28.1.2垂径定理
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课件35张PPT。28章1.2垂径定理2012.12？1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？圆是中心对称图形，圆心是对称中心一、温故知新问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题情境如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活 动 一（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2） 线段： AE=BE·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言表达下列图形是否具备垂径定理的条件？深化：垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BE思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？如图:AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM垂径定理的推论连接OA,OB,则OA=OB.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO= ∠ BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（1）
（4）
（5）（2）
（3）（1）
（5）（2）
（3）
（4）讨论（1）
（3）（2）
（4）
（5）（1）
（4）（2）
（3）
（5）（1）过圆心（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧（3）
（5）（3）
（4）（1）
（2）
（5）（2）
（4）（1）
（3）
（5）（2）
（5）（1）
（3）
（4）（1）
（2）
（4）（4）
（5）（1）
（2）
（3）每条推论如何用语言表示？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…九条推论根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论结论一、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分 一、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是。2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 二、填空：3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。8cm1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。二、填空：4、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
5、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.第1题图第2题图24H6、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ .2cm或14cm选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）
A、3 B、2 C、1 D、01．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE再来！你行吗？解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt △ AOE 中 2、已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD⌒⌒你能讲解吗？夹在两条平行弦间的弧相等.你能有一句话概括一下吗？小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。体会.分享说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！！！圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论、知识盘点垂径定理与推论的应用例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。讲解在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°, 那么弦AB的弦心距是 . 圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距。问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题情境解得：R≈27．9（m）解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2实践应用7.218.7如图，弓形ABC中，弦AC的长为8厘米，弦的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，
求圆的半径。练习ABCDOx42x-2小 结１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
常用辅助线:
垂直于弦的直径谢谢欣赏
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活 动 一（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2） 线段： AE=BE·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言表达下列图形是否具备垂径定理的条件？深化：垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BE思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？如图:AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM垂径定理的推论连接OA,OB,则OA=OB.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO= ∠ BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（1）
（4）
（5）（2）
（3）（1）
（5）（2）
（3）
（4）讨论（1）
（3）（2）
（4）
（5）（1）
（4）（2）
（3）
（5）（1）过圆心（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧（3）
（5）（3）
（4）（1）
（2）
（5）（2）
（4）（1）
（3）
（5）（2）
（5）（1）
（3）
（4）（1）
（2）
（4）（4）
（5）（1）
（2）
（3）每条推论如何用语言表示？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…九条推论根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论结论一、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分 一、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是。2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 二、填空：3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。8cm1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。二、填空：4、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
5、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.第1题图第2题图24H6、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ .2cm或14cm选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）
A、3 B、2 C、1 D、01．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE再来！你行吗？解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt △ AOE 中 2、已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD⌒⌒你能讲解吗？夹在两条平行弦间的弧相等.你能有一句话概括一下吗？小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。体会.分享说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！！！圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论、知识盘点垂径定理与推论的应用例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。讲解在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°, 那么弦AB的弦心距是 . 圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距。问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题情境解得：R≈27．9（m）解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2实践应用7.218.7如图，弓形ABC中，弦AC的长为8厘米，弦的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，
求圆的半径。练习ABCDOx42x-2小 结１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
常用辅助线:
垂直于弦的直径谢谢欣赏