2021-2022学年山东省潍坊市诸城市九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年山东省潍坊市诸城市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分.）
1．方程（x﹣1）x＝2x的解是（　　）
A．x＝3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3
2．某人沿着斜坡前进，当他前进30米时上升的高度为15米，则斜坡的坡度i等于（　　）
A．1：2 B．1： C．1： D．2：1
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE的度数为（　　）
A．70° B．110° C．120° D．130°
4．如图，∠ABC＝30°，边BA上有一点D，DB＝6，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
5．若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＞x1＞x2 B．x1＞x2＞x3 C．x2＞x1＞x3 D．x1＞x3＞x2
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得、恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．如图，∠ABC＝∠BDA＝90°，下列线段比值等于cosA的是 　 　．
A.
B.
C.
D.
10．小明同学统计了某学校九年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示，下面四个推断中正确的是 　 　．
A．小明此次一共调查了100位同学
B．每天阅读图书时间在15～30分钟的人数最多
C．每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45～60分钟的人数
D．每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的20%
11．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论正确的是 　 　．
A．CE平分∠ACB
B．△CDA≌△EDF
C．E是△PAB的内心
D．OF＝AC
12．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝，例如：4※2，因为4＞2，所以4※2＝42﹣4×2＝8．若函数y＝（2x）※（x+1），则下列结论正确的是 　 　．
A．方程（2x）※（x+1）＝0的解为x1＝﹣1，x2＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．若关于x的方程（2x）※（x+1）＝m有三个解，则0＜m≤1
D．当x＜1时，函数y＝（2x）※（x+1）的最大值为1
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分。）
13．如图，点A在反比例函数的图象上，直角△OAB的面积为2，则k＝　 　．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC到E且∠DCE＝66°，则∠BOD的度数是 　 　．
15．如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，DE的长度保持不变．在图1中，BD＝6cm，BE＝15cm，∠B＝60°，现将压柄BC从图1旋转到与底座AB垂直，如图2所示，则此过程中点E滑动的距离为 　 　cm．
16．某桥梁的桥洞可视为抛物线，AB＝12m，最高点C距离水面4m．以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x．已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该抛物线的表达式为 　 　．
四、解答题（本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步栗）
17．已知关于x的方程x2﹣2kx﹣＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣2，求另一个根及k值．
18．北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　 　；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰敦敦邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90°，AB＝6，CD＝2，△ABP与△PCD全等．
（1）求AD的长；
（2）求tan∠DAC的值．
20．如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m．
（1）求反比例函数和直线PQ的解析式；
（2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求点M的坐标．
21．某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？
22．如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求ED的长．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C，直线AD交y轴于点E（0，1），与抛物线交于点D，点P是直线AD下方抛物线上一点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的表达式与直线AD的表达式；
（2）过点P作PM∥y轴交直线AD于点M．当PM最大时，求出点P的坐标，PM的最大值为多少？
（3）若四边形APBM为菱形，直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分.）
1．方程（x﹣1）x＝2x的解是（　　）
A．x＝3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3
【分析】整理后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（x﹣1）x＝2x，
整理得：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3，
故选：B．
2．某人沿着斜坡前进，当他前进30米时上升的高度为15米，则斜坡的坡度i等于（　　）
A．1：2 B．1： C．1： D．2：1
【分析】由某人在斜坡上走了30米，上升的高度为15米，则可先求出某人走的水平距离，再求出这个斜坡的坡度．
解：由题意得：某人在斜坡上走了30米，上升的高度为15米，
则某人走的水平距离s＝＝15（米），
∴坡度i＝15：15＝1：．
故选：C．
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE的度数为（　　）
A．70° B．110° C．120° D．130°
【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE．
解：∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵E，D是切点，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠B，
∴∠DOE＝∠A+∠C＝50°+60°＝110°．
故选：B．
4．如图，∠ABC＝30°，边BA上有一点D，DB＝6，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【分析】过点D作DF⊥BC于F，则BE＝2BF，∠BFD＝90°，再利用含30度角的直角三角形的性质求出DF，进而求出BF，即可求出答案．
解：过点D作DF⊥BC于F，则BE＝2BF，∠BFD＝90°，
在Rt△BFD中，∠ABC＝30°，BD＝6，
∴DF＝BD＝3，
∴BF＝DF＝3，
∴BE＝2BF＝6，
故选：C．
5．若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＞x1＞x2 B．x1＞x2＞x3 C．x2＞x1＞x3 D．x1＞x3＞x2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．
解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，﹣3＜﹣1＜0＜3，
∴x2＜x1＜x3，
故选：A．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
解：当k＞0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y'轴交于负半轴，则B选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，二次函数y＝x2+kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴左侧，并与y'轴交于正半轴，则A、C选项都不符合题意；
故选：D．
7．如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得、恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S扇形AOC得出阴影部分的面积是⊙O面积的，即可得出结果．
解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵OD＝AO
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC＝×⊙O面积＝×π×22＝π（cm2）；
故选：C．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由开口向上得到a＞0，由对称轴在y轴左侧得到b＞0，由函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上得到c＜0，然后得到abc＜0；
②由函数图象与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0；
③由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；
④由图象可知，当x＝1时，y＝2，得到a+b+c＝2，然后得到b与a、c之间的关系，再代入a﹣b+c＜0得到结果．
解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②由图可知，函数图象与x轴由2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确，符合题意；
③由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③正确，符合题意；
④由图象可知，当x＝1时，y＝2，
∴a+b+c＝2，
∴b＝2﹣a﹣c，
∵a﹣b+c＜0，
∴a﹣（2﹣a﹣c）+c＜0，
∴a+c＜1，故④正确，符合题意，
∴正确的个数有3个，
故选：C．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．如图，∠ABC＝∠BDA＝90°，下列线段比值等于cosA的是 　C、D　．
A.
