF2Q的周长为4a=4,故选ACD.
10.ABC　设抛物线y=ax2(a>0)的焦点为F.
由y=ax2(a>0)得,x2=y,
则焦点F.
∵a>0,∴2p=,∴p=,其准线方程为x=-,∴P,A正确;
设切线方程为y=kx-(k≠0),
由得ax2-kx+=0,
令Δ=k2-4×a×=0,解得k=±1.
∴切点A,B,
因此直线AB的方程为y=,B正确;
又=,=,
∴·=-+=0.
从而⊥,即PA⊥PB,C正确;
AB==,D错误.
故选ABC.
11.AD　由双曲线方程-x2=1知a=,b=1,焦点在y轴上,渐近线方程为y=±x=±x,A正确;c==,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=3,B错误;由得或由得或所以M点的横坐标是xM=±1,C错误;=F1F2·|xM|=×2×1=,D正确.
故选AD.
12.ACD　如图①,过P作PA⊥准线l于A,过Q作QB⊥准线l于B,过PQ的中点C作CD⊥准线l于D,则CD=(PA+QB)=(PF+QF)=PQ,故以线段PQ为直径的圆与准线l相切,A正确;过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线包括两条切线和x轴所在直线,B错误;如图②,过P作PA⊥准线l于A,过T作TH⊥准线l于H,准线方程为x=-2,PT+PF=PT+PA≥HT=3,当H,P,T共线时等号成立,C正确;设P,Q,M(-2,0),F(2,0),则直线PM的方程为y=·(x+2),直线QF的方程为y=·(x-2),
两直线的交点为,
代入满足抛物线方程,故D正确.故选ACD.
三、填空题
13.答案　6
解析　∵双曲线的方程为-=1,
∴a2=4,b2=5,可得c==3,
因此双曲线-=1的右焦点为F(3,0),
∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合,∴=3,解得p=6.
14.答案　+=1
解析　圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,则其半径为6.
如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.
由图知,定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离,即BC-MC=BM,又BC=6,所以BM+CM=6,因为MA=MC,所以BM+MA=6,由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.设椭圆方程为+=1(a>b>0),则a=3,c=2,b==,所以所求圆心M的轨迹方程是+=1.
15.答案　6
解析　以AB所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-2,0),B(2,0),D(0,-3),设△ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F,则CA-CB=AG-BF=AH-HB=2<4,∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=2,b2=c2-a2=3,∴C点的轨迹方程为x2-=1(x>0).
∵CA-CB=2,∴CA=CB+2,则CD-CA=CD-CB-2,
则当C为线段BD与双曲线右支的交点时,CD-CA最大,BD所在直线的方程为-=1,即3x-2y-6=0.
联立解得yC=3,
∴△ABC的面积为S=×4×3=6.故答案为6.
16.答案　2;
解析　过点M作MP垂直于抛物线y2=2px(p>1)的准线l,垂足为点P,
∵p>1,∴12<2p2,∴点N在抛物线内,如图所示:
∴MN+MF=MN+MP,当点P、M、N共线时,MN+MF取得最小值p+=3,解得p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x,该抛物线的焦点为F(1,0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),可知直线AB不与x轴重合,设直线AB的方程为x=my+1,
联立可得y2-4my-4=0,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4,∵=2,∴(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),∴y1=-2y2,∴y1+y2=-y2=4m,可得y2=-4m,y1y2=-2=-32m2=-4,可得m2=,因此,AB=·|y1-y2|=·=4(1+m2)=.故答案为2;.
