8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系（24张ppt）

(共24张PPT)
第八章
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
课标要求
素养要求
在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
1.异面直线
(1)定义：不同在__________平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法.
任何一个
(3)异面直线的判定方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线
反证法 既________，也________的两条直线
不平行
不相交
2.空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有______公共点
平行 同一平面内，______公共点
异面直线 不同在__________平面内，没有________
一个
没有
任何一个
公共点
点睛
(1)在不同平面内的两条直线不一定异面；(2)没有公共点的两条直线平行或异面.　　　
3.空间中直线与平面的位置关系
位置关系 定义 图形语言 符号语言
直线在平面内 有______个公共点 a α
直线与平面相交 有且只有______公共点 __________
直线与平面平行 没有公共点 ________
无数
一个
a∩α＝A
a∥α
4.空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 ________ 没有公共点
两个平面相交 ____________ 有一条公共直线
α∥β
α∩β＝l
1.思考辨析，判断正误
×
(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.( )
(2)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线.( )
(3)若直线与平面不相交，则直线与平面平行.( )
(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.( )
提示　(1)空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.
(2)过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线.
(3)若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行.
(4)当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行.
×
×
×
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
解析　结合长方体模型，可知两直线相交或异面.
B
3.若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中(　　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
解析　在β中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在β内的与a平行的直线只有一条.
D
4.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是____________.
直线BC
课堂互动
题型剖析
2
题型一　空间中两直线位置关系的判定
【例1】　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.
平行
异面
相交
异面
解析　根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”.所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.
判断空间中两直线的位置关系可利用定义，常常借助空间几何体，把要判断的直线和平面放在某些具体的空间图形(如长方体、正方体)中，有利于作出正确的判断，同时对于错误的说法也便于找出反例.
思维升华
【训练1】　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
解析　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
D
【例2】　下列说法中，正确的有(　　)
题型二　直线与平面的位置关系
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
解析　如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误.
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.
思维升华
【训练2】　下列命题中，正确的命题是(　　)
A.若a∥α，α∥β，则a∥β
B.若a∥α，b α，则a∥b
C.若a α，则a与α有无数个公共点
D.若a α，则a与α没有公共点
解析　对于A，a∥β或a β，所以A错；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错.
C
【例3】　以下四个命题中，正确的命题有(　　)
题型三　平面与平面的位置关系
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.
A.③④ B.②③④ C.②④ D.①④
A
解析　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.
1.平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
2.常见平面与平面平行的几何模型
(1)棱柱(台)、圆柱(台)的上下底面；(2)长方体中三组相对的面平行.
思维升华
【训练3】　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.垂直
解析　根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.
C
1.空间两条直线有相交、平行、异面三种位置关系，两条异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.
2.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.
3.长方体是一个特殊的模型，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结