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第八章
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
1.了解基本事实4和定理.
2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线平行的关系.
课标要求
素养要求
在学习和应用基本事实4和定理的过程中,通过判定和证明空间两条直线的位置关系,发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
1.基本事实4
平行于同一条直线的两条直线______.这一性质叫做空间平行线的传递性.
平行
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角______或______
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
2.等角定理
相等
互补
1.思考辨析,判断正误
(1)如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.( )
(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.( )
(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.( )
提示 (2)分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面.
√
×
√
2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )
A.30° B.30°或150°
C.150° D.以上结论都不对
解析 因为AB∥PQ,BC∥QR,
所以∠PQR与∠ABC相等或互补.
因为∠ABC=30°,所以∠PQR=30°或150°.
B
3.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,则四边形MNPQ是________.
矩形
解析 如图所示.
∵点M,N,P,Q分别是四条边的中点,
即MN∥PQ且MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ,AC⊥BD,∴MN⊥MQ,
∴平行四边形MNPQ是矩形.
4.已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A′C′的位置关系是________.
平行
解析 如图所示,MN∥AC.
又因为AC∥A′C′,所以MN∥A′C′.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 证明直线与直线平行
【例1】 如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
证明 因为空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
所以EF∥HG,EF=HG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
证明 因为空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
又因为四边形EFGH是平行四边形,所以四边形EFGH是菱形.
证明两直线平行,目前有两种途径:一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行;二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
思维升华
【训练1】 如图,E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF为平行四边形.
证明 如图,取DD1的中点Q,连接EQ,QC1.
故四边形B1EDF为平行四边形.
【例2】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.
题型二 等角定理及应用
证明 如图,连接CB1,CD1.
∴四边形A1B1CD是平行四边形,
∴A1D∥B1C.
∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,∴MN∥B1C,∴MN∥A1D.
∴A1B∥CD1.
∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,
∴MP∥CD1,∴MP∥A1B,
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,
∴∠NMP=∠BA1D.
1.根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行.
2.根据角的两边的方向判定两角相等.
思维升华
【训练2】 若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )
A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行
D
解析 如图所示.
∴OB与O1B1不一定平行.
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
题型三 基本事实4与等角定理的综合应用
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.
又∠BMC与∠B1M1C1两边对应的方向相同,∴∠BMC=∠B1M1C1.
1.判断两条直线平行是立体几何中的一个重要组成部分,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4也是判断两直线平行的重要依据.
2.证明角相等,利用空间等角定理是常用的方法,在证明过程中一定要说明两个角的对应边方向都相同或都相反.另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.
思维升华
【训练3】 如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
(1)求证:四边形MNA1C1是梯形;
证明 连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是棱CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1.
即MN≠A1C1,易知NA1与MC1不平行,
∴M,N,A1,C1四点共面,且四边形MNA1C1是梯形.
(2)求证:∠DNM=∠D1A1C1.
证明 由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补,
又∠DNM与∠D1A1C1对应的两边方向相同,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
1.证明两条直线平行主要体现数学逻辑推理核心素养,主要方法:
(1)根据定义,在同一个平面内且没有公共点;
(2)利用基本事实4;
(3)利用图形性质,如中位线、平行四边形的对边等.
2.等角定理的结论是相等或互补,实际应用时要借助图形直观来判断.
当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.
课堂小结