2022版新教材高中数学综合测评（word版含解析）苏教版选择性必修第一册

综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-y-3=0的倾斜角为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.函数f(x)=1+的图象在点处的切线的斜率为 (　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.4　　　　D.-4
3.已知F1,F2为定点,F1F2=4,在同一平面内的动点M满足MF1+MF2=t(t为常数),且t≥4,则动点M的轨迹是 (　　)
A.椭圆　　　　B.线段　　　　C.圆　　　　D.线段或椭圆
4.在等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+a7= (　　)
A.2　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.4
5.已知两圆的方程分别是C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则这两圆的位置关系是 (　　)
A.内含　　　　B.内切　　　　C.相交　　　　D.外切
6.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公有九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”其大致意思是:一个公公有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的生年开始排列,后面每个儿子都比前面一个儿子小3岁,九个儿子共207岁,则老大的岁数是 (　　)
A.38　　　　B.35　　　　C.32　　　　D.29
7.已知在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为 (　　)
A.-1　　　　B.-1　　　　C.+1　　　　D.+1
8.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2+a)x(a<0),g(x)=-2,对任意的x0∈(0,2],关于x的方程f(x)=g(x0)在(0,e]上都有实数根,则实数a的取值范围为 (　　)
(其中e=2.718 28…为自然对数的底数)
A.　　　　B.
C.[-e,0)　　　　D.(-∞,-e]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则 (　　)
A.当mn>0时,方程表示椭圆
B.当mn<0时,方程表示双曲线
C.当m=0时,方程表示两条直线
D.此方程表示的曲线不可能为抛物线
10.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,已知S16>0,S17<0,则下列结论正确的是 (　　)
A.a1>0,d<0　　　　B.a8+a9>0
C.S8与S9均为Sn的最大值　　　　D.a9<0
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则 (　　)
A.抛物线C的准线方程为y=-1
B.线段PQ的长度的最小值为4
C.S△OPQ≥2
D.·=-3
12.已知f(x)=ex·x3,则下列结论正确的是 (　　)
A. f(x)在R上单调递增
B. f(log52)C.方程f(x)=-1有实数根
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:x+ay=0和直线l2:2x-(a-3)y-4=0,a∈R,若l1与l2平行,则l1与l2之间的距离为　　　　.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则a6=　　　　.
15.已知函数f(x)=x3+ax2+x+1在区间内是减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
16.已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1、F2,且△F1AB的面积为,则椭圆的标准方程为　　　　　　;若点P为椭圆上的任意一点,则+的取值范围是　　　　.(第一个空2分,第二个空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在① S4-a3=a6;②S3是a1与a9的等差中项;
③a1+a3+a5+a7+a9=5S3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
记Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知a3=5,且　　　　　.
(1)求{an}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知某曲线C:x2+y2+2x-4y+a=0.
(1)若此曲线是圆,求a的取值范围,并求出其圆心和半径;
(2)若a=1,且此曲线与直线l:x-y+1=0相交于M,N两点,求弦长MN.
19.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1(n∈N*).数列{bn}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b2,b7成等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,且Tn20.(本小题满分12分)新冠肺炎疫情发生后,某地政府为了支持企业复工复产,决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额x(万元)在[4,8]之间的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列两个条件:①补助款f(x)(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加;②补助款不低于原纳税额的50%.经测算,政府决定采用f(x)=-+4(其中m为参数)作为补助款发放的函数模型.
(1)当参数m=13时是否满足条件,并说明理由;
(2)求同时满足条件①②的参数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,直线l过点P(0,-1),且与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A',连接A'B.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)问直线A'B是否过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,g(x)=bx-bln x,其中e为自然对数的底数.
(1)若当x≥0时,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若x>0,证明:(ex-1)ln(x+1)>x2.
答案全解全析
一、单项选择题
1.A　直线x-y-3=0可化为y=x-,斜率k=tanα=,又α∈[0,π),∴α=.故选A.
2.D　因为f(x)=1+,所以f'(x)=-, 所以 f'=-4.故选D.
3.D　当t=4时,点M的轨迹是线段F1F2;当t>4时,点M的轨迹是椭圆.故选D.
4.C　设等比数列{an}的公比为q,则==q2=2,
∴a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2×2=4.故选C.
5.B　根据两圆的方程得到两圆的圆心间的距离d==5,又圆C1的半径r1=1,圆C2的半径r2=6,且d,r1,r2满足r2-r1=d,所以两圆内切.
6.B　由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项,公差为-3的等差数列,记此等差数列为{an},则9a1+×(-3)=207,解得a1=35,故选B.
