2022版新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程本章复习提升（word版含解析）苏教版选择性必修第一册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.()已知△ABC的周长是20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 (　　)
A.-=1(x≠0)　　　　B.+=1(x≠0)
C.+=1(x≠0)　　　　D.-=1(x≠0)
2.()已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
3.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清而致错
4.(2019山东聊城高二月考,)若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 (　　)
A.双曲线的一支　　　　B.圆
C.抛物线　　　　D.双曲线
5.()设P(x,y),若+=8,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.-=1　　　　D.-=1
易错点3　忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错
6.()抛物线y=4x2的焦点坐标为 (　　)
A.　　　　B.(1,0)
C.　　　　D.
7.()方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 (　　)
A.-1B.-C.-1D.m<-1且m≠0
8.()已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的渐近线方程为 (　　)
A.y=±x　　　　B.y=±x
C.y=±x　　　　D.y=±x
易错点4　忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错
9.()若椭圆+=1(m>0)的焦距为2,则m的值是(　　)
A.3　　　　B.15　　　　C.3或5　　　　D.1或5
10.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为　　　　.
易错点5　忽视判别式对参数的限制而致错
11.()已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.
12.()已知点F为椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形,直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线+=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于两个不同的点A,B,若λPM2=PA·PB,求实数λ的取值范围.
易错点6　忽视直线的斜率不存在的情况而致错
13.()如图,点O是坐标原点,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点M,离心率e=,点P在椭圆C上,延长PF1交椭圆C于点Q,点R是PF2的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,试求S的最大值.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.()F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为 (　　)
A.圆　　　　B.椭圆
C.双曲线　　　　D.抛物线
2.()一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,求此动圆圆心的轨迹方程.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
3.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
4.()已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
5.()已知点A(1,0),B(5,1),点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,则PA+PB的最小值为 (　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.
6.()已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且AB=a(a是常数且a≥1),F为抛物线的焦点,求弦AB的中点M到x轴的距离的最小值.
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
7.()已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是 (　　)
A.y2=16x　　　　B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y　　　　D.y2=16x或x2=8y
8.(2020辽宁师大附中高二期末,)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为α,且cosα=,则双曲线的离心率等于　　　　.
9.()在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.C　由题意可知AC+AB=20-8=12>BC=8,则点A的轨迹是焦点在y轴且中心为原点的椭圆,且点A不在y轴上,2a=12,c=4,故b2=20,所以点A的轨迹方程为+=1(x≠0),
故选C.
2.答案　x2-=1(λ≠0,x≠±1)
解析　由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,
所以kPM·kPN=·=λ,整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x2-=1(λ≠0,x≠±1).
3.解析　由已知,得圆E的半径为2,设圆P的半径为R,
则PF=PM=R,ME=2,PE=PM-ME=R-2,
所以PF-PE=2,
又易知PF-PE由题意得a=1,c=2,
所以b=,
故所求轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
易错警示
　　求轨迹方程时要注意“补点”和“去点”.“补点”是指求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件进行补充;“去点”是指求轨迹方程时,有些方程会因整理、变形而产生不合题意的点,应去掉.
4.A　设动圆的圆心为P,半径为r,圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1,O2,则O1(0,0),O2(4,0),半径分别为1和2,由已知得PO1=r+1,PO2=r+2,因此PO2-PO1=1,且15.B　设F1(0,2),F2(0,-2),由题意可知,点P(x,y)到点F1(0,2)的距离与其到点F2(0,-2)的距离之和为定值8,并且8>4=F1F2,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=4,所以a=4,c=2,所以b2=a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为+=1,故选B.
6.D　抛物线方程可化为x2=y,则2p=,p=,故焦点为,故选D.
易错警示
　　根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时,应先把抛物线的方程化为标准形式,即等式左端是二次项且系数是1,等式右端是一次项,这样才能准确写出其焦点坐标和准线方程.
7.C　由方程表示焦点在y轴上的椭圆可得解得-1易错警示
　　方程mx2+ny2=1(m≠n)不一定表示椭圆,只有在m>0,n>0时才表示椭圆.
8.C　椭圆的焦点坐标为(±,0),也是双曲线的焦点坐标,故在双曲线中c=,
易知双曲线一条渐近线方程为bx-ay=0,则==1,∴b=1,∴a=,∴渐近线方程为y=±x,故选C.
9.C　由椭圆的焦距为2,知c=1,当焦点在x轴上时,a2=4,b2=m,∴4-m=1,即m=3;当焦点在y轴上时,a2=m,b2=4,∴m-4=1,即m=5,∴m的值为3或5.故选C.
易错警示
　　涉及椭圆的标准方程的问题,如果没有明确指出椭圆焦点的位置,一般都要分两种情况进行讨论,不能想当然地认为焦点在x轴上或在y轴上.
10.答案　2或
解析　解法一:由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=或k=,即=或=.
又b2=c2-a2,所以=3或=,所以e2=4或e2=,
所以e=2或e=(负值舍去).
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有=或=,
所以=或=,亦可得到e=或e=2(负值舍去).
综上可得,双曲线的离心率为2或.
解法二:根据解法一知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e==或e=2;
当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,
则离心率e==2或e=.
综上可得,双曲线的离心率为2或.
11.解析　(1)由条件可知所以所以双曲线C的方程为-=1.
(2)联立消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,
因为l与双曲线交于不同的两点,
所以
解得-1故k的取值范围为∪∪.
易错警示
解决直线与双曲线的位置关系的题目时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是不是一元二次方程,即二次项系数是不是0.