四、解答题
17.解析　(1)∵所求双曲线与双曲线-=1有相同焦点,
∴设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16), (2分)
∵双曲线过点(3,2),
∴-=1,
∴λ=4或λ=-14(舍去). (4分)
∴所求双曲线的标准方程为-=1. (5分)
(2)椭圆方程可化为+=1(m>0), (6分)
∵m-=>0,∴m>, (8分)
∴a2=m,b2=,c==,
由e=得=,解得m=1. (10分)
18.解析　(1)∵椭圆的一个顶点坐标为(-2,0),∴a=2,
又该椭圆的离心率为=,可得c=,
∴b==1, (2分)
∴椭圆M的方程为+y2=1. (4分)
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理得5x2-8mx+4m2-4=0,由Δ=64m2-4×5×(4m2-4)=16(5-m2)>0,得-由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,
由弦长公式可得AB=·|x1-x2|
=·
=·
=, (8分)
点C到直线AB的距离为d=,
∴S△ABC=AB·d=××==1,整理可得4m4-20m2+25=0,即(2m2-5)2=0,可得m2=,满足Δ>0,∴存在m=±,使得△ABC的面积为1. (12分)
19.解析　(1)由题意得a2=25,b2=16,所以c2=9,即F(3,0),当点M,F,P三点不共线时,MP-MF图1
(2)设椭圆的左焦点为F1,则F1(-3,0),根据椭圆的定义可知MF=2a-MF1,
即MP+MF=MP-MF1+2a≤PF1+2a,如图2,当P,F1,M三点共线时,等号成立,
PF1==,所以MP+MF的最大值是+10. (8分)
图2
(3)椭圆的右准线为x=,设椭圆上的点M到右准线的距离为d,因为=,所以MF=d,MP+MF=MP+d,如图3,MP+d的最小值是点P到直线x=的距离,即-1=,
所以MP+MF的最小值是,此时点M的纵坐标是1,代入椭圆方程可得x=,所以MP+MF的值最小时点M的坐标为. (12分)
图3
20.解析　(1)由题意可知又a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,
所以椭圆C的标准方程为+=1. (3分)
(2)易知A(-2,0),B(2,0),设M(x0,y0),
所以kMA·kMB=·=, (5分)
因为点M在椭圆上,所以+=1,
即=3-,所以kMA·kMB==-. (6分)
(3)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),则S(4,y1),T(4,y2),
联立方程可得(3m2+4)y2+6my-9=0,
所以y1+y2=-,y1y2=-,
所以2my1y2=3(y1+y2), (8分)
直线PT的方程为(y-y2)(x1-4)=(x-4)·(y1-y2),令y=0,
则x=+4===
==,所以直线PT恒过点, (10分)
同理,直线QS恒过点, 即直线PT与QS交于定点. (12分)
21.解析　(1)设P(x,y),则M(-4,y).
因为A(-2,0),所以=(-2,y),=(x+2,y), (1分)
因为·=-4,所以-2x-4+y2=-4,即y2=2x.
所以曲线E的方程为y2=2x. (3分)
(2)①易知直线l的斜率存在且不为0.
设l:y=k(x+2),k≠0,
由得y2-y+4=0,所以Δ=-16>0,解得-设B(x1,y1),C(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=4. (5分)
因为B为线段AC的中点,所以y2=2y1.
又y1+y2=,所以y1=,y2=,
因此y1y2==4,所以k=±,符合-所以直线l的方程为y=±(x+2). (8分)
②因为点B,D关于x轴对称,
所以D(x1,-y1),
于是点D到直线l的距离d=.
因为y1=k(x1+2),所以d=.
又AC=|x2+2|,
所以S=|x2+2|×=|(x2+2)y1|=. (10分)
因为y1y2=4,y1+y2=,
所以S=|2y2+2y1|=.
又因为-8,
即△ACD的面积S的取值范围为(8,+∞). (12分)
22.解析　(1)因为点M在半圆上,所以b2=+=1,又b>0,所以b=1.
当半圆在点M处的切线与直线AG平行时,△AGP的面积最大.
因为kOM=-,所以kAG==,
又b=1,所以a=, (2分)
所以曲线L的方程为+x2=1(y>0)和x2+y2=1(y≤0). (4分)
(2)证明:由题意得C(1,),D(-1,),设P(x0,y0)(y0<0),
则lPC:=,令y=0,得x=,即E, (6分)
lPD:=,令y=0,得x=,即F, (8分)
又A(-1,0),B(1,0),+=1,
所以AE2+BF2=+
=
==4.
所以AE2+BF2为定值4. (12分)
17