2021-2022学年浙江省温州市南浦实验中学浙教版九年级（下）开学数学试卷 （word版含解析）

2021-2022学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（下）开学数学试卷
一.选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．若＝，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件中：
①明天会下雨；
②一个班（40人）里有两人的生日在同一天；
③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球；
④太阳东升西落．
不可能事件的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．将抛物线y＝x2的图象向左平移2个单位，所得到的抛物线表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2 B．y＝（x﹣2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
4．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（　　）
A．5 B．10 C．5 D．10
5．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
7．如图，在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，若AC＝6，则点M经过的的路径长为（　　）
A．6 B．2π C．3π D．4π
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 5 4 ﹣4 ﹣20 ﹣45 …
则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（　　）
A．﹣45 B．﹣20 C．﹣4 D．0
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上．已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．二次函数y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标是 　 　．
12．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于　 　．
13．如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．
14．如图，某农场拟建一矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙足够长），并在图中所示位置开2m的门，已知建筑围栏的材料可建围墙共66m，设饲养室的长为x（m），占地面积为y（m2），请列出y关于x的函数关系式：　 　．（不用写x的取值范围）
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 　 　．
16．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点．当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 　 　cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 　 　cm．
三、解答题（本题共有8小题，共80分，解答题需要写出必要的文字说明、演算步骤）
17．（7）计算：|﹣1|+2cos30°﹣（﹣3）0+（）﹣2．
（2）化简：（x﹣2）2﹣x（4﹣x）．
18．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC＝2∠C．
（1）求证：△ABC∽△ADB．
（2）已知AB＝5，AD＝4，求BD．
19．为了响应国家“双减”政策，温州某学校额外开设了A班电影鉴赏，B班漫画漫游，C班跑步健身三门兴趣课程，小智和小慧需选择一门课程学习．
（1）用列表法或画树状图法，列出小智、小慧两人选课所有可能出现的情况．
（2）求小智、小慧两人同班的概率．
20．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．
（1）在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．
（2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）
21．如图，抛物线y＝﹣x2+8x+m与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；
（2）在y轴的正半轴上有一点E，过点E作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，若四边形ABDE为平行四边形，求CD的长．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF．
（1）求证：EF＝BF．
（2）若CD：BD＝1：3，AC＝2，求EF的长．
23．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．
①当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
②商家第二个月决定继续捐款支持抗疫，捐款方式变为每卖出一件产品就捐款a元，为使商家线上和线下的月利润最低为700元，则a＝　 　．（直接写出答案）
24．在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．动点P从点A出发以2.5cm/s的速度沿折线A一B一C的路线向终点C运动．过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，点Q关于点O的对称点为M，过点P，Q，M作⊙I．设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，求AQ和PQ的长．
（2）当P为AB中点时，请判断点B与⊙I的位置关系，并说明理由．
（3）在点P的整个运动过程中．
①当t为何值时，⊙I经过点B．
②当t＝　 　时，⊙I与边AB相切．
参考答案
