2021-2022学年北师大版七年级数学下册2.3平行线的性质解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》解答题专题训练（附答案）
1．如图，点H、点D在AB上，点F、点G在AC上，点E在BC上，已知HG⊥AB，DF⊥AB，∠2+∠3＝180°，求证：∠1＝∠A．
证明：∵HG⊥AB，DF⊥AB（已知），
∴∠AHG＝∠HDF＝90°（垂直的定义）．
∴DF∥HG（　 　）．
∴∠3+　 　＝180°（　 　）．
∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠2＝∠4（　 　）．
∴　 　（内错角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠A（　 　）．
2．如图，已知∠A＝∠3，DE⊥BC，AB⊥BC，求证：DE平分∠CDB．
证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），
∴∠DEC＝∠ABC＝90°（垂直的定义）．
∴DE∥AB（ 　 　）．
∴∠2＝∠3（ 　 　），
∠1＝　 　（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A＝∠3（已知），
∴　 　（ 　 　）．
∴DE平分∠CDB（角平分线的定义）．
3．推理填空：如图，CF交BE于点H，AE交CF于点D，∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠ABH＝∠DHE，求证：BE∥AF．
证明：
∵∠ABH＝∠DHE（已知），
∴　 　（　 　），
∴∠3+　 　＝180°（　 　）．
∵∠3＝∠C（已知），
∴∠C+　 　＝180°（　 　），
∴AD∥BC（　 　），
∴∠2＝∠E（　 　）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠E（等量代换）．
∴BE∥AF（内错角相等，两直线平行）．
4．完成下面推理过程．在括号内的横线上填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AB∥EF，
∴∠APE＝∠PEF（　 　）．
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ＝　 　（垂直的定义）．
即∠QEF+∠PEF＝90°．
∴∠APE+∠QEF＝90°．
∵∠EQC+∠APE＝90°，
∴∠EQC＝　 　（　 　）．
∴EF∥CD（　 　）．
∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
5．完成下面的证明：
看图填空：已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3，求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（　 　），
∴∠ADC＝90°，∠EGC＝90°（　 　）．
∴∠ADC＝∠EGC（　 　）．
∴AD∥EG（　 　）．
∴∠1＝∠　 　（　 　），
∠2＝∠　 　（　 　）．
又∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（　 　），
∴AD平分∠BAC（　 　）．
6．填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由．如图，已知∠BEF+∠EFD＝180°，∠AEG＝∠HFD，求证：∠G＝∠H．
证明：
∵∠BEF+∠EFD＝180°，　 　．
∴AB∥　 　（　 　）．
∴　 　＝∠EFD（　 　）．
又∵∠AEG＝∠HFD，
∴∠AEF﹣∠AEG＝∠EFD﹣∠HFD，
即　 　＝　 　．
∴　 　∥FH（　 　）．
∴∠G＝∠H．（　 　）．
7．如图，已知BD⊥AF，CE⊥AF，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
请将下列证明过程补充完整：
∵BD⊥AF，CE⊥AF（　 　），
∴∠1　 　＝90°（　 　）．
∴BD∥CE（　 　）．
∴∠3+∠C＝180°（　 　）．
∵∠C＝∠D　 　，
∴∠3+　 　＝180°（　 　）．
∴AC∥DF（　 　）．
∴∠A＝∠F（　 　）．
8．如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．
证明：∵∠1＝∠3（ 　 　），
∠1＝∠2（已知）．
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∴AD∥BC（ 　 　）．
∴∠A+∠4＝180°（ 　 　）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴　 　∥　 　（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（ 　 　）．
9．如图，点D、E分别为AB、AC上的点，点F、G为BC上的点，连接DE，连接DG、EF交于点H．已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，若∠C＝66°，求∠DEC的度数．请你将下面解答过程填写完整．
解：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥　 　．
∴∠ADE＝∠3（　 　）．
∵∠B＝∠3，
∴　 　＝∠B．
∴DE∥BC（　 　）．
∴∠C+∠DEC＝180°．
∵∠C＝66°，
∴∠DEC＝114°．
10．如图所示，已知BD⊥CD于D，EF⊥CD于F，∠A＝80°，∠ABC＝100°．求证：∠1＝∠2．证明：∵BD⊥CD，EF⊥CD（已知），
∴∠BDC＝∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴　 　（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（　 　）．
∵∠A＝80°，∠ABC＝100°（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC（　 　）．
∴　 　（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1＝∠2（　 　）．
11．推理填空：
已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AD∥BE．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝∠　 　（ 　 　）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝∠　 　（ 　 　）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）
即∠BAF＝∠　 　
∴∠3＝∠　 　（ 　 　）
∴AD∥BE（ 　 　）
12．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
13．如图，AE∥DF，∠B+∠1＝90°，BE⊥FD于G．求证：AB∥CD．
14．如图，AD∥BC，∠B＝∠C，∠1＝60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果AE是∠BAD的平分线，那么AE与DC平行吗？请说明理由．
15．如图，DF平分∠ADC，BE平分∠ABC，∠AEB＝∠ABC．
（1）求证：AD与BC平行；
（2）若∠ABC＝∠ADC，DF与BE存在什么样的位置关系？请说明理由．
16．如图，AE⊥BC，DF⊥BC，且∠1＝∠2．
（1）判断AB与CD是否平行，并请说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，且∠BDC＝∠3+90°，求∠C的度数．
17．如图，AB∥CD，CH平分∠ACD交AB于点H，AE平分∠FAB．
（1）求证：AE∥CH；
（2）若∠AHC＝62°，求∠ACH的度数．
18．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？试说明理由．
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝80°，试求∠FAB的度数．
19．如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E，试说明AD∥BC．
20．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
21．如图1，在三角形ABC中，点E、点F分别为线段AB、AC上任意两点，EG交BC于G，交AC的延长线于H，∠1+∠AFE＝180°．
（1）求证：BC∥EF；
（2）如图2，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，求证：DF平分∠AFE．
参考答案
1．证明：∵HG⊥AB，DF⊥AB（已知），
∴∠AHG＝∠HDF＝90°（垂直的定义）．
∴DF∥HG（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠4，两直线平行，同旁内角互补；等量代换；DE∥AC；两直线平行，同位角相等．
2．证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），
∴∠DEC＝∠ABC＝90°（垂直的定义）．
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴DE平分∠CDB（角平分线的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；∠1＝∠2，等量代换．
3．证明：∵∠ABH＝∠DHE（已知），