12.解析　(1)由题意得a=2c,b=c,则椭圆E的方程可化为+=1,联立得x2-2x+4-3c2=0,∵直线与椭圆E有且仅有一个交点M,
∴Δ=4-4(4-3c2)=0,得c2=1,
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)由(1)得M,又P(0,2),
∴PM2=,
当直线l与x轴垂直时,PA·PB=(2+)×(2-)=1,由λPM2=PA·PB,得λ=;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
则x1x2=,且Δ=48(4k2-1)>0,则k2>,
∴PA·PB=(1+k2)|x1x2|=(1+k2)·=1+=λ,
∴λ=,
又k2>,∴<λ<1,
综上所述,λ的取值范围是.
13.解析　(1)由题意得解得a=2,b=,c=1,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)连接OR,PO,
∵O,R分别为F1F2,PF2的中点,∴OR∥PF1,∴△PF1R与△PF1O同底等高,
∴=,∴S=+=S△PQO.
①当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×=;
②当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0.
联立得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,
则x1+x2=-,x1x2=,
∴PQ=|x1-x2|=·=,
又点O到直线PQ的距离d=,
∴S=PQ·d=6,
令a=3+4k2,则a∈(3,+∞),
则S=6
=,
∵a∈(3,+∞),∴∈,
∴--+1∈(0,1),
∴S∈,
综上所述,S∈,则S的最大值为.
思想方法练
1.A　(由题意直接画出图形,将题目中的关系在图形中体现出来,充分体现了数形结合的思想)
延长垂线F1Q,交F2P的延长线于点A,如图所示,则△APF1是等腰三角形,
∴PF1=AP,∴AF2=AP+PF2=PF1+PF2=2a.由题意知O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,则OQ=·AF2=a.
∴Q点的轨迹是以原点O为圆心,a为半径的圆.故选A.
2.解析　两定圆圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9,
(根据题意直接画出图形,借助图形得出相关关系,体现了数形结合思想)
如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则MO1=1+R,MO2=9-R,
∴MO1+MO2=10>O1O2=6,故点M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b=4,故动圆圆心的轨迹方程为+=1.
3.解析　(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0).
因为直线y=x-与该椭圆相切,
所以方程组只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-2a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,
所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN===2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以PQ=|x1-x2|
=
=2×,
同理可得,MN=2×.
(建立四边形PMQN的面积关于k的函数,再结合不等式求最值,充分体现了函数与方程思想)
所以S四边形PMQN=
=4×
=4×
=4×
=4×.
因为4k2++10≥2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以∈,
所以4×∈.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.4.解析　(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n,
与椭圆方程联立,可得4x2-6nx+3n2-4=0.
因为点A,C在椭圆上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-设A,C两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=.
由四边形ABCD为菱形可知,点在直线y=x+1上,
所以=+1,解得n=-2.
所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(2)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以AB=BC=CA,
因此菱形ABCD的面积S=AC2.
由(1)可得,AC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,
(通过建立菱形ABCD的面积S与n的函数,利用函数的性质求最值,充分体现了函数与方程思想)
所以S=(-3n2+16).
所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值,最大值为4.
5.A　由题意可知,A点为抛物线y2=4x的焦点,设抛物线的准线为l,则l:x=-1,分别过点P,B作l的垂线,交l于点H,B',如图,则有PA+PB=PH+PB≥BB'=6,
(将抛物线上一点到焦点的距离转化为其到准线的距离,体现了转化与化归思想)
当且仅当P,B,B'三点共线时等号成立,所以最小值为6.故选A.
6.解析　设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3,A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B',连接AA',MM',BB',AF,BF,如图所示.
由抛物线的定义,知AF=AA'=y1+,BF=BB'=y3+,
(将抛物线上一点到焦点的距离转化为其到准线的距离,充分体现了转化与化归的思想)
所以y1=AF-,y3=BF-.
又M是线段AB的中点,
所以y2=(y1+y3)
=≥
=(2a-1),
当且仅当AB过焦点F时,等号成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,点M到x轴的距离最小,最小距离为(2a-1).
7.C　当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点为(0,-2)或(4,0).
(对焦点的不同进行分类讨论,体现了分类讨论思想)
当焦点为(4,0)时,设标准方程为y2=2px(p>0),则p=8,∴y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),则p=4,∴x2=-8y.故选C.
8.答案　或
解析　设渐近线y=x的倾斜角为θ,
(根据双曲线渐近线的斜率与1的大小关系进行分类讨论,充分体现了分类讨论思想)
当0<<1时,依题意有α=2θ,由于cosα=,所以cos2θ=,即=,解得tan2θ=,即=,故离心率e===;当>1时,依题意有α=2(90°-θ)=180°-2θ,由于cosα=,所以cos(180°-2θ)=,即=-,解得tan2θ=2,即=2,故离心率e===.
9.解析　(1)设点M(x,y),依题意,得MF=|x|+1,即=|x|+1,
化简并整理,得y2=2(|x|+x).
(通过去绝对值,分x≥0和x<0两种情况进行讨论)
故当x≥0时,点M的轨迹C的方程为y2=4x,当x<0时,点M的轨迹C的方程为y=0.
(2)记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0),
依题意,可知直线l的方程为y-1=k(x+2).
联立可得
ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(k为二次项系数,分k=0和k≠0两种情况进行讨论)
(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.
此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16×(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则x0=-.③
若由②③解得k<-1或k>,
即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若或由②③解得k=-1或k=或-≤k<0,
(根据k的不同取值,分别求出k取这些值对应的公共点个数,体现了分类讨论思想)
即当k∈时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点;
当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若由②③解得-1即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
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