一.选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．若＝，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用设k法进行计算即可解答．
解：∵＝，
∴设a＝3k，b＝4k，
∴＝＝＝，
故选：C．
2．下列事件中：
①明天会下雨；
②一个班（40人）里有两人的生日在同一天；
③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球；
④太阳东升西落．
不可能事件的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
解：下列事件中：
①明天会下雨，是随机事件；
②一个班（40人）里有两人的生日在同一天，是随机事件；
③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球，是不可能事件；
④太阳东升西落，是必然事件，
不可能事件的个数为：1，
故选：A．
3．将抛物线y＝x2的图象向左平移2个单位，所得到的抛物线表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2 B．y＝（x﹣2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
【分析】根据“左加右减”的规律进行解答即可．
解：将抛物线y＝x2的图象向左平移2个单位，所得到的抛物线表达式为：y＝（x+2）2，
故选：A．
4．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（　　）
A．5 B．10 C．5 D．10
【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．
解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，AC＝＝＝5，
∴AB＝2AC＝10．
故选：B．
5．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接OC，根据切线性质求出∠OCD＝90°，根据等腰三角形性质求出∠OCA＝∠A＝25°，根据三角形外角性质求出∠COD，在△OCD中，根据三角形的内角和定理求出即可．
解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝25°，
∴∠CAB＝∠OCA＝25°，
∴∠COD＝∠CAB+∠OCA＝50°，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
【分析】先利用勾股定理可得BC＝5，再根据三角函数的定义求解可得．
解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝5，
则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝，
故选：B．
7．如图，在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，若AC＝6，则点M经过的的路径长为（　　）
A．6 B．2π C．3π D．4π
【分析】连接CM，CM'，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知AB＝2AC＝12，再利用CM＝AB可得CM的长，由旋转知点M的运动路径为以CM为半径，圆心角为90°的弧，代入弧长公式即可．
解：如图，连接CM，CM'，
∵在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，
∴CM＝，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝12，
∴CM＝6，
由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧，
∵将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，
∴∠MCM'＝90°，
∴点M经过的的路径长为，
故选：C．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据已知条件得到DE：CD＝3：7，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：CE＝3：4，
∴DE：CD＝3：7，
∴DE：AB＝3：7，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝，
∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（）2＝，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49，
故选：C．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 5 4 ﹣4 ﹣20 ﹣45 …
则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（　　）
A．﹣45 B．﹣20 C．﹣4 D．0
【分析】先由表中数据得到对称轴为直线x＝，进而得到函数的增减性，然后求得函数再﹣2≤x≤2时的最小值．
解：由表中数据得到对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，
∴x＝﹣2时，y＝﹣20，x＝2时，y＝﹣4，x＝时，y＝5，
∴二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是﹣20，
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上．已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（　　）
A． B． C． D．
【分析】延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，先证明△ABG≌△JBC，推导出BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，则BC＝1，由AC2＝S正方形ACDE＝4求得AC＝2，再证明△CBK∽△ABC，△ACK∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例推导出CK＝2BK＝2m，AK＝2CK＝4m，再证明四边形MNRL、四边形PQLR和四边形AHQL都是矩形，则QL＝AH＝AB＝5m，再证明△DEM≌△EAL≌△ACK，则EM＝AL＝CK＝2m，EL＝AK＝4m，可求得MQ＝11m，再证明△BGR≌△CBK，则BR＝CK＝2m，可求得MN＝9m，即可求得的值为，得到问题的答案．
