高中数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步8.4.1　平　面（共27张PPT）

(共27张PPT)
第八章
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平　面
1.借助几何体的直观图认识平面.
2.了解平面的基本事实1～3(基本事实1～3也称公理)和推论.
课标要求
素养要求
在学习平面的概念和基本事实1～3的过程中，把现实生活中的平面形状的物体及其具有的性质抽象出来，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
1.平面的概念
(1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但________________，而是______________.
(2)抽象理解：平面是______，平面是__________的，平面___________________.
它们都不是平面
平面的一部分
平的
无限延展
没有厚薄、没有大小
2.平面的画法与表示
(1)画法：在立体几何中，平面通常画成一个____________.当平面水平放置时，通常将平行四边形的______画成45°，且使横边长等于其邻边长的______ (如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②).
平行四边形
锐角
2倍
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③.
(3)如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.
3.点、线、面之间的关系
(1)直线在平面内的概念：
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内.
(2)直线、平面都可以看成点的集合.点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P α；直线l在平面α内，记作l α；直线l不在平面α内，记作l α.
4.平面的基本事实及推论
基本 事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l
推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①).
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②).
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③).
1.思考辨析，判断正误
×
(1)一条直线和一个点可以确定一个平面.( )
(2)四边形是平面图形.( )
(3)两条相交直线可以确定一个平面.( )
(4)4个平面重叠起来要比一个平面厚.( )
提示　(1)一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.
(2)四边形不一定是平面图形.
(4)平面没有大小，厚度之分.
×
√
×
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A
A.平面MN B.平面NQ
C.平面α D.平面MNPQ
解析　平面可用希腊字母、平行四边形的四个顶点或对角线字母表示.
3.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
D
4.已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的个数是________.
①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α；
②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB；
③l α，A∈l A α；
④A∈l，l α A∈α.
3
解析　利用三个基本事实知①②④正确，
若l∩α＝A，显然有l α，但是A∈α，③错误.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　立体几何中三种语言的转换
【例1】　用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图①.
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图②.
①　　　　　　　　　②
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
思维升华
【训练1】　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作(　　)
A.A∈b∈β B.A∈b β
C.A b β D.A b∈β
(2)如图所示，用符号语言可表述为(　　)
B
A
【例2】　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
题型二　点、线共面问题
证明　法一　(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二　(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明点、线共面常用方法：
(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；
(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
思维升华
【训练2】　如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明　因为PQ∥a，
所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β.
因为P∈b，b α，所以P∈α.
又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
角度1　三点共线问题
【例3】　如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.
题型三　点共线、线共点问题
求证：B，D，O三点共线.
证明　因为E∈AB，H∈AD，
所以E∈平面ABD，H∈平面ABD.
所以EH 平面ABD.
因为EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD.又平面BCD∩平面ABD＝BD，
∴O∈BD，故点B，D，O共线.
点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要证明依据是基本事实3，解决此类问题常用以下两种方法：
(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上；
(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
思维升华
角度2　线共点问题
【例4】　如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.
证明　如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，
∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥HE，且GF≠HE，
∴HG与EF相交.设交点为K，
∴K∈HG，又HG 平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF 平面ABCD，
∴K∈平面ABCD，
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，
∴EF，HG，DC三线共点.
线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本事实3.证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.
思维升华
【训练3】　如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.
证明　因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，
又Q∈α，所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线.
课堂小结
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个基本事实的作用，证明点共线、线共点主要利用基本事实3；证明共面问题常用纳入法与同一法，突出先部分再整体的思想.