B.
C.
D.
【分析】根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．
解：A、在Rt△ABD中，cosA＝，故本选项错误，不符合题意；
B、在Rt△ABC中，cosA＝，故本选项错误，不符合题意；
C、在Rt△BCD中，cosA＝cos∠DBC＝，故本选项正确，符合题意；
D、在Rt△ABC中，cosA＝，故本选项正确，符合题意；
故选：C、D．
10．小明同学统计了某学校九年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示，下面四个推断中正确的是 　A、B　．
A．小明此次一共调查了100位同学
B．每天阅读图书时间在15～30分钟的人数最多
C．每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45～60分钟的人数
D．每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的20%
【分析】根据频数分布直方图的意义，逐项进行判断即可．
解：10+60+20+10＝100（人），因此选项A是正确的；
每天阅读图书时间在15～30分钟的人数为60人，是几个时间段人数最多的，因此选项B是正确的；
每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数与阅读时间在45～60分钟的人数相等，都是10人，因此选项C不正确；
每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的＝30%，因此选项D不正确；
故答案为：A、B．
11．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论正确的是 　A，C，D　．
A．CE平分∠ACB
B．△CDA≌△EDF
C．E是△PAB的内心
D．OF＝AC
【分析】连接OA，BE，根据PA、PB是⊙O的切线，可得PA＝PB，OA＝OB，可得OP是AB的垂直平分线，根据垂径定理，进而可以判断A；根据OB＝OC，AF＝BF，可得OF是三角形BAC的中位线，进而即可判断D；证明∠PBE＝∠EBA，∠APE＝∠BPE，即可判断C；根据AC∥OE，可得△CDA∽△EDF，进而可以判断B．
解：如图，连接OA，BE，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴OP⊥AB，
∴＝，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CE平分∠ACB；故A正确；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BFO＝90°，
∴OF∥AC，
∵OB＝OC，AF＝BF，
∴OF＝AC；故D正确；
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBE+∠EBC＝90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠PBE＝∠ECB，
∵∠ECB＝∠EBA，
∴∠PBE＝∠EBA，
∵∠APE＝∠BPE，
∴E是△PAB的内心；故C正确；
∵AC∥OE，
∴△CDA∽△EDF．故B错误；
∴结论正确的是A，C，D．
故答案为：A，C，D．
12．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝，例如：4※2，因为4＞2，所以4※2＝42﹣4×2＝8．若函数y＝（2x）※（x+1），则下列结论正确的是 　ABD　．
A．方程（2x）※（x+1）＝0的解为x1＝﹣1，x2＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．若关于x的方程（2x）※（x+1）＝m有三个解，则0＜m≤1
D．当x＜1时，函数y＝（2x）※（x+1）的最大值为1
【分析】根据题干定义求出y＝（2x）※（x+1）的解析式，根据2x≥x+1及2x＜x+1可得x≥1时y＝2x2﹣2x，x＜1时，y＝﹣x2+1，进而求解．
解：根据题意得：当2x≥x+1，即x≥1时，y＝（2x）2﹣2x（x+1）＝2x2﹣2x，
当2x＜x+1，即x＜1时，y＝（x+1）2﹣2x（x+1）＝﹣x2+1，
∴当x≥1时，2x2﹣2x＝0，
解得x＝0（舍去）或x＝1，
当x＜1时，﹣x2+1＝0，
解得x＝1（舍去）或x＝﹣1，
∴（2x）※（x+1）＝0的解是x1＝﹣1，x2＝1；
故A正确，
B、当x＞1时，y＝2x2﹣2x，
抛物线开口向上，对称轴是直线x＝，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，
∴B选项正确．
当x≥1时，y＝2x2﹣2x＝2（x﹣）2﹣，
∴x＝1时，y取最小值为y＝0，
当x＜1时，y＝﹣x2+1＝0，
当x＝0时，y取最大值为y＝1，
如图，
当0＜m＜1时，方程（2x）※（x+1）＝m有三个解，
∴选项C错误，选项D正确．
故答案为：ABD．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分。）
13．如图，点A在反比例函数的图象上，直角△OAB的面积为2，则k＝　﹣4　．
【分析】设A点坐标为（a，b），由于点A在反比例函数图象上，则k＝ab，然后利用三角形面积公式得到×（﹣a）×b＝2，则ab＝﹣4，即可得到k＝﹣4．
解：设A点坐标为（a，b），则k＝ab，
∵S△OAB＝AB OB，
∴×（﹣a）×b＝2，
∴ab＝﹣4，
∴k＝﹣4．
故答案为﹣4．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC到E且∠DCE＝66°，则∠BOD的度数是 　132°　．
【分析】根据圆内接四边形的性质可直接得出结论．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE＝66°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝66°，
∴∠BOD＝2∠A＝132°．
故答案为：132°．
15．如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，DE的长度保持不变．在图1中，BD＝6cm，BE＝15cm，∠B＝60°，现将压柄BC从图1旋转到与底座AB垂直，如图2所示，则此过程中点E滑动的距离为 　（15﹣3）　cm．