解：如图，延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，
∵四边形BCFG和四边形ABJH都是正方形，四边形BJIK是矩形，
∴BG＝BC，BA＝BJ，∠CBG＝∠ABJ＝90°
∴∠ABG＝∠JBC＝90°+∠ABC，
∴△ABG≌△JBC（SAS），
∴S△ABG＝S△JBC，
∵S△ABG＝BG BC＝S正方形BCFG，S△JBC＝BJ BK＝S矩形BJIK，
∴S正方形BCFG＝S矩形BJIK，
∴BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，
∴BC＝1，
∵四边形ACDE是正方形，且AC2＝S正方形ACDE＝4，
∴AC＝2，
∵CI⊥HJ于点I，交AB于K，AB∥HJ，
∴∠CKB＝∠CIJ＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CKB＝∠ACB，
∵∠CBK＝∠ABC，
∴△CBK∽△ABC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CK＝2BK＝2m，
∵∠AKC＝∠ACB＝90°，∠CAK＝∠BAC，
∴△ACK∽△ABC，
∴＝，
∴＝＝，
∴AK＝2CK＝4m，
∵四边形MNPQ和四边形BJIK都是矩形，
∴∠M＝∠N＝∠P＝∠Q＝∠PRL＝90°，
∴∠LRN＝90°，
∴四边形MNRL和四边形PQLR都是矩形，
∴∠ALQ＝90°，
∵∠AHJ＝90°，
∴∠AHQ＝90°，
∴四边形AHQL是矩形，
∴QL＝AH＝AB＝m+4m＝5m，
∵∠M＝∠ELA＝∠AKC＝∠AED＝∠CAE＝90°，
∴∠MED＝90°﹣∠AEL＝∠LAE＝90°﹣∠CAK＝∠KCA，
∵DE＝EA＝AC，
∴△DEM≌△EAL≌△ACK（AAS），
∵EM＝AL＝CK＝2m，EL＝AK＝4m，
∴MQ＝2m+4m+5m＝11m，
∵∠BRG＝∠CKB＝∠CBG＝90°，
∴∠BGR＝90°﹣∠GBR＝∠CBK，
∵BG＝BC，
∴△BGR≌△CBK（AAS），
∴BR＝CK＝2m，
∴MN＝LR＝2m+5m+2m＝9m，
∴＝＝，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．二次函数y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标是 　（1，2）　．
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：∵y＝2x2﹣4x+4＝2（x2﹣2x+2）＝2（x﹣1）2+2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象的顶点坐标是（1，2）．
故答案为（1，2）．
12．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于　34°　．
【分析】先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，然后根据圆周角定理求解．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故答案为：34°．
13．如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　3﹣π　（结果保留π）．
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝ ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
＝4﹣π﹣1
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
14．如图，某农场拟建一矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙足够长），并在图中所示位置开2m的门，已知建筑围栏的材料可建围墙共66m，设饲养室的长为x（m），占地面积为y（m2），请列出y关于x的函数关系式：　y＝﹣x2+34x　．（不用写x的取值范围）
【分析】用含x的代数式表示宽，即可得到答案．
解：∵饲养室的长为x（m），
∴饲养室的长用的材料是（x﹣2）m，
∴饲养室的宽是＝（34﹣x）m，
∴y＝（34﹣x） x＝﹣x2+34x，
故答案为：y＝﹣x2+34x．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 　　．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝4，由勾股定理列方程即可求出结果．
解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝，
∴DM＝6+＝．
故答案为：．
16．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点．当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 　18　cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 　（52﹣78）　cm．
【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，进而可以求出PF的值；过点Q作QH⊥BM于点H，求出tan15°＝＝2+，进而可以解决问题．
解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，
由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点．
∴QB＝AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝QB＝10cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝FM＝18（cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18cm，
