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北师版数学七年级下3.2用关系式表示的变量间关系教案
课题 3.2用关系式表示的变量间关系 单元 3 学科 数学 年级 七
学习 目标 1. 根据具体情况，能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系，能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值。 2. 经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感.
重点 通过用关系式表示变量之间的关系，体会变量之间的数值对应关系
难点 根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【填一填】 2012年1﹣12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是 ，因变量是 ；当自变量等于 时，因变量的值最小． 学生回答问题月份 价格 9,10。 回顾上节课概念，进行填空。
讲授新课 如图，△ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三 角形的面积y（cm2）可以表示为________. （3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角 形的面积从_____cm2变化到_____cm2. 【想一想】y=3x表示的是什么？ y=3x表示了三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式，如y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值. 注意：关系式是一个等式；通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边。 【拓展提高】 求变量之间关系式的“三途径” 1.根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的关系式。 2.利用公式写出两个变量之间的关系式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等。 3.结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如销量×（售价-进价）=利润等。 【想一想】 圆锥的面积公式是什么？ 说一说：公式中的字母分别表示什么？ 【做一做】 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径 由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果圆锥底面半径为 r（cm），那么圆锥的 体积V（cm3）与r的关系式为________. （3）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由 cm3变化到 cm3 . 【议一议】 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活” 是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低 碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种方式. （1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为_____________，其中的字母分别表示 ______________________________. （2）在上述关系式中，耗电量每增加1 KW·h，二氧化碳排放量增加___________.当耗电量从1 KW·h增加到100KW·h时，二氧化碳排放量从_________增加到_________. （3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量. 家居用电的二氧化碳： 110×0.785=86.35（kg） 开私家车的二氧化碳： 75×2.7=202.5（kg） 家用天然气的二氧化碳： 20×0.19=3.8（kg） 家用自来水的二氧化碳： 5×0.91=4.55（kg） 【思考】 列表与列关系式表示变量之间的关系各有什么特点？ 通过列表格，可以较直观地表示因变量随自变量变化而变化的情况。 通过关系式，可以根据一个因变量的值求出相应的因变量的值。 三角形的底边长度是自变量， （1）三角形的面积是因变量. （2）y=3x （3）36，9 学生在教师的引导下总结归纳因变量和自变量的关系。 在教师的引导下总结归纳。 （1）圆锥的底面半径的长度是自变量， 圆锥的体积是因变量. （2） （1）y=0.785x 二氧化碳排放量 耗电量 （2）0.785kg 0.785kg 78.5kg 学生思考回答问题。 先直观感受三角形面积的变化，为下一环节的探究作了铺垫。 学生都能说出三角形的面积和三角形的底边长和高有关系，在多媒体的演示下，学生都能感受三角形（高一定）面积随着边长的改变而改变。 运用表格填写具体的数据，让学生体会到自变量和因变量的数值对应关系，通过对三角形的面积和底边的变化规律的探索，让学生体会到 “关系式”表达变量间的变化关系的优势，形象直观的多媒体动画“机器图”，更让学生联想到关系式好比数字处理器。 通过填表，学生了解了表示变量之间关系的另一种方法：关系式，同时体会了这种表示方法的特点：根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。 组织、引导学生探究“问题变式”，鼓励学生归纳总结“问题变式”的学习体会，注意学生的学习过程对于学生在探索的过程中给予肯定性的评价。 教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.
课堂练习 1．下列各式中，y不是x的函数关系的是( ) A．y＝x B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝±x 2．如图所示，长方形的长和宽分别为8cm和6cm，剪去一个长为xcm(0＜x＜8)的小长方形(阴影部分)后，余下另一个长方形的面积S(cm2)与x(cm)的关系式可表示为( ) A．s＝6x B．s＝8(6－x) C．s＝6(8－x) D．s＝8x 3．一根蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的长度y(厘米)与燃烧时间x(小时)的关系式可以表示为 . 4.某商店进了一批货，每件3元出售时每件加价0.5元，如果售出x件应收入货款y元，那么y(元)与x(件)的关系式是 . 5.已知水池中有800立方米的水,每小时抽50立方米. (1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的关系式; (2)6小时后,池中还有多少水 (3)几小时后,池中还有200立方米的水 6.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积V(cm3)随之发生变化. (1)在这个变化中，自变量和因变量各是什么？ (2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式. 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 1．用关系式表示变量间关系 2．表格和关系式的区别与联系： 表格能直接得到某些具体的对应值，但不能直接反映变量的整体变化情况；用关系式表示变量之间的关系简单明了，便于计算分析，能方便求出自变量为任意一个值时，相对应的因变量的值，但是需计算．
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3.2用关系式表示的变量间关系
北师大版 七年级下册
2012年1﹣12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是 ，因变量是 ；当自变量等于 时，因变量的值最小．
月份
价格
9,10
复习导入
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均价格（元/kg） 3.3 3.4 3.4 3.5 3.4 3.2 3.0 2.9 2.8 2.8 2.9 3.0
决定一个三角形面积的因素有哪些？
a
h
S =ah
探究新知
如图，三角形ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C 沿底边所在的直线向点B 运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
三角形的底边长度是自变量，
三角形的面积是因变量.
