8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(共22张PPT)

(共22张PPT)
第八章
8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.
2.能用公式解决简单的实际问题.
课标要求
素养要求
在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算和直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
点睛
多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和.
各个面
各个面
对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.　　　
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝______.
Sh
1.思考辨析，判断正误
×
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )
(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( )
×
×
(2)棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.
(3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.
B
解析　由6a2＝96，得a＝4.
∴正方体的体积V＝a3＝64.
3.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)
A.22 B.20 C.10 D.11
解析　长方体的表面积S表＝2(1×2＋1×3＋2×3)＝22.
A
4.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　求棱柱、棱锥或棱台的表面积
【例1】　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.
解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
1.求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.
2.棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
思维升华
【训练1】　已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.
解　如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴BC＝PE.
S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
【例2】　正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积.
题型二　求棱柱、棱锥、棱台的体积
解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝13 cm.
∴该正四棱台的体积为
1.直接法求几何体的体积，关键是弄清几何体的结构类型，准确求出底面积和高.
2.(1)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
思维升华
【训练2】　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
解　由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
【例3】　一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)
题型三　求组合体的表面积和体积
解　将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
思维升华
【训练3】　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
解　法一　设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，
则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，
法二　已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
1.空间几何体的表面积问题一般是先分解、转化为各个面的面积之和，注意利用侧面展开图，将空间问题平面化，有时候“还台为锥”也是不错的想法.
2.多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和.
3.对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：
(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
(2)求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”.
课堂小结