2021-2022学年河北省张家口市宣化区八年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年河北省张家口市宣化区八年级（上）期末数学试卷（人教版）
一、选择题（本大题共12小题，共24.0分）
要使分式有意义，则的取值范围是
A. B. C. D.
已知点与点关于轴对称，那么的值为
A. B. C. D.
下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是
A. 一个锐角和一条斜边分别对应相等
B. 两条直角边分别对应相等
C. 一条直角边和斜边分别对应相等
D. 两个锐角分别对应相等
化简的结果是
A. B. C. D.
如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为
A. B. C. D.
在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形把余下的部分剪拼成一个矩形如图通过计算图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是
A. B.
C. D.
如图，在中，，，是上一点将沿折叠，使点落在边上的处，则等于
A.
B.
C.
D.
若，，则的值是
A. B. C. D.
甲乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了小时．设原来的平均速度为千米时，可列方程为
A. B. C. D.
已知，为实数，且，，设，，则，的大小关系是
A. B. C. D. 无法确定
在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，那么等于
A. B. C. 或 D. 或
如图，在中，，，，，平分，点、分别为、上的动点，则的最小值是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
是完全平方式，则______．
若，，，为正整数，则______．
如图，在中，平分，于点，交于点，若，则______．
若关于的分式方程的解为正数，那么字母的取值范围是______．
如图，等边，为延长线上一点，在边上，且，连接交于点，连接，若，的面积为，则______．
已知：如图，在和中，，，，连接，，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：；；；其中正确的是______只填序号
三、计算题（本大题共3小题，共26.0分）
计算：
因式分解：；
先化简，再求值：，其中，．
化简：
解分式方程：．
四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
如图，，，，点在线段上．
求证：≌；
求的度数．
一项工程，甲，乙两公司合作，天可以完成，共需付施工费元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少元．
甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
阅读材料，要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得：这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有：这种方法称为分组法．
尝试填空：
______；
解决问题：因式分解；
拓展应用：已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
如图，在直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限，且，，点在线段上，，的延长线与的延长线交点，与交于点．
求点的坐标；提示：过点作轴的垂线
判断线段与线段之间的位置关系和数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，，
解得：，
故选：．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点关于轴的对称点的坐标是．
3.【答案】
【解析】解：、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用边角边或判定两三角形全等，不符合题意；
D、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意．
故选：．
根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】
解：原式．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用三角形的外角性质和等腰三角形的性质得出关系．求出关系，利用三角形的内角和是，求，
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，，
，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【解答】
解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考察了三角形内角和定理及翻折变换的性质根据三角形内角和定理求出，再根据翻折变换的性质计算即可．
【解答】
解：，
由折叠的性质可知，
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】
解：，，
原式．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：设原来的平均速度为千米时，
由题意得，．
故选：．
设原来的平均速度为千米时，高速公路开通后平均速度为千米时，根据走过相同的距离时间缩短了小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知：
，
故选：．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
11.【答案】
【解析】解：如图，垂直平分，
，
，
，
；
如图，垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：．
分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答．
此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
12.【答案】
【解析】解：取点关于的对称点．
平分，
点在上．
点与点关于对称，
．
．
当时，有最小值，即有最小值．
，，，，
，即，解得．
故选：．
取点关于的对称点，由轴对称图形的性质可知，从而得到，当点、、在一条直线上且时，有最小值，最后利用面积法求得的值即可．
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、垂线段最短的性质，将转化为的长是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：中间一项为加上或减去和的积的倍，
故．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和的积的倍，故．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键，属于中档题．
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】
解：，
则．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：延长交的延长线于点，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
故答案为：．
延长交的延长线于点，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】且
【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且，
故答案为：且，
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．
17.【答案】
【解析】解：过点作，与的延长线交于点，过点作于点，如图，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
的面积为，
，即，
．
故答案为．
过点作，与的延长线交于点，过点作于点，证明是等边三角形，再证明≌，得，进而证明，得，再根据三角形的面积公式求得．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形．
18.【答案】
【解析】解：，
，即，
在和中，
，
≌，
，故正确；
为等腰直角三角形，
，
，
，
，故错误；
，
，故正确；
≌，
，
，
，
，
则，故正确；
综上所述，正确的结论有个．
故答案为：．
由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出≌，由全等三角形的对应边相等得到；
由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到；
根据周角的定义即可判断；
由≌得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于；
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
，
当，时，
原式
．
【解析】利用平方差公式和提取公因式的方法进行因式分解；
利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键．
20.【答案】解：原式
．
【解析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
21.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌；
解：由得：≌，
，
，
．
【解析】求出，由证明≌即可；
由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，再由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，证明≌是解题的关键．
23.【答案】解：设甲公司单独完成此项工程需天，则乙公司单独完成此项工程需天．
根据题意，得，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意．
，
故甲公司单独完成此项工程需天，乙公司单独完成此项工程需天；
设甲公司每天的施工费为元，则乙公司每天的施工费为元，
根据题意得，解得，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：元；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：元，
故甲公司的施工费较少．
【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解．
设甲公司单独完成此项工程需天，则乙工程公司单独完成需天，根据合作天完成列出方程求解即可．
分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．
24.【答案】
【解析】解：；
故答案为：；
；
结论：是等边三角形．
理由：，
，
，，
，，
，
是等边三角形．
利用分组分解法因式分解即可；
利用分组分解法因式分解即可；
利用分组分解法因式分解，再利用非负数的性质证明即可．
本题考查了分组分解法，非负数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握分组分解法，属于中考常考题型．
25.【答案】解：过点作轴于点，如图所示：
点，，
，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为．
，，理由如下：
由得：≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】过点作轴于点，由证明≌，得，，则，即可得出答案；
由全等三角形的性质得，，则，得，再证是等腰直角三角形，则，得，，然后证≌，得即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定由型在，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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