新知讲解
（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三
角形的面积y（cm2）可以表示为________.
y=3x
（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角
形的面积从_____cm2变化到_____cm2.
9
36
新知讲解
y=3x 表示了____________________和__________之间的关系，它是变量 随 变化的关系式。
三角形底边边长 x
面积 y
y
x
归纳总结
根据三角形的底边长为 x（cm）和三角形的面积 y（cm2）的关系式 y = 3x 填表：
x(cm) 3 4 5 6 7 8
y(cm2)
9
12
15
18
21
24
通过填表、探究，你能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？
想一想
3x
含自变量代数式
因变量
系数为1
=
y
因变量要单独写在等式的左边
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.
利用关系式，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.
12
36
9
27
6
18
3
9
新知讲解
用来表示自变量和因变量之间关系的等式叫做关系式
要点精析：
关系式的基本特征是：
①等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式；
②等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他的量都是常量；
③自变量可在允许的范围内任意取值．
归纳要点
圆锥的面积公式是什么？
说一说：公式中的字母分别表示什么？
想一想
如图，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
在这个变化过程中，自变量是_______________ 因变量是_______________.
圆锥的底面半径
圆锥的体积
做一做
(2)如果圆锥底面半径为 r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与 r 的关系式是____________.
(3)当底面半径由 1 cm 变化到 10cm 时，圆锥的体积由______cm3 变化到______cm3.
做一做
求两个变量之间的关系式常用的方法：
(1)利用公式：如图形的周长公式、面积公式、体积公式等；
(2)利用生活中特定的数量关系，如行程问题中“路程＝时间×速度”，销售问题中“销售额＝单价×数量”等；
(3)根据表格与图象中的信息列关系式(这种方法以后会学习)等．
归纳要点
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种方式。
议一议
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为_____________，其中的字母表示______________________________________.
y = 0.785x
耗电量（x）和二氧化碳排放量（y）
（2）在上述关系式中，耗电量每增加 1 kW·h，二氧化碳排放量增加_________ .当耗电量从 1 kW·h 增加到100 kW·h 时，二氧化碳排放量从 增加到 .
0.785 kg
0.785 kg
78.5 kg
议一议
家居用电的二氧化碳：
110×0.785=86.35（kg）
开私家车的二氧化碳：
75×2.7=202.5（kg）
家用天然气的二氧化碳：
20×0.19=3.8（kg）
家用自来水的二氧化碳：
5×0.91=4.55（kg）
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
议一议
1．下列各式中，y不是x的函数关系的是( )
A．y＝x B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝±x
2．如图所示，长方形的长和宽分别为8cm和6cm，剪去一个长为xcm(0＜x＜8)的小长方形(阴影部分)后，余下另一个长方形的面积S(cm2)与x(cm)的关系式可表示为( )
A．s＝6x B．s＝8(6－x) C．s＝6(8－x) D．s＝8x
D
C
课堂练习
3．一根蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的长度y(厘米)与燃烧时间x(小时)的关系式可以表示为 .
4.某商店进了一批货，每件3元出售时每件加价0.5元，如果售出x件应收入货款y元，那么y(元)与x(件)的关系式是 .
y=20－5x(0≤x≤4)
y＝3.5x
课堂练习
5.已知水池中有800立方米的水,每小时抽50立方米.
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的关系式;
(2)6小时后,池中还有多少水
(3)几小时后,池中还有200立方米的水
解：(1)Q=800-50t(0≤t≤16).
(2)当t=6时,Q=800-50×6=500(立方米).
(3)当Q=200时,800-50t=200,解得t=12.
所以12小时后,池中还有200立方米的水.
课堂练习
6.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积V(cm3)随之发生变化.
(1)在这个变化中，自变量和因变量各是什么？
(2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式.
自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积.
V==πh.
课堂练习
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式，如 y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
课堂总结
基础作业：
课本P67练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P68练习第2、3题
作业布置
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