7.C　由题意可知OF=c,由四边形OFMN为菱形,可得MN=OF=c,设点M在F的上方,可知M、N关于y轴对称,可设M,代入双曲线方程可得
-=1,结合a2+b2=c2,可得c4+4a4-8a2c2=0,两边同除以a4,可得e4+4-8e2=0,解得e2=4+2或e2=4-2,因为e>1,所以e===+1,故选C.
8.C　由题意,g(x)=-2,x∈(0,2],g'(x)==,
令g'(x)=0,得x=1,当00;
当1且g(0)=-2,g(2)=-2>-2,
设g(x)=-2,x∈(0,2]的值域为A,则A=.
设f(x)=lnx+ax2+(2+a)x,x∈(0,e]的值域为B,
因为对任意的x0∈(0,2],关于x的方程f(x)=g(x0)在(0,e]上都有实数根,
所以A B.因为当x→0+,f(x)→-∞,所以只需f(x)max≥-2.
易得f'(x)=+2ax+2+a=,
令f'(x)=0,得x=-或x=-(舍去),
当-≥e,即-≤a<0时,f(x)在(0,e]上是增函数,
则f(x)max=f(e)=1+ae2+2e+ae≥-2,
解得a≥-,∴-≤a<0.
当-在上单调递减,则f(x)max=f=ln+--1≥-2,
即ln-≥-1,令h(x)=lnx+x,易知h(x)在(0,+∞)上单调递增,
而h=-1, 于是-≥,解得-e≤a<-.
综上,实数a的取值范围为-e≤a<0.
二、多项选择题
9.BD　当mn>0时,将原方程整理,得+=1,若m,n同负或=,则方程不表示椭圆,A错误;当mn<0时,与异号,方程表示双曲线,B正确;当m=0时,方程为ny2=1,当n≤0时,方程无解,故C错误;无论m、n为何值,此方程都不可能表示抛物线,D正确.故选BD.
10.ABD　∵S16=>0,
∴a8+a9=a1+a16>0,∴B正确.
又S17==17a9<0,∴a9<0,
∴a8>0,∴d=a9-a8<0,∴a1>0,∴A、D正确.
易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,∴C错误.故选ABD.
11.BCD　因为抛物线的焦点F到其准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故选项A错误;
当直线PQ垂直于x轴时,线段PQ的长度最小,此时不妨设P(1,2),Q(1,-2),所以PQmin=4,故选项B正确;
设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+1,联立消去x,将p=2代入可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,S△OPQ=×OF×|y1-y2|=×1×=×≥2,当且仅当m=0时“=”成立,故选项C正确;
x1x2=(my1+1)(my2+1)=m(y1+y2)+m2y1y2+1=1,y1y2=-4,所以·=x1x2+y1y2=-3,故选项D正确.故选BCD.
12.BCD　∵f(x)=ex·x3,
∴f'(x)=ex(x3+3x2).
令f'(x)=0,得x=0或x=-3.
当x<-3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x>-3时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,A错误.
又0∴f(log52)∵f(0)=0,f(-3)=e-3·(-3)3=-<-1,
∴f(x)=-1有实数根,C正确.
显然x=0是方程f(x)=kx的根,
当x≠0时,k==ex·x2,设g(x)=ex·x2(x≠0),则g'(x)=x(x+2)ex,
令g'(x)=0,得x=0或x=-2.当x发生变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ ↘ 0 ↗
画出函数g(x)的大致图象,如图所示,
∴当0三、填空题
13.答案　
解析　由于直线l1与l2平行,则2a=-(a-3)且0≠-4a,解得a=1,所以直线l1的方程为x+y=0,直线l2的方程为x+y-2=0,因此,直线l1与l2之间的距离为=.
14.答案　768
解析　由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,又S1=a1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768.
15.答案　[2,+∞)
解析　∵f(x)=x3+ax2+x+1,∴f'(x)=3x2+2ax+1,∵函数f(x)在区间-,-内是减函数,
∴f'(x)≤0在区间内恒成立,即a≥--在区间内恒成立,令g(x)=--,则g'(x)=-+=,∴当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
又g=,g=2,∴g(x)<2,∴a≥2.
16.答案　+y2=1;[1,4]
解析　由题意可知2b=2,则b=1,=(a-c)b==,
故有解得所以椭圆的标准方程为+y2=1.由题意可得2-≤PF1≤2+,PF1+PF2=2a=4,
所以+==,因为PF1·(4-PF1)=-+4∈[1,4],所以+=∈[1,4].
