高中数学人教B版（2019） 必修第三册 模块检测4（Word含解析）

高中数学人教B版（2019） 必修第三册 模块检测
一、单选题
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
2．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知为锐角且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的准线与圆心为C的圆交于A，B两点，那么等于（ ）
A．2 B． C． D．
5．若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
6．已知角终边上一点，那么（ ）
A． B． C．1 D．0
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．下述四个结论
①若，则
②已知扇形的半径，圆心角30°，则扇形的弧长是
③函数是单调递增函数
④化简得到的结果是
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
9．已知、是单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）
A． B．或 C． D．或
10．已知函数（，），其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，f(x)为单调递减函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，，则______．
12．已知，则____________.（可用对数符号作答）
13．已知单位向量，，若，则与的夹角余弦的值为_________.
14．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为______．
15．已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，若数列的前n项和恒成立，则实数m的取值范围是___________.
16．在中，已知是x的方程的两个实根，则________．
三、解答题
17．已知.
(1)化简，并求的值；
(2)若，求的值．
18．某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标与时间（单位：小时）之间的关系的函数模型：，，其中，代表大气中某类随时间变化的典型污染物质的含量，参数代表某个已测定的环境气象指标，且.现环保部门欲将的最大值作为每天的大气环境综合指数予以发布.
(1)求的值域；
(2)若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过，请求出的表达式，并预测该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由.
19．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递减区间；
(3)当时，求的最小值及取得最小值时的值．
20．如图，PQMN是半圆的内接矩形，是等腰三角形（P与R在直线OA的两侧），半圆的半径，，，记．
(1)当角取何值时，矩形PQMN的面积最大？
(2)当角取何值时，五边形PQMRN的面积S最大？并求出这个最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据向量的加法法则，计算即可得答案.
【详解】
.
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
根据所在象限，求出的范围，即可得到的取值范围，从而判断所在的象限，再根据，即可得到，从而得解；
【详解】
解：因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第二象限角；
故选：B
3．C
【解析】
【分析】
利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.
【详解】
为锐角，故，而，故，
又
.
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，求出坐标，然后求解向量的模．
【详解】
解：抛物线的准线，代入圆
可得
圆的圆心，
那么．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数的解析式，由的最小值为函数的最小正周期的，可求得函数的最小正周期，进而可求得正数的值.
【详解】
，
所以，
因为的最小值为函数的最小正周期的，
所以，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求得 ,再利用二倍角公式求得，接着求得，最后利用两角和的余弦公式求得答案.
【详解】
，
，
所以角终边上一点，即 ， ,
故 ，
所以 ，
所以
，
，
所以
，
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
化简已知条件，求得，进而求得.
【详解】
由题意可知，，
即，解得，
所以.
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，扇形的弧长公式，正切函数的单调性，两角和的正切公式化简判断各选项．
【详解】
，则，，所以，①错；
扇形的半径，圆心角30°，扇形的弧长为，②正确；
函数在上是增函数，在定义域内不是单调递增函数，③错；
，变形得，④正确．
故选：C．
9．C
【解析】
【分析】
由，得，两边平方化简可求得答案
【详解】
因为、是单位向量，由，
可得，则，
所以，
设与的夹角为，得，
解得或，
∵，∴，
∴，
又∵，∴，
故选：C．
10．C
【解析】
【分析】
由相邻对称轴距离得函数的最小正周期，由不等式恒成立得函数的最小值点，结合周期可得函数的增区间和减区间，比较各选项可得．
【详解】
因为相邻两条对称轴的距离为，所以函数的最小正周期为，所以，
对任意，都有，则是函数的最小值，
，，
因此在上函数单调递增，D错误；
在上单调递减，C正确；
是函数的一个最大值点，AB错误，
故选：C．
11．
【解析】
【分析】
化简已知，即得解.
【详解】
解：由题得，
所以.
故答案为：
12．
【解析】
【分析】
根据对数运算法则得到，再根据对数运算法则及三角函数弦化切进行计算.
【详解】
∵，∴，
又，.
故答案为：
13．##
【解析】
【分析】
对两边同时平方化简，即可求出与的夹角余弦的值.
【详解】
因为，为单位向量，所以，，所以，解得.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
根据函数向右平移，得到函数，这个规律特征，求出解析式．
【详解】
将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式
ysin（2x）sin（2x），
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角函数的平移变换．重点考查了函数平移时，函数解析式的特征．
15．
【解析】
【分析】
由向量的数量积得出是定值，从而得出的中点轨迹是圆，而，到直线的距离之和等于中点到该直线距离的二倍，因此由圆心到该直线的距离可得距离最大值，即得距离和的最大值，从而得出，再利用裂项相消法求得和，由不等式的性质得的范围．
【详解】
，，，所以，
设的中点为，则，所以在圆上，圆心为，半径为，
，到直线的距离之和等于到直线距离的二倍，
原点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以，
，
所以
，
恒成立，所以．
故答案为：．
16．##
【解析】
【分析】
根据根与系数关系可得，，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求，即可得其大小.
【详解】
由题设，，，
又，且，
∴.
故答案为：.
17．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；
（2）利用 将变形为，继而变形为，代入求值即可.
(1)
则
(2)
由（1）知，．
则
18．(1)；
(2)，不会超标，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，理由正弦函数的性质求的值域即可.
（2）令，讨论的大小关系求出的分段函数形式，在讨论的范围求对应表达式，并判断的值域，由其最大值与2的大小关系判断是否会超标.
(1)
由题设，，则，
所以，即的值域为.
(2)
由（1）知：，则，
所以，
当时，在上递增，故；
当时，，此时在上，在上；
而得：，故，
综上，，易知：恒成立，故该市目前的大气环境综合指数不会超标.
19．(1)
(2)
(3)最小值为，
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（2）解不等式可得出函数的单调递减区间；
（3）由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.
(1)
解：由
，
则的最小正周期为．
(2)
解：由，，
则，，则，，
所以的单词递减区间为．
(3)
解：当时，，
当时，即当时，函数取最小值，且.
20．(1)；
(2)当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件用角正弦、余弦表示出矩形PQMN的面积，再利用三角函数性质计算作答.
(2)利用(1)中信息，把S表示成角的函数，再借助函数性质计算作答.
(1)
在中，，，，则，
于是得矩形PQMN的面积，显然当时，，
所以当时，矩形PQMN的面积最大．
(2)
由(1)知，矩形PQMN的面积，又，，，
则，
五边形PQMRN的面积
，
因，即，则当时，即时，，
所以当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
答案第1页，共2页
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