∴PM＝2PF＝36cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36﹣10＝26（cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，
设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+x）cm，
∴tan15°＝＝，
∴tan15°＝＝2+，
∴P′F＝（2+）（54+10）＝（78﹣34）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18﹣（78﹣34）＝（52﹣78）cm．
故答案为：18；（52﹣78）cm．
三、解答题（本题共有8小题，共80分，解答题需要写出必要的文字说明、演算步骤）
17．（7）计算：|﹣1|+2cos30°﹣（﹣3）0+（）﹣2．
（2）化简：（x﹣2）2﹣x（4﹣x）．
【分析】（1）利用绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义解答即可；
（2）先利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则去掉括号，再合并同类项即可．
解：（1）原式＝1+2×﹣1+4
＝1+﹣1+4
＝4+；
（2）原式＝x2﹣4x+4﹣4x+x2
＝2x2﹣8x+4．
18．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC＝2∠C．
（1）求证：△ABC∽△ADB．
（2）已知AB＝5，AD＝4，求BD．
【分析】（1）由BD是△ABC的角平分线得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，则∠ABC＝2∠C得∠C＝∠ABC，所以∠C＝∠ABD，而∠A是△ABC和△ADB的公共角，则根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”可以证明△ABC∽△ADB；
（2）由△ABC∽△ADB得＝，其中AB＝5，AD＝4，可以求出AC的长，再求出CD的长，由∠DBC＝∠ABC，∠C＝∠ABC，得∠DBC＝∠C，则BD＝CD，可以求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB．
（2）解：∵△ABC∽△ADB，
∴＝，
∵AB＝5，AD＝4，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝AC﹣AD＝﹣4＝，
∵∠DBC＝∠ABC，∠C＝∠ABC，
∴∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD＝，
∴BD的长为．
19．为了响应国家“双减”政策，温州某学校额外开设了A班电影鉴赏，B班漫画漫游，C班跑步健身三门兴趣课程，小智和小慧需选择一门课程学习．
（1）用列表法或画树状图法，列出小智、小慧两人选课所有可能出现的情况．
（2）求小智、小慧两人同班的概率．
【分析】（1））根据题意画出树状图，即可得出所有等可能的情况数；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中小智、小慧两人同班的结果有1种，再由概率公式求解即可．
解：（1）根据题意画树状图如下：
则小智、小慧两人选课所有可能出现的情况共有9种；
（2）∵共有9种等可能的情况数，其中小智、小慧两人同班的有3种，
∴小智、小慧两人同班的概率是＝．
20．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．
（1）在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．
（2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）取格点J，K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N，连接MN即可．
解：（1）如图1中，线段PQ即为所求；
（2）如图2中，线段MN即为所求．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+8x+m与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；
（2）在y轴的正半轴上有一点E，过点E作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，若四边形ABDE为平行四边形，求CD的长．
【分析】（1）把A（1，0）代入y＝﹣x2+8x+m，列方程求出m的值为﹣7，则抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x﹣7，将y＝﹣x2+8x﹣7配成顶点式，得到抛物线的对称轴为直线x＝4，令y＝0，则﹣x2+8x﹣7＝0，解方程求出x的值，即得到点B的坐标为（7，0）；
（2）作抛物线的对称轴交DE于点F，则点F的横坐标为4，由四边形ABDE为平行四边形，得DE＝AB＝6，则DF＝6﹣4＝2，由抛物线的对称性得CF＝DF＝2，即可求得CD＝4．
解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣x2+8x+m，得﹣1+8+m＝0，
解得m＝﹣7，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x﹣7，
∵y＝﹣x2+8x﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝4；
当y＝0时，则﹣x2+8x﹣7＝0，
解得x1＝1，x2＝7，
B（7，0）．
（2）如图，作抛物线的对称轴交DE于点F，则点F的横坐标为4，
∴EF＝4，
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴DE＝AB＝7﹣1＝6，
∴CF＝DF＝6﹣4＝2，
∴CD＝CF+DF＝2+2＝4，
∴CD的长为4．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF．
（1）求证：EF＝BF．
（2）若CD：BD＝1：3，AC＝2，求EF的长．
【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠DBF＝∠DEB＝90°，∠5＝∠6，再证明∠4＝∠ABF，从而得到∠6＝∠ABF，所以EF＝BF；
