9.1 三角形
第3课时
教学目标
【知识与技能】
1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.
2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
【过程与方法】
联系三角形外角和内角的定义、邻补角的性质，探索三角形的外角的两条性质和三角形的外角和.
【情感态度】
结合实践与应用，充分感受三角形外角的性质，体会三角形的外角和它不相邻两个内角之间的关系转化.
教学重难点
【教学重点】
掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
【教学难点】
三角形角的有关计算.
课前准备
课件
教学过程
一、情境导入，初步认识
1.什么叫三角形的外角？三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系？
2.三角形的内角和等于多少
【教学说明】对前面的知识进行复习，为本节课作准备.
二、思考探究，获取新知
1.我们都知道三角形的内角和为180°，那么，你能用几何知识进行证明吗？如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明：∠1+∠2+∠3=180°.
解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD∥BA∵CD∥BA∴∠1=∠ACD∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°∴∠1+∠2+∠3=180°
2.你能根据三角形的内角和计算出直角三角形的两个锐角的度数和吗？
【归纳结论】三角形的内角和等于180°；直角三角形的两个锐角互余.
3.如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.
三角形的外角与内角有什么关系呢？
很显然：∠CBD（外角）+∠ABC（相邻内角）=180°
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
∵∠CBD+∠ABC=180°
∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°
∴∠CBD=∠ACB+∠BAC
【归纳结论】三角形的外角有两条性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
4.与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360°吗？
∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3
又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3-180°＝360°
【归纳结论】三角形的外角和等于360°.
【教学说明】学生亲自动手进行几何证明，使学生三角形的内角和与外角和以及外角的性质掌握的更牢固.
三、运用新知，深化理解
1.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
2.如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列正确的是（）
A.∠2=∠4+∠7
B.∠3=∠1+∠6
C.∠1+∠4+∠6=180°
D.∠2+∠3+∠5=360°
3.若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列哪个不可能是∠B的度数？（ ）
A.37°
B.57°
C.77°
D.97°
4.如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数.
5. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
6.如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE相交于E点，求∠AEC的度数.
6. 如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，求∠BDC的大小.
【教学说明】通过练习，巩固三角形内角与外的有关计算问题.从中总结角的有关计算的规律.
【答案】
1.C
2.C
3.C
4.解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°，
又∠5=180°-∠2=180°-95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°
5.解：如图连接CE，
根据三角形的外角性质得
∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有
∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°.
6.解：设∠BAC=2x°，
则根据三角形外角的性质得：
∠BCF=（2x+31）°，
∵∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，
∴∠EAC=x°，∠ECD=（∠E+x）°，
∵∠ECF是△AEC的外角，
∠ECD=∠ECF,∴∠ECD=∠E+∠EAC，
即：∠E+(∠E+x°）=x°+31°，
解得：∠E=15.5°.
7.解：如图，延长BD交AC于E.
∵DA=DB=DC，
∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°.
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充.
课后作业
1.布置作业:教材第79页“练习”.
2.完成练习册中本课时练习.
五、教学反思
我们常说“实践出真知”，因此，我们在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学生通过动手、动脑，与同学交流合作，大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老师“导”学生“学”.教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获.归纳、对比对于知识的掌握有不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并熟练应用.本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质，却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质.9.1 三角形
第2课时
教学目标
【知识与技能】
1.掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示.
2.掌握三角形的角平分线、中线和高的画法.
【过程与方法】
通过画、折等实践活动操作过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神.学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.
【情感态度】
通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心.
教学重难点
【教学重点】
认识三角形的中线、角平分线、高.
【教学难点】
三角形的中线、角平分线、高的应用.
课前准备
课件
教学过程
一、情境导入，初步认识
已知，在△ABC中，AD是BC边上的高， E是BC的中点.
则△ABE与△ACE的面积相等，你知道为什么吗？
【教学说明】通过问题情境，激发学生好奇心和强烈的求知欲，让学生在生动具体的情境中学习数学.
二、思考探究，获取新知
1.如图所示，过顶点A作△ABC边BC的垂线，垂足为D，线段AD就是△ABC的一条高；
取△ABC边BC的中点E，连结AE，线段AE就是△ABC的一条中线；
作△ABC的内角∠ABC的平分线交AC于点F，线段BF就是△ABC的一条角平分线.