【分析】如图1，由直角三角形的性质和勾股定理可求DE的长，如图2，由勾股定理可求BE的长，即可求解．
解：如图1，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∴DH＝BD＝3（cm），DH＝BH＝3（cm），
∴EH＝15﹣3＝12（cm），
∴DE＝＝＝3（cm），
如图2，∵∠DBE＝90°，
∴BE＝＝＝3（cm），
∴点E滑动的距离＝（15﹣3）cm，
故答案为：（15﹣3）．
16．某桥梁的桥洞可视为抛物线，AB＝12m，最高点C距离水面4m．以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x．已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该抛物线的表达式为 　y＝﹣x2﹣x　．
【分析】在y＝﹣x2+x中，令y＝3可得xD﹣xA＝9，以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，将A（﹣9，﹣3）代入即得抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x．
解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，
解得x＝3或x＝9，
∵点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，
∴xD﹣xA＝9，
以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系，如图：
根据题意知此时顶点D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），
设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+1，
将A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，
故答案为：y＝﹣x2﹣x．
四、解答题（本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步栗）
17．已知关于x的方程x2﹣2kx﹣＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣2，求另一个根及k值．
【分析】（1）计算判别式的值，然后利用判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到﹣2+t＝2k，﹣2t＝﹣，然后先求出t，再求k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝4k2+2＞0，
∴方程x2﹣2kx﹣＝0有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据题意得﹣2+t＝2k，﹣2t＝﹣，
解得t＝，k＝﹣，
∴k＝﹣，另一根为．
18．北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　　；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰敦敦邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：．
（2）此游戏不公平，理由如下：
列表如下：
A B B C C
A （B，A） （B，A） （C，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （C，B）
B （A，B） （B，B） （C，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （B，C） （C，C）
C （A，C） （B，C） （B，C） （C，C）
由表知，共有20种等可能结果，其中摸到A棋的有8种结果，摸到两颗相同的棋子的有4种结果，
所以小明获胜的概率为＝，小亮获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90°，AB＝6，CD＝2，△ABP与△PCD全等．
（1）求AD的长；
（2）求tan∠DAC的值．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明△APD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PD，可得结论；
（2）过点D作DH∠AC于点H．利用相似三角形的性质求出CH，DH，即可解决问题．
解：（1）∵△ABP≌△PCD，
∴AB＝CP＝6，BP＝CD＝2，AP＝PD，∠APB＝∠CDP，
∵∠PCD＝90°，
∴∠CPD+∠CDP＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴PD＝＝＝2，
∴AD＝＝＝4；
（2）过点D作DH∠AC于点H．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10．
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCH，
∵∠B＝∠CHD＝90°，
∴△ABC∽△CHD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CH＝，DH＝，
∴AH＝AC﹣CH＝10﹣＝，
∴tan∠DAC＝＝＝．
20．如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m．
（1）求反比例函数和直线PQ的解析式；
（2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析，再利用反比例函数k的意义得P点的坐标，最后利用待定系数法得一次函数解析式；
（2）先求点A（6，0），再设M（a，0），根据S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM且△PMQ的面积为3，列出方程，解方程可得问题的答案．
解：（1）∵直线与反比例函数的图象交于点Q（4，a），
∴，
∵．
