2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3正弦定理课件 (共16张PPT)

(共16张PPT)
6.4.3 正弦定理和余弦定理二
正弦定理
余弦定理及其推论：
利用余弦定理可以解决的问题：
1、已知两边和夹角求第三边。
2、已知三边求三角。
c2=a2+b2 - 2abcosC
a2=b2+c2 - 2bccosA
b2=c2+a2 - 2cacosB
复习：
我们知道: 三角形中: 大角对大边, 大边对大角.
那么三角形中,一个角与它的对边长度是否存在更精确的定量关系
课题引入:
A
c
b
a
C
B
C
B
A
a
b
c
先考察Rt△ABC
此结论在斜三角形ABC中也成立吗
思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形，
钝角三角形两种情况分析.
思考：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？
证明：
过A作单位向量
垂直于
∴ asinC=c sinA.
同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得
B
C
A
则
两边同乘以单位向量
O
A
B
C
b
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
＝ ＝
a
sinA
b
sinB
c
sinC
＝2R.
=2R
b
sinB
O
A
B
C
b
O
b
A
B
C
B`
B`
正弦定理的变式：　　
例1 在 中，已知
, 求b.
解：∵ 且
正弦定理的应用
题型一(ASA, AAS):
已知两角和任意一边, 解三角形, 解唯一.
A
C
B
c
b
----已知元素为一对半.
题型二(SSA):已知两边和其中一边的对角,解三角形
解:(1)由正弦定理:
∴Ｂ＝60°,
或B＝120°
当 时,
Ｂ=60°
C=90°
C=30°
例2.(1) 已知a=16，b= ，A=30 .解三角形.
当Ｂ=120°时,
B
16
300
A
B
C
16
3
16
注意:已知SSA, 解三角形, 有一解, 两解, 或无解3种情况.
(2) 已知a=16，b= ，A=60 .解三角形.
解:(2)
∴B为锐角
总结: (1) 所求角为小边对角，必为一解
(1)当b ≤ a时，
探究: 已知a，b，A，求B时解的个数情况.
求B只有一解.
(2)当b> a时，
①若A ≥ 90°，求B无解；
②若A< 90°，
(2) 所求角为大边对角，已知角必须锐角，
解的个数算了再说.
用正弦定理判定(SSA) 解的个数: 先求另一对角正弦值是否在(0, 1)内, 再看它是大角还是小角.
注意:已知SSA, 可用正弦定理求对角,
也可用余弦定理求第三边.
思考：前面已用正弦定理解决, 还有别的方法吗？
舍去负根
例2.(1) 已知a=16，b= ，A=30 .解三角形.
(2) 已知a=16，b= ，A=60 .解三角形.
三角形有两解.
三角形有一解.
正弦定理：
利用正弦定理可以解决的问题：
1、已知三角形的任意两角与一边，解三角形。
2、已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形。
小结
正弦定理
变式：　　
3、判定三角形(SSA)解的个数：
正弦定理: 先求另一对角正弦值是否在(0, 1)内, 再看它是大角还是小角.
余弦定理: 看第三边的方程的正根个数.
1
1. 在△ABC中，已知 A=750 ，B= 450 ，
c= ，求a ， b
练习:
2.根据下列条件, 判断三角形解的个数
(1)b=13，a=26，A=30°.
练习:
(2)b=26，a=13，A=30°.
所求B为锐角, 一解
所求B为大边对角,
(3)b=20，a=13，A=30°.
二解
(4)b=30，a=13，A=30°.
无解
(5)b=10，a=13，A=120°.
钝角对边为大边, 一解
(6)b=20，a=13，A=120°.
钝角对边为小边, 无解
一解
所求B为大边对角,
所求B为大边对角,
aa=bsinA
bsinAa b
a b
a>b
无解
一解
两解
一解
无解
一解
A
C
条件
图形
解的
个数
总结:
A
C
B
B
C
A
A
C
D
B2
B1
C
A
D
A
B
C
D
A
B
b
C
.
bsinA
步骤: 1.作出角A
2.描出第三顶点C
3.作出并求出点C上高bsinA
4.以C为圆心, A对边为半径作弧,分析与C的对边交点个数.
a=bsinA
或a≥b.