8.6.1　直线与直线垂直（24张ppt）

(共24张PPT)
第八章
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.
2.掌握两异面直线所成的角的求法.
课标要求
素养要求
在计算两异面直线所成的角及证明直线与直线垂直的过程中，发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
1.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线____________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：____________.
a′与b′
0°≤α≤90°
2.两条异面直线垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作________.
a⊥b
1.思考辨析，判断正误
×
(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( )
(2)与一条直线都垂直的两条直线平行.( )
(3)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.( )
(4)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.( )
提示　(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
(2)与一条直线都垂直的两条直线位置不确定.
(3)两直线可能相交.
(4)两条异面直线所成的角为70°.
×
×
×
C
解析　连接BD，A1B，易知D1B1∥DB，
∴∠A1DB是异面直线A1D和B1D1所成的角.
又△A1BD是等边三角形.
3.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，
C
①DA1与BC1平行；
②DD1与BC1垂直；
③A1B1与BC1垂直.
以上三个结论中，正确的序号是(　　)
A.①② B.②③ C.③ D.①②③
解析　①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由图可知DA1与BC1异面，故①不正确；
②因为DD1∥CC1，BC1与CC1不垂直，所以DD1与BC1不垂直，故②不正确；③正确.
4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，AB的中点，则异面直线EF，CC1所成的角为________.
45°
解析　连接A1B，因为EF∥A1B，CC1∥BB1，
所以∠A1BB1即为异面直线EF，CC1所成的角，所成的角为45°.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　异面直线所成的角
【例1】　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心.
求：(1)BE与CG所成的角；
解　如图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解　连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，
所以HD∥FB，又HD＝FB，
所以四边形HFBD为平行四边形.
所以HF∥BD，
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA，AF，易得O为AH的中点，且FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
所以∠HFO＝30°，
故FO与BD所成的角为30°.
【迁移】　(变条件)在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角.
解　连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，则OP∥AF.
又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角.
由于△ABF是等腰直角三角形，
所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.
求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线所成角的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成角的相关角，并加以证明.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
思维升华
【训练1】　如图，空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
解　如图，取BD的中点F，连接EF，AF，
又E为BC的中点，
∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或补角).
设空间四边形ABCD的棱长为a，
【例2】　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
题型二　直线与直线垂直的证明
证明　如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
A1B2＝a2＋b2＋h2，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，
所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
证明空间的两条直线垂直的方法：
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
思维升华
【训练2】　如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D.
证明　如图，连接BD，交AC于O，
设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，
所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
【例3】　如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长.
题型三　异面直线所成角的综合问题
解　取BC的中点O，连接OE，OF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴OE与OF所成的角(或其补角)即为AC与BD所成的角.
而AC，BD所成的角为60°.
∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.
当∠EOF＝120°时，在△EOF中，利用余弦定理，
1.本题中容易遗漏∠EOF＝120°的情形，导致求解不完整.
2.当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论.
思维升华
【训练3】　在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________.
解析　连接CD1，AC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角，将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角θ满足0°<θ≤90°.
2.空间两直线的垂直，关键是计算两直线所成角是否为直角.
3.异面直线是空间中直线与直线之间的位置关系中最重要的位置关系，围绕异面直线设计的命题，主要有以下类型：一是概念的辨析，二是判定与证明，三是角的计算.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结