（2）先根据角平分线的性质得到DE＝DC，则DE：BD＝1：3，接着证明△BDE∽△BAC，利用相似比和比例的性质得到AB＝3AC＝6，则根据勾股定理可计算出BC＝8，于是得到CD＝2，AD＝2，然后证明△ACD∽△AFB，利用相似比可计算出BF＝2，从而得到EF的长．
【解答】（1）证明：连接DE，如图，
∵BD为直径，
∴∠DBF＝∠DEB＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，
∴∠4＝∠ABF，
∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，
∴∠6＝∠ABF，
∴EF＝BF；
（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵CD：BD＝1：3，
∴DE：BD＝1：3，
∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝3，
∴AB＝3AC＝3×2＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴CD＝BC＝2，
∴AD＝＝2，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，
∴△ACD∽△AFB，
∴＝，即＝，
∴BF＝2，
∴EF＝2．
23．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．
①当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
②商家第二个月决定继续捐款支持抗疫，捐款方式变为每卖出一件产品就捐款a元，为使商家线上和线下的月利润最低为700元，则a＝　1　．（直接写出答案）
【分析】（1）根据月销量＝1200﹣月销量减小件数求解．
（2）①根据月利润总和＝线上利润+线下利润列出利润总和与x的关系，解析式化为顶点式求解．
②分类讨论x＝12和x＝24时商家月利润为700时求出a的值．
解：（1）根据题意得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400；
（2）①设线上和线下的月利润总和为w元，则
w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10）
＝500x﹣6000+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100x2+3900x﹣30000，
＝﹣100（x﹣）2+8025，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，且x为整数，
∴当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，
∴当x为19或20时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为8000元；
②设商家线上和线下的月利润总和为w元，
根据题意得，w＝500（x﹣2﹣10﹣a）+（x﹣10﹣a）（﹣100x+2400），
即w＝﹣100x2+（3900+100a）x﹣30000﹣2900a，
∵﹣100＜0，抛物线开口向下，
∴x＝＝，
当x＝12，w取最小值为700时，700＝﹣100×122+12×3900+12×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝1，
此时抛物线对称轴为直线x＝＝20，
20﹣12＞24﹣20，满足题意．
当x＝24，w取最小值为700时，700＝﹣100×242+3900×24+24×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝10.6，
此时抛物线对称轴为直线x＝＝24.8，
24.8﹣24＞24.8﹣12，不满足题意．
故答案为：1．
24．在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．动点P从点A出发以2.5cm/s的速度沿折线A一B一C的路线向终点C运动．过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，点Q关于点O的对称点为M，过点P，Q，M作⊙I．设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，求AQ和PQ的长．
（2）当P为AB中点时，请判断点B与⊙I的位置关系，并说明理由．
（3）在点P的整个运动过程中．
①当t为何值时，⊙I经过点B．
②当t＝　4或　时，⊙I与边AB相切．
【分析】（1）利用菱形的性质及勾股定理求出OA、OB、AB的长度，根据题意求出AP的长度，再利用相似三角形的判断与性质即可求出AQ和PQ的长度；
（2）利用菱形的性质、对称的性质求出⊙I的半径和IB的长度，通过比较即可判断出点B与⊙I的位置关系；
（3）①根据题意先表示出OQ和OI的长度，进而表示出半径r，求出BI的长度，利用BI＝r，列出方程，解方程即可求出t的值；
②⊙I与AB相切，则与AC也相切，对出切点为P，求出BP的长，表示出r，由①得出r，进而得出方程，解方程即可得出t的值．
解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝×16＝8，BO＝BD＝×12＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP＝∠AOB＝90°，
∵∠QAP＝∠OAB，
∴△AQP∽△AOB，
∴，
当t＝1时，AP＝2.5×1＝2.5，
∴，，
∴AQ＝2，PQ＝1.5；
（2）如图2，
点B在⊙I外，理由如下：
连接PM交OB与点I，
当P为AB中点时，
OQ＝AO＝×8＝4，PQ＝BO＝×6＝3，
∵点Q关于点O的对称点为M，
∴QM＝2OA＝2×4＝8，
∵PQ⊥OA，
∴PM为⊙I的直径，I为圆心，PM＝＝＝，
∴⊙I的半径r＝，
∵O是QM的中点，I是PM的中点，
∴OI是△MQP的中位线，
∴OI＝PQ＝×3＝，
∴IB＝OB﹣OI＝6﹣＝＞r，
∴点B在⊙I外．
（3）①∵OQ＝AO﹣AQ＝AO﹣，
OI＝，
∴r＝，
BI＝OB﹣OI＝6﹣，
若⊙I经过点B，则BI＝r，
∴BI2＝r2，
∴t2﹣32t+64＝（6﹣t）2，
∴4t2﹣23t+28＝0，
解得：t＝4或t＝，
∴当t为4或时，⊙I经过点B；
②r＝，
∵⊙I与AB相切，
∴⊙I与AC也相切，与AB的切点为P，则BP＝AB﹣AP＝10﹣2.5t，
∵r＝，
∴，
∴，
解得：t＝4或t＝，
∴当t＝4或t＝时，⊙I与边AB相切，
故答案为：4或．