四、解答题
17.解析　(1)选择条件①:
设等差数列{an}的公差为d,
则 (2分)
解得 (4分)
∴an=2n-1. (5分)
选择条件②:
设等差数列{an}的公差为d,
则 (2分)
解得 (4分)
∴an=2n-1. (5分)
选择条件③:
设等差数列{an}的公差为d,
则 (2分)
解得 (4分)
∴an=2n-1. (5分)
(2)由(1)可得bn===, (7分)
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
==. (10分)
18.解析　(1)方程x2+y2+2x-4y+a=0可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a. (2分)
若其曲线是圆,则5-a>0,得a<5. (4分)
其圆心坐标为C(-1,2),半径r=. (6分)
(2)当a=1时,曲线的方程为(x+1)2+(y-2)2=4, (7分)
它表示的是圆,圆心为C(-1,2),半径r=2. (8分)
圆心到直线l的距离d==. (10分)
∴弦长MN=2=2=2. (12分)
19.解析　(1)∵an+1=2Sn+1(n∈N*),①
∴当n≥2时,an=2Sn-1+1,②
①-②,化简可得an+1=3an, (1分)
即数列{an}是以3为公比的等比数列, (2分)
又∵S2=4,
∴a1+3a1=4,
解得a1=1,即an=3n-1. (3分)
设数列{bn}的公差为d(d≠0),b1=a1=1,
∵b1,b2,b7成等比数列,
∴1×(1+6d)=(1+d)2, (4分)
解得d=4或d=0(舍去),
即bn=4n-3,
∴数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3. (6分)
(2)由(1)得cn==, (7分)
∴Tn=+5×+9×+…+(4n-3),③
Tn=+5×+9×+…+(4n-7)×+(4n-3),④
③-④,得Tn=1+4×+4×+…+4×-(4n-3)
=3-(4n+3). (10分)
∴Tn=-,即有Tn<恒成立,
由Tn可得m≥,
即m的取值范围是. (12分)
易错警示　(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求an时,要注意n≥2这一限制条件;(2)当数列{an}、{bn}分别为等差数列、等比数列时,数列{an·bn}或的前n项和一般用错位相减法求解,但在求和时要特别注意两式相减后抵消了哪些项、各项的符号有没有发生变化等.
20.解析　(1)当m=13时,函数f(x)=-+4(x∈[4,8]),可得f'(x)=+>0,
所以f(x)在区间[4,8]上为增函数,满足条件①; (2分)
又因为f(4)=<2=×4,所以当m=13时不满足条件②. (3分)
综上可得,当参数m=13时不满足条件.　　 (5分)
(2)由函数f(x)=-+4,可得f'(x)=+=,x∈[4,8], (6分)
所以当m≥0时,f'(x)≥0,满足条件①; (8分)
当m<0时,令f'(x)=0,可得x=2(负值舍去),
当x∈[2,+∞)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,
所以此时若要满足条件①,应有2≤4,解得-4≤m<0.
综上可得,m≥-4. (10分)
由条件②可知,f(x)≥,即不等式+≤4在[4,8]上恒成立,
等价于m≤-x2+4x=-(x-8)2+16在[4,8]上恒成立.
当x=4时,y=-(x-8)2+16取得最小值,最小值为12,
所以m≤12. (11分)
综上,参数m的取值范围是[-4,12]. (12分)
21.解析　(1)因为抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,
所以=1,即p=2, (3分)
所以抛物线C的标准方程为x2=4y. (4分)
(2)由题意知直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(-x1,y1),
联立得x2-4kx+4=0.
则Δ=16k2-16>0,x1x2=4,x1+x2=4k, (6分)
所以kA'B===. (7分)
于是直线A'B的方程为y-=(x-x2),
所以y=x+-,即y=x+1, (10分)
当x=0时,y=1.
即直线A'B过定点(0,1). (12分)
22.解析　(1)由已知得f'(x)=ex-1-2ax, (1分)
令h(x)=ex-1-2ax,则h'(x)=ex-2a,
当x≥0时,ex≥1.
故当2a≤1时,h'(x)=ex-2a≥0恒成立,
∴h(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(0)=0,即f'(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴f(x)≥f(0)=0恒成立,∴a≤时满足条件. (3分)
当2a>1时,令h'(x)=0,解得x=ln2a,在[0,ln2a)上,h'(x)<0,h(x)在[0,ln2a)上单调递减,
∴当x∈[0,ln2a)时,有h(x)≤h(0)=0,即f'(x)≤0,当且仅当x=0时,f'(x)=0,故f(x)在[0,ln2a)上为减函数,
∴f(x)综上,实数a的取值范围为. (6分)
(2)证明:由(1)得,当a=,x>0时,ex>1+x+成立,
即ex-1>x+=成立, (7分)
∵x>0,
∴ln(x+1)>0,
要证不等式(ex-1)ln(x+1)>x2,
只需证ex-1>, (8分)
只需证>,
只需证ln(x+1)>成立, (9分)
设F(x)=ln(x+1)-(x>0), (10分)
则F'(x)=-=,
∴当x>0时,F'(x)>0恒成立,故F(x)在(0,+∞)上单调递增,
又F(0)=0,
∴F(x)>0恒成立,
∴原不等式成立. (12分)
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