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为，
∵点P（m，n）是反比例函数图象上一点，
∴mn＝8，且n＝2m，m＞0，
∴m＝2，n＝4，
∴P（2，4），
设直线PQ的解析式为y＝cx+b，
∴，
解得，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵直线PQ交x轴于点A，
∴令y＝0，﹣x+6＝0，得x＝6，
∴A（6，0），
设M（a，0），
∴AM＝|6﹣a|．
∵S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM且△PMQ的面积为3，
∴，
∴a＝3或a＝9，
∴点M的坐标为（3，0）或（9，0）．
21．某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？
【分析】（1）根据“当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克”可得减少的销售量为5（x﹣20）千克，进而再根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据“总利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出函数解析式，再根据求二次函数性质即可得答案；
（3）根据题意“每天的销售量不低于40千克”列出不等式求得x的取值范围，再由二次函数的性质求最大值．
解：（1）根据题意得，y＝50﹣5（x﹣20）＝﹣5x+150，
即y＝﹣5x+150（x≥20）；
（2）根据题意得，w＝（x﹣18）（﹣5x+150）＝﹣5x2+240x﹣2700，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣5x2+240x﹣2700，
∵w＝﹣5x2+240x﹣2700＝﹣5（x﹣24）2+180，
且﹣5＜0，
∴当x＝24时，w有最大值，最大值为180，
答：w与x之间的函数关系式为：w＝﹣5x2+240x﹣2700，该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元；
（3）由题意得，﹣5x+150≥40，
解得：x≤22，
∵w＝﹣5（x﹣24）2+180，
∴当x≤24时，w随x的增大而增大，
∴当x＝22时，w有最大值，最大值为：w＝﹣5×（22﹣24）2+180＝160，
答：商家每天销售利润的最大值是160元．
22．如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求ED的长．
【分析】（1）首先连接OA，由∠B＝60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA＝OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP＝AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO＝90°，则可证得AP是⊙O的切线；
（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用直角三角形的性质与等腰三角形的判定定理，即可求得ED的长．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠CAO＝30°，
∴∠AOE＝∠ACO+∠CAO＝30°+30°＝60°，
∵AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝30°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
又∵OA是半径
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD．
∵直径CD＝2，
∴AO＝OD＝，
∵∠EAO＝90°，∠E＝30°，
∴EO＝2AO＝2，
∴ED＝OE﹣OD＝2﹣＝．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C，直线AD交y轴于点E（0，1），与抛物线交于点D，点P是直线AD下方抛物线上一点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的表达式与直线AD的表达式；
（2）过点P作PM∥y轴交直线AD于点M．当PM最大时，求出点P的坐标，PM的最大值为多少？
（3）若四边形APBM为菱形，直接写出点M的坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣bx﹣，用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣；设直线AD的表达式为y＝kx+c，将A（﹣1，0），E（0，1）代入即得直线AD的表达式为y＝x+1；
（2）设P（m，m2﹣m﹣），则M（m，m+1），可得PM＝m+1﹣（m2﹣m﹣）＝﹣（m﹣2）2+，由二次函数性质即得当PM最大时，点P的坐标是（2，﹣），PM的最大值为；
（3）根据四边形APBM为菱形，知PM过AB中点，故xM＝1，从而可求得M（1，2）．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣bx﹣得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣；
设直线AD的表达式为y＝kx+c，
将A（﹣1，0），E（0，1）代入得：
，解得，
∴直线AD的表达式为y＝x+1；
（2）设P（m，m2﹣m﹣），则M（m，m+1），
∴PM＝m+1﹣（m2﹣m﹣）＝﹣m2+2m+＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝2时，PM的值最大，最大值是；
此时m2﹣m﹣＝×22﹣2﹣＝﹣，
∴P（2，﹣）；
答：当PM最大时，点P的坐标是（2，﹣），PM的最大值为；
（3）∵四边形APBM为菱形，
∴PM过AB中点，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴xM＝＝1，
在y＝x+1中，令x＝1得y＝2，
∴M（1，2），
此时P（1，﹣2），AM＝BM＝BP＝AP＝2，四边形APBM为菱形，
∴点M的坐标为（1，2）．