显然，△ABC有三条中线、三条角平分线、三条高.
2.（1）下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.
（2）把锐角三角形换成直角三角形后，试一试.
（3）把锐角三角形换成钝角三角形后，试一试.
【归纳结论】
1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；
2.锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点.
【教学说明】使学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的.
三、运用新知，深化理解
1.三角形的角平分线是（ ）
A.直线
B.射线
C.线段
D.不确定
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC是( )
A.边BB′上的中线
B.边BB′上的高
C.∠BAB′的角平分线
D.以上答案都正确
4.如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，指出图中相等的线段和相等的角.
5.如图，∠ACE=∠BCE,BD=CD，指出图中三角形的特殊线段.
6.如图，把下列条件分别用式子表示出来
(1)AD是△ABC的高；
(2)BE是△ABC的角平分线；
(3)CF是△ABC的中线.
7.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求△ABC各边长.
【教学说明】通过实际问题的解决，让学生多角度、全方位发挥其思维的深度和广度.
【答案】1.C
2.B
3.D
4.解：相等的线段有：AE=CE相等的角有：∠BAD=∠DAC.
5.解：CE是△ABC的角平分线.
AD是△ABC的中线.
ED是△EBC的中线.
CF是△ACD的角平分线
6.解：(1)AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°；
(2)∠ABE=∠CBE=∠ABC，
或∠ABC=2∠ABE=2∠CBE；
(3)AF=BF=AB，或AB=2AF=2BF.
7.解：如图，设AD＝x，则DC＝x，AB＝2x.设BC＝y.
由题意可以列方程：
解之得：x=3，y=2
所以△ABC的三边长分别为：AB＝AC＝2x=6cm，BC＝y=2cm.
四、师生互动，课堂小结
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结.
课后作业
1.布置作业:教材第76页“练习”.
2.完成练习册中本课时练习.
五、教学反思
课堂上通过同学们在画图等实践活动中充分调动学生自主学习的积极性，丰富学生对此内容的体验和理解，同时发展他们的空间观念，从而提高他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦.当学生在探究过程中遇到困难时，教师层层设问，启发诱导，设计适当的铺垫，让学生在通过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不是代替他们思考，并鼓励探究多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获.9.1 三角形
第1课时
教学目标
【知识与技能】
1.了解三角形的基本元素与主要线段.
2.能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法.
3.理解等腰三角形、等边三角形的概念.
【过程与方法】
联系小学已学过的三角形的知识，经历探索三角形基本知识的过程.
【情感态度】
结合实践与应用，充分感受三角形的有关概念，体会三角形按角、按边的分类方法.
教学重难点
【教学重点】
三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念.
【教学难点】
三角形的外角.
课前准备
课件
教学过程
一、情境导入，初步认识
在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题.
【教学说明】使学生明白三角形在生活中的作用，激发学生学习的动力.
二、思考探究，获取新知
1.三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.
2.如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C或K、L、M等表示，整个三角形表示为△ABC或△KLM(参照顶点的字母).
3.如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.
思考：(1)一个三角形（如△ABC）有多少个内角？多少个外角？
答：三个内角，表示为∠ABC,∠ACB,∠BAC六个外角（三对）.(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？
答：两个，是一对对顶角.
4.如图，三个三角形的内角各有什么特点？
(1)中：三个内角均为锐角；
(2)中：有一个内角是直角；
(3)中：有一个内角是钝角.
那么三角形按角来分，应如何分类？
【归纳结论】三角形按角可以分为：
所有内角都是锐角——锐角三角形；
有一个内角是直角——直角三角形；
有一个内角是钝角——钝角三角形.
5.如图，三个三角形的边各有什么特点？
(1)中：三角形的三边互不相等；
(2)中：三角形有两条边相等；
(3)中：三角形的三边都相等.
【归纳结论】我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形).
【教学说明】通过探究、观察、总结得出三角形的相关元素及三角形的分类.
三、运用新知，深化理解
1.如图，三角形有 个，它们是 ，∠ACD是△ 的内角且是△ 的外角，△ 和△ 是钝角三角形.
2.10个点如图所示那样放着，把这些点作为三角形的顶点，可以作多少个正三角形？
3.看图填空
(1)图中有△ABC、△ABE和 、 、；
(2)点B是△ABC和 、 、 的公共顶点，∠A是△ABC和 的公共角，BC是△ABC和 、 的公共边.