∴AB∥CF（同位角相等，两直线平行 ），
∴∠3+∠ADC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3＝∠C（已知），
∴∠C+∠ADC＝180°（等角的补角相等 ），
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠2＝∠E（两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠E（等量代换），
∴BE∥AF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB∥CF，同位角相等，两直线平行；∠ADC，两直线平行，同旁内角互补；∠ADC，等角的补角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
4．解：∵AB∥EF，
∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）．
∵EP⊥EQ，
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）．
即∠QEF+∠PEF＝90°．
∴∠APE+∠QEF＝90°．
∵∠EQC+∠APE＝90°，
∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等）．
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；90°；∠QEF；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
5．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝90°，∠EGC＝90°（垂直定义）．
∴∠ADC＝∠EGC（等量代换）．
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：已知；垂直定义；等量代换；同位角相等，两直线平行；3，两直线平行，内错角相等；E，两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义．
6．证明：∵∠BEF+∠EFD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠AEF＝∠EFD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠AEG＝∠HFD，
∴∠AEF﹣∠AEG＝∠EFD﹣∠HFD，
即∠GEF＝∠HFE，
∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行），
∴∠G＝∠H（两直线平行，内错角相等），
故答案为：已知，CD，同旁内角互补，两直线平行，∠AEF，两直线平行，内错角相等，∠GEF，∠HFE，EG，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
7．∵BD⊥AF，CE⊥AF（已知），
∴∠1＝∠2＝90°（垂直定义）．
∴BD∥CE（ 同位角相等，两直线平行）．
∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠3+∠D＝180°（ 等量代换）．
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；＝∠2，垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；，∠D，等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
8．证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），
∠1＝∠2（已知）．
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA；两直线平行，内错角相等．
9．解：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C+∠DEC＝180°．
∵∠C＝66°，
∴∠DEC＝114°．
故答案为：EF；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行．
10．证明：∵BD⊥CD，EF⊥DC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝80°，∠ABC＝100°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：BD∥EF；两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行；∠1＝∠3；等量代换．
11．（每空1分）推理填空：
已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AD∥BE．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝∠BAF（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝∠BAF（等量代换）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）
即∠BAF＝∠CAD
∴∠3＝∠CAD（等量代换）
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：
∠BAF（两直线平行，同位角相等）；
∠4（已知）；
∠BAF（等量代换）；
等量代换；
内错角相等，两直线平行；
12．证明：∵∠1＝∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C+∠CBD＝180°，
∵∠C＝∠D，
∴∠D+∠CBD＝180°，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
13．证明：∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∴∠DEG+∠D＝90°，
∵AE∥DF，
∴∠1＝∠D，
∵∠B+∠1＝90°，
∴∠B＝∠DEG，
∴AB∥CD．
14．解：（1）∵AD∥BC，∠1＝60°．
∴∠B＝∠1＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°．
（2）AE∥DC，理由如下：
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE＝60°，
又∵∠C＝60°，
∴∠BEA＝∠C，
AE∥DC．
15．证明：（1）因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBE＝，
又因为∠AEB＝∠ABC，
所以∠CBE＝∠AEB，
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）BE∥DF．
理由如下：
因为DF平分∠ADC，
所以，
又因为∠AEB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，
所以∠AEB＝∠ADF，
所以BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
16．解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴∠A＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠3，
∵∠BDC＝∠3+90°，
∴2∠3+∠3+90°＝180°，
∴∠3＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝30°．
所以∠C的度数为30°．
17．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠FCD，
∵AE平分∠FAB，CH平分∠ACD，
∴∠FAE＝∠FAB，∠FCH＝∠FCD，
∴∠FAE＝∠FCH，
∴AE∥CH；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AHC＝∠HCD，
∵∠AHC＝62°，
∴∠HCD＝62°，
∵CH平分∠ACD，
∴∠ACH＝∠HCD＝62°．
18．（1）AD与EC平行，
证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝80°，
∴∠BDC＝80°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC＝∠BDC＝40°（角平分线定义），
∴∠2＝∠ADC＝40°（已证），
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°（垂直定义），
∵AD∥CE（已证），
∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣40°＝50°．
19．解：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠E，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BC．
20．（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
21．证明：（1）∵∠1+∠AFE＝180°，∠1+∠CFE＝180°，
∴∠AFE＝∠CFE，
∴BC∥EF；
（2）∵∠BEG＝∠EDF，
∴DF∥EH，
∴∠DFE＝∠FEH，
又∵BC∥EF，
∴∠FEH＝∠2，
又∵∠2＝∠3，
∴∠DFE＝∠3，
∴DF平分∠AFE．