鲁教版数学七年级下册 8.6三角形内角和定理 第2课时 课件 (共24张PPT)

(共24张PPT)
5 三角形内角和定理
第2课时
1.证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 执“果”索“因”.);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
△ABC中,∠A+∠B+∠C= 180°.
∠A+∠B+∠C= 180°的几种变形:
∠A= 180°–(∠B+∠C).
∠B= 180°–(∠A+∠C).
∠C= 180°–(∠A+∠B).
∠A+∠B= 180°-∠C.
∠B+∠C= 180°-∠A.
∠A+∠C= 180°-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
A
B
C
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其他角有什么关系
∠1+∠4=180°；
∠1>∠2；
∠1>∠3；
∠1=∠2+∠3.
A
B
C
D
1
2
3
4
证明:∵∠2+∠3+∠4=180° (三角形内角和定理),
∠1+∠4=180° (平角的定义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
用文字表述为:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
在这里,我们通过三角形的内角和定理
直接推导出两个新定理.像这样,由一
个基本事实或定理直接推出的定理,
叫做这个基本事实或定理的推论.
推论可以当做定理使用.
三角形内角和定理的推论:
定理: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
定理: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
A
B
C
D
1
2
3
4
A
B
C
D
1
2
3
4
△ABC中:
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
这个结论以后可以直接运用.
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,
∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”
或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),
∴∠C= ∠EAC(等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
A
C
D
B
E
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
【例题】
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,
∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”
或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明:推理可得:
∠DAC=∠C (已证),
∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).
∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
总结
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
A
C
D
B
E
例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上一点,延
长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
C
A
B
F
1
3
4
5
E
D
2
【例题】
证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知),
∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠1>∠2(不等式的性质).
把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项转化为一种方法.
A
B
C
D
1.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求:∠B和∠ACB的大小.
【跟踪训练】
【解析】∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∠DCA=100°(已知),
∠A=45°(已知),
∴∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角定义).
∴∠ACB=80°(等式的性质).
2.已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.
A
B
C
D
E
F
1
H
2
【解析】 ∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),
∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),
∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式的性质).
3.已知:如图所示. 求证:∠BDC>∠A.
证明:(1)∵ ∠BDC是△DCE的一个外角
(外角定义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BDC>∠A .（不等式的性质）
B
C
A
D
E
1.（河北·中考）如图，在
△ABC中，D是BC延长线上一点，
∠B = 40°，∠ACD = 120°，
则∠A等于( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
【解析】选C.根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°.
2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( )
A.∠3=2∠1+∠2
B.∠3=2∠1-∠2
C.∠3=∠1+∠2
D.∠3=180°-∠1-∠2
【解析】选C.∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，
∠3是△COD的外角，
∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.
3.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.
【解析】延长BC交直线a于点D，
∵直线a∥b,
∴∠ADC=∠B=50°.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.
答案：78°
4.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.
【证明】∵CE平分∠ACD
∴∠1=∠2
∵∠BAC＞∠1
∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B
∴∠BAC＞∠B
理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.
三角形内角和定理.
三角形三个内角的和等于180°.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.