8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(共28张PPT)

(共28张PPT)
第八章
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.知道圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积的计算公式.
2.能用公式解决简单的实际问题.
课标要求
素养要求
在计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算和直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝____________________
πr2
2πrl＋2πr2
圆锥 底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝________________
圆台 上底面面积：S上底＝____________
下底面面积：S下底＝__________
侧面积：S侧＝__________________
表面积：S＝________________
πr2
πrl＋πr2
πr′2
πr2
πl(r＋r′)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
3.球的表面积与体积公式
4πR2
1.思考辨析，判断正误
(1)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.( )
(2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.( )
(3)求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.( )
(4)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( )
提示　(2)设圆柱的底面圆的半径为r，所以圆柱的侧面展开图的相邻两边长分别为2πr，2r，二者不相等，故侧面展开图不是正方形.
(4)两球的体积之比V1∶V2＝r∶r＝1∶8.
√
×
√
×
C
A
C
课堂互动
题型剖析
2
题型一　求圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】　(1)若圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________.
解析　如图所示，
(2)若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________，表面积为________.
5
80π
解析　设圆台的母线长为l，则由题意得
π(2＋6)l＝π×22＋π×62，
∴8πl＝40π，∴l＝5，
∴该圆台的母线长为5.
圆台的表面积为
S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62
＝40π＋4π＋36π
＝80π.
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤，解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加.
思维升华
解析　设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l.
A
【例2】　设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.
题型二　求圆柱、圆锥、圆台的体积
21π
解析　设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，
又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，
＝21π.
∴圆台的体积为21π.
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
思维升华
D
题型三　球的表面积和体积
∴AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形.
∴平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆.
由已知球心O与截面圆圆心的距离为4，
1.公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
2.两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
思维升华
解析　设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1.
则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.
在Rt△OO1A中，
B
题型四　求组合体的表面积和体积
【例4】　如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.
所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，
求组合体的表面积和体积.首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的，组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差).
思维升华
解析　∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，
B
1.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解.
2.圆柱、圆锥、圆台的体积和侧面积之间的关系
(1)体积之间的关系
课堂小结
3.计算球的表面积、体积的关键是求出球的半径.在解决有关球的截面问题时，要注意截面性质的应用.
4.在解决与球有关的组合体问题时，要注意切、接性质不同，有时也根据组合体的几何性质作出截面，把关键量转化到一个平面上来处理.