4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：
锐角三角形（ ）；
直角三角形（ ）；
钝角三角形（ ）.
【教学说明】对本章知识进行复习巩固.
【答案】1.6个，△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE，ACD和ACE，ABC，ABC,ADE.
2.13个
3.（1）△EBC、△ECD、△BCD，
(2) △ABE、△EBC、△BCD，△ABE，△EBC，△BCD.
4.(3)、(5);（1）、（4）、（6）；（2）、（7）
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充.
课后作业
1.布置作业:教材第82页“习题9.1”中第1题.
2.完成练习册中本课时练习.
五、教学反思
教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步.而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同.这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步.从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题.所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率.9.1 三角形
第4课时
教学目标
【知识与技能】
1.掌握和理解三角形三边的关系.
2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.
【过程与方法】
联系三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，探索三角形的三边之间的不等量关系.
【情感态度】
结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系，体会三角形的稳定性.
教学重难点
【教学重点】
三角形任何两边之和大于第三边的应用.
【教学难点】
已知三角形的两边求第三边的范围.
课前准备
课件
教学过程
一、 情境导入，初步认识
警察抓劫匪（一名罪犯实施抢劫后，经AB—BC的路线往山上逃窜.警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶，终于在山顶将罪犯捉拿归案.）
警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？（学生各抒已见.）
引入：警察的追击路线和罪犯的逃跑路线正好围成了一个三角形，那么警察能在这么短的时间内抓到罪犯，是不是与三角形的三条边有关系呢？是不是任意的三条线段都能围成一个三角形呢？今天我们就通过实际操作，分组讨论来研究三角形三条边之间的关系.
【教学说明】创设情境，激发学生探究知识的欲望.
二、思考探究，获取新知
探究1 画一个三角形，使它的三条边分别为:4cm,3cm,2.5cm.
画法步骤如下：
(1)先画线段AB=4cm；
(2)以点A为圆心，3cm长为半径画圆弧；
(3)再以B为圆心，2.5cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；
(4)连接AC、BC.
△ABC就是所要画的三角形.
这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等.
探究2 现有长2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长.你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？
【归纳结论】三角形的任意两边的和大于第三边.
你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？
探究3 用3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？
用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？
【归纳结论】如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形稳定性.四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.
你还能列举生活中哪些地方用到了三角形的稳定性，哪些地方用到了四边形的不稳定性吗？
【归纳结论】教师有意设置这些动手操作，共同探讨的活动，既满足了学生的这种需要，又让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识，体验到了成功.
三、运用新知，深化理解
1.三条线段的长度分别为：
(1)3cm、4cm、5cm (2)8cm、7cm、15cm
(3)13cm、12cm、20cm (4)5cm、5cm、11cm
能组成三角形的有（ ）组.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可 构成三角形的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
C.4个4.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )
A.9
B.12
C.15
D.12或15
5.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是 .若x是奇数，则x的值是 ，这样的三角形有 个；若x是偶数，则x的值是 ，这样的三角形有 个.
6.已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
7.已知等腰三角形的两边长分别为 4,9,求它的周长.
8.如图，在△ABC内有一点D，试说明AB+AC＞BD+DC.
【教学说明】通过练习及解决课前问题，进一步提高学生知识应用的能力.
【答案】
1.B
2.B
3.B
4.C
5.16.解：根据三角形三边的关系可知，
3<第三条边<11
所以三角形的周长大于：4+7+3
三角形的周长小于：4+7+11
即，三角形的周长的取值范围是大于14 cm小于22 cm.
7.解：因为三角形是等腰三角形，
所以，当腰长为4时，三角形的三边分别为：4、4、9，
而4+4<9
所以不能构成一个三角形，应舍去.
当腰长为9时，三角形的三边分别为：9、9、4，
4+9>9
所以能构成一个三角形.即周长为22.
8.解：如图延长线段BD交AC于点E，
在△ABE中，AB+AE＞BE. ①
在△DEC中，DE+EC＞DC. ②
由①+②得，
AB+AE+EC+DE＞BD+DE+DC，即AB+AC＞BD+DC.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
1.布置作业:教材第82页“练习”.
2.完成练习册中本课时练习.
五、